1、第第 3 3 讲讲 一次函数一次函数 知识点 1 一次函数的概念图像性质 1、一次函数的定义 一般地， 形如ykxb（k，b是常数， 且 k0） 的函数， 叫做一次函数， 其中 x 是自变量。 当0b 时，一次函数ykx，又叫做正比例函数。 一次函数的解析式的形式是ykxb，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式 当0b ，0k 时，ykx仍是一次函数 当0b ，0k 时，它丌是一次函数 正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数 注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 丌为零) k 丌为零 x 指数为 1 b 取任意实数 2、一次函数图象性质 3、正比例函数和一次
2、函数及性质 b0 b0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大 k0 时，直线经过一、三象限； k0，y 随 x 的增大而增大； （从左向右上升） k0时， 将直线y=kx的图象向上平移b个单位； b0 b0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大 k0 时，直线经过一、三象限； k0，y 随 x 的增大而增大； （从左向右上升） k0时， 将直线y=kx的图象向上平移b个单位； b0 时， 将直线 y=kx 的图象向下平移b个单位. 例 2 （2020 秋碑林区
3、校级期中）已知点（2，y1） ， （1，y2） ， （1，y3）都在直线 y3x+b 上，则 y1、y2、y3的值的大小关系是 y2y3y1 （用“”号连接） 【解答】解：k30， y 随 x 的增大而增大， 又112， y2y3y1 故答案为：y2y3y1 【方法总结】 本题考查了一次函数的性质，牢记“k0，y 随 x 的增大而增大；k0，y 随 x 的增大而减小”是解题的关键 例 3（2020 秋福田区期中）一次函数 y1ax+b 与一次函数 y2bxa 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：A、由 y1的图象可知，a0，b0；由 y2的图象可知，b0，a0
4、，即 a0，两结论矛盾，故错误； B、由 y1的图象可知，a0，b0；由 y2的图象可知，b0，a0，即 a0，两结论矛盾，故错误； C、由 y1的图象可知，a0，b0；由 y2的图象可知，b0，a0，即 a0，两结论相矛盾，故错误； D、由 y1的图象可知，a0，b0；由 y2的图象可知，b0，a0，即 a0，两结论符合，故正确 故选：D 【方法总结】 此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题一次函数 ykx+b 的图象有四种情况： 当 k0，b0，函数 ykx+b 的图象经过第一、二、三象限； 当 k0，b0，函数 ykx+b 的图象经过第一、三、四象限； 当 k0，b
5、0 时，函数 ykx+b 的图象经过第一、二、四象限； 当 k0，b0 时，函数 ykx+b 的图象经过第二、三、四象限 例 4 （2020 秋武侯区校级期中）若一次函数 y（k2）x+3k 的图象不经过第四象限，则 k 的取值范围是 2k3 【解答】解：当一次函数 y（k2）x+3k 的图象经过第一、三象限时， 203 = 0， k3； 当一次函数 y（k2）x+3k 的图象经过第一、二、三象限时， 203 0， 2k3 综上，k 的取值范围是 2k3 故答案为：2k3 【方法总结】 本题考查了一次函数图象与系数的关系，分一次函数图象经过第一、三象限及一次函数图象经过第一、二、三象限两种情况
6、，求出 k 的取值范围（或 k 的值）是解题的关键 例 5（2020 秋三水区校级期中）已知一次函数 y（2m+1）x+3+m （1）若 y 随 x 的增大而减小，求 m 的取值范围； （2）若图象经过点（1，1） ，求 m 的值，画出这个函数图象 【解答】解： （1）由题意得：2m+10， 解得：m12 （2）将点（1，1）代入可得：1（2m+1）+3+m， 解得：m1， y3x+4， 令 x0，则 y4， 图象经过点（1，1） ， （0，4） ， 如图： 【方法总结】 本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，注意掌握解答此类题目的一般步骤 【随堂练
7、习】 1 （2020 秋寿阳县期中）若函数 y（m3）x|m2|+3 是一次函数，则 m 的值为 1 【解答】解：由题意得： |m2|1，且 m30， 解得：m1， 故答案为：1 2 （2020济南）若 m2，则一次函数 y（m+1）x+1m 的图象可能是（ ） A B C D 【解答】解：m2， m+10，1m0， 所以一次函数 y（m+1）x+1m 的图象经过一，二，四象限， 故选：D 3 （2020 秋宁明县期中）已知一次函数 y（2m+1）x+m3，y 随着 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是 m12 【解答】解：y 随着 x 的增大而减小， 2m+10， m12 故答案为：m12
8、 4 （2020 秋太原期末）在同一直角坐标系中，一次函数 ykx+b 和 ybx+k 的图象可能正确的是（ ） A B C D 【解答】解：A、一条直线反映 k0，b0，一条直线反映 k0，b0，故本选项错误； B、一条直线反映出 k0，b0，一条直线反映 k0，b0，一致，故本选项正确； C、一条直线反映 k0，b0，一条直线反映 k0，b0，故本选项错误； D、一条直线反映 k0，b0，一条直线反映 k0，b0，故本选项错误 故选：B 知识点 2 用待定系数法求函数解析式及直线的位置关系 1、直线11bxky（01k）与22bxky（02k）的位置关系 （1）两直线平行21kk 且21b
9、b （2）两直线相交21kk （3）两直线重合21kk 且21bb （4）两直线垂直121kk 2、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤： （1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式； （2）将 x、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； （3）解方程得出未知系数的值； （4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. 【典例】【典例】 例 1（2020 秋宁化县期中）若函数 y4x1 与 yx+a 的图象交于 x 轴上一点，则 a 的值为（ ） A4 B4 C14 D4 【解答】解：函数 y4x1 与 yx+a 的图象交于
10、x 轴上一点， 令两方程中 y0，即 4x10， 解得：x=14， 把（14，0）代入 yx+a， 解得：a=14， 故选：C 【方法总结】【方法总结】 本题考查了一次函数与二元一次方程组，是基础题型，关键是掌握一次函数图象上点的坐标特征 例 2（2020 秋南关区校级期末）直线 ykx+b 与直线 y2x+2021 平行，且与 y 轴交于点 M（0，4） ，则其函数关系式是（ ） Ay2x+2020 By2x+4 Cy2x+4 Dy2x2020 【解答】解：直线 ykx+b 与 y2x+2021 平行， k2， 点 M（0，4）在直线 y2x+b 上， b4， 所求直线解析式为 y2x+4
11、故选：B 【方法总结】【方法总结】 本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即 k 值相同 例 3（2020 春西丰县期末）如图，一次函数 ykx+b 的图象经过 A（2，4） ，B（2，2）两点，与 y 轴交于点 C （1）求 k，b 的值，并写出一次函数的解析式； （2）求点 C 的坐标 【解答】解： （1）把 A（2，4） ，B（2，2）代入 ykx+b 得：2 + = 42 + = 2，解得 =32 = 1， 一次函数的解析式为：y=32x+1； （2）把 x
12、0 代入 y=32x+1 中得：y1， C（0，1） 【方法总结】【方法总结】 本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解此题的关键是熟练掌握待定系数法 【随堂练习】【随堂练习】 1 （2020 春安陆市期末）已知一次函数的图象过点（3，5）与点（4，9） ，则这个一次函数的解析式为 y2x1 【解答】解：设一次函数为 ykx+b（k0） ， 因为它的图象经过（3，5） ， （4，9） ， 所以3 + = 54 + = 9 解得： = 2 = 1， 所以这个一次函数为 y2x1， 故答案为 y2x1 2 （2020 春河北期末）若直线 yk1x+2 与直线 yk
13、2x4 的交点在 x 轴上，则12的值为（ ） A2 B2 C12 D12 【解答】解：令 y0，则 k1x+20， 解得 x= 21， k2x40， 解得 x=42， 两直线交点在 x 轴上， 21=42， 12= 12 故选：C 【点评】本题考查了两直线相交的问题，分别表示出两直线与 x 轴的交点的横坐标是解题的关键 知识点 3 一次函数的实际应用 一次函数的应用涉及问题： 1.分段函数问题 分段函数是在丌同区间有丌同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又符合实际。 2.函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然
14、后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数。 3.概括整合 （1）简单的一次函数问题：建立函数模型的方法；分段函数思想的应用。 （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。 【典例】【典例】 例 1 （2020丰台区模拟）弹簧原长（不挂重物）15cm，弹簧总长 L（cm）与重物质量 x（kg）的关系如下表所示： 弹簧总长 L（cm） 16 17 18 19 20 重物重量 x（kg） 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 当重物质量为 5kg（在弹性限度内）时，弹簧总长 L（cm）是（ ） A22.5 B25 C27.5 D30 【解答】解：设弹簧总长 L（cm）与重物质量 x（kg）的关系
15、式为 Lkx+b， 将（0.5，16） 、 （1.0，17）代入，得：0.5 + = 16 + = 17， 解得： = 2 = 15， L 与 x 之间的函数关系式为：L2x+15； 当 x5 时，L25+1525（cm） 故重物为 5kg 时弹簧总长 L 是 25cm， 故选：B 【方法总结】【方法总结】 此题主要考查根据实际问题列一次函数关系式，解决本题的关键是得到弹簧长度的关系式，难点是得到 x千克重物在原来基础上增加的长度 例 2 （2020 春东坡区期末） 一辆慢车和一辆快车沿相同的路线由甲到乙匀速前进， 甲、 乙间的路程为 200km，他们离甲地的路程 y（km）与慢车出发后的时间
16、 x（h）的函数图象如图所示 （1）慢车的速度是 40 km/h （2）求慢车出发后多长时间两车第一次相遇？ 【解答】解： （1）由图象可得， 慢车的速度为 200540（km/h） ， 故答案为：40； （2）设慢车出发后 ah 两车第一次相遇， 快车的速度为 200（42）100（km/h） ， 100（a2）40a， 解得，a=103， 答：慢车出发后103小时两车第一次相遇 【方法总结】【方法总结】 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 例 3（2020 春永春县期末）轿车和货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即返回甲地，货车到达乙地后停止如
17、图所示，y1、y2分别表示货车、轿车离甲地的距离（千米）与轿车所用时间（小时）的关系 （1）求 y1与 x 之间的函数关系式； （2）当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，求相遇处到甲地的距离 【解答】解： （1）设 y1与 x 之间的函数关系式是 y1kx， 2k90， 解得，k45， 即 y1与 x 之间的函数关系式是 y145x； （2）由图象可得， 轿车返回时的速度为：90（2.51.5）90（千米/小时） ， 设当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，货车行驶的时间为 ah， 45a+90（a1.5）90， 解得，a=53， 4553=75（千米） ， 即相遇处到甲地的距离是 75
18、 千米 【方法总结】【方法总结】 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 【随堂练习】【随堂练习】 1 （2020 春潮安区期末） 一个弹簧不挂重物时长 10cm， 挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上 1kg 的物体后，弹簧伸长 3cm，则弹簧总长 y（单位：cm）关于所挂重物 x（单位：kg）的函数关系式为 y3x+10 （不需要写出自变量取值范围） 【解答】解：弹簧总长 y（单位：cm）关于所挂重物 x（单位：kg）的函数关系式为 y3x+10， 故答案为：y3x+10 2 （2020 春南平期末）如图的图象反映的过程是：张明从家乘坐公交
19、车去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后步行回家图中 x 表示时间，y 表示张明离家的距离，根据图象回答下列问题： （1）体育场到张明家的距离是 2.5 千米，张明从体育场走到文具店用了 15 分钟； （2）求直线 DE 的解析式 【解答】解： （1）由图象可得， 体育场到张明家的距离是 2.5 千米，张明从体育场走到文具店用了 453015（分钟） ， 故答案为：2.5，15； （2）设直线 DE 的解析式为 ykx+b， 直线 DE 过点 D（65，1.5） ，E（80，0） ， 65 + = 1.580 + = 0， 解得， = 110 = 8， 即直线 DE 的解析式为
20、y= 110 x+8 3 （2020 春长清区期中）某联通公司有甲、乙两种手机收费业务：甲种业务规定月租费 10 元，每通话 1分钟收费 0.3 元；乙种业务不收月租费，但每通话 1 分钟收费 0.4 元 （1）分别写出甲、乙两种收费标准下每月应交费用 y（元）与通话时间 x 分钟之间的关系式； （2）选择哪种业务对顾客更合算？ 【解答】解： （1）由题意可得， y甲10+0.3x， y乙0.4x； （2）当 10+0.3x0.4x 时，解得，x100，即当 x100 时，选择甲种业务更合算； 当 10+0.3x0.4x 时，解得，x100，即当 x100 时，两种业务一样； 当 10+0.3
21、x0.4x 时，解答，x100，即当 x100 时，选择乙种业务对顾客更合算； 由上可得，当 x100 时，选择甲种业务更合算；x100 时，两种业务一样；当 x100 时，选择乙种业务对顾客更合算 知识点 4 一次函数与几何的简单应用 本部分为一次函数的综合运用题型，主要考查了三角形的面积公式、建立函数关系式，应用了用字母表示数、利用了数形结合、转化等重要的数学思想方法 【典例】 例 1（2020 秋市中区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点 B（6，0）的直线 AB 与直线 OA 相交于点 A（4，2） （1）直线 OA 的解析式为 y=12x ； 直线 AB 的解析式为 yx+6 （直接
22、写出答案，不必写过程） （2）求OAC 的面积 （3）一动点 M 沿路线 OAC 运动，当 SOCM3 时，求点 M 的坐标 【解答】解： （1）设直线 OA 的解析式为 ykx， 把 A（4，2）代入得，24k， 解得 k=12， 直线 OA 的解析式为 y=12x； 设直线 AB 的解析式是 yax+b，把 A（4，2） ，B（6，0）代入得4 + = 26 + = 0， 解得： = 1 = 6， 则直线 AB 的解析式是：yx+6； 故答案为 y=12x；yx+6； （2）在 yx+6 中，令 x0，解得：y6， C（0，6） ， SOAC=126412； （3）设 M 的横坐标为 m，
23、 SOCM3， SOCM=12 6 =3， m1， 当 M 在 y=12x 时，把 x1 代入 y=12得 y=121=12，则 M 的坐标是（1，12） ； 当 M 在在 yx+6 上时，把 x1 代入 yx+6 得 y1+65，则 M 的坐标是（1，5） 综上所述：M 的坐标是： （1，12）或（1，5） 【方法总结】 本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式以及三角形面积求法等知识， 利用 M 点横坐标为 1 分别求出是解题关键 例 2 （2020 秋吉安期中）如图，在平面直角坐标系中，点 C（4，0） ，点 A，B 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，且满足2 4 +|OA1|0 （1）
24、写点 A、B 的坐标及直线 AB 的解析式； （2）在 x 轴上是否存在点 D，使以点 B、C、D 为顶点的三角形的面积 SBCD=12SABC？若存在，请写出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】 （1）依题意得 OB240，OA10， OB2，OA1， A 的坐标为（1，0） ，B 的坐标为（0，2） ， 设 AB 的解析式为 ykx+2 将 A 坐标代入得 0k+2， k2 y2x+2； （2）存在， 设 D 的坐标为（x，0） ， A 的坐标为（1，0） ，B 的坐标为（0，2） ，点 C（4，0） ， AC5， SABC=12 5 2 =5， SBCD=12SABC， SBC
25、D=12 =52，即12|x（4）|2=52， |x+4|=52， x= 32或 x= 132， D 的坐标为（32，0）或（132，0） 【方法总结】 本题主要考查了非负数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积公式以及一次函数的综合应用，解题的关键是根据三角形面积公式列出方程 【随堂练习】 1 （2020 秋梅列区校级期中）如图，表示一个正比例函数与一个一次函数的图象，它们交于点 A（4，3） ，一次函数的图象与 y 轴交于点 B，且 OAOB （1）求直线 AB 的函数解析式； （2）若点 C 在直线 AB 上，AOC 的面积等于 20，求 C 点的坐标 【解答】解： （1）A（
26、4，3） OAOB= 32+ 42=5， B（0，5） ， 设直线 AB 的解析式为 ykx+b，则有4 + = 3 = 5， = 2 = 5， 直线 AB 的解析式为 y2x5； （2）设 C（x，2x5） ， 当 C 在第一象限时，SAOCSBOCSAOB=125x125420， 解得 x6， C（6，7） ； 当 C 在第四象限时，SAOCSBOC+SAOB=12（5x）+125420， 解得 x4， C（4，13） ， 综上，C 的坐标为（4，13）或（6，7） 2 （2020 秋即墨区校级期中）如图，一次函数 yx+3 的图象分别与 x 轴和 y 轴交于 C，A 两点，且与正比例函数
27、 ykx 的图象交于点 B（1，m） （1）求 m 的值； （2）求正比例函数的表达式； （3）点 D 是一次函数图象上的一点，且OCD 的面积是 4，求点 D 的坐标 【解答】解： （1）因为点 B（1，m）在一次函数 yx+3 的图象上， 所以，m1+32， （2）因为正比例函数 ykx 图象经过点 B（1，2） ， 所以，k2，所以，k2， 所以，y2x； （3）对于 yx+3，令 y0 得，x3， 所以，点 C 的坐标为（3，0） ，所以，OC3， 设点 D 的坐标为（x，y） ， 所以，12 3 |y|4， 所以，|y|83 当 y=83时，83=x+3，解得 x= 13， 所以，点
28、 D 的坐标为（13，83） ， 当 y= 83时，83=x+3，解得 x= 173， 所以，点 D 的坐标为（173，83） ， 故 D 的坐标为（13，83）或（173，83） 综合运用 1 （2020 秋陈仓区期中）已知点（4，y1） ， （2，y2）都在直线 y12x+2 上，则 y1与 y2的大小关系是（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 D不能比较 【解答】解：k120， y 随 x 的增大而减小， 又42， y1y2 故选：A 2 （2020 春江汉区月考）一次函数 ykx+b 的图象不经过第一象限，则 k、b 的取值范围分别是 k0，b0 【解答】解：一次函数 ykx+b
29、 的图象不经过第一象限， k0，b0 故答案为：k0，b0 3 （2020 春崇川区校级期末）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y= 34x+3 分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B，将AOB 沿过点 A 的直线折叠，使点 B 落在 x 轴的负半轴上，记作点 C，折痕与 y 轴交于点 D，则直线AD 的解析式为 y= 13 +43 【解答】解：如图， 当 x0 时，y= 34x+33， 点 B 的坐标为（0，3） ， 当 y0 时，有34x+30， 解得：x4， 点 A 的坐标为（4，0） 由折叠性质可知，ABDACD， ACAB，BDCD 在 RtAOB 中，AB= 2+ 2=5， AC5
30、， OCACOA541， 点 C 的坐标为（1，0） 设 ODm，则 CDBD3m， 在 RtCOD 中，OC2+OD2CD2，即 12+m2（3m）2， 解得：m=43， OD=43， 点 D 的坐标为（0，43） 设直线 AD 的解析式为 ykx+b（k0） ， 将 A（4，0） 、D（0，43）代入 ykx+b， 4 + = 0 =43， 解得： = 13 =43， 直线 AD 的解析式为 y= 13 +43 故答案为：y= 13 +43 4 （2020 秋安徽月考）已知经过点 A（4，1）的直线 ykx+b 与直线 yx 相交于点 B（2，a） ，求两直线与 x 轴所围成的三角形的面积
31、 【解答】解： （1）点 B（2，a）在直线 yx 上 a2， 又直线 ykx+b 经过点 A（4，1）和 B（2，2） ， 则4 + = 12 + = 2， 解这个方程组，得 =12 = 3， 故直线 ykx+b 的表达式为 y=12x3 直线 y=12 3 与 x 轴交点坐标是（6，0） ， 所求的面积 S=12626 5 （2020 秋兰州期末）如图，直线 l1：yx+4 分别与 x 轴，y 轴交于点 D，点 A，直线 l2：y=12x+1 与 x轴交于点 C，两直线 l1，l2相交于点 B，连 AC （1）求点 B 的坐标和直线 AC 的解析式； （2）求ABC 的面积 【解答】解：
32、（1） = + 4 =12 + 1， 解得， = 2 = 2， 点 B 的坐标为（2，2） ， 将 y0 代入 y=12x+1，得 x2，即点 C 的坐标为（2，0） ， 将 x0 代入 yx+4，得 y4，即点 A 的坐标为（0，4） ， 设过点 A 和点 C 的直线的解析式为 ykx+b， 2 + = 0 = 4，得 = 2 = 4， 即直线 AC 的解析式为 y2x+4； （2）将 y0 代入 yx+4 得，x4，即点 D 的坐标为（4，0） ， A 的坐标为（0，4） ，点 B 的坐标为（2，2） ，点 C 的坐标为（2，0） ，点 D 的坐标为（4，0） ， SABCSACDSCBD
33、=642622=6， 即ABC 的面积的是 6 6 （2020 春孝义市期末）某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种 收费方式，除按印刷份数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要，两种印刷方式的收费费用 y（元）与印刷份数 x（份）之间的函数关系如图所示： （1）填空：甲种收费方式的函数关系式是 y甲0.08x+20 ，乙种收费方式的函数关系式是 y乙0.12x ； （直接写出答案，不写过程） （2）根据函数图象，请直接写出如何根据每次印刷份数选择省钱的收费方式 （3）填空：该校八年级每次需印刷 800 份学案，选择 甲 种印刷方式较合算？（填“甲” “乙” ，
34、直接写出答案，不写过程） 【解答】解： （1）甲种收费方式每份的费用为： （6020）5000.08（元） ， y甲0.08x+20， 乙种收费方式每份的费用为：605000.12（元） ， y乙0.12x； 故答案为：y甲0.08x+20；y乙0.12x； （2）由图象可知，当印刷份数小于 500 份时，选择乙种方式省钱； 当印刷份数等于 500 份时，两种方式一样； 当印刷份数大于 500 份时，选择甲种方式省钱 （3）800500， 选择甲种印刷方式较合算 故答案为：甲 7 （2020雁塔区校级模拟）某年 5 月，我国南方某省 A，B 两市遭受严重洪涝灾害，1.5 万人被迫转移，邻近县市
35、 C，D 获知 A，B 两市分别急需救灾物资 200 吨和 300 吨的消息后，决定调运物资支援灾区已知 C 市有救灾物资 240 吨，D 市有救灾物资 260 吨，现将这些救灾物资全部调往 A，B 两市已知从 C市运往 A，B 两市的运费分别为每吨 20 元和 25 元，从 D 市运往 A，B 两市的运费分别为每吨 15 元和 30元，设从 D 市运往 B 市的救灾物资为 x 吨 （1）设 C，D 两市的总运费为 w 元，求 w 与 x 之间的函数关系式 （2）怎样安排调运使得总运费最小，并求出最小值 【解答】解：由题意可得：w20（x60）+25（300 x）+15（260 x）+30 x
36、10 x+10200， w10 x+10200（60 x260） ； （2）w10 x+10200（60 x260） k100， w 随 x 的增大而增大， 当 x60 时，w 有最小值为 10800 元， 答：从 D 市运往 B 市的救灾物资为 60 吨，从 D 市运往 A 市的救灾物资为 200 吨，从 C 市运往 B 市的救灾物资为 240 吨，从 C 市运往 A 市的救灾物资为 0 吨，此时总运费最小，最小值为 10800 元 8 （2020 秋大洼区月考）某玩具厂每天生产喜羊羊与灰太狼两种毛绒玩具共 450 个，两种玩具的成本和售价如下表所示如果设每天生产喜羊羊毛绒玩具 x 个，两种
37、毛绒玩具共获利 y 元 类别 成本（元/个） 售价（元/个） 喜羊羊 20 23 灰太狼 30 35 （1）求出 y 与 x 之间的函数关系及自变量 x 的取值范围； （2）如果该厂每天投入的成本不超过 10000 元，那么该厂要想每天获利最大，应该生产喜羊羊与灰太狼两种毛绒玩具各多少个？每天获利的最大值是多少？ 【解答】解： （1）由题意可得， y（2320）x+（3530）（450 x）2x+2250， 即 y 与 x 之间的函数关系是 y2x+2250（0 x450） ； （2）该厂每天投入的成本不超过 10000 元， 20 x+30（450 x）10000， 解得，x350， 350 x450， y2x+2250，k2， y 随 x 的增大而减小， 当 x350 时，y 取得最大值，此时 y1550，450 x100， 即该厂要想每天获利最大，应该生产喜羊羊与灰太狼两种毛绒玩具分别为 350 个、100 个，每天获利的最大值是 1550 元