1、扬州市高邮市二校联考2020-2021学年高一下期中模拟数学试题第卷（选择题共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1. 复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. A. B. C. D. 3. 在中，若，则（ ）A. B. C. D. 4. 在边长为3的等边三角形中，则（ ）A. B. C. D. 5. 若是锐角三角形的三边长，则a的取值范围是（ ）A B. C. D. 6. 函数的最小正周期为（ ）A. B. C. D. 7. 已知，则（ ）A. B. -2C.
2、 D. 28. 如图所示，是附中校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像高度，在学校教学楼(高为)与雕像之间的地面上的点M处(B，M，D三点共线)测得楼顶A及雕像顶C的仰角分别是和，在楼顶A处又测得雕塑顶C的仰角为，假设和点M在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分9. 下列各式中，值为的是（ ）A. B. C. D. 10. 已知，则以下结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 最小值为11. 在中
3、，a，b，c分别为，的对边，下列叙述正确的是（ ）A. 若，则为等腰三角形B. 若，则为等腰三角形C. 若，则为钝角三角形D. 若，则12. 如图所示，在凸四边形ABCD中，对边BC，AD的延长线交于点E，对边AB，DC的延长线交于点F，若，则（ ）A. B. C. 的最大值为1D. 第卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 在中，若满足，的三角形有两个，则实数x的取值范围为_14 已知，则_15. 如图，在中，点在线段上移动(不含端点)，若，则_，的最小值是_.16. 在锐角中，则的取值范围为_.四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明
4、过程或演算步骤17. 已知复数：当m取何值时复数是：（1）实数；（2）纯虚数；（3）.18. 在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(1，0)，且AOCx，其中O为坐标原点（1）若，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；（2）若x，向量，(1cos x，sin x2cos x)，求的最小值及对应的x值19. 如图，在菱形ABCD中，（1）若，求的值；（2）若，求（3）若菱形ABCD的边长为6，求的取值范围20. 在，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.已知中，分别为内角，的对边，_，求角及的面积.21 已知函数（1）求函数的单调递增区间（2）若锐角三角形ABC中，角A
5、、B、C的对边分别为a，b，c，且，求面积S的取值范围22. 如图，长方形材料中，已知，.点为材料内部一点，于，于，且，. 现要在长方形材料中裁剪出四边形材料，满足，点、分别在边，上.（1）设，试将四边形材料的面积表示为的函数，并指明的取值范围；（2）试确定点在上的位置，使得四边形材料的面积最小，并求出其最小值.扬州市高邮市二校联考2020-2021学年高一下期中模拟数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1. 复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】
6、【分析】利用复数除法运算化简求得再分析即可.【详解】.故在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的除法运算与复平面的理解,属于基础题型.2. A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式以及平方关系，二倍角的正弦公式即可求解.【详解】故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，主要是利用诱导公式以及平方关系，二倍角的正弦公式来求解.3. 在中，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用正弦定理即可.【详解】在中，由正弦定理：，即，解得：.故选：B4. 在边长为3的等边三角形中，则（ ）A B. C. D. 【答案】
7、C【解析】【分析】由向量的数量积计算【详解】，故选：C5. 若是锐角三角形的三边长，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据大边对大角，只需边长对应的角为锐角，由余弦定理即可求出.【详解】因为三角形是锐角三角形,所以最大边长对应的角为锐角，设该角为,所以,即,解得或（舍去）.故选：C.6. 函数的最小正周期为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期等于 ，可求得的最小正周期.，得出结论【详解】解:函数 ，其最小正周期为故选:C【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，属于基
8、础题7. 已知，则（ ）A. B. -2C. D. 2【答案】B【解析】【分析】将表达式中的正切化为正、余弦，由，求出，即可得出结论.【详解】由，可得，.故选：B【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、半角公式，需熟记公式，属于基础题.8. 如图所示，是附中校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼(高为)与雕像之间的地面上的点M处(B，M，D三点共线)测得楼顶A及雕像顶C的仰角分别是和，在楼顶A处又测得雕塑顶C的仰角为，假设和点M在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由锐角三角函数及正弦定理逐步运算即可得解.【详解
9、】在中，,在中，由正弦定理得，；在中，.故选：D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分9. 下列各式中，值为的是（ ）A B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】由二倍角公式计算可得【详解】；故选：AC10. 已知，则以下结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 的最小值为【答案】BD【解析】【分析】由，得出，进而可判断出A选项的正误；验证与之间的等量关系，可判断B选项的正误；由得出，可判断出C选项的正误；由向量模的三角不等式可判断D选项的正误.【详解】，则.
10、对于A选项，若，则，所以，或，A选项错误；对于B选项，若，则，则，B选项正确；对于C选项，若，且，则，或，C选项错误；对于D选项，由向量模的三角不等式可得，D选项正确.故选：BD.【点睛】本题考查与平面向量相关命题真假的判断，考查了向量模的三角不等式、单位向量的坐标运算以及利用向量垂直的表示的应用，考查计算能力，属于基础题.11. 在中，a，b，c分别为，的对边，下列叙述正确的是（ ）A. 若，则为等腰三角形B. 若，则为等腰三角形C. 若，则为钝角三角形D. 若，则【答案】ACD【解析】【分析】多项选择题，一个一个选项验证：对于A：利用正弦定理判断，在三角形中只能A=B,即可判断；对于B：由
11、正弦定理得 ，可以判断为等腰三角形或直角三角形；对于C：利用三角函数化简得，利用判断必有一个小于0，即可判断；对于D：利用正弦定理判断得求出角.【详解】对于A：由正弦定理得：，而，A+B+C=，只能A=B,即为等腰三角形，故A正确；对于B：由正弦定理得：， 若可化为,即，或为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C：A+B+C=，.而必有一个小于0，为钝角三角形.故C正确；对于D：， 由正弦定理得：,即.故D正确.故选：ACD【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；(2)从式子结构来选择12. 如图所示，在凸四边形ABCD中，对
12、边BC，AD的延长线交于点E，对边AB，DC的延长线交于点F，若，则（ ）A. B. C. 的最大值为1D. 【答案】ABD【解析】【分析】选项A. 由，可得可判断；选项B. 过作交于点，所以,结合条件可判断；选项C. 由B结合均值不等式可判断；选项D. 由结合均值不等式可判断.【详解】选项A. 由，可得所以，故A正确 .选项B 过作交于点 所以, 由这两式可得由，则，所以，即，故B正确.选项C. 由B可得当且仅当,即时取得等号, 故C不正确.选项D. 由得,由，当且仅当,即时取得等号所以，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点睛：本题考查向量的线性运算共线等的应用，考查利用均值不等式求最值，解
13、答本题的关键是过作交于点，得到，属于中档题.第卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 在中，若满足，的三角形有两个，则实数x的取值范围为_【答案】【解析】【分析】利用正弦定理得得，因为满足条件的三角形有两个，所以，求解不等式即可【详解】由正弦定理得 得 因为满足条件的三角形有两个，所以 得 故答案为：14. 已知，则_【答案】【解析】【分析】利用诱导公式以及二倍角公式求解即可【详解】故答案为：15. 如图，在中，点在线段上移动(不含端点)，若，则_，的最小值是_.【答案】 . 2 . 【解析】【分析】根据题意，设，根据向量的线性运算，利用表示出，求出和，然后
14、直接求出2，利用配方法求得的最小值.【详解】由题可知，设，则，所以，而，可得：，所以，所以当时，取得最小值.故答案为：2；.【点睛】方法点睛：解决此类问题涉及的方法有：（1）共线向量之间的关系；（2）平面向量基本定理；（3）配方法求二次函数的最小值.16. 在锐角中，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】由已知结合余弦定理与正弦定理可得，再由锐角三角形可求出，化简整理，利用换元法结合对勾函数性质可求得结果.【详解】，利用余弦定理可得：，即，由正弦定理可得：，即，即又为锐角三角形，即，又，令，则由对勾函数性质知，在上单调递增，又，故答案为：【点睛】易错点睛：本题考查利用正弦定理余弦定理求范围
15、，解本题时要注意的事项：求角的范围时，是在为锐角三角形的前提下，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知复数：当m取何值时复数是：（1）实数；（2）纯虚数；（3）.【答案】（1）或；（2）0；（3）2【解析】【分析】（1）当且仅当虚部为0时，复数为实数；（2）当且仅当实部为0，虚部不为0时，复数为纯虚数；（3）当实部为2，虚部为5时，复数.【详解】（1）由为实数，所以，解得或，所以当或时为实数；（2）由为纯虚数，可得，即， 解得，所以当时为纯虚数； （3）由，所以，所以，解得 ，所以当时.【点睛】本题主要
16、考查复数的基本概念，深刻理解复数的概念是解题的关键.18. 在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(1，0)，且AOCx，其中O为坐标原点（1）若，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；（2）若x，向量，(1cos x，sin x2cos x)，求的最小值及对应的x值【答案】（1）；（2）的最小值为1 ，此时x【解析】【分析】（1）先求出坐标，利用模的定义和二次函数求最值即可；（2）把用坐标表示出来，利用三角函数求最值即可.【详解】（1）设D(t，0)(0t1)，由易知C， ，(0t1)，当t时，最小，为（2）由题意得C(cos x，sin x)，(cos x1，sin x)，则1cos
17、2xsin2x2sin xcos x1cos 2xsin 2x1sinx，2x，当2x，即x时，sin取最大值1，的最小值为1，此时x.【点睛】向量类问题的常用处理方法向量坐标化，利用坐标运算比较简单19. 如图，在菱形ABCD中，（1）若，求的值；（2）若，求（3）若菱形ABCD的边长为6，求的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由向量线性运算即可求得值；（2）先化，再结合（1）中关系即可求解；（3）由于，即可得，根据余弦值范围即可求得结果【详解】解：（1）因为，所以，所以，故（2），ABCD为菱形，即（3）因为，所以 的取值范围：【点睛】(1)应用平面向量基本定理表
18、示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决20. 在，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.已知中，分别为内角，的对边，_，求角及的面积.【答案】选择见解析；，.【解析】【分析】选择条件由正弦定理可得，求出角C,利用面积公式求解；选择条件由二倍角的余弦公式化简即可求解，三角形面积解法同；选择条件由正弦定理及余弦定理可求出，三角形面积解法同.【详解】选，因为，所以由正弦定理得，即，所以，因为，所以或.若，由，而，从而，矛盾，舍去
19、.故，接下来求面积.法一：设外接圆的半径为，则由正弦定理得，.法二：由（1）得，即，或，当时，又，由正弦定理得，当时，同理可得，故的面积为.选，因为，所以，即，所以或（舍），因为，所以.以下同解法同，选，由及正弦定理得，即，由余弦定理得，以下解法同.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角恒等变换，考查了运算能力，属于中档题.21. 已知函数（1）求函数的单调递增区间（2）若锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，求面积S的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换公式化简解析式得到，根据正弦函数单调性，列出不等式求解，即
20、可得出结果；（2）由（1）先求出，由正弦定理得：，再根据锐角三角形求出B的取值范围，进而求出c的取值范围，从而得到面积的取值范围.【详解】（1）由解得：，故函数的单调递增区间为（2），又，又，在中，由正弦定理得：，得又为锐角三角形，且，故，解得，即面积S的取值范围是：【点睛】易错点睛：本题考查利用正弦定理求三角形边长范围的最值，解本题时要注意的事项：求角的范围时，是在为锐角三角形的前提下，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.22. 如图，长方形材料中，已知，.点为材料内部一点，于，于，且，. 现要在长方形材料中裁剪出四边形材料，满足，点、分别在边，上.（1）设，试将四边形材料的面积表示
21、为的函数，并指明的取值范围；（2）试确定点在上的位置，使得四边形材料的面积最小，并求出其最小值.【答案】(1)见解析;(2)当时，四边形材料的面积最小，最小值为.【解析】【详解】分析：（1）通过直角三角形的边角关系，得出和，进而得出四边形材料的面积的表达式，再结合已知尺寸条件，确定角的范围. （2）根据正切的两角差公式和换元法，化简和整理函数表达式，最后由基本不等式，确定面积最小值及对应的点在上的位置.详解：解：（1）在直角中，因为，所以，所以，在直角中，因为，所以，所以，所以 ，.（2）因为 ，令，由，得，所以 ，当且仅当时，即时等号成立，此时，答：当时，四边形材料的面积最小，最小值为.点睛：本题考查三角函数的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意换元法和基本不等式的合理运用.换元法求函数的值域，通过引入新变量（辅助式，辅助函数等），把所有分散的已知条件联系起来，将已知条件和要求的结果结合起来，把隐藏在条件中的性质显现出来，或把繁琐的表达式简化，之后就可以利用各种常见的函数的图象和性质或基本不等式来解决问题.常见的换元方法有代数和三角代换两种.要特别注意原函数的自变量与新函数自变量之间的关系.