1、扬州市邗江区二校联考扬州市邗江区二校联考 2020-2021 学年度高一下期中数学试卷学年度高一下期中数学试卷 一、单项选择题（共一、单项选择题（共 8 小题）小题）. 1若（x21）+（x23x+2）i 是纯虚数（i 为虚数单位），则实数 x 的值为（ ） A1 B1 C1 D以上都不对 2在ABC 中，若 acosAbcosB，则ABC 的形状是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 3已知空间互不重合的三条直线 m，n，l，则“m，n，l 在同一平面内”是“m，n，l 两两相交”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不
2、必要条件 4已知向量 ， 满足，则 ， 的夹角为（ ） A B C D 5已知，则（ ） A1 B C1 D 6已知正方形 ABCD 的边长为 1，则（ ） A5 B C25 D41 7已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB4，BC2，点 P 为 BB1的中点，设平面 A1PC1ABE，平面A1PC1BCF，则线段 EF 的长度为（ ） A B C D5 8 在ABC 中， AC1， ADBC， 垂足为 D， 且， 则当BAC 取最大值时， ABC 的周长为 （ ） A3 B C D 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。
3、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9下列各式中，值为的是（ ） Asin72cos42cos72sin42 Bcos2sin2 C D2tan15cos215 10已知 ， 为不同的平面，a，b，c 为不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A若 a，b，则 a 与 b 是异面直线 B若 AB 与 CD 是异面直线，则 AC 与 BD 也是异面直线 C若 ab，b 与 c 是异面直线，则 a 与 c 也是异面直线 D若 a，b 不同在任
4、何一个平面内，则 a 与 b 是异面直线 11设 ， 是两个非零向量，下列结论中正确的是（ ） A若，则 B若，则或 C若，则 D若，则存在实数 ，使得 12已知函数 f（x）sinnx+cosnx（nN*），则下列说法正确的是（ ） A当 n1 时，直线是 f（x）图象的一条对称轴 B当 n4 时，函数 f（x）的最小正周期为 C当 n4 时，函数 f（x）在上单调递减 D当 n3 时，若，则函数 f（x）的值域为 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13已知向量，m 为实数，且 ，则 m 14已知轮船 A 和轮船 B 同时离开
5、 C 岛，A 船沿北偏东 30的方向航行，B 船沿正北方向航行若 A 船的航行速度为 15nmile/h，2h 后，B 船测得 A 船位于 B 船的北偏东 45的方向上，则此时 A，B 两船相距 nmile 15已知，则 2sin2+cos2 16已知复数 z 对应的点在复平面第四象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数 z 的陈述如下（i 为虚数单位）：甲：；乙：；丙：；丁：，在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数 z 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17已知
6、 i 为虚数单位 （1）计算：； （2）若，求复数 z 18已知向量，xR，设函数 （1）若，求函数 f（x）的最大值和最小值； （2）若，且，求 cos2 的值 19 如图， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， 侧棱与底面所有直线均垂直， 底面ABC 是边长为 4 的正三角形，侧棱长为 3，D，E 分别为棱 A1C1和 B1C1的中点 （1）试判断直线 AD 和 BE 的位置关系，并说明理由； （2）求异面直线 AB 和 CE 所成角的余弦值 20在；这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 a 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在ABC，它的内角
7、A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 c2，_，_？ 21 如图， 风景区的形状是如图所示的扇形 ABC 区域， 其半径为 2 千米， 圆心角为 60， 点 P 在弧上 现欲在风景区中规划三条商业街道 PQ，PR，RQ，要求街道 PQ 与 AB 垂直（垂足 Q 在 AB 上），街道 PR与 AB 平行，交 AC 于点 R （1）如果 P 为弧的中点，求三条商业街道围成的PQR 的面积； （2）试求街道 RQ 长度的最小值 22 已知函数 f （x） sinxcos+cosxsin， g （x） coscosxsinxsin， ， 是常数， xR， （1）若，判断 h（x）f（x）+g（x）
8、的奇偶性； 若，判别 h（x）f2（x）+g2（x）的奇偶性； （2）若，F（x）f（x）g（x）是偶函数，求 ； （3）请仿照问题（1）（2）提一个问题（3），使得所提问题或是（1）的推广或是问题（2）的推广，问题（1）或（2）是问题（3）的特例（不必证明命题） 参考答案参考答案 一、单项选择题（共一、单项选择题（共 8 小题）小题）. 1若（x21）+（x23x+2）i 是纯虚数（i 为虚数单位），则实数 x 的值为（ ） A1 B1 C1 D以上都不对 解：若（x21）+（x23x+2）i 是纯虚数， 则，解得：x1， 故选：A 2在ABC 中，若 acosAbcosB，则ABC 的形状
9、是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 解：由正弦定理化简已知的等式得：sinAcosAsinBcosB， sin2Asin2B， sin2Asin2B，又 A 和 B 都为三角形的内角， 2A2B 或 2A+2B，即 AB 或 A+B， 则ABC 为等腰或直角三角形 故选：D 3已知空间互不重合的三条直线 m，n，l，则“m，n，l 在同一平面内”是“m，n，l 两两相交”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解：根据题意，若 m，n，l 在同一平面内，m、n、l 三条直线可以互相平行， 则“m，n，l 在同
10、一平面内”不是“m，n，l 两两相交”的充分条件； 反之，若 m，n，l 两两相交，m，n，l 可以不在同一平面内， 则“m，n，l 在同一平面内”不是“m，n，l 两两相交”的必要条件； 故“m，n，l 在同一平面内”是“m，n，l 两两相交”的既不充分也不必要条件 故选：D 4已知向量 ， 满足，则 ， 的夹角为（ ） A B C D 解：， 设 ， 的夹角为 ，则 cos， 因为 0， 所以 故选：B 5已知，则（ ） A1 B C1 D 解：根据题意，即 sin+cossinsin+cos1， 变形可得：sin（+）1， 故选：A 6已知正方形 ABCD 的边长为 1，则（ ） A5
11、B C25 D41 解： 如图， ， 故选：B 7已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB4，BC2，点 P 为 BB1的中点，设平面 A1PC1ABE，平面A1PC1BCF，则线段 EF 的长度为（ ） A B C D5 解：因为平面 A1PC1ABE，平面 A1PC1BCF， 所以 A1P 与 AB 的交点即为点 E， 延长线 A1P 与 AB 的延长线交于点 E， 因为 AA1BP，且 P 为 BB1的中点， 所以 ABAE4， 同理可得 C1P 与 CB 的延长线交于点 F， 所以 BCBF2， 如图所示，连接 EF， 在长方体 ABCDA1B1C1D1中， ABCFBE90， 则
12、 EF2， 故选：C 8 在ABC 中， AC1， ADBC， 垂足为 D， 且， 则当BAC 取最大值时， ABC 的周长为 （ ） A3 B C D 解：根据题意，设|CD|a， 若，则 D 在线段 BC 之外，且|BD|3|CD|3a，如图： 又由 AC1，则|AD|21a2， 则|AB|2|BD|2+|AD|21+8a2，则|AB|， 则 cosBAC （+） ， 又由+2，当且仅当 8a2+13，即 a时等号成立， 此时 cosBAC 取得最小值，BAC 取得最大值， 此时|BC|2a1，|AB|， ABC 的周长为 2+； 故选：C 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4
13、 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9下列各式中，值为的是（ ） Asin72cos42cos72sin42 Bcos2sin2 C D2tan15cos215 解：sin72cos42cos72sin42sin（7242）sin30，故 A 满足条件； ，故 B 不满足条件； tan45，故 C 满足条件； 2tan15cos2152sin15cos15sin30，故 D 满足条
14、件， 故选：ACD 10已知 ， 为不同的平面，a，b，c 为不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A若 a，b，则 a 与 b 是异面直线 B若 AB 与 CD 是异面直线，则 AC 与 BD 也是异面直线 C若 ab，b 与 c 是异面直线，则 a 与 c 也是异面直线 D若 a，b 不同在任何一个平面内，则 a 与 b 是异面直线 解：对于 A，若 a，b，则 a 与 b 可能平行、可能相交、也可能异面，故 A 错误； 对于 B，若 AB 与 CD 是异面直线，则 AC 与 BD 也是异面直线，否则，若 AC 与 BD 共面，则 AB 与 CD共面，与已知矛盾，故 B 正确； 对于 C，
15、若 ab，b 与 c 是异面直线，则 a 与 c 相交或异面，故 C 错误； 对于 D，若 a，b 不同在任何一个平面内，由异面直线的定义可得，a 与 b 是异面直线，故 D 正确 故选：BD 11设 ， 是两个非零向量，下列结论中正确的是（ ） A若，则 B若，则或 C若，则 D若，则存在实数 ，使得 解：A， ，A 正确； B，得不出或，B 错误； C.，不共线时，仍可满足，却得不出，C 错误； D， ， ， 的夹角为 ，即共线， 存在实数 ，使得，D 正确 故选：AD 12已知函数 f（x）sinnx+cosnx（nN*），则下列说法正确的是（ ） A当 n1 时，直线是 f（x）图象的
16、一条对称轴 B当 n4 时，函数 f（x）的最小正周期为 C当 n4 时，函数 f（x）在上单调递减 D当 n3 时，若，则函数 f（x）的值域为 解：函数 f（x）sinnx+cosnx（nN*）， 对于 A：当 n1 时，函数 f（x）sinx+cosx，当 x时，f（），故 A 正确； 对于 B： 当 n4 时， 函数 f （x） sin4x+cos4x （sin2x+cos2x）22sin2xcos2x1， 所以函数的最小正周期为，故 B 正确； 对于 C：由于函数 f（x）， 且满足，所以 4x0，故函数 f（x）在该区间上单调递减，故 C 正确； 对于 D：函数 f（x）sin3x
17、+cos3x（sinx+cosx）（1sinxcosx）， 设 sinx+cosxt，由于，所以 t， f（t），故0，所以函数 f（t）在上单调递减， 故，f（t）maxf（1）1，故函数 f（x）的值域为，故 D 错误； 故选：ABC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13已知向量，m 为实数，且 ，则 m 4 解：，且， m2（m2）0，解得 m4 故答案为：4 14已知轮船 A 和轮船 B 同时离开 C 岛，A 船沿北偏东 30的方向航行，B 船沿正北方向航行若 A 船的航行速度为 15nmile/h，2h 后，B 船测
18、得 A 船位于 B 船的北偏东 45的方向上，则此时 A，B 两船相距 nmile 解：由题意，ABC 中，AC15230nmile，C30，ABC135， 由正弦定理可得，AB15nmile 故答案为：15 15已知，则 2sin2+cos2 解：根据题意，则有2， 解可得 tan， 则 2sin2+cos2， 故答案为： 16已知复数 z 对应的点在复平面第四象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数 z 的陈述如下（i 为虚数单位）：甲：；乙：；丙：；丁：，在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数 z 1+i 解：设 za+bi，则 abi， 甲：由2a，即 a1； 乙：由2b
19、i，即 b； 丙：由a2+b2； 丁：由得， 所以 a2+b22， 若 b，则 a2+32 显然不成立， 故丙丁不能同时成立，乙丁不能同时成立，且甲乙丙可以知二推一， 所以甲丁正确，此时 a1，b1，z1+i 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17已知 i 为虚数单位 （1）计算：； （2）若，求复数 z 解：（1） （2）设 za+bi（a，bR）， 则由，得 a2+b2+2ai1i， 则 a2+b21 且 2a1，解得：a，b， 则或 18已知向量，xR，设函数 （1）若，
20、求函数 f（x）的最大值和最小值； （2）若，且，求 cos2 的值 解：（1）因为向量， 则函数 ， 若，则， 所以当，即 x0 时，； 当，即时，f（x）max1 （2）由，得， 因为，则，又， 所以， 则， 所以 19 如图， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， 侧棱与底面所有直线均垂直， 底面ABC 是边长为 4 的正三角形，侧棱长为 3，D，E 分别为棱 A1C1和 B1C1的中点 （1）试判断直线 AD 和 BE 的位置关系，并说明理由； （2）求异面直线 AB 和 CE 所成角的余弦值 解：（1）连接 DE 在A1B1C1中，D，E 分别为棱 A1C1和 B1C1的中点， 所以
21、DEA1B1，且 DEA1B1， 又在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABA1B1，且 ABA1B1， 所以 DEAB，且 DEAB， 所以四边形 ABED 为梯形，所以直线 AD 和 BE 为相交直线 （2）因为 DEAB，所以DEC（或其补角）为异面直线 AB 和 CE 所成角 因为ABC 是边长为 4 的正三角形，则 DEAB2， 在CC1E 中，CC1C1E，CC13，C1E2，则， 同理， 在CDE 中，DE2，解得， 所以异面直线 AB 和 CE 所成角的余弦值为 20在；这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 a 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由
22、问题：是否存在ABC，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 c2，_，_？ 解：若选， 由，可知； 由，可得 2cos2B1cosB，即 2cos2B+cosB10， 解得 cosB1，或，又因为 B（0，），所以； 又，C（0，），余弦函数 ycosx 在（0，）上单调递减，所以， 此时 B+C，不能构成三角形 若选，由，可知； 由，得， 又由正弦定理可知， 展开得，即， 又 C（0，），则 sinC0，故，A（0，），所以 由得，C（0，），余弦函数 ycosx 在（0，）上单调递减， 所以， 此时 A+C，能构成三角形 此时，又 c2， 由正弦定理，得，解得 若选，由得；
23、由得； 此时此时 A+B，能构成三角形 所以， 则， 由正弦定理，得，解得 21 如图， 风景区的形状是如图所示的扇形 ABC 区域， 其半径为 2 千米， 圆心角为 60， 点 P 在弧上 现欲在风景区中规划三条商业街道 PQ，PR，RQ，要求街道 PQ 与 AB 垂直（垂足 Q 在 AB 上），街道 PR与 AB 平行，交 AC 于点 R （1）如果 P 为弧的中点，求三条商业街道围成的PQR 的面积； （2）试求街道 RQ 长度的最小值 解：连接 AP，过 R 作 RDAB，垂足为 D （1）当 P 为弧 BC 的中点时，PAQ30， 在APQ 中，AP2，PQAQ，故， 在ARD 中，
24、RDPQ1，RAD60，所以，则， 所以， 在直角三角形 PRQ 中，PQR 的面积 （2）设，则 PQ2sin，AQ2cos，RDPQ2sin， 又，则，所以， 在 直 角 三 角 形PRQ中 ，其中 因为，所以，又， 所以当时，RQ2有最小值为，即 综上，街道 RQ 长度的最小值为千米 22 已知函数 f （x） sinxcos+cosxsin， g （x） coscosxsinxsin， ， 是常数， xR， （1）若，判断 h（x）f（x）+g（x）的奇偶性； 若，判别 h（x）f2（x）+g2（x）的奇偶性； （2）若，F（x）f（x）g（x）是偶函数，求 ； （3）请仿照问题（1）
25、（2）提一个问题（3），使得所提问题或是（1）的推广或是问题（2）的推广，问题（1）或（2）是问题（3）的特例（不必证明命题） 解：由题意可知 f（x）sinx cos+cos sinxsin（x+），g（x）cos cosxsinx sincos（x+）， （1）当时， 所以 h（x）是偶函数； 当时， 所以 h（x）1sin（2x）1+sin2x， 因为，所以 h（x）不是奇函数， 因为，所以 h（x）不是偶函数 所以 h（x）是非奇非偶函数； （2）当时，F（x）f（x）g（x）是偶函数， 所以 F（x）F（x）对一切 xR 恒成立， 所以，即， 也即， 则，因为，所以， 当时， 则 所
26、以 F（x）F（x）对一切 xR 恒成立，所以 F（x）为偶函数 综上所述： （3）第一层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以， 1，、是偶函数； 2，是奇函数； 3，是非奇非偶函数； 4，是既奇又偶函数； 第二层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以， 1，是偶函数（数字不分奇偶）； 2，是奇函数（数字只能同奇数）；是偶函数（数字只能同偶数）； 3，是非奇非偶函数（数字不分奇偶，但需相同）； 4，是既奇又偶函数（数字只能奇数）；是非奇非偶函数； 第三层次，写出逆命题任何一种的一个（加法或乘法）均可以， 1，f3（x）+g3（x）是偶函数（数字不分奇偶，但相同），则； 2，f5（x）
27、+g5（x）是奇函数（数字只能正奇数），则 ；f2（x）+g2（x）是偶函数（数字只能正偶数），则 ； 3，f3（x）+g3（x）是偶函数（数字只能正奇数），则； 第四层次，写出充要条件中的任何一种均可以， 1，的充要条件是 f（x）+g（x）是偶函数， 2，f5（x）+g5（x）是奇函数（数字只能正奇数）的充要条件是；f2（x）+g2（x）是偶函数（数字只能正偶数）的充要条件是； 3，f3（x）+g3（x）是偶函数（数字只能正奇数）的充要条件是 则； 第五层次，写出任何一种均可以（逆命题，充要条件等均可以）， 1，时，fn（x）+gn（x）都是偶函数； 2，时，n 是正奇数，fn（x）+gn（x）是奇函数；时，n 是正偶数，fn（x）+gn（x）是偶函数； 3，n 是奇数，fn（x）+gn（x）既奇又偶函数； 4，n 是偶数，fn（x）+gn（x）是非奇非偶函数