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江苏省扬州市2020-2021学年高二下期中数学试卷(含答案解析)

1、2020-2021 学年江苏省扬州市高二(下)期中数学试卷学年江苏省扬州市高二(下)期中数学试卷 一、单选题(每小题一、单选题(每小题 5 分)分). 1已知复数 z 满足 z(1+2i)3+i,则复数 z 的虚部为( ) Ai Bi C1 D1 2在的展开式中,x2的系数是( ) A60 B60 C60 D60 3将 0,1,2,3,4,5 这 6 个数组成无重复数字的五位偶数的个数为( ) A360 B312 C264 D288 4在直三棱柱 ABCA1B1C1中,底面是腰长为 2 的等腰直角三角形,ACB90,CC1,若点 M为 A1B1的中点,则直线 AM 与直线 CB1所成的角的余弦

2、值为( ) A B C D 5曲线 yxex+x2在 x0 处的切线方程为( ) Ayx+1 By2x Cyx Dy3x+1 6今天是星期二,经过 7 天后还是星期二,那么经过 22021天后是( ) A星期三 B星期四 C星期五 D星期六 7函数的大致图象是( ) A B C D 8已知函数 f(x)x+acosx,对于任意 x1、x2R(x1x2),都有恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) A1,1+ B1,1 C1,1 D1,1 二、选择题:本题共二、选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部分。在每小题给出

3、的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 2 分,有选错的得分,有选错的得 0 分。分。 9已知 i 为虚数单位,以下四个说法中正确的是( ) A若复数 z1,z2满足 z12+z220,则 z1z20 Bi+i2+i3+i40 C若 z(1+2i)2,则复平面内 对应的点位于第二象限 D已知复数 z 满足|z1|z+1|,则|z1+i|的最小值为 1 10已知的二项展开式中二项式系数之和为 64,则下列结论正确的是( ) A二项展开式中各项系数之和为 729 B二项展开式中二项式系数最大的项为 C二项展开式中无常数项 D二项展开式中系数最大的项

4、为 240 x3 11如图,棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,M 为线段 AB1上的动点(含端点),则下列结论正确的是( ) A平面 BCM平面 A1AB1 B三棱锥 BMB1C 体积最大值为 C当 M 为 AB1中点时,直线 B1D 与直线 CM 所成的角的余弦值为 D直线 CM 与 A1D 所成的角不可能是 12对于定义域为 R 的函数 f(x),f(x)为 f(x)的导函数,若同时满足:f(0)0;当 xR 且x0 时,都有 xf(x)0;当 x10 x2且|x1|x2|时,都有 f(x1)f(x2),则称 f(x)为“偏对称函数”下列函数是“偏对称函数”的是( ) Af

5、1(x)e2xexx Bf2(x)ex+x1 Cf3(x) D 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分(其中分(其中 15 题第一空题第一空 2 分,第二空分,第二空 3 分)。分)。 13若,则 14已知函数,则 15 已知 f (x) (2x1)2021a0+a1x+a2x2+a2021x2021, 则 a1+a2+a3+a2021 ; a1+2a2+3a3+2021a2021 ; 16 已知关于x的方程ln2x+mxlnx2m2x20有3个不等的实数根, 则m的取值范围是 四、解答题(本大题共四、解答题(本大题共 6 个小题,满分个

6、小题,满分 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤)分。解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤) 17(1)计算; (2)设复数 z12+ai,z2b4i(其中 a,bR),若是纯虚数,且 z1+z2在复平面内对应的点在直线 x+y10 上,求|z1z2| 18现有编号为 A,B,C,D,E,F 的 6 个不同的小球 (1)若将这些小球排成一排,则有多少种不同的排法?(请用数字作答) (2)若将这些小球排成一排,且 A,B,C 三个小球各不相邻,则有多少种不同的排法?(请用数字作答) (3) 若将这些小球放入甲, 乙, 丙三个不同的盒子, 每个盒子至少一个球, 则有多少种不同的放法?

7、 (请用数字作答) 19已知在四棱锥 PABCD 中,PD平面 ABCD,ADDC,ABDC,DC2AB,Q 为 PC 的中点 (1)求证;BQ平面 PAD; (2)若 PD1,BC,BCBD,求锐二面角 QBDC 的余弦值 20已知函数 (1)若函数 f(x)在区间2,+)是增函数,求 m 的取值范围; (2)若函数 f(x)在区间2,3上的最小值为 g(m),求 g(m)的表达式 21已知梯形 BFEC 如图 1 所示,其中 BFEC,EC3,BF2,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,沿AD 将四边形 EDAF 折起,使得平面 EDAF平面 ABCD,得到如图 2 所示的几何体 (

8、1)求证:平面 AEC平面 BDE; (2)求点 F 到平面 ABE 的距离; (3)若点 H 在线段 BD 上,且 EH 与平面 BEF 所成角的正弦值为,求线段 DH 的长度 22已知函数 f(x)ax2bx+lnx(a,bR) (1)当 a1,b3 时,求 f(x)的单调区间; (2)当 b2 时,若函数 f(x)有两个不同的极值点 x1,x2,且不等式 f(x1)+f(x2)x1+x2+t 有解,求实数 t 的取值范围; (3)设 g(x)f(x)ax2,若 g(x)有两个相异零点 x1,x2,求证: 参考答案参考答案 一、单选题:本题共一、单选题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题

9、 5 分,共分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。求的。 1已知复数 z 满足 z(1+2i)3+i,则复数 z 的虚部为( ) Ai Bi C1 D1 解:z(1+2i)3+i,z(1+2i)(12i)(3+i)(12i), z1i, 则复数 z 的虚部为1 故选:C 2在的展开式中,x2的系数是( ) A60 B60 C60 D60 解:, 令 x 的指数为 2,即 6r2,r4; x2的系数为:4C6460;可排除 B、C、D 故选:A 3将 0,1,2,3,4,5 这 6 个数组成无重复数字的五位偶数的个

10、数为( ) A360 B312 C264 D288 解:根据题意,分 2 种情况讨论: 0 在五位数的个位,在剩下 5 个数中任取 4 个,安排在前 4 个数位,有 A54120 个五位偶数; 0 不在五位数的个位,则五位数的个位可以为 2 或 4,首位数字有 4 种选择, 在剩下 4 个数中任取 3 个,安排在中间 3 个数位,有 A4324 种选择, 则此时有 2424192 个五位偶数, 则一共有 120+192312 个五位偶数; 故选:B 4在直三棱柱 ABCA1B1C1中,底面是腰长为 2 的等腰直角三角形,ACB90,CC1,若点 M为 A1B1的中点,则直线 AM 与直线 CB

11、1所成的角的余弦值为( ) A B C D 解:连接 A1B,A1C,交于点 N,连接 MN,则 N 为 A1C 的中点, M 为 A1B1的中点, MNB1C,MNB1C, AMN 或其补角为直线 AM 与直线 CB1所成的角, 在AMN 中,AM,ANAC1, 由余弦定理知,cosAMN, 直线 AM 与直线 CB1所成的角的余弦值为 故选:A 5曲线 yxex+x2在 x0 处的切线方程为( ) Ayx+1 By2x Cyx Dy3x+1 解:f(x)xex+x2, f(x)ex+xex+2x,在 x0 处的切线斜率 kf(0)1, f(0)0+00, f(x)xex+x2在 x0 处的

12、切线方程为:yx, 故选:C 6今天是星期二,经过 7 天后还是星期二,那么经过 22021天后是( ) A星期三 B星期四 C星期五 D星期六 解:22021422019486734(7+1)6734(7673+7672+7+), 由于括号中,除了最后一项外,其余各项都能被 7 整除, 故整个式子除以 4 的余数为 44,2+46, 故经过 22021天后是是星期六, 故选:D 7函数的大致图象是( ) A B C D 解:当 x0 或 x1 时,f(x)无意义,即函数的定义域为x|x0 且 x1, 设 g(x)xlnx1,则 g(x)1 当 0 x1,g(x)0,此时 g(x)为减函数,则

13、 g(x)g(1)1ln110, 则 f(x)0 且 f(x)为增函数,排除 C,D, 当 x1 时,g(x)0,此时 g(x)为增函数,则 g(x)g(1)1ln110, 则 f(x)0 且 f(x)为减函数,排除 B, 故选:A 8已知函数 f(x)x+acosx,对于任意 x1、x2R(x1x2),都有恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) A1,1+ B1,1 C1,1 D1,1 解:对于任意 x1、x2R(x1x2),都有恒成立, 等价于, 不妨令 x1x2,即等价于函数 g(x)f(x)(a2a)x 在 R 上单调递增, 即 g(x)1asinx(a2a)0 在 R 上恒成立 a2

14、a(1asinx)mina2a1|a| 或, 0a1 或 1a0, 综上,1a1, 故选:B 二、选择题:本题共二、选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 2 分,有选错的得分,有选错的得 0 分。分。 9已知 i 为虚数单位,以下四个说法中正确的是( ) A若复数 z1,z2满足 z12+z220,则 z1z20 Bi+i2+i3+i40 C若 z(1+2i)2,则复平面内 对应的点位于第二象限 D已知复数

15、z 满足|z1|z+1|,则|z1+i|的最小值为 1 解:令 z11,z2i,满足 z12+z220,但 z10 且 z20,A 错; i+i2+i3+i4i1i+10,B 对; z(1+2i)23+4i, 34i, 复平面内 对应的点位于第三象限C 错; 复数 z 满足|z1|z+1|, 复数 z 和 1 对应的向量和的对角线相等, 复数 z 和 1 对应的向量和构成一个矩形, 复数 z 和 1 对应的向量垂直,复数 z 对应的向量在虚轴上, |z1+i|的最小值为点(1,1)到虚轴距离,最小值为 1,D 对 故选:BD 10已知的二项展开式中二项式系数之和为 64,则下列结论正确的是(

16、) A二项展开式中各项系数之和为 729 B二项展开式中二项式系数最大的项为 C二项展开式中无常数项 D二项展开式中系数最大的项为 240 x3 解:的二项展开式中二项式系数之和为 2n64,n6, 再令 x1,可得二项展开式中各项系数之和为 3n36729,故 A 正确; 显然,当 r3 时,二项式系数最大,该项为 T423160,故 B 错误; 令通项公式中 x 的幂指数 60,求得 r4,可得常数项 T52260,故 C 错误; 由于第 r+1 项的系数为26r,检验可得,当 r2 时,系数最大,该项为 T324x3240 x3,故 D正确, 故选:AD 11如图,棱长为 1 的正方体

17、ABCDA1B1C1D1中,M 为线段 AB1上的动点(含端点),则下列结论正确的是( ) A平面 BCM平面 A1AB1 B三棱锥 BMB1C 体积最大值为 C当 M 为 AB1中点时,直线 B1D 与直线 CM 所成的角的余弦值为 D直线 CM 与 A1D 所成的角不可能是 解:在正方体 ABCDA1B1C1D1中, BC面 A1AM,BC面 BCM, 面 BCM面 A1AM, 故选项 A 正确; 设 M 到面 BB1C 的距离为 h, hh, 当 M 点运动到线段 AB1的端点 A 时,h 最大,且距离为 1 三棱锥 BMB1C 的体积最大值为, 故选项 B 正确; 如图,将 A1B1延

18、长至 E,使 A1B1B1E,连 ME,CE, 易得 B1DCE, 直线 CM 与直线 CE 所成角即为直线 B1D 与直线 CM 所成的角,即MCE, 易得|MC|,|CE|,|ME|, , 故选项 C 正确; A1DB1C, 直线 CM 与直线 B1C 所成角就是MCB1, 当 M 从点 B1沿着线段 B1A 向 A 点运动时,MCB1逐渐变大, , 故在点 A 和点 B1之间,必定存在一点使得MCB1, 故选项 D 错误 故选:ABC 12对于定义域为 R 的函数 f(x),f(x)为 f(x)的导函数,若同时满足:f(0)0;当 xR 且x0 时,都有 xf(x)0;当 x10 x2且

19、|x1|x2|时,都有 f(x1)f(x2),则称 f(x)为“偏对称函数”下列函数是“偏对称函数”的是( ) Af1(x)e2xexx Bf2(x)ex+x1 Cf3(x) D 解:对于 A:f1(0)0,符合条件, 条件等价于函数 f(x)在区间(,0)上单调递减,在区间(0,+)上单调递增, 对于 f1(x)e2xexx,f1(x)2e2xex1,则当 x0 时,f1(x)0,当 x0 时,f1(x)0,满足; 当 x0,令 m(x)f1(x)f1(x)e2xe2x+exex2x, 则 m(x)2e2x+2e2xexex22(e2x+e2x)(ex+ex)2, 令 ex+ext,则 t2

20、,于是 m(x)2t2t62(t)22(2)20, m(x)在(,0)上单调递增, m(x)m(0)0,故 f1(x)满足条件, f1(x)为“偏对称函数”,故 A 正确; 对于 B:f2(0)0,符合条件, f2(x)ex+1,函数在 R 递增,不符合条件,故 B 不满足题意; 对于 C:f3(0)0,符合条件, 显然 f3(x)在区间(,0)上单调递减,在区间(0,+)上单调递增,符合条件, 画出函数 f3(x)的图象,如图示: 当 x10 x2且|x1|x2|时,都有 f(x1)f(x2),符合条件,故 C 正确; 对于 D:对于 f4(x),f4(0)ln10,满足条件f(0)0; f

21、4(x),由复合函数的单调性法则知: f4(x)在区间(,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增,满足条件 由函数 f4(x)的单调性知:当 x10 x2,且|x1|x2|时,都有 f(x1)f(x2),满足条件, f4(x)是“偏对称函数”,故 D 正确; 故选:ACD 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分(其中分(其中 15 题第一空题第一空 2 分,第二空分,第二空 3 分)。分)。 13若,则 56 解:由, 得 4n3+3n+220,或 4n33n+2, 则 n3,或 n5 当 n3 时,; 当 n5 时, 故答案为:56 1

22、4已知函数,则 1 解:由已知, 故答案为:1 15 已知 f (x) (2x1)2021a0+a1x+a2x2+a2021x2021, 则 a1+a2+a3+a2021 2 ; a1+2a2+3a3+2021a2021 4042 ; 解:f(x)(2x1)2021a0+a1x+a2x2+a2021x2021,则令 x0,可得 a01, 再令 x1,可得1+a1+a2+a3+a20211,a1+a2+a3+a20212 f(x)20212(2x1)2020a1+2a2x+2021a2021x2020, 令 x1,可得 a1+2a2+3a3+2021a20214042, 故答案为:2,4042

23、16已知关 于 x 的方程 ln2x+mxlnx2m2x20 有 3 个不等的实数根, 则 m 的取值范围是 解:由 ln2x+mxlnx2m2x20 得(lnx+2mx)(lnxmx)0,则 lnx2mx 或 lnxmx,即或, 设,依题意,函数 f(x)的图象与直线 y2m 及 ym 共有三个交点, 由得,易得函数 f(x)在(0,e)单调递增,在(e,+)单调递减, 且 f(x)max,x0 时,f(x),x+时,f(x)0,作出函数 f(x)的图象如下图所示, 由图可知,当或时满足题意,即或 故答案为: 四、解答题(本大题共四、解答题(本大题共 6 个小题,满分个小题,满分 70 分。

24、解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤)分。解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤) 17(1)计算; (2)设复数 z12+ai,z2b4i(其中 a,bR),若是纯虚数,且 z1+z2在复平面内对应的点在直线 x+y10 上,求|z1z2| 解:(1)i, i41,i2021(i4)505ii, i+(23i+8i12i2)14+6i (2) 因为是纯虚数,所以,即 b2a, 又因为 z1+z2(2+b)+(a4)i(2+2a)+(a4)i, 所以 z1+z2在复平面内对应的点为(2+2a,a4), 所以 2+2a+a410 得 a1,b2 因为 z1z2(2+i)(24i)86i, 所以

25、|z1z2|10 18现有编号为 A,B,C,D,E,F 的 6 个不同的小球 (1)若将这些小球排成一排,则有多少种不同的排法?(请用数字作答) (2)若将这些小球排成一排,且 A,B,C 三个小球各不相邻,则有多少种不同的排法?(请用数字作答) (3) 若将这些小球放入甲, 乙, 丙三个不同的盒子, 每个盒子至少一个球, 则有多少种不同的放法? (请用数字作答) 解:(1)根据题意,将 6 个不同的小球排成一排,有 A66720 种不同的排法; (2)根据题意,分 2 步进行分析: 将 D、E、F 三个小球排好,有 A336 种排法, DEF 排好后,有 4 个空位,在其中任选 3 个,安

26、排 ABC 三个小球,有 A4324 种排法, 则有 624144 种不同的排法; (3)根据题意,分 2 步进行分析: 将 6 个小球分为 3 组, 若分为 2、2、2 的三组,有种分组方法, 若分为 3、2、1 的三组,有 C61C52C33种分组方法, 若分为 4、1、1 的三组,有 C64种分组方法, 则有(+C61C52C33+C64)种分组方法, 将分好的三组小球放入甲,乙,丙三个不同的盒子,有 A336 种情况, 则有(+C61C52C33+C64)A33540 种放法 19已知在四棱锥 PABCD 中,PD平面 ABCD,ADDC,ABDC,DC2AB,Q 为 PC 的中点 (

27、1)求证;BQ平面 PAD; (2)若 PD1,BC,BCBD,求锐二面角 QBDC 的余弦值 【解答】(1)证明:取 PD 的中点为 G,分别连接 AG,QG, 又因为 Q 为 PC 的中点,所以 GQDC,且 又因为 ABDC,DC2AB,所以 GQAB,GQAB, 所以四边形 ABQG 是平行四边形,所以 BQAG 又 BQ平面 PAD,AG平面 PAD,所以 BQ平面 PAD (2)解:由 DA,DC,DP 三条直线两两相互垂直 以 DA,DC,DP 分别为 z 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系如图, 因为在四边形 ABCD 中,ABDC,ADDC,DC2AB, 所以点 B 在线段

28、 CD 的垂直平分线上又因为, 所以 所以有点 D(0,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),Q, 所以 设平面 BDQ 的一个法向量, 则,令 z2,得, 易知平面 BCD 的一个法向量为, 因为, 所以, 所以锐二面角 QBDC 的余弦值为 20已知函数 (1)若函数 f(x)在区间2,+)是增函数,求 m 的取值范围; (2)若函数 f(x)在区间2,3上的最小值为 g(m),求 g(m)的表达式 解:(1)由题意,f(x)x2(m+1)x0 在2,+)恒成立, m+1x 恒成立,m+12,m1 (2)f(x)xx(m+1), 当 m+12 时,即 m1 时,f(x)在区间2,3

29、上递增, , 当 2m+13 时,即 1m2 时,f(x)在区间2,m+1上递减,在区间m+1,3上递增, , 当 m+13 时,即 m2 时,f(x)在区间2,3上递减, , 综上, 21已知梯形 BFEC 如图 1 所示,其中 BFEC,EC3,BF2,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,沿AD 将四边形 EDAF 折起,使得平面 EDAF平面 ABCD,得到如图 2 所示的几何体 (1)求证:平面 AEC平面 BDE; (2)求点 F 到平面 ABE 的距离; (3)若点 H 在线段 BD 上,且 EH 与平面 BEF 所成角的正弦值为,求线段 DH 的长度 【解答】(1)证明:平

30、面 EDAF平面 ABCD,DE平面 EDAF, 平面 EDAF平面 ABCDAD,DEAD,DE平面 ABCD, AC平面 ABCD,DEAC,四边形 ABCD 是正方形,ACBD, DE、BD平面 BDE,DEBDD,AC平面 BDE AC平面 ACE,平面 AEC平面 BDE (2)解:过点 F 作 FGAE 于点 G, 因为平面 ADEF平面 ABCD,平面 ADEF平面 ABCDAD,AB平面 ABCD,ABAD, 所以 AB平面 ADEF,又 FG平面 ADEF,所以 ABFG, 又 ABAEA,AB,AE平面 ABE,所以 FG平面 ABE, 所以线段 FG 的长即为点 F 到平

31、面 ABE 的距离, 在AEF 中,由等积变换 AEFGAFAD, 得, 即点 F 到平面 ABE 的距离为 (说明本题也可以用等体积变换求解,也可用向量法求解) (3)解:建系如图, 设平面 BEF 的法向量,E(0,0,2),F(1,0,1),B(1,1,0), ,令 x1,则 yz1, 则, 设 H(a,a,0),则 解得或 a2(舍) 故, 22已知函数 f(x)ax2bx+lnx(a,bR) (1)当 a1,b3 时,求 f(x)的单调区间; (2)当 b2 时,若函数 f(x)有两个不同的极值点 x1,x2,且不等式 f(x1)+f(x2)x1+x2+t 有解,求实数 t 的取值范

32、围; (3)设 g(x)f(x)ax2,若 g(x)有两个相异零点 x1,x2,求证: 解:(1)当 a1,b3 时,f(x)x23x+lnx, , x0,令 f(x)0,则, 令 f(x)0,则, f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为; (2)证明:由题可得 f(x)(x0), 函数 f(x)ax22x+ln x 有两个不同的极值点 x1,x2, 方程 2ax22x+10 有两个不相等的正实数根, 于是有解得 0a 不等式 f(x1)+f(x2)x1+x2+t 有解,tf(x1)+f(x2)(x1+x2)max f(x1)+f(x2)(x1+x2)ax x1+ln x1+ax x2+ln

33、 x2(x1+x2) a(x1+x2)22x1x22(x1+x2)+ln(x1x2)1ln(2a) 设 h(a)1ln(2a)(0a),h(a)0, 故 h(a)在(0,)上单调递增,故 h(a)h()5, t5故实数 t 的取值范围为(,5) (3)g(x)lnxbx,设 g(x)的两个相异零点为 x1,x2, 设 x1x20,欲证,需证 lnx1+lnx22 g(x1)0,g(x2)0, lnx1bx10,lnx2bx20, lnx1lnx2b(x1x2),lnx1+lnx2b(x1+x2) 要证 lnx1+lnx22,即证 b(x1+x2)2, 即,即, 设上式转化为, 设, g(t)在(1,+)上单调递增, g(t)g(1)0, , lnx1+lnx22,