1、北京市朝阳区2022届高三一模数学试卷第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1）已知集合，集合，则（ ）（A）（B）（C）（D）（2）直线被圆截得的弦长为（ ）（A）1（B）（C）2（D）（3）已知平面向量，满足，且与的夹角为，则（ ）（A）（B）（C）（D）3（4）设，若，则（ ）（A）（B）（C）（D）（5）已知函数若，则实数的值为（ ）（A）（B）（C）1（D）2（6）已知，则“”是“”的（ ）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）已知三棱锥，
2、现有质点从点出发沿棱移动，规定质点从一个顶点沿棱移动到另一个顶点为1次移动，则该质点经过3次移动后返回到点的不同路径的种数为（ ）（A）3（B）6（C）9（D）12（8）已知数列，若存在一个正整数使得对任意，都有，则称为数列的周期若四个数列分别满足：（ ），；，；，；，则上述数列中，8为其周期的个数是（A）1（B）2（C）3（D）4（9）如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角
3、坐标系，设，则双曲线的方程近似为（ ）（参考数据：，）（A）（B）（C）（D）（10）在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，两两垂直，（单位：），小明同学计划通过侧面内任意一点将木块锯开，使截面平行于直线和，则该截面面积（单位：）的最大值是（ ）（A）（B）（C）（D）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡上（11）计算复数_（12）已知数列是首项为3，公比为的等比数列，是其前项的和，若，则_；_（13）已知直线和是曲线的相邻的两条对称轴，则满足条件的一个的值是_（14）某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角
4、形绿地，其中在上，垂足为，垂足为，设，则_（用表示）；当在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是_（15）在平面直线坐标系中，设抛物线：的焦点为，直线：与抛物线交于点，且点在轴上方，过点作抛物线的切线与抛物线的准线交于点，与轴交于点给出下列四个结论：的面积是；点的坐标是；在轴上存在点使；以为直径的圆与轴的负半轴交于点，则其中所有正确结论的序号是_三、解答题：本大题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（16）（本小题13分）在中，（）求；（）再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积条件：；条件：；条件：注：如果选择的条件不符合要求，第（）问得
5、0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分（17）（本小题13分）某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图：（）若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；（）在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用表示其成绩在中的人数，求的分布列及数学期望；（）在（）抽取的3人中，用表示其成绩在的人数，试判断方差与的大小（直接写结果）（18）（本小题14分）如图1，在四边形中，分
6、别是，上的点，将沿折起到的位置，得到五棱锥，如图2（）求证：平面；（）若平面平面，（）求二面角的余弦值；（）对线段上任意一点，求证：直线与平面相交（19）（本小题15分）已知，（）若曲线在点处的切线与轴重合，求的值；（）若函数在区间上存在极值，求的取值范围；（）设，在（）的条件下，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由（20）（本小题15分）已知椭圆：的一个焦点为，且过点（）求椭圆的方程和离心率；（）过点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值（21）（本小题15分）对非空数集，定义与的和集对任意有限集，记为集合中元素的个数（）若集合，写
7、出集合与；（）若集合满足，且，求证：数列，是等差数列；（）设集合满足，且，集合（，），求证：存在集合满足且北京市朝阳区2022届高三一模数学试卷参考答案一、选择题：（本题满分40分）题号12345678910答案DBACCABBAB二、填空题：（本题满分25分）题号1112131415答案（答案不唯一）三、解答题：（本题满分85分）（16）（本小题13分）解：（）因为，由正弦定理，得，即因为，所以所以所以.所以所以所以6分（）选条件：由正弦定理，及，得，所以因为，所以，所以所以所以13分选条件：由余弦定理，及，得，解得所以所以13分（17）（本小题13分）解：（）由题意得，解得因为，所以估计全
8、校学生的平均成绩为72.64分（）的所有可能取值为0，1，2，3，所以X的分布列为0123所以X的数学期望为10分（）13分（18）（本小题14分）解：（）因为，所以所以，又因为平面，平面，所以平面4分（）（i）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面因为平面，所以又因为，如图建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则即令，则，所以由（I）可知，平面，所以平面的一个法向量是所以由题可知，二面角为锐角，其余弦值为10分（ii）设是线段上一点，设则解得，所以因为，所以所以直线与平面相交14分（19）（本小题15分）解：（），因为曲线在点处的切线与轴重合，所以所以, 经检验符合题意.4分（
9、）当时，函数在区间上单调递增，所以在区间上无极值所以不合题意当时，令，解得当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递减所以当时，函数取得极大值令，解得所以的取值范围是10分（）由题可知，则令，即，解得因为，则，所以当，所以函数在区间上单调递减15分（20）（本小题15分）解：（）由已知得半焦距，因为椭圆过点，由椭圆定义得，所以又因为，所以所以椭圆方程为离心率5分（）依题可设直线由得令，得或设，则，所以由题得，则则15分（21）（本小题15分）解：（），4分（）因为，所以中至少包含个元素，所以因为，由题得，又因为是整数，所以所以所以中的所有元素为又因为是中的个元素，且，所以（），即（），所以所以数列是等差数列9分（）因为，所以设，其中，设是首项为，公差为的等差数列，即，令集合，则所以，即因为，所以所以15分