1、2022届全国卷数学高考预测猜题（文科）试卷（一）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合，则( )A.B.C.D.2.己知i是虚数单位，则( )A.B.C.D.3.2021年某省高考体育百米测试中，成绩全部介于12秒与18秒之间，抽取其中100个样本，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，第六组，得到如下的频率分布直方图.则该100名考生的成绩的平均数和中位数（保留一位小数）分别是( )A.15.2 15.3B.15.1 15.4C.15.1 15.3D.15.2 15.34.双曲线E与椭圆焦点相同且离心率是椭圆C
2、离心率的倍，则双曲线E的标准方程为( )A.B.C.D.5.已知非零向量a，b满足，且，则与的夹角大小为( )A.30B.45C.60D.906.已知实数，则这三个数的大小关系正确的是( )A.B.C.D.7.若函数，且满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是( )A.B.C.D.8.已知动直线恒过定点A，B为圆上一点，若为坐标原点)，则的面积为( )A.B.3C.D.9.已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象关于y轴对称，则的最小值为( )A.1B.2C.D.510.已知函数在上为减函数，则a的取值范围是( )A.B.C.D.11.已知抛物线，直线交E于A，B两点，取AB的
3、中点M，垂直E的准线于，则的外接圆的直径长度是( ) A.4B.6C.8D.1212.已知三棱锥的外接球O的半径为R，且外接圆的面积为，若三棱锥体积的最大值为，则该球的体积为( )A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.函数在点处的切线方程为_.14.已知等比数列的前n项和，则_.15.已知点是在圆内部及圆上的整数点（横、纵坐标皆为整数），则点P的坐标满足的概率是_.16.已知函数有2个不同零点（其中e是自然对数的底数），则m的取值范围是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为
4、选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求的值；（2）若，的面积为，求b的值.18.（12分）已知高三某学生为了迎接高考，参加了学校的5次模拟考试，其中5次模拟考试的成绩如表所示，次数（x）12345考试成绩（y）498499497501505设变量x，y满足回归直线方程.（1）假如高考也符合上述的模拟考试的回归直线方程，高考看作第10次模拟考试，预测2022年的高考成绩；（2）从上面的5次考试成绩中随机抽取3次，求其中2次成绩都大于500分的概率.参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
5、19.（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，M是PD的中点，.（1）证明：平面ABCD；（2）求点A到平面MCD的距离.20.（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为M，直线与E的另一个交点为P，连接，若的周长为，且的面积为.（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线与椭圆E交于A，B两点，当m为何值时，恒成立？21.（12分）已知函数，.（1）若，判断函数的单调性；（2）证明：.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（10分）选修4 4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，x轴正
6、半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且与的交线为l.（1）求与的公共弦长；（2）设，且l与交于A，B两点，求.23.（10分）选修45：不等式选讲已知函数.（1）解关于x的不等式；（2）求满足的实数x的取值范围.参考答案一、选择题1.答案：B解析：因为集合，集合，则，故选B.2.答案：A解析：，故选A.3.答案：C解析：100名考生成绩的平均数.因为前三组频率直方图面积和为，前四组频率直方图面积和为，所以中位数位于第四组内，设中位数为a，则，解得，故选C.4.答案：C解析：由题可知，椭圆的焦点坐标为和，离心率为.设双曲线E的标准方程为，则且，解得，所以双曲线E的标准方程为，故选C.5.
7、答案：C解析：由得.又，与的夹角为60，故选C.6.答案：A解析：由题可知，故，故选A.7.答案：D解析：对任意的实数，都有成立，函数在R上单调递增，解得，故选D.8.答案：C解析：将直线l的方程变形得，所以直线l过定点，易知点在圆C上，连接OC，因为，所以由圆的性质可知，又，所以，则直线AB的方程为，即，所以点C到直线AB的距离，点O到直线AB的距离，又，所以，故选C.9.答案：D解析：，又函数的图象关于y轴对称，则，当时，有最小值5，故选D.10.答案：B解析：，.因为函数在上为减函数，所以在上恒成立，即，所以.设，所以当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，所以，故选B.11
8、.答案：C解析：如图，过点A作垂直准线于点，过点B作垂直准线于点，设抛物线焦点为F，则，直线过点F.由抛物线定义得，所以，所以是直角三角形，且，所以的外接圆的直径是，设点，联立，得，则，故选C.12.答案：D解析：如图，设外接圆的半径为r，圆心为，连接，已知外接圆的面积为，故，所以，当为正三角形（的面积最大），且P，O，三点共线时，三棱锥的体积最大，在中，由正弦定理知，所以，所以.因为，所以，连接，在中，由，得，所以球O的体积为，故选D.二、填空题13.答案：解析：因为，所以，故，所以函数在点处的切线方程为.14.答案：98解析：由题意知，当时，当时，.15.答案：解析：圆内部及圆上的整数点有
9、，共13个，满足的点有，共7个，则点P的坐标满足的概率为.16.答案：解析：设，则函数有2个不同零点，即函数与有2个不同交点，当时，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，作出函数的大致图象如图所示，根据图象可知，实数m的取值范围是.三、解答题17.解析：（1）在中，由正弦定理及，得， .3分又，.，.6分（2）角B是的内角，.又，解得.9分在中，由余弦定理得，解得.12分18.解析：（1）由表得， 2分. 4分将点代入回归直线方程可得，解得，回归直线方程为.当时，预测2022年的高考成绩为511.2分. 6分（2）记“从5次考试成绩中选出3次成绩”为事件A，则事件A的情况有，共10种情况，8
10、分其中2次成绩都大于500分情况有，共3种情况，10分所求的概率.12分19.解析：（1）在矩形ABCD中，可得，所以，即.2分连接BD.又点M是PD的中点，可得，所以，即.又，所以平面ABCD.5分（2）因为，所以平面PAD.又，所以平面PAD.因为平面PAD，所以.8分设点A到平面MCD的距离为h，因为，所以，解得，11分即点A到平面MCD的距离为.12分20.解析：（1）设.由椭圆的定义可知，的周长为，故.直线的方程为，与联立可得点，2分的面积为，即，解得或(舍)，则，椭圆E的标准方程为.5分（2）联立，消去y得，.由（1）可知，设，则，7分，9分.由得，故，解得或(舍)，当时，恒成立.
11、12分21.解析：（1）因为，所以.3分因为，所以在上，由，解得.当时，为增函数；当时，为减函数.5分（2）由（1）知，当时，在上为增函数，在上为减函数.因为，所以，故，7分所以，所以.9分设，所以在上为减函数.又，所以，所以.12分22.解析：（1）由题易得曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为，2分-可得直线l的方程为.到直线l的距离，曲线与曲线的公共弦长为.5分（2）由条件可得l的参数方程为（t为参数），代入，并整理可得.7分设A，B对应的参数分别为，则，.10分23.解析：（1）由得.当时，不等式为，解得，故；当时，不等式为，解得，故；当时，不等式为，解得，故.综上可知，不等式的解集为.5分（2）由可得.7分又，当且仅当，即时，等号成立，满足的实数x的取值范围为.10分