1、2022年广州市天河区一模数学试题一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）1. 的相反数是（）A. B. C. D. 2. 下列是四届冬奥会会徽的部分图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）.A. 1984前南斯拉夫B. 1988加拿大C. 2006意大利D. 2022中国3. 下列式子运算正确的是（）.A. 3x + 4x = 7x2B. C. x3x4 = x7D. 4. 如图，将ABC绕点A逆时针方向旋转得到ABC.当点B刚好落在BC边上，B = 40，则BAB的度数为（）.A. 120B. 100C. 80D. 605
2、. 小明参加校园歌手比赛，唱功得85分，音乐常识得95分，综合知识得90分，学校如果按如图所示的权重计算总评成绩，那么小明的总评成绩是（ ）A. 87分B. 87.5分C. 88.5分D. 89分6. 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，添加选项中的条件后不能判定四边形AECF是平行四边形的是（）.A. BE = DFB. AECFC. AF = ECD. AE = EC7. 一元二次方程有两个相等实数根，则的值为（）A B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在中，于点C，点A在反比例函数的图像上，若，则k的值为（）A. 12B. 8C. 6D.
3、 39. 如图，每个小正方形的边长为1，在ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为（）A. B. C. D. 10. 已知二次函数y = x2 - x + ，若x = a时，y 0:则当x = a - 1时，对应的函数值范围判断合理的是（）.A. y 0B. 0 y C. y 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分.）11. 代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 _ 12. 计算：2-3=_13. 因式分解:3ax - 9ay = _ .14. 一次函数的图象经过原点，则y随x的增大而 _ .（填“增大”或“减小”）15. 如图所示，在正方形ABCD中，点P在AC上，垂足分
4、别为E，F，则DP的长为_16. 如图，BD为O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，O的切线DF与BC的延长线交于点F，则（1）_ ；（2）下列四个结论中正确的有_ （填写序号）； AB=4；的长； CF=AE三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）17. 解方程组：18. 如图，已知ABDE，AB = DE，B，E，C，F在同一条直线上，且BE = CF求证ABCDEF19. 已知代数式T = （ - ） .若点A（a，b）在直线 y= 3x上，求T的值.20. 庆祝中国共产党成立100周年，某校举行“学党史感党恩”知识竞答活动.甲、乙两班
5、各选出5名学生参加竞赛，其竞赛成绩（满分为100分）如表所示:甲班1号2号3号4号5号80分80分80分100分90分乙班6号7号8号9号10号80分100分85分70分95分（1）写出甲、乙两个班这10名学生竞赛成绩的中位数和众数:（2）若从甲、乙两班竞赛成绩“90分”的4名学生中随机抽取2名参加全区党史知识竞赛，求这2名学生恰好来自同一个班的概率.21. 如图，线段AD是ABC角平分线.（1）尺规作图:作线段AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F:（保留痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，连接DE，DF，求证:四边形AEDF是菱形.22. 看电影已经成为人们在春节假期生活的新热潮
6、.2022年春节电影总票房持续走高，其中长津湖四海和奇迹三部电影七天票房总额达到37亿元.（1）若四海的票房比奇迹的票房少2亿，长津湖的票房比奇迹的票房的3倍多4亿，求电影长津湖的票房；（2）若电影院票价每张60元，学生实行半价优惠.某学校计划用不超过1500元组织老师和学生共40名去电影院观看长津湖，问:至少组织多少名学生观看电影?23. 如图，在平面直角坐标系中，直线y= x与双曲线交于A，B两点，其中A的坐标为（1，a），P是以点C（ - 2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点.（1）求双曲线解析式：（2）将直线y = x向上平移m（m 0）个单位长度，若平移后
7、的直线与C相切，求m的值（3）求线段OQ长度的最大值.24. 如图，在矩形ABCD中，AB = 6，AD = 8，点E是CD边上的一个动点（点E不与点C重合），延长DC到点F，使EC = 2CF，且AF与BE交于点G.（1）当EC = 4时，求线段BG的长:（2）设CF = x，GEF的面积为y，求y与x的关系式，并求出y的最大值:（3）连接DG，求线段DG的最小值.25. 若抛物线y = ax2 + bx + c（a，b，c是常数，c 1）过点A（c，0），且0 x 0（1）当a = c = 2，求b的值；（2）当a = 时，求该抛物线顶点纵坐标的取值范围；（3）当a 0，x 0时，求证ax
8、（x + 1）+ bx（x + 2）+ c（x + 1)(x + 2） 02022年广州市天河区一模数学试题一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）1. 的相反数是（）A. B. C. D. 【1题答案】【答案】A【解析】【分析】在一个数前面放上“”，就是该数的相反数【详解】解：的相反数为，即故选：A【点睛】本题考查相反数的概念，求一个数的相反数只要改变这个数的符号即可2. 下列是四届冬奥会会徽的部分图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）.A. 1984前南斯拉夫B. 1988加拿大C. 2006意大利D. 2022中国【2
9、题答案】【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可.【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选A【点睛】本题主要考查了轴对称
10、图形和中心对称图形识别，熟知二者的定义是解题的关键3. 下列式子运算正确的是（）.A. 3x + 4x = 7x2B. C. x3x4 = x7D. 【3题答案】【答案】C【解析】【分析】根据整式的加减，积的乘方，同底数幂的乘法以及幂的乘方等运算法则对选项逐个判断即可【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；B、，选项错误，不符合题意；C、，选项正确，符合题意；D、，选项错误，不符合题意；故选：C【点睛】此题考查了整式的加减，积的乘方，同底数幂的乘法以及幂的乘方等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则4. 如图，将ABC绕点A逆时针方向旋转得到ABC.当点B刚好落在BC边上，B = 40，则BAB
11、的度数为（）.A. 120B. 100C. 80D. 60【4题答案】【答案】B【解析】【分析】根据ABAB，B40，得ABB40，从而旋转角BAB180-B-ABB100【详解】解：由旋转性质可知ABAB，BABB40，旋转角BAB180BABB100，故选：B【点睛】本题考查三角形的旋转，涉及等腰三角形性质、三角形内角和定理，解题的关键是掌握旋转的性质，熟练应用三角形内角和定理5. 小明参加校园歌手比赛，唱功得85分，音乐常识得95分，综合知识得90分，学校如果按如图所示的权重计算总评成绩，那么小明的总评成绩是（ ）A. 87分B. 87.5分C. 88.5分D. 89分【5题答案】【答案
12、】C【解析】【分析】利用加权平均数按照比例即可求得小明的总评成绩【详解】解：小明的总评成绩是：8560%9530%9010%88.5（分），故C正确故选：C【点睛】本题考查了加权平均数的计算方法，在进行计算的时候注意权的分配，另外还应细心，否则很容易出错6. 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，添加选项中的条件后不能判定四边形AECF是平行四边形的是（）.A. BE = DFB. AECFC. AF = ECD. AE = EC【6题答案】【答案】D【解析】【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，添加条件BE = DF，则AD-DF=BC-BE，即AF=CE，
13、再由可以证明四边形AECF是平行四边形，故A不符合题意；添加条件AECF，再由可以证明四边形AECF是平行四边形，故B不符合题意；添加条件AF = EC，再由可以证明四边形AECF是平行四边形，故C不符合题意；添加条件AE = EC，再由不可以证明四边形AECF是平行四边形，故D符合题意；故选D【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定条件是解题的关键7. 一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（）A. B. C. D. 【7题答案】【答案】D【解析】【分析】根据题意可得，求得，即可求解【详解】解：由题意可得：，解得，故选：D【点睛】此题考查了一元二次方程根情况
14、与判别式的关系，以及二次根式的化简，解题的关键是正确求得的值并掌握二次根式的化简8. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在中，于点C，点A在反比例函数的图像上，若，则k的值为（）A. 12B. 8C. 6D. 3【8题答案】【答案】C【解析】【分析】由等腰三角形的性质可得C点坐标，结合AC长即可得到A点坐标，根点A在反比例函数的图像上，将点A的坐标代入反比例函数解析式中可得k值【详解】解：，为等腰三角形，又，C为OB中点，A点坐标为（2，3），将A点坐标代入反比例函数得，故选：C【点睛】本题考查反比例函数图像上的点的性质，等腰三角形的判定和性质利用等腰三角形的性质求得反比例函数上点的坐标
15、是解题关键9. 如图，每个小正方形的边长为1，在ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为（）A. B. C. D. 【9题答案】【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理列式求出AB、BC、AC，再利用勾股定理逆定理判断出ABC是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可【详解】根据勾股定理，AB，BC，AC，AC2+BC2AB226，ABC是直角三角形，点D为AB的中点，CDAB故选B【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，勾股定理逆定理的应用，判断出ABC是直角三角形是解题的关键10. 已知二次函数y = x2 - x + ，若x =
16、a时，y 0:则当x = a - 1时，对应的函数值范围判断合理的是（）.A. y 0B. 0 y C. y 【10题答案】【答案】C【解析】【分析】易求得抛物线对称轴，可以找出a的取值范围，即可确定a-1的的取值范围，即可解题【详解】解：由题意可知：对称轴为 当 时， 当x=0时，y= 当x=1时，y=x=a，y0，0a1，-1a-1 0）个单位长度，若平移后的直线与C相切，求m的值（3）求线段OQ长度的最大值.【2325题答案】【答案】（1） （2）或 （3）【解析】【分析】（1）先求出点A的坐标，然后利用待定系数法求解即可；（2）由题意得平移后的直线解析式为，如图所示，设直线与圆C的切点
17、为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CEx轴于E，先证明O、C、D三点共线，求出OD=DH，OH的长即为m的值，据此求解即可；（2）如图所示，连接PB，PC，BC，证明OQ是PAB的中位线，把求OQ的最大值转化成求PB的最大值，即转化成求圆外一点到圆上一点距离的最大值，由此求解即可【小问1详解】解：点A（1，a）在直线y=x上，a=1，点A的坐标为（1，1），把点A坐标代入到反比例函数解析式得，反比例函数解析式为；【小问2详解】解：由题意得平移后的直线解析式为，如图所示，设直线与圆C的切点为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CEx轴于E，点H的坐标为（0，m）OH=m，点C（-2，
18、2），CE=OE=2， COE=45，DOH=45，同理可证BOE=45，BOC=90 ，即OCAB，直线与直线AB平行，OC与直线垂直，又直线与圆C相切于点C，CD与直线垂直，C、O、D三点共线，圆C的半径为1，ODH=90，DOH=45，DHO=45， 同理当切点D在圆O上方时可以求得，综上所述，若平移后的直线与C相切，或；【小问3详解】解：如图所示，连接PB，PC，BC，由对称性可知A、B关于原点对称，即O是AB的中点，点B的坐标为（-1，-1），Q是AP的中点，OQ是APB的中位线，要想OQ最大，则PB最大，当P、B、C三点共线，且P在C点上方时，PB有最大值，即PB=PC+BC=1+
19、BC，点C（-2，2），点B（-1，-1），【点睛】本题主要考查了圆与函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，三角形中位线定理，熟知相关知识，利用数形结合的思想求解是解题的关键24. 如图，在矩形ABCD中，AB = 6，AD = 8，点E是CD边上的一个动点（点E不与点C重合），延长DC到点F，使EC = 2CF，且AF与BE交于点G.（1）当EC = 4时，求线段BG的长:（2）设CF = x，GEF的面积为y，求y与x的关系式，并求出y的最大值:（3）连接DG，求线段DG的最小值.【2426题答案】【答案】（1） （2）； （3）【解析】【分析】（1）先利用矩形的性质证明，证得，在利
20、用勾股定理求得的长，进而可求解；（2）设AF与BC交于点P，过点G作于，利用相似三角形的判定和性质分别求得，最后求得，在GEF中利用三角形的面积公式即可求解；（3）过点作，连接DG，则四边形是矩形，在中，利用勾股定理求得的最小值，进而得到答案【小问1详解】解：四边形ABCD是矩形，AB = 6，AD = 8，EC = 2CF，EC = 4，又，在中，；【小问2详解】解：设AF与BC交于点P，过点G作于，如图所示， AB = 6，即，即，解得，又，即，解得，y与x关系式为:，点E是CD边上的一个动点（点E不与点C重合），即，当时，y的最大值【小问3详解】解：过点作，连接DG，则四边形是矩形， ，
21、在中，令，则，当时，有最小值为，的最小值为【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是根据题意作出适当的辅助线25. 若抛物线y = ax2 + bx + c（a，b，c是常数，c 1）过点A（c，0），且0 x 0（1）当a = c = 2，求b的值；（2）当a = 时，求该抛物线顶点纵坐标的取值范围；（3）当a 0，x 0时，求证ax（x + 1）+ bx（x + 2）+ c（x + 1)(x + 2） 0【2527题答案】【答案】（1） （2） （3）见解析【解析】【分析】（1）把a、c的值代入抛物线解析式和A点坐标中，然后利用待定系数法求解即可；（2）
22、先求出抛物线解析式为，然后代入点A的坐标得到，由此推出，从而得到抛物线的对称轴为直线，当时，由此求解即可；（3）由0 x 0，推出当自变量取，必有函数值，即，由此利用不等式的性质求解即可【小问1详解】解：a = c = 2，抛物线解析式为，点A的坐标为（2，0），；【小问2详解】解：当时，抛物线解析式为，点A（c，0）在抛物线上，c 1，即，抛物线的对称轴为直线，当时，当时，y随c的增大而增大，当c=4时，y有最大值0，当c=1时，y有最小值，；当时，抛物线顶点纵坐标小于0，而0 x 0，不存在的这种情况，该抛物线顶点纵坐标的取值范围为：；【小问3详解】解：0 x 0，当时，当，当自变量取，必有函数值，当时，【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，不等式的性质等等，解题的关键是掌握不等式的性质