1、 2022 年陕西省渭南市富平县中考数学一模试卷年陕西省渭南市富平县中考数学一模试卷 一、选择题（共一、选择题（共 7 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 21 分分.每小题只有一个选项是符合题目要求的）每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1 （3 分）下列实数是无理数的是（ ） A B0 C9 D12 2 （3 分）如图所示的圆柱的左视图是（ ） A B C D 3 （3 分）国家卫健委数据显示，截至 2022 年 3 月 10 日，31 个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗 3180060000 剂次将数据 3180060000 用科学记数法表示为（
2、） A3.180061010 B3.18006109 C31800.6105 D318006104 4 （3 分）将一副三角板（A30，E45）按如图所示方式摆放，使得 ACEF，则DOB 等于（ ） A75 B105 C60 D90 5 （3 分）已知点 A（2，y1）和点 B（a，y2）在一次函数 y3xb 的图象上，且 y1y2，则 a 的值可能是（ ） A3 B0 C1 D2 6（3 分） 如图， 点 A， B， C 在O 上， 四边形 OABC 是平行四边形， 若对角线 AC23， 则的长为 （ ） A32 B53 C43 D433 7 （3 分） 点 P （m， n） 在以 y 轴
3、为对称轴的二次函数 yx2+ax+4 的图象上 则 mn 的最大值等于 （ ） A154 B4 C154 D174 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 18 分）分） 8 （3 分）计算： （a0）2022 9 （3 分）过十边形的一个顶点，可以引出对角线的条数为 10 （3 分） 如图是 “赵爽弦图” ， ABH， BCG， CDF 和DAE 是四个全等的直角三角形， 四边形 ABCD和 EFGH 都是正方形，如果 AB15，且 AH：AE3：4，那么DFC 周长等于 11 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC4，BAC120，AD 是ABC 的中
4、线，AE 是BAD 的平分线，过点 D 作 DFAB 交 AE 的延长线于点 F，则 DF 的长为 12（3 分） 已知反比例函数y= 6的图象上有两点A （x1， y1） ， B （x2， y2） 若 x1y23， 则 x2y1的值为 13 （3 分）如图，点 O 是平行四边形 ABCD 的对称中心，点 E、F 分别为边 BC、AD 上任意一点，且 O、E、F 三点在一条直线上，连接 AO，BO，EO，FO若 AB4，BC6，ABC60，则图中阴影部分的面积是 三、解答题（共三、解答题（共 14 小题，计小题，计 81 分分.解答应写出过程）解答应写出过程） 14 （4 分）计算： （13）
5、23 27 +|3| 15 （4 分）化简： （2x3） （2x+3）（2x1）2 16 （4 分）解一元一次不等式组：3 25+43 17 （4 分）如图，在ABC 中，DE 垂直平分 BC请用尺规作图法，在线段 DE 上求作一点 P，使点 P 到线段 AB、BC 的距离相等 （保留作图痕迹，不写作法） 18 （4 分）解方程：32+1=22 19 （5 分）如图，点 C、E、F、B 在同一条直线上，CEBF，ABDC，ABDC求证：AD 20 （5 分）近期某高校为保护学生和教师的健康，进行了“抗疫物资”储备，用 19000 元购进甲、乙两种医用口罩共计 900 盒，且甲、乙两种口罩的售价
6、分别是 20 元/盒，25 元/盒求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？ 21 （5 分）第二十四届冬奥会于 2022 年 2 月 20 日在北京闭幕，北京成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市如图，是四张关于冬奥会运动项目的卡片，卡片的正面分别印有 A “花样滑冰” 、 B“高山滑雪” 、 C“单板滑雪大跳台” 、 D“钢架雪车”（这四张卡片除正面图案外， 其余都相同） 将这四张卡片背面朝上，洗匀 （1）从中随机抽取一张，抽得的卡片恰好为“花样滑冰”的概率为 ； （2）若先从中随机抽取一张，记录这张卡片上图案的运动项目后放回，背面朝上，洗匀再从中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的
7、方法，求这两次抽取的卡片图案上是“单板滑雪大跳台”和“钢架雪车”运动项目的概率 22 （6 分）本学期开学后，某校为了激发学生进行体育活动的积极性，提高学生身体素质，对九年级学生进行了 1 分钟“跳绳”项目摸底测试，同时统计了每个人的跳绳个数（设为 x） 现在将这些同学中女生的测试结果随机抽取若干个成绩进行分析， 分为四个等级： A 优秀 （x170） 、 B 良好 （145x169） 、C及格（120 x144）和 D不及格（x119） ，并将统计结果绘制成如图两幅不完整的统计 图 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）补全如图的条形统计图和扇形统计图； （2）被测试女生 1 分钟“跳绳”
8、个数的中位数落在 等级； （3）如果该校九年级现有女生 500 人，请估计该校九年级女生中 1 分钟“跳绳”个数达到优秀的人数 23 （7 分）风筝起源于春秋战国时期，至今已有两千多年星期日，小明（A）与小丽（B）两人来到广阔的草原，一前一后在水平地面 AD 上放风筝，结果风筝在空中 C 处纠缠在一起，如图所示，测得CAD30，CBD60，且小丽、小明之间的距离 AB20m，求此时风筝 C 处距离地面的高度 （参考数据：3 1.732，结果保留一位小数） 24 （7 分）某年级 430 名师生秋游，计划租用 8 辆客车，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载
9、客量（座/辆） 60 45 租金（元/辆） 550 450 （1）设租用甲种客车 x 辆，租车总费用为 y 元求出 y（元）与 x（辆）之间的函数表达式； （2）当甲种客车有多少辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是多少元？ 25 （8 分）如图，已知直线 PA 交O 于 A、B 两点，AE 是O 的直径，点 C 为O 上一点，且 AC 平分PAE （1）过点 C 作O 的切线交 BP 于点 D，求证：CDPA； （2）若O 的半径为 5，AB6，求 BD 的长 26 （8 分）如图，抛物线 yax2+5x+c 交 x 轴于点 A（1，0） 、B，交 y 轴于点 C（0，4
10、） （1）求该抛物线的表达式； （2）若 P 是抛物线上 x 轴上方的一动点，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M是否存在 P 点，使得以 A，P，M 为顶点的三角形与OBC 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 27 （10 分） 【问题提出】 （1）如图，点 A 为线段 BC 外一动点，且 BCa，ABb，则线段 AC 的最大值为 ； （用含 a，b 的式子表示） 【问题探究】 （2）如图，点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC6，AB3，分别以 AB，AC 为边，作等边三角形 ABD和等边三角形 ACE，连接 CD，BE，找出图中与 BE 相等的线段，请说明
11、理由，并求出线段 BE 长的最大值； 【问题解决】 （3）如图，某市区有一块空地，为了美化环境，计划设计一个不规则的四边形景观区域 ABCD根据实际情况，要求 ABAD，BAD60，且对角线 BDCD 于点 D，为尽量增加游客观赏时间、提高观赏体验感，计划在景观区域内部沿对角线 AC 修一条小道已知 BC40m，求 AC 的最大值 2022 年陕西省渭南市富平县中考数学一模试卷年陕西省渭南市富平县中考数学一模试卷 答案与解析答案与解析 一、选择题（共一、选择题（共 7 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 21 分分.每小题只有一个选项是符合题目要求的）每小题只有一个选项是符合题目要求的
12、） 1 （3 分）下列实数是无理数的是（ ） A B0 C9 D12 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数由此即可判定选择项 【解答】解： 是无理数， 0，9 =3，12是有理数， 故选：A 2 （3 分）如图所示的圆柱的左视图是（ ） A B C D 【分析】找到从左面看所得到的图形即可 【解答】解：此圆柱的左视图是一个矩形， 故选：C 3 （3 分）国家卫健委数据显示，截至 2022 年 3 月 10 日，31 个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠
13、病毒疫苗 3180060000 剂次将数据 3180060000 用科学记数法表示为（ ） A3.180061010 B3.18006109 C31800.6105 D318006104 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正整数，当原数绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：31800600003.18006109 故选：B 4 （3 分）将一副三角板（A30，E45）按如图所示方式摆放，使得 ACEF，则DOB 等于（ ） A7
14、5 B105 C60 D90 【分析】依据 ACEF，即可得FBAA30，由FE45，利用三角形外角性质，即可得到DOBFBA+F，进而可求解 【解答】解：ACEF，A30， FBAA30 FE45， DOBFBA+F30+4575 故选：A 5 （3 分）已知点 A（2，y1）和点 B（a，y2）在一次函数 y3xb 的图象上，且 y1y2，则 a 的值可能是（ ） A3 B0 C1 D2 【分析】由 k30，利用一次函数的性质可得出 y 随 x 的增大而减小，结合 y1y2，即可得出 a2，再对照四个选项即可得出结论 【解答】解：k30， y 随 x 的增大而减小， 又点 A（2，y1）和
15、点 B（a，y2）均在一次函数 y3xb 的图象上，且 y1y2， a2， a 的可能值是 3 故选：A 6（3 分） 如图， 点 A， B， C 在O 上， 四边形 OABC 是平行四边形， 若对角线 AC23， 则的长为 （ ） A32 B53 C43 D433 【分析】根据平行四边形的性质和 OCOA 得出四边形 OABC 是菱形，再根据垂径定理和三角函数求出圆心角和半径，即可求出答案 【解答】解：连接 OB，交 AC 于 D， 四边形 OABC 是平行四边形，OCOA， 四边形 OABC 是菱形，OBAC， OAOBBC， OAB 是等边三角形，AOB60， 在 RtOAD 中，AD=
16、12AC= 3， OA=60=2， 的长是1202180=43 故选：C 7 （3 分） 点 P （m， n） 在以 y 轴为对称轴的二次函数 yx2+ax+4 的图象上 则 mn 的最大值等于 （ ） A154 B4 C154 D174 【分析】根据题意，可以得到 a 的值，m 和 n 的关系，然后将 m、n 作差，利用二次函数的性质，即可得到 mn 的最大值，本题得以解决 【解答】解：点 P（m，n）在以 y 轴为对称轴的二次函数 yx2+ax+4 的图象上， a0， nm2+4， mnm（m2+4）m2+m4（m12）2154， 当 m=12时，mn 取得最大值，此时 mn= 154，
17、故选：C 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 18 分）分） 8 （3 分）计算： （a0）2022 1 【分析】根据零指数幂，幂的乘方的法则进行求解即可 【解答】解： （a0）2022（1）20221 故答案为：1 9 （3 分）过十边形的一个顶点，可以引出对角线的条数为 7 【分析】n 边形从一个顶点出发可引出（n3）条对角线，由此可得出 m 的值 【解答】解：由题意得，103m7 故答案为：7 10 （3 分） 如图是 “赵爽弦图” ， ABH， BCG， CDF 和DAE 是四个全等的直角三角形， 四边形 ABCD和 EFGH 都是正方形，如果
18、 AB15，且 AH：AE3：4，那么DFC 周长等于 36 【分析】由 AH：AE3：4，设 AH3x，则 AH4x，因ABH，BCG，CDF 和DAE 是四个全等的直角三角形，所以 BH4x，利用勾股定理，可以得到 AB5x15，从而可以求解 x，求出ABH 的周长，根据全等性质，可以求出DFC 的周长 【解答】解：设 AH3x， AH：AE3：4， AE4x， ADEBAH， BHAE4x， 在 RtABH 中， = 2+ 2=5x， AB15， 5x15， x3， ABH 的周长为：3x+4x+5x12x36， ABHCDF， DFC 的周长为 36， 故答案为：36 11 （3 分）
19、如图，在ABC 中，ABAC4，BAC120，AD 是ABC 的中线，AE 是BAD 的平分线，过点 D 作 DFAB 交 AE 的延长线于点 F，则 DF 的长为 2 【分析】 根据等腰三角形三线合一的性质可得到 ADBC， BADCAD， 从而可得到BAD60，ADB90，再根据角平分线的性质即可得到DAEEAB30，从而可推出 ADDF，根据直角三角形 30 度角的性质即可求得 AD 的长，即得到了 DF 的长 【解答】解：ABC 是等腰三角形，D 为底边的中点， ADBC，BADCAD， BAC120， BAD60，ADB90， AE 是BAD 的角平分线， DAEEAB30， DFA
20、B， FBAE30， DAFF30， ADDF， AB6，B30， AD=12AB2， DF2， 故答案为：2 12 （3 分）已知反比例函数 y= 6的图象上有两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 若 x1y23，则 x2y1的值为 12 【分析】根据反比例函数系数 kxy 得到 x1y1x2y26，再由 x1y23，得到12=63=2，即可得到 y12y2，从而得到 x2y12x2y22（6）12 【解答】解：反比例函数 y= 6的图象上有两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， x1y1x2y26， x1y23， 12=63=2， y12y2， x2y12x2y22（6）12
21、， 故答案为：12 13 （3 分）如图，点 O 是平行四边形 ABCD 的对称中心，点 E、F 分别为边 BC、AD 上任意一点，且 O、E、F 三点在一条直线上，连接 AO，BO，EO，FO若 AB4，BC6，ABC60，则图中阴影部分的面积是 33 【分析】 连接CO， 过A作AHBC于 H， 依据点O是平行四边形 ABCD的对称中心， 即可得到 SBOC=12SABC，再根据AOFCOE（SAS） ，即可得到 SAOFSCOE，进而得出 S阴影部分SBOC33 【解答】解：如图所示，连接 CO，过 A 作 AHBC 于 H， AB4，ABC60，AHB90， BAH30，BH=12AB
22、2， AH23， SABC=12BCAH=12 6 23 =63， 又点 O 是平行四边形 ABCD 的对称中心， O 是 AC 的中点， SBOC=12SABC=1263 = 33， 点 O 是平行四边形 ABCD 的对称中心，且 O、E、F 三点在一条直线上， AOCO，FOEO，AOFCOE， AOFCOE（SAS） ， SAOFSCOE， S阴影部分SBOC33， 故答案为：33 三、解答题（共三、解答题（共 14 小题，计小题，计 81 分分.解答应写出过程）解答应写出过程） 14 （4 分）计算： （13）23 27 +|3| 【分析】先计算负整数指数幂、二次根式和绝对值，后计算加
23、减 【解答】解： （13）23 27 +|3| 99+3 3 15 （4 分）化简： （2x3） （2x+3）（2x1）2 【分析】先利用平方差公式与完全平方公式分别计算乘法与乘方，再去括号、合并同类项即可 【解答】解： （2x3） （2x+3）（2x1）2 （4x29）（4x24x+1） 4x294x2+4x1 4x10 16 （4 分）解一元一次不等式组：3 25+43 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 32x5，得：x1， 解不等式+43x，得：x2， 则不等式组的解集为1x2 17
24、（4 分）如图，在ABC 中，DE 垂直平分 BC请用尺规作图法，在线段 DE 上求作一点 P，使点 P 到线段 AB、BC 的距离相等 （保留作图痕迹，不写作法） 【分析】作ABC 的角平分线交 DE 于点 P，点 P 即为所求 【解答】解：如图，点 P 即为所求 18 （4 分）解方程：32+1=22 【分析】去分母将分式方程转化为整式方程，求出解再检验即可 【解答】解：去分母得：x3+x22， 移项，合并同类项得：2x3， 解得 x1.5 检验：当 x1.5 时，x20， x1.5 是原分式方程的解 19 （5 分）如图，点 C、E、F、B 在同一条直线上，CEBF，ABDC，ABDC求
25、证：AD 【分析】先由 CEBF 推导出 BECF，再由 ABDC 证明BC，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明ABEDCF，再根据全等三角形的对应角相等证明AD 【解答】证明：如图，CEBF， CE+EFBF+EF， BECF， ABDC， BC， 在ABE 和DCF 中， = = = ， ABEDCF（SAS） ， AD 20 （5 分）近期某高校为保护学生和教师的健康，进行了“抗疫物资”储备，用 19000 元购进甲、乙两种医用口罩共计 900 盒，且甲、乙两种口罩的售价分别是 20 元/盒，25 元/盒求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？ 【分析】设甲种口罩购进了 x 盒，乙种口罩
26、购进了 y 盒，由题意：用 19000 元购进甲、乙两种医用口罩共计 900 盒， 且甲、 乙两种口罩的售价分别是 20 元/盒， 25 元/盒 列出二元一次方程组， 解方程组即可 【解答】解：设甲种口罩购进了 x 盒，乙种口罩购进了 y 盒， 依题意得： + = 90020 + 25 = 19000， 解得： = 700 = 200， 答：甲种口罩购进了 700 盒，乙种口罩购进了 200 盒 21 （5 分）第二十四届冬奥会于 2022 年 2 月 20 日在北京闭幕，北京成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市如图，是四张关于冬奥会运动项目的卡片，卡片的正面分别印有 A “
27、花样滑冰” 、 B“高山滑雪” 、 C“单板滑雪大跳台” 、 D“钢架雪车”（这四张卡片除正面图案外， 其余都相同） 将这四张卡片背面朝上，洗匀 （1）从中随机抽取一张，抽得的卡片恰好为“花样滑冰”的概率为 14 ； （2）若先从中随机抽取一张，记录这张卡片上图案的运动项目后放回，背面朝上，洗匀再从中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法，求这两次抽取的卡片图案上是“单板滑雪大跳台”和“钢架雪车”运动项目的概率 【分析】 （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可 【解答】解： （1）从中随机抽取一张，抽得的卡片恰好为“花
28、样滑冰”的概率为14， 故答案为：14； （2）用列表法表示所有可能出现的结果如下： 共有 16 种能可能出现的结果情况，其中两次抽取的卡片图案上是“单板滑雪大跳台”和“钢架雪车”运动项目的有 2 种结果， 所以两次抽取的卡片图案上是“单板滑雪大跳台”和“钢架雪车”运动项目的概率为216=18 22 （6 分）本学期开学后，某校为了激发学生进行体育活动的积极性，提高学生身体素质，对九年级学生进行了 1 分钟“跳绳”项目摸底测试，同时统计了每个人的跳绳个数（设为 x） 现在将这些同学中女生的测试结果随机抽取若干个成绩进行分析， 分为四个等级： A 优秀 （x170） 、 B 良好 （145x16
29、9） 、C及格（120 x144）和 D不及格（x119） ，并将统计结果绘制成如图两幅不完整的统计图 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）补全如图的条形统计图和扇形统计图； （2）被测试女生 1 分钟“跳绳”个数的中位数落在 B 等级； （3）如果该校九年级现有女生 500 人，请估计该校九年级女生中 1 分钟“跳绳”个数达到优秀的人数 【分析】 （1）根据 A 等级的百分比和人数可得总人数，计算出 C 等级的人数和 B 等级的百分比可完成统计图； （2）根据中位数的定义即可得出答案； （3）根据 A 等级占 24%可得九年级达到优秀的人数 【解答】解： （1）总人数为 624%25（人
30、） ， C 等级人数为 2520%5（人） ， B 等级所占百分比为1225100%48%， 补图如下： （2）共有 25 个人，6+1218， 中位数落在 B 等级， 故答案为：B； （3）50024%120（人） ， 即九年级女生中 1 分钟“跳绳”个数达到优秀的人数是 120 人 23 （7 分）风筝起源于春秋战国时期，至今已有两千多年星期日，小明（A）与小丽（B）两人来到广阔的草原，一前一后在水平地面 AD 上放风筝，结果风筝在空中 C 处纠缠在一起，如图所示，测得CAD30，CBD60，且小丽、小明之间的距离 AB20m，求此时风筝 C 处距离地面的高度 （参考数据：3 1.732，
31、结果保留一位小数） 【分析】过点 C 作 CEAD，垂足为 E，利用三角形的外角可证明 BABC，然后在 RtCBE 中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答 【解答】解：过点 C 作 CEAD，垂足为 E， CBD 是ABC 的一个外角， CBDCAD+ACB， CAD30，CBD60， ACBCBDCAD30， BABC20（米） ， 在 RtCBE 中，sinCBE=20， CE20sin602032=103 17.3（米） ， 此时风筝 C 处距离地面的高度为 17.3 米 24 （7 分）某年级 430 名师生秋游，计划租用 8 辆客车，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如
32、下表： 甲种客车 乙种客车 载客量（座/辆） 60 45 租金（元/辆） 550 450 （1）设租用甲种客车 x 辆，租车总费用为 y 元求出 y（元）与 x（辆）之间的函数表达式； （2）当甲种客车有多少辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是多少元？ 【分析】 （1）根据表格可以求出 y（元）与 x（辆）之间的函数表达式； （2）由表格中的数据可以得到甲乙两辆车的载客量应至少为 430 人，从而可以列出相应的不等式得到 x的值，因为 x 为整数，从而可以解答本题 【解答】解： （1）由题意，得： y550 x+450（8x） ， 化简，得 y100 x+3600， 即
33、y（元）与 x（辆）之间的函数表达式是 y100 x+3600； （2）由题意，得： 60 x+45（8x）430， 解得，x 423且 x 为整数， y100 x+3600， 1000， y 随 x 的增大而增大， x5 时，租车费用最少，最少为：y1005+36004100（元） ， 即当甲种客车有 5 辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是 4100 元 25 （8 分）如图，已知直线 PA 交O 于 A、B 两点，AE 是O 的直径，点 C 为O 上一点，且 AC 平分PAE （1）过点 C 作O 的切线交 BP 于点 D，求证：CDPA； （2）若O 的半径为 5
34、，AB6，求 BD 的长 【分析】 （1）连接 OC，证明 OC 与 AP 平行即可 （2）过点 O 作 OFAB 交 BP 于点 F，易证四边形 DCOF 为矩形， ，进而可求出 BD 的长 【解答】 （1）证明：如图，连接 OC， OAOC， OCAOAC， AC 平分PAE， DACCAO， DACOCA， PAOC， OC 为O 的半径，CD 为O 的切线， OCCD， CDPA （2）如图，过点 O 作 OFAB 交 BP 于点 F， AFBF=12AB，OFD90， 由（1）可知OCDCDA90， 四边形 DCOF 为矩形， DFOCOA，DFCD， BDDF+BFOA+12 =5
35、+12 6 =8 26 （8 分）如图，抛物线 yax2+5x+c 交 x 轴于点 A（1，0） 、B，交 y 轴于点 C（0，4） （1）求该抛物线的表达式； （2）若 P 是抛物线上 x 轴上方的一动点，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M是否存在 P 点，使得以 A，P，M 为顶点的三角形与OBC 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）用待定系数法即得抛物线的表达式为 yx2+5x4； （2）过 P 作 PMx 轴于 M，在 yx2+5x4 中，可得 B（4，0） ，从而 OBOC4，OA1，BOC90，OBCOCB45，设 P（t，t2+5t
36、4） ，则 M（t，0） ，PMA90，根据以 A，P，M 为顶点的三角形与OBC 相似，知 AMPM，即 t1t2+5t4，即可解得答案 【解答】解： （1）把 A（1，0） 、C（0，4）代入 yax2+5x+c 得： + 5 + = 0 = 4， 解得 = 1 = 4， 抛物线的表达式为 yx2+5x4； （2）存在 P 点，使得以 A，P，M 为顶点的三角形与OBC 相似，理由如下： 过 P 作 PMx 轴于 M，如图： 在 yx2+5x4 中，令 y0 得x2+5x40， 解得 x1 或 x4， B（4，0） ， OBOC4，OA1，BOC90，OBCOCB45， 由 P 是抛物线上
37、 x 轴上方的一动点，设 P（t，t2+5t4） ， 则 M（t，0） ，PMA90， 以 A，P，M 为顶点的三角形与OBC 相似， AMPM，即 t1t2+5t4， 解得 t1（舍去）或 t3， 当 t3 时，t2+5t432+5342， P（3，2） 答：存在 P 点，使得以 A，P，M 为顶点的三角形与OBC 相似，P 的坐标是（3，2） 27 （10 分） 【问题提出】 （1）如图，点 A 为线段 BC 外一动点，且 BCa，ABb，则线段 AC 的最大值为 a+b ； （用含 a，b 的式子表示） 【问题探究】 （2）如图，点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC6，AB3，分别以
38、 AB，AC 为边，作等边三角形 ABD和等边三角形 ACE，连接 CD，BE，找出图中与 BE 相等的线段，请说明理由，并求出线段 BE 长的最大值； 【问题解决】 （3）如图，某市区有一块空地，为了美化环境，计划设计一个不规则的四边形景观区域 ABCD根据实际情况，要求 ABAD，BAD60，且对角线 BDCD 于点 D，为尽量增加游客观赏时间、提高观赏体验感，计划在景观区域内部沿对角线 AC 修一条小道已知 BC40m，求 AC 的最大值 【分析】 （1）根据点 A 位于 CB 的延长线上时，线段 AC 的长取得最大值，即可得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到 ADAB，ACAE，
39、BADCAE60，推出CADEAB，根据全等三角形的性质得到 CDBE；由于线段 BE 长的最大值线段 CD 的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果； （3）以 BC 为边作等边三角形BCM，由ABCDBM，推出 ACMD，推出欲求 AC 的最大值，只要求出 DM 的最大值即可， 由 BC40m定值， BDC90， 推出点 D 在以 BC 为直径的O 上运动，由图象可知，当点 D 在 BC 上方，点 D，点 O，点 M 共线时，DM 的值最大 【解答】解： （1）点 A 为线段 BC 外一动点，且 BCa，ABb， 当点 A 位于 CB 的延长线上时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为
40、BC+ABa+b， 故答案为：a+b； （2）CDBE， 理由：ABD 与ACE 是等边三角形， ADAB，ACAE，BADCAE60， BAD+BACCAE+BAC， 即CADEAB， 在CAD 与EAB 中， = = = ， CADEAB（SAS） ， CDBE； 线段 BE 长的最大值线段 CD 的最大值， 由（1）知，当线段 CD 的长取得最大值时，点 D 在 CB 的延长线上， BE 的最大值为 BD+BCAB+BC3+69； （3）如图，以 BC 为边作等边三角形BCM， ABDCBM60， ABCDBM， ABDB，BCBM， ABCDBM（SAS） ， ACMD， 欲求 AC 的最大值，只要求出 DM 的最大值即可， BC40m定值，BDC90， 点 D 在以 BC 为直径的O 上运动， 由图象可知，当点 D 在 BC 上方，点 D，点 O，点 M 共线时，DM 的值最大，最大值为 20（3 +1）m， AC 的最大值为 20（3 +1）m