1、2020-2021 学年江苏省扬州市高二（下）期中数学试卷学年江苏省扬州市高二（下）期中数学试卷 一、单选题（每小题一、单选题（每小题 5 分）分）. 1已知复数 z 满足 z（1+2i）3+i，则复数 z 的虚部为（ ） Ai Bi C1 D1 2在的展开式中，x2的系数是（ ） A60 B60 C60 D60 3将 0，1，2，3，4，5 这 6 个数组成无重复数字的五位偶数的个数为（ ） A360 B312 C264 D288 4在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是腰长为 2 的等腰直角三角形，ACB90，CC1，若点 M为 A1B1的中点，则直线 AM 与直线 CB1所成的角的余弦
2、值为（ ） A B C D 5曲线 yxex+x2在 x0 处的切线方程为（ ） Ayx+1 By2x Cyx Dy3x+1 6今天是星期二，经过 7 天后还是星期二，那么经过 22021天后是（ ） A星期三 B星期四 C星期五 D星期六 7函数的大致图象是（ ） A B C D 8已知函数 f（x）x+acosx，对于任意 x1、x2R（x1x2），都有恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A1，1+ B1，1 C1，1 D1，1 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部分。在每小题给出
3、的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9已知 i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A若复数 z1，z2满足 z12+z220，则 z1z20 Bi+i2+i3+i40 C若 z（1+2i）2，则复平面内 对应的点位于第二象限 D已知复数 z 满足|z1|z+1|，则|z1+i|的最小值为 1 10已知的二项展开式中二项式系数之和为 64，则下列结论正确的是（ ） A二项展开式中各项系数之和为 729 B二项展开式中二项式系数最大的项为 C二项展开式中无常数项 D二项展开式中系数最大的项
4、为 240 x3 11如图，棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 为线段 AB1上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ） A平面 BCM平面 A1AB1 B三棱锥 BMB1C 体积最大值为 C当 M 为 AB1中点时，直线 B1D 与直线 CM 所成的角的余弦值为 D直线 CM 与 A1D 所成的角不可能是 12对于定义域为 R 的函数 f（x），f（x）为 f（x）的导函数，若同时满足：f（0）0；当 xR 且x0 时，都有 xf（x）0；当 x10 x2且|x1|x2|时，都有 f（x1）f（x2），则称 f（x）为“偏对称函数”下列函数是“偏对称函数”的是（ ） Af
5、1（x）e2xexx Bf2（x）ex+x1 Cf3（x） D 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分（其中分（其中 15 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分）。分）。 13若，则 14已知函数，则 15 已知 f （x） （2x1）2021a0+a1x+a2x2+a2021x2021， 则 a1+a2+a3+a2021 ； a1+2a2+3a3+2021a2021 ； 16 已知关于x的方程ln2x+mxlnx2m2x20有3个不等的实数根， 则m的取值范围是 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 个小题，满分个
6、小题，满分 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）分。解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤） 17（1）计算； （2）设复数 z12+ai，z2b4i（其中 a，bR），若是纯虚数，且 z1+z2在复平面内对应的点在直线 x+y10 上，求|z1z2| 18现有编号为 A，B，C，D，E，F 的 6 个不同的小球 （1）若将这些小球排成一排，则有多少种不同的排法？（请用数字作答） （2）若将这些小球排成一排，且 A，B，C 三个小球各不相邻，则有多少种不同的排法？（请用数字作答） （3） 若将这些小球放入甲， 乙， 丙三个不同的盒子， 每个盒子至少一个球， 则有多少种不同的放法？
7、 （请用数字作答） 19已知在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，ADDC，ABDC，DC2AB，Q 为 PC 的中点 （1）求证；BQ平面 PAD； （2）若 PD1，BC，BCBD，求锐二面角 QBDC 的余弦值 20已知函数 （1）若函数 f（x）在区间2，+）是增函数，求 m 的取值范围； （2）若函数 f（x）在区间2，3上的最小值为 g（m），求 g（m）的表达式 21已知梯形 BFEC 如图 1 所示，其中 BFEC，EC3，BF2，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，沿AD 将四边形 EDAF 折起，使得平面 EDAF平面 ABCD，得到如图 2 所示的几何体 （
8、1）求证：平面 AEC平面 BDE； （2）求点 F 到平面 ABE 的距离； （3）若点 H 在线段 BD 上，且 EH 与平面 BEF 所成角的正弦值为，求线段 DH 的长度 22已知函数 f（x）ax2bx+lnx（a，bR） （1）当 a1，b3 时，求 f（x）的单调区间； （2）当 b2 时，若函数 f（x）有两个不同的极值点 x1，x2，且不等式 f（x1）+f（x2）x1+x2+t 有解，求实数 t 的取值范围； （3）设 g（x）f（x）ax2，若 g（x）有两个相异零点 x1，x2，求证： 参考答案参考答案 一、单选题：本题共一、单选题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题
9、 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。求的。 1已知复数 z 满足 z（1+2i）3+i，则复数 z 的虚部为（ ） Ai Bi C1 D1 解：z（1+2i）3+i，z（1+2i）（12i）（3+i）（12i）， z1i， 则复数 z 的虚部为1 故选：C 2在的展开式中，x2的系数是（ ） A60 B60 C60 D60 解：， 令 x 的指数为 2，即 6r2，r4； x2的系数为：4C6460；可排除 B、C、D 故选：A 3将 0，1，2，3，4，5 这 6 个数组成无重复数字的五位偶数的个
10、数为（ ） A360 B312 C264 D288 解：根据题意，分 2 种情况讨论： 0 在五位数的个位，在剩下 5 个数中任取 4 个，安排在前 4 个数位，有 A54120 个五位偶数； 0 不在五位数的个位，则五位数的个位可以为 2 或 4，首位数字有 4 种选择， 在剩下 4 个数中任取 3 个，安排在中间 3 个数位，有 A4324 种选择， 则此时有 2424192 个五位偶数， 则一共有 120+192312 个五位偶数； 故选：B 4在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是腰长为 2 的等腰直角三角形，ACB90，CC1，若点 M为 A1B1的中点，则直线 AM 与直线 CB
11、1所成的角的余弦值为（ ） A B C D 解：连接 A1B，A1C，交于点 N，连接 MN，则 N 为 A1C 的中点， M 为 A1B1的中点， MNB1C，MNB1C， AMN 或其补角为直线 AM 与直线 CB1所成的角， 在AMN 中，AM，ANAC1， 由余弦定理知，cosAMN， 直线 AM 与直线 CB1所成的角的余弦值为 故选：A 5曲线 yxex+x2在 x0 处的切线方程为（ ） Ayx+1 By2x Cyx Dy3x+1 解：f（x）xex+x2， f（x）ex+xex+2x，在 x0 处的切线斜率 kf（0）1， f（0）0+00， f（x）xex+x2在 x0 处的
12、切线方程为：yx， 故选：C 6今天是星期二，经过 7 天后还是星期二，那么经过 22021天后是（ ） A星期三 B星期四 C星期五 D星期六 解：22021422019486734（7+1）6734（7673+7672+7+）， 由于括号中，除了最后一项外，其余各项都能被 7 整除， 故整个式子除以 4 的余数为 44，2+46， 故经过 22021天后是是星期六， 故选：D 7函数的大致图象是（ ） A B C D 解：当 x0 或 x1 时，f（x）无意义，即函数的定义域为x|x0 且 x1， 设 g（x）xlnx1，则 g（x）1 当 0 x1，g（x）0，此时 g（x）为减函数，则
13、 g（x）g（1）1ln110， 则 f（x）0 且 f（x）为增函数，排除 C，D， 当 x1 时，g（x）0，此时 g（x）为增函数，则 g（x）g（1）1ln110， 则 f（x）0 且 f（x）为减函数，排除 B， 故选：A 8已知函数 f（x）x+acosx，对于任意 x1、x2R（x1x2），都有恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A1，1+ B1，1 C1，1 D1，1 解：对于任意 x1、x2R（x1x2），都有恒成立， 等价于， 不妨令 x1x2，即等价于函数 g（x）f（x）（a2a）x 在 R 上单调递增， 即 g（x）1asinx（a2a）0 在 R 上恒成立 a2
14、a（1asinx）mina2a1|a| 或， 0a1 或 1a0， 综上，1a1， 故选：B 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9已知 i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A若复数 z1，z2满足 z12+z220，则 z1z20 Bi+i2+i3+i40 C若 z（1+2i）2，则复平面内 对应的点位于第二象限 D已知复数
15、z 满足|z1|z+1|，则|z1+i|的最小值为 1 解：令 z11，z2i，满足 z12+z220，但 z10 且 z20，A 错； i+i2+i3+i4i1i+10，B 对； z（1+2i）23+4i， 34i， 复平面内 对应的点位于第三象限C 错； 复数 z 满足|z1|z+1|， 复数 z 和 1 对应的向量和的对角线相等， 复数 z 和 1 对应的向量和构成一个矩形， 复数 z 和 1 对应的向量垂直，复数 z 对应的向量在虚轴上， |z1+i|的最小值为点（1，1）到虚轴距离，最小值为 1，D 对 故选：BD 10已知的二项展开式中二项式系数之和为 64，则下列结论正确的是（
16、） A二项展开式中各项系数之和为 729 B二项展开式中二项式系数最大的项为 C二项展开式中无常数项 D二项展开式中系数最大的项为 240 x3 解：的二项展开式中二项式系数之和为 2n64，n6， 再令 x1，可得二项展开式中各项系数之和为 3n36729，故 A 正确； 显然，当 r3 时，二项式系数最大，该项为 T423160，故 B 错误； 令通项公式中 x 的幂指数 60，求得 r4，可得常数项 T52260，故 C 错误； 由于第 r+1 项的系数为26r，检验可得，当 r2 时，系数最大，该项为 T324x3240 x3，故 D正确， 故选：AD 11如图，棱长为 1 的正方体
17、ABCDA1B1C1D1中，M 为线段 AB1上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ） A平面 BCM平面 A1AB1 B三棱锥 BMB1C 体积最大值为 C当 M 为 AB1中点时，直线 B1D 与直线 CM 所成的角的余弦值为 D直线 CM 与 A1D 所成的角不可能是 解：在正方体 ABCDA1B1C1D1中， BC面 A1AM，BC面 BCM， 面 BCM面 A1AM， 故选项 A 正确； 设 M 到面 BB1C 的距离为 h， hh， 当 M 点运动到线段 AB1的端点 A 时，h 最大，且距离为 1 三棱锥 BMB1C 的体积最大值为， 故选项 B 正确； 如图，将 A1B1延
18、长至 E，使 A1B1B1E，连 ME，CE， 易得 B1DCE， 直线 CM 与直线 CE 所成角即为直线 B1D 与直线 CM 所成的角，即MCE， 易得|MC|，|CE|，|ME|， ， 故选项 C 正确； A1DB1C， 直线 CM 与直线 B1C 所成角就是MCB1， 当 M 从点 B1沿着线段 B1A 向 A 点运动时，MCB1逐渐变大， ， 故在点 A 和点 B1之间，必定存在一点使得MCB1， 故选项 D 错误 故选：ABC 12对于定义域为 R 的函数 f（x），f（x）为 f（x）的导函数，若同时满足：f（0）0；当 xR 且x0 时，都有 xf（x）0；当 x10 x2且
19、|x1|x2|时，都有 f（x1）f（x2），则称 f（x）为“偏对称函数”下列函数是“偏对称函数”的是（ ） Af1（x）e2xexx Bf2（x）ex+x1 Cf3（x） D 解：对于 A：f1（0）0，符合条件， 条件等价于函数 f（x）在区间（，0）上单调递减，在区间（0，+）上单调递增， 对于 f1（x）e2xexx，f1（x）2e2xex1，则当 x0 时，f1（x）0，当 x0 时，f1（x）0，满足； 当 x0，令 m（x）f1（x）f1（x）e2xe2x+exex2x， 则 m（x）2e2x+2e2xexex22（e2x+e2x）（ex+ex）2， 令 ex+ext，则 t2
20、，于是 m（x）2t2t62（t）22（2）20， m（x）在（，0）上单调递增， m（x）m（0）0，故 f1（x）满足条件， f1（x）为“偏对称函数”，故 A 正确； 对于 B：f2（0）0，符合条件， f2（x）ex+1，函数在 R 递增，不符合条件，故 B 不满足题意； 对于 C：f3（0）0，符合条件， 显然 f3（x）在区间（，0）上单调递减，在区间（0，+）上单调递增，符合条件， 画出函数 f3（x）的图象，如图示： 当 x10 x2且|x1|x2|时，都有 f（x1）f（x2），符合条件，故 C 正确； 对于 D：对于 f4（x），f4（0）ln10，满足条件f（0）0； f
21、4（x），由复合函数的单调性法则知： f4（x）在区间（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，满足条件 由函数 f4（x）的单调性知：当 x10 x2，且|x1|x2|时，都有 f（x1）f（x2），满足条件， f4（x）是“偏对称函数”，故 D 正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分（其中分（其中 15 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分）。分）。 13若，则 56 解：由， 得 4n3+3n+220，或 4n33n+2， 则 n3，或 n5 当 n3 时，； 当 n5 时， 故答案为：56 1
22、4已知函数，则 1 解：由已知， 故答案为：1 15 已知 f （x） （2x1）2021a0+a1x+a2x2+a2021x2021， 则 a1+a2+a3+a2021 2 ； a1+2a2+3a3+2021a2021 4042 ； 解：f（x）（2x1）2021a0+a1x+a2x2+a2021x2021，则令 x0，可得 a01， 再令 x1，可得1+a1+a2+a3+a20211，a1+a2+a3+a20212 f（x）20212（2x1）2020a1+2a2x+2021a2021x2020， 令 x1，可得 a1+2a2+3a3+2021a20214042， 故答案为：2，4042
23、16已知关 于 x 的方程 ln2x+mxlnx2m2x20 有 3 个不等的实数根， 则 m 的取值范围是 解：由 ln2x+mxlnx2m2x20 得（lnx+2mx）（lnxmx）0，则 lnx2mx 或 lnxmx，即或， 设，依题意，函数 f（x）的图象与直线 y2m 及 ym 共有三个交点， 由得，易得函数 f（x）在（0，e）单调递增，在（e，+）单调递减， 且 f（x）max，x0 时，f（x），x+时，f（x）0，作出函数 f（x）的图象如下图所示， 由图可知，当或时满足题意，即或 故答案为： 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 个小题，满分个小题，满分 70 分。
24、解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）分。解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤） 17（1）计算； （2）设复数 z12+ai，z2b4i（其中 a，bR），若是纯虚数，且 z1+z2在复平面内对应的点在直线 x+y10 上，求|z1z2| 解：（1）i， i41，i2021（i4）505ii， i+（23i+8i12i2）14+6i （2） 因为是纯虚数，所以，即 b2a， 又因为 z1+z2（2+b）+（a4）i（2+2a）+（a4）i， 所以 z1+z2在复平面内对应的点为（2+2a，a4）， 所以 2+2a+a410 得 a1，b2 因为 z1z2（2+i）（24i）86i， 所以
25、|z1z2|10 18现有编号为 A，B，C，D，E，F 的 6 个不同的小球 （1）若将这些小球排成一排，则有多少种不同的排法？（请用数字作答） （2）若将这些小球排成一排，且 A，B，C 三个小球各不相邻，则有多少种不同的排法？（请用数字作答） （3） 若将这些小球放入甲， 乙， 丙三个不同的盒子， 每个盒子至少一个球， 则有多少种不同的放法？ （请用数字作答） 解：（1）根据题意，将 6 个不同的小球排成一排，有 A66720 种不同的排法； （2）根据题意，分 2 步进行分析： 将 D、E、F 三个小球排好，有 A336 种排法， DEF 排好后，有 4 个空位，在其中任选 3 个，安
26、排 ABC 三个小球，有 A4324 种排法， 则有 624144 种不同的排法； （3）根据题意，分 2 步进行分析： 将 6 个小球分为 3 组， 若分为 2、2、2 的三组，有种分组方法， 若分为 3、2、1 的三组，有 C61C52C33种分组方法， 若分为 4、1、1 的三组，有 C64种分组方法， 则有（+C61C52C33+C64）种分组方法， 将分好的三组小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，有 A336 种情况， 则有（+C61C52C33+C64）A33540 种放法 19已知在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，ADDC，ABDC，DC2AB，Q 为 PC 的中点 （
27、1）求证；BQ平面 PAD； （2）若 PD1，BC，BCBD，求锐二面角 QBDC 的余弦值 【解答】（1）证明：取 PD 的中点为 G，分别连接 AG，QG， 又因为 Q 为 PC 的中点，所以 GQDC，且 又因为 ABDC，DC2AB，所以 GQAB，GQAB， 所以四边形 ABQG 是平行四边形，所以 BQAG 又 BQ平面 PAD，AG平面 PAD，所以 BQ平面 PAD （2）解：由 DA，DC，DP 三条直线两两相互垂直 以 DA，DC，DP 分别为 z 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图， 因为在四边形 ABCD 中，ABDC，ADDC，DC2AB， 所以点 B 在线段
28、 CD 的垂直平分线上又因为， 所以 所以有点 D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），Q， 所以 设平面 BDQ 的一个法向量， 则，令 z2，得， 易知平面 BCD 的一个法向量为， 因为， 所以， 所以锐二面角 QBDC 的余弦值为 20已知函数 （1）若函数 f（x）在区间2，+）是增函数，求 m 的取值范围； （2）若函数 f（x）在区间2，3上的最小值为 g（m），求 g（m）的表达式 解：（1）由题意，f（x）x2（m+1）x0 在2，+）恒成立， m+1x 恒成立，m+12，m1 （2）f（x）xx（m+1）， 当 m+12 时，即 m1 时，f（x）在区间2，3
29、上递增， ， 当 2m+13 时，即 1m2 时，f（x）在区间2，m+1上递减，在区间m+1，3上递增， ， 当 m+13 时，即 m2 时，f（x）在区间2，3上递减， ， 综上， 21已知梯形 BFEC 如图 1 所示，其中 BFEC，EC3，BF2，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，沿AD 将四边形 EDAF 折起，使得平面 EDAF平面 ABCD，得到如图 2 所示的几何体 （1）求证：平面 AEC平面 BDE； （2）求点 F 到平面 ABE 的距离； （3）若点 H 在线段 BD 上，且 EH 与平面 BEF 所成角的正弦值为，求线段 DH 的长度 【解答】（1）证明：平
30、面 EDAF平面 ABCD，DE平面 EDAF， 平面 EDAF平面 ABCDAD，DEAD，DE平面 ABCD， AC平面 ABCD，DEAC，四边形 ABCD 是正方形，ACBD， DE、BD平面 BDE，DEBDD，AC平面 BDE AC平面 ACE，平面 AEC平面 BDE （2）解：过点 F 作 FGAE 于点 G， 因为平面 ADEF平面 ABCD，平面 ADEF平面 ABCDAD，AB平面 ABCD，ABAD， 所以 AB平面 ADEF，又 FG平面 ADEF，所以 ABFG， 又 ABAEA，AB，AE平面 ABE，所以 FG平面 ABE， 所以线段 FG 的长即为点 F 到平
31、面 ABE 的距离， 在AEF 中，由等积变换 AEFGAFAD， 得， 即点 F 到平面 ABE 的距离为 （说明本题也可以用等体积变换求解，也可用向量法求解） （3）解：建系如图， 设平面 BEF 的法向量，E（0，0，2），F（1，0，1），B（1，1，0）， ，令 x1，则 yz1， 则， 设 H（a，a，0），则 解得或 a2（舍） 故， 22已知函数 f（x）ax2bx+lnx（a，bR） （1）当 a1，b3 时，求 f（x）的单调区间； （2）当 b2 时，若函数 f（x）有两个不同的极值点 x1，x2，且不等式 f（x1）+f（x2）x1+x2+t 有解，求实数 t 的取值范
32、围； （3）设 g（x）f（x）ax2，若 g（x）有两个相异零点 x1，x2，求证： 解：（1）当 a1，b3 时，f（x）x23x+lnx， ， x0，令 f（x）0，则， 令 f（x）0，则， f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）证明：由题可得 f（x）（x0）， 函数 f（x）ax22x+ln x 有两个不同的极值点 x1，x2， 方程 2ax22x+10 有两个不相等的正实数根， 于是有解得 0a 不等式 f（x1）+f（x2）x1+x2+t 有解，tf（x1）+f（x2）（x1+x2）max f（x1）+f（x2）（x1+x2）ax x1+ln x1+ax x2+ln
33、 x2（x1+x2） a（x1+x2）22x1x22（x1+x2）+ln（x1x2）1ln（2a） 设 h（a）1ln（2a）（0a），h（a）0， 故 h（a）在（0，）上单调递增，故 h（a）h（）5， t5故实数 t 的取值范围为（，5） （3）g（x）lnxbx，设 g（x）的两个相异零点为 x1，x2， 设 x1x20，欲证，需证 lnx1+lnx22 g（x1）0，g（x2）0， lnx1bx10，lnx2bx20， lnx1lnx2b（x1x2），lnx1+lnx2b（x1+x2） 要证 lnx1+lnx22，即证 b（x1+x2）2， 即，即， 设上式转化为， 设， g（t）在（1，+）上单调递增， g（t）g（1）0， ， lnx1+lnx22，