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江苏省扬州市邗江区二校联考2020-2021学年度高一下期中数学试卷(含答案解析)

1、扬州市邗江区二校联考扬州市邗江区二校联考 2020-2021 学年度高一下期中数学试卷学年度高一下期中数学试卷 一、单项选择题(共一、单项选择题(共 8 小题)小题). 1若(x21)+(x23x+2)i 是纯虚数(i 为虚数单位),则实数 x 的值为( ) A1 B1 C1 D以上都不对 2在ABC 中,若 acosAbcosB,则ABC 的形状是( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 3已知空间互不重合的三条直线 m,n,l,则“m,n,l 在同一平面内”是“m,n,l 两两相交”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不

2、必要条件 4已知向量 , 满足,则 , 的夹角为( ) A B C D 5已知,则( ) A1 B C1 D 6已知正方形 ABCD 的边长为 1,则( ) A5 B C25 D41 7已知长方体 ABCDA1B1C1D1中,AB4,BC2,点 P 为 BB1的中点,设平面 A1PC1ABE,平面A1PC1BCF,则线段 EF 的长度为( ) A B C D5 8 在ABC 中, AC1, ADBC, 垂足为 D, 且, 则当BAC 取最大值时, ABC 的周长为 ( ) A3 B C D 二、多项选择题:本题共二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。

3、在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 2 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分. 9下列各式中,值为的是( ) Asin72cos42cos72sin42 Bcos2sin2 C D2tan15cos215 10已知 , 为不同的平面,a,b,c 为不同的直线,则下列说法正确的是( ) A若 a,b,则 a 与 b 是异面直线 B若 AB 与 CD 是异面直线,则 AC 与 BD 也是异面直线 C若 ab,b 与 c 是异面直线,则 a 与 c 也是异面直线 D若 a,b 不同在任

4、何一个平面内,则 a 与 b 是异面直线 11设 , 是两个非零向量,下列结论中正确的是( ) A若,则 B若,则或 C若,则 D若,则存在实数 ,使得 12已知函数 f(x)sinnx+cosnx(nN*),则下列说法正确的是( ) A当 n1 时,直线是 f(x)图象的一条对称轴 B当 n4 时,函数 f(x)的最小正周期为 C当 n4 时,函数 f(x)在上单调递减 D当 n3 时,若,则函数 f(x)的值域为 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13已知向量,m 为实数,且 ,则 m 14已知轮船 A 和轮船 B 同时离开

5、 C 岛,A 船沿北偏东 30的方向航行,B 船沿正北方向航行若 A 船的航行速度为 15nmile/h,2h 后,B 船测得 A 船位于 B 船的北偏东 45的方向上,则此时 A,B 两船相距 nmile 15已知,则 2sin2+cos2 16已知复数 z 对应的点在复平面第四象限内,甲、乙、丙、丁四人对复数 z 的陈述如下(i 为虚数单位):甲:;乙:;丙:;丁:,在甲、乙、丙、丁四人陈述中,有且只有两个人的陈述正确,则复数 z 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17已知

6、 i 为虚数单位 (1)计算:; (2)若,求复数 z 18已知向量,xR,设函数 (1)若,求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)若,且,求 cos2 的值 19 如图, 在直三棱柱 ABCA1B1C1中, 侧棱与底面所有直线均垂直, 底面ABC 是边长为 4 的正三角形,侧棱长为 3,D,E 分别为棱 A1C1和 B1C1的中点 (1)试判断直线 AD 和 BE 的位置关系,并说明理由; (2)求异面直线 AB 和 CE 所成角的余弦值 20在;这三个条件中任选两个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求 a 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由 问题:是否存在ABC,它的内角

7、A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 c2,_,_? 21 如图, 风景区的形状是如图所示的扇形 ABC 区域, 其半径为 2 千米, 圆心角为 60, 点 P 在弧上 现欲在风景区中规划三条商业街道 PQ,PR,RQ,要求街道 PQ 与 AB 垂直(垂足 Q 在 AB 上),街道 PR与 AB 平行,交 AC 于点 R (1)如果 P 为弧的中点,求三条商业街道围成的PQR 的面积; (2)试求街道 RQ 长度的最小值 22 已知函数 f (x) sinxcos+cosxsin, g (x) coscosxsinxsin, , 是常数, xR, (1)若,判断 h(x)f(x)+g(x)

8、的奇偶性; 若,判别 h(x)f2(x)+g2(x)的奇偶性; (2)若,F(x)f(x)g(x)是偶函数,求 ; (3)请仿照问题(1)(2)提一个问题(3),使得所提问题或是(1)的推广或是问题(2)的推广,问题(1)或(2)是问题(3)的特例(不必证明命题) 参考答案参考答案 一、单项选择题(共一、单项选择题(共 8 小题)小题). 1若(x21)+(x23x+2)i 是纯虚数(i 为虚数单位),则实数 x 的值为( ) A1 B1 C1 D以上都不对 解:若(x21)+(x23x+2)i 是纯虚数, 则,解得:x1, 故选:A 2在ABC 中,若 acosAbcosB,则ABC 的形状

9、是( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 解:由正弦定理化简已知的等式得:sinAcosAsinBcosB, sin2Asin2B, sin2Asin2B,又 A 和 B 都为三角形的内角, 2A2B 或 2A+2B,即 AB 或 A+B, 则ABC 为等腰或直角三角形 故选:D 3已知空间互不重合的三条直线 m,n,l,则“m,n,l 在同一平面内”是“m,n,l 两两相交”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解:根据题意,若 m,n,l 在同一平面内,m、n、l 三条直线可以互相平行, 则“m,n,l 在同

10、一平面内”不是“m,n,l 两两相交”的充分条件; 反之,若 m,n,l 两两相交,m,n,l 可以不在同一平面内, 则“m,n,l 在同一平面内”不是“m,n,l 两两相交”的必要条件; 故“m,n,l 在同一平面内”是“m,n,l 两两相交”的既不充分也不必要条件 故选:D 4已知向量 , 满足,则 , 的夹角为( ) A B C D 解:, 设 , 的夹角为 ,则 cos, 因为 0, 所以 故选:B 5已知,则( ) A1 B C1 D 解:根据题意,即 sin+cossinsin+cos1, 变形可得:sin(+)1, 故选:A 6已知正方形 ABCD 的边长为 1,则( ) A5

11、B C25 D41 解: 如图, , 故选:B 7已知长方体 ABCDA1B1C1D1中,AB4,BC2,点 P 为 BB1的中点,设平面 A1PC1ABE,平面A1PC1BCF,则线段 EF 的长度为( ) A B C D5 解:因为平面 A1PC1ABE,平面 A1PC1BCF, 所以 A1P 与 AB 的交点即为点 E, 延长线 A1P 与 AB 的延长线交于点 E, 因为 AA1BP,且 P 为 BB1的中点, 所以 ABAE4, 同理可得 C1P 与 CB 的延长线交于点 F, 所以 BCBF2, 如图所示,连接 EF, 在长方体 ABCDA1B1C1D1中, ABCFBE90, 则

12、 EF2, 故选:C 8 在ABC 中, AC1, ADBC, 垂足为 D, 且, 则当BAC 取最大值时, ABC 的周长为 ( ) A3 B C D 解:根据题意,设|CD|a, 若,则 D 在线段 BC 之外,且|BD|3|CD|3a,如图: 又由 AC1,则|AD|21a2, 则|AB|2|BD|2+|AD|21+8a2,则|AB|, 则 cosBAC (+) , 又由+2,当且仅当 8a2+13,即 a时等号成立, 此时 cosBAC 取得最小值,BAC 取得最大值, 此时|BC|2a1,|AB|, ABC 的周长为 2+; 故选:C 二、多项选择题:本题共二、多项选择题:本题共 4

13、 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 2 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分. 9下列各式中,值为的是( ) Asin72cos42cos72sin42 Bcos2sin2 C D2tan15cos215 解:sin72cos42cos72sin42sin(7242)sin30,故 A 满足条件; ,故 B 不满足条件; tan45,故 C 满足条件; 2tan15cos2152sin15cos15sin30,故 D 满足条

14、件, 故选:ACD 10已知 , 为不同的平面,a,b,c 为不同的直线,则下列说法正确的是( ) A若 a,b,则 a 与 b 是异面直线 B若 AB 与 CD 是异面直线,则 AC 与 BD 也是异面直线 C若 ab,b 与 c 是异面直线,则 a 与 c 也是异面直线 D若 a,b 不同在任何一个平面内,则 a 与 b 是异面直线 解:对于 A,若 a,b,则 a 与 b 可能平行、可能相交、也可能异面,故 A 错误; 对于 B,若 AB 与 CD 是异面直线,则 AC 与 BD 也是异面直线,否则,若 AC 与 BD 共面,则 AB 与 CD共面,与已知矛盾,故 B 正确; 对于 C,

15、若 ab,b 与 c 是异面直线,则 a 与 c 相交或异面,故 C 错误; 对于 D,若 a,b 不同在任何一个平面内,由异面直线的定义可得,a 与 b 是异面直线,故 D 正确 故选:BD 11设 , 是两个非零向量,下列结论中正确的是( ) A若,则 B若,则或 C若,则 D若,则存在实数 ,使得 解:A, ,A 正确; B,得不出或,B 错误; C.,不共线时,仍可满足,却得不出,C 错误; D, , , 的夹角为 ,即共线, 存在实数 ,使得,D 正确 故选:AD 12已知函数 f(x)sinnx+cosnx(nN*),则下列说法正确的是( ) A当 n1 时,直线是 f(x)图象的

16、一条对称轴 B当 n4 时,函数 f(x)的最小正周期为 C当 n4 时,函数 f(x)在上单调递减 D当 n3 时,若,则函数 f(x)的值域为 解:函数 f(x)sinnx+cosnx(nN*), 对于 A:当 n1 时,函数 f(x)sinx+cosx,当 x时,f(),故 A 正确; 对于 B: 当 n4 时, 函数 f (x) sin4x+cos4x (sin2x+cos2x)22sin2xcos2x1, 所以函数的最小正周期为,故 B 正确; 对于 C:由于函数 f(x), 且满足,所以 4x0,故函数 f(x)在该区间上单调递减,故 C 正确; 对于 D:函数 f(x)sin3x

17、+cos3x(sinx+cosx)(1sinxcosx), 设 sinx+cosxt,由于,所以 t, f(t),故0,所以函数 f(t)在上单调递减, 故,f(t)maxf(1)1,故函数 f(x)的值域为,故 D 错误; 故选:ABC 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13已知向量,m 为实数,且 ,则 m 4 解:,且, m2(m2)0,解得 m4 故答案为:4 14已知轮船 A 和轮船 B 同时离开 C 岛,A 船沿北偏东 30的方向航行,B 船沿正北方向航行若 A 船的航行速度为 15nmile/h,2h 后,B 船测

18、得 A 船位于 B 船的北偏东 45的方向上,则此时 A,B 两船相距 nmile 解:由题意,ABC 中,AC15230nmile,C30,ABC135, 由正弦定理可得,AB15nmile 故答案为:15 15已知,则 2sin2+cos2 解:根据题意,则有2, 解可得 tan, 则 2sin2+cos2, 故答案为: 16已知复数 z 对应的点在复平面第四象限内,甲、乙、丙、丁四人对复数 z 的陈述如下(i 为虚数单位):甲:;乙:;丙:;丁:,在甲、乙、丙、丁四人陈述中,有且只有两个人的陈述正确,则复数 z 1+i 解:设 za+bi,则 abi, 甲:由2a,即 a1; 乙:由2b

19、i,即 b; 丙:由a2+b2; 丁:由得, 所以 a2+b22, 若 b,则 a2+32 显然不成立, 故丙丁不能同时成立,乙丁不能同时成立,且甲乙丙可以知二推一, 所以甲丁正确,此时 a1,b1,z1+i 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17已知 i 为虚数单位 (1)计算:; (2)若,求复数 z 解:(1) (2)设 za+bi(a,bR), 则由,得 a2+b2+2ai1i, 则 a2+b21 且 2a1,解得:a,b, 则或 18已知向量,xR,设函数 (1)若,

20、求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)若,且,求 cos2 的值 解:(1)因为向量, 则函数 , 若,则, 所以当,即 x0 时,; 当,即时,f(x)max1 (2)由,得, 因为,则,又, 所以, 则, 所以 19 如图, 在直三棱柱 ABCA1B1C1中, 侧棱与底面所有直线均垂直, 底面ABC 是边长为 4 的正三角形,侧棱长为 3,D,E 分别为棱 A1C1和 B1C1的中点 (1)试判断直线 AD 和 BE 的位置关系,并说明理由; (2)求异面直线 AB 和 CE 所成角的余弦值 解:(1)连接 DE 在A1B1C1中,D,E 分别为棱 A1C1和 B1C1的中点, 所以

21、DEA1B1,且 DEA1B1, 又在直三棱柱 ABCA1B1C1中,ABA1B1,且 ABA1B1, 所以 DEAB,且 DEAB, 所以四边形 ABED 为梯形,所以直线 AD 和 BE 为相交直线 (2)因为 DEAB,所以DEC(或其补角)为异面直线 AB 和 CE 所成角 因为ABC 是边长为 4 的正三角形,则 DEAB2, 在CC1E 中,CC1C1E,CC13,C1E2,则, 同理, 在CDE 中,DE2,解得, 所以异面直线 AB 和 CE 所成角的余弦值为 20在;这三个条件中任选两个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求 a 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由

22、问题:是否存在ABC,它的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 c2,_,_? 解:若选, 由,可知; 由,可得 2cos2B1cosB,即 2cos2B+cosB10, 解得 cosB1,或,又因为 B(0,),所以; 又,C(0,),余弦函数 ycosx 在(0,)上单调递减,所以, 此时 B+C,不能构成三角形 若选,由,可知; 由,得, 又由正弦定理可知, 展开得,即, 又 C(0,),则 sinC0,故,A(0,),所以 由得,C(0,),余弦函数 ycosx 在(0,)上单调递减, 所以, 此时 A+C,能构成三角形 此时,又 c2, 由正弦定理,得,解得 若选,由得;

23、由得; 此时此时 A+B,能构成三角形 所以, 则, 由正弦定理,得,解得 21 如图, 风景区的形状是如图所示的扇形 ABC 区域, 其半径为 2 千米, 圆心角为 60, 点 P 在弧上 现欲在风景区中规划三条商业街道 PQ,PR,RQ,要求街道 PQ 与 AB 垂直(垂足 Q 在 AB 上),街道 PR与 AB 平行,交 AC 于点 R (1)如果 P 为弧的中点,求三条商业街道围成的PQR 的面积; (2)试求街道 RQ 长度的最小值 解:连接 AP,过 R 作 RDAB,垂足为 D (1)当 P 为弧 BC 的中点时,PAQ30, 在APQ 中,AP2,PQAQ,故, 在ARD 中,

24、RDPQ1,RAD60,所以,则, 所以, 在直角三角形 PRQ 中,PQR 的面积 (2)设,则 PQ2sin,AQ2cos,RDPQ2sin, 又,则,所以, 在 直 角 三 角 形PRQ中 ,其中 因为,所以,又, 所以当时,RQ2有最小值为,即 综上,街道 RQ 长度的最小值为千米 22 已知函数 f (x) sinxcos+cosxsin, g (x) coscosxsinxsin, , 是常数, xR, (1)若,判断 h(x)f(x)+g(x)的奇偶性; 若,判别 h(x)f2(x)+g2(x)的奇偶性; (2)若,F(x)f(x)g(x)是偶函数,求 ; (3)请仿照问题(1)

25、(2)提一个问题(3),使得所提问题或是(1)的推广或是问题(2)的推广,问题(1)或(2)是问题(3)的特例(不必证明命题) 解:由题意可知 f(x)sinx cos+cos sinxsin(x+),g(x)cos cosxsinx sincos(x+), (1)当时, 所以 h(x)是偶函数; 当时, 所以 h(x)1sin(2x)1+sin2x, 因为,所以 h(x)不是奇函数, 因为,所以 h(x)不是偶函数 所以 h(x)是非奇非偶函数; (2)当时,F(x)f(x)g(x)是偶函数, 所以 F(x)F(x)对一切 xR 恒成立, 所以,即, 也即, 则,因为,所以, 当时, 则 所

26、以 F(x)F(x)对一切 xR 恒成立,所以 F(x)为偶函数 综上所述: (3)第一层次,写出任何一种的一个(加法或乘法)均可以, 1,、是偶函数; 2,是奇函数; 3,是非奇非偶函数; 4,是既奇又偶函数; 第二层次,写出任何一种的一个(加法或乘法)均可以, 1,是偶函数(数字不分奇偶); 2,是奇函数(数字只能同奇数);是偶函数(数字只能同偶数); 3,是非奇非偶函数(数字不分奇偶,但需相同); 4,是既奇又偶函数(数字只能奇数);是非奇非偶函数; 第三层次,写出逆命题任何一种的一个(加法或乘法)均可以, 1,f3(x)+g3(x)是偶函数(数字不分奇偶,但相同),则; 2,f5(x)

27、+g5(x)是奇函数(数字只能正奇数),则 ;f2(x)+g2(x)是偶函数(数字只能正偶数),则 ; 3,f3(x)+g3(x)是偶函数(数字只能正奇数),则; 第四层次,写出充要条件中的任何一种均可以, 1,的充要条件是 f(x)+g(x)是偶函数, 2,f5(x)+g5(x)是奇函数(数字只能正奇数)的充要条件是;f2(x)+g2(x)是偶函数(数字只能正偶数)的充要条件是; 3,f3(x)+g3(x)是偶函数(数字只能正奇数)的充要条件是 则; 第五层次,写出任何一种均可以(逆命题,充要条件等均可以), 1,时,fn(x)+gn(x)都是偶函数; 2,时,n 是正奇数,fn(x)+gn(x)是奇函数;时,n 是正偶数,fn(x)+gn(x)是偶函数; 3,n 是奇数,fn(x)+gn(x)既奇又偶函数; 4,n 是偶数,fn(x)+gn(x)是非奇非偶函数