2021年河南重点名校中考数学猜押最后一卷（含答案）

1、 2021 年河南重点名校中考数学猜押最后一卷年河南重点名校中考数学猜押最后一卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的 1 （3 分）23的相反数等于（ ） A23 B23 C32 D23 2 （3 分）如图所示的几何体是由五个小正方体搭建而成的，则从左面看得到的平面图形是（ ） A B C D 3 （3 分）5 月 11 日，国家统计局公布第七次全国人口普查主要数据结果，数据显示，全国人口共 141178万人， 与 2010 年的 133972 万人相比， 增加了 720

2、6 万人， 其中数据 141178 万用科学记数法表示为 （ ） A0.1411781010 B141178105 C1.41178109 D14117.8105 4 （3 分）如图，已知平行线 a，b，一个直角三角板的直角顶点在直线 a 上，另一个顶点在直线 b 上，若170，则2 的大小为（ ） A15 B20 C25 D30 5 （3 分）为传承经典，进一步弘扬中华优秀传统文化，提高学生的国学素养，某校举行了豫剧文化知识竞赛，进入决赛的学生共有 10 名，他们的决赛成绩如表所示： 决赛成绩/分 100 95 90 85 人数/名 2 3 2 3 则这 10 名学生决赛成绩的中位数和平均数

3、分别是（ ） A92，92.5 B95，93 C92.5，92 D92，93 6 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 x2（2m1）x+m2+10 有实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am34 Bm 43 Cm34 Dm 34 7 （3 分）若点 A（1，y1） ，B（4，y2） ，C（32，y3） ，在反比例函数 y=21的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系是（ ） Ay1y3y2 By2y3y1 Cy3y2y1 Dy2y1y3 8 （3 分）某快递公司推出无接触配送服务，第 1 周接到 5 万件订单，第 3 周接到 7.8 万件订单，设第 1 周到第 3 周订单的周平均增长率为 x

4、，则可列方程为（ ） A5（1+2x）7.8 B52（1+x）7.8 C5（1+x）27.8 D5+5（1+x）+5（1+x）27.8 9 （3 分）正方形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 A 的坐标为（0，3） ，点 B 的坐标为（2，4） ，将正方形 ABCD 平移，使点 B 落在点 D 的位置上（即平移后点 B 的对应点为点 D） ，则点 C 平移后的对应点的坐标为（ ） A （2，1） B （3，1） C （2，3） D （1，3） 10 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，BC9，AC12，按以下步骤作图：以 A 为圆心，任意长为半径作弧，分别与 AC，AB

5、交于点 D，E；分别以 D，E 为半径，大于12DE 的长度为半径画弧，两弧交于点 F；作射线 AF 交 BC 于点 G；以点 B 为圆心，BG 的长为半径画弧，交射线 AG 于点 H则线段 GH 的长为（ ） A35 B10 C4 D4.5 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）写出一个比5小的整数： 12 （3 分）不等式组 + 213 0的解集是 13 （3 分）学校新开设了航模、围棋、书法、绘画四个社团，如果小华和小玲两名同学各随机选择参加其中一个社团，那么小华和小玲选到同一个社团的概率为 14 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，A

6、B6，BC8，P 为 AD 边上的中点，点 M 在 AB 边上，点 N 在射线 BC 上，沿直线 MN 将BMN 折叠，点 B 恰好落在点 P 处，则 NC 的长为 15 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，O 为对角线的交点，E、F 分别为 BC、CD 的中点，以 C 为圆心， 2 为半径作， 再分别以 E、 F 为圆心， 1 为半径作、 ， 则图中阴影部分的面积为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值：2:2:12:（1:22x） ，其中 x= 2 +1 17 （9 分）某校为加强感恩教育，对七年

7、级部分学生是否知道母亲节情况进行调查，如图所示的是针对此次调查的扇形和条形统计图 （1）n ；参与调查的人数 ； （2）补全条形统计图； （3）若全校共有七年级学生 720 名，请你估计这所学校有多少名学生不知道母亲节 18 （9 分）九年级（1）班数学兴趣小组的同学们学完了三角函数知识后，决定在数学活动课上用自己学到的知识测量某公园人工湖亭子 A 与它正东方向的亭子 B 之间的距离，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量项目及结果如下表 项目 内容 课题 公园人工湖亭子 A 与它正东方向的亭子 B 之间的距离 测量示意图 如图，在 P 点用测角器测得亭子 A、B 所处的方位角

8、，测得点 P与亭子 A 之间的距离 测量数据 A 位于点 P B 位于点 P PA 的长度 北偏西 30 北偏东 42 200 米 请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出亭子 A 与亭子 B 之间的距离 （结果精确到 1 米，参考数据：sin420.67，cos420.74，tan420.90，3 1.73） 19 （9 分）随着 5G 网络的覆盖，某通信公司推出了两种全国流量套餐业务 套餐一：使用者每月需缴 5 元月租费，流量按 0.1 元/M 收费 套餐二：20 元套餐费，包含 500M 流量，超过 500M 的部分按 0.2 元/M 收取 设某人一个月内使用 5G 流量 xM，设按照套

9、餐一所需的费用为 y1；按照套餐二所需的费用为 y2 （1）试分别写出 y1、y2与 x 之间的函数关系式； （2）每月使用 5G 流量为多少时，两种套餐所需费用一样多？ 20 （9 分）定义：如果一个三角形中有两个内角 ，满足 +290，那么我们称这个三角形为“近直角三角形” （1）若ABC 是“近直角三角形” ，B90，C50，则A ； （2） 如图， 在 RtABC 中， ACB90， 点 O 为 AB 边上一点， 以 OB 为半径的圆与 AC 相切于点 D，连接 BD求证：ABD 是“近直角三角形” 21 （10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+bx+c 过 A

10、，B，C 三点， 点 A 的坐标是（3，0） ，点 C 的坐标是（0，3） ，点 B 在 x 轴上 （1）求这个抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； （2）P 是抛物线上一动点，若ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形，求所有符合条件的点 P 的坐标 22 （10 分）小亮在学习中遇到这样一个问题： 如图 1，在等腰ABC 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，P 是 AC 上的一个动点，AC4cm，当PEF为等腰三角形时，求线段 AP 的长度 小亮根据学习函数的经验，尝试结合函数研究此问题，请将下面的探究过程补充完整： （1）根据点 P 在 AC 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 A

11、P，PE，PF 的长度，得到下表的几组对应值： AP/cm 0 0.5 1 1.5 2 3 3.5 4 4.5 PE/cm 1.12 0.71 0.50 0.71 1.12 1.58 2.06 2.55 3.04 PF/cm 3.04 2.55 2.06 1.58 a 0.71 0.50 0.71 1.12 表格中 a 的值为 ； （2）将线段 AP 的长度作为自变量 x，PE 和 PF 的长度都是 x 的函数，分别记为 yPE和 yPF，并在平面直角坐标系 xOy 中画出了函数 yPE的图象， 如图 2 所示， 请在同一平面直角坐标系中画出函数 yPF的图象； （3）继续在同一坐标系中画出所

12、需的函数图象，并结合图象直接写出：当PEF 为等腰三角形时，线段AP 的长度 （结果保留一位小数） 23 （11 分）已知 D 是等腰直角ABC 所在平面上的任意一点，BAC90，连接 DA 并延长到点 E，使得 AEDA连接 BD，CD，以 DB，DC 为邻边作平行四边形 DBFC，连接 EF （1） 如图1， 当点D在ABC的直角角平分线上时， EF与BC的位置关系为 ， 数量关系为 ； （2）如图 2，当点 D 不在BAC 的平分线上时， （1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图 2 的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； （3）将 AD 绕点 A 逆时针旋转，当ACD15，

13、BFC90时，请直接写出的值 答案答案解析解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的 1 （3 分）23的相反数等于（ ） A23 B23 C32 D23 【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数根据相反数的定义解答即可 【解答】解：23的相反数是23 故选：A 2 （3 分）如图所示的几何体是由五个小正方体搭建而成的，则从左面看得到的平面图形是（ ） A B C D 【分析】根据简单组合体的三视图的意义可得答案 【解答】解：从这个组合体的左面看到的是两列，

14、其中第一列为 1 个，而第二列为 2 个， 因此选项 D 中的图形符合题意， 故选：D 3 （3 分）5 月 11 日，国家统计局公布第七次全国人口普查主要数据结果，数据显示，全国人口共 141178万人， 与 2010 年的 133972 万人相比， 增加了 7206 万人， 其中数据 141178 万用科学记数法表示为 （ ） A0.1411781010 B141178105 C1.41178109 D14117.8105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位

15、数相同当原数绝对值10 时，n是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：141178 万14117800001.41178109， 故选：C 4 （3 分）如图，已知平行线 a，b，一个直角三角板的直角顶点在直线 a 上，另一个顶点在直线 b 上，若170，则2 的大小为（ ） A15 B20 C25 D30 【分析】先根据平行线的性质求出3 的度数，再由余角的定义即可得出结论 【解答】解：ab，170 370， 直角三角板的直角顶点在直线 a 上， 290320， 故选：B 5 （3 分）为传承经典，进一步弘扬中华优秀传统文化，提高学生的国学素养，某校举行了豫剧文化知识竞赛，

16、进入决赛的学生共有 10 名，他们的决赛成绩如表所示： 决赛成绩/分 100 95 90 85 人数/名 2 3 2 3 则这 10 名学生决赛成绩的中位数和平均数分别是（ ） A92，92.5 B95，93 C92.5，92 D92，93 【分析】根据中位数、众数的定义进行计算即可 【解答】解：这 10 名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为90:952=92.5，因此中位数是 92.5， 这 10 名学生成绩平均数为1002:953:902:85310=92（分） ，即平均数为 92， 故选：C 6 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 x2（2m1）x+m2+10 有实

17、数根，则 m 的取值范围是（ ） Am34 Bm 43 Cm34 Dm 34 【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m的取值范围 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2（2m1）x+m2+10 有实数根， （2m1）241（m2+1）0， 解得：m 34 故选：D 7 （3 分）若点 A（1，y1） ，B（4，y2） ，C（32，y3） ，在反比例函数 y=21的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系是（ ） Ay1y3y2 By2y3y1 Cy3y2y1 Dy2y1y3 【分析】根据 k 的值确定双曲线所在的象限，进而明确函数的增减性，

18、再根据 A（1，y1） ，B（4，y2） ，C（32，y3）所在的象限，确定 y2、y1、y3的大小关系 【解答】解：km210， 反比例函数 y=21的图象位于二四象限，且在每个象限内，y 随 x 的增大而增大， 点 A（1，y1） ，C（32，y3）在第二象限，而 B（4，y2）在第四象限， 0y3y1，y20， y1y3y2， 故选：B 8 （3 分）某快递公司推出无接触配送服务，第 1 周接到 5 万件订单，第 3 周接到 7.8 万件订单，设第 1 周到第 3 周订单的周平均增长率为 x，则可列方程为（ ） A5（1+2x）7.8 B52（1+x）7.8 C5（1+x）27.8 D5

19、+5（1+x）+5（1+x）27.8 【分析】设第 1 周到第 3 周订单的周平均增长率为 x，那么第 2 周接到 5（1+x）万件订单，第 3 周接到5（1+x）2万件订单，而第 3 周接到 7.8 万件订单，根据第 3 周订单总件数不变，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 【解答】解：设第 1 周到第 3 周订单的周平均增长率为 x， 根据题意得：5（1+x）27.8， 故选：C 9 （3 分）正方形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 A 的坐标为（0，3） ，点 B 的坐标为（2，4） ，将正方形 ABCD 平移，使点 B 落在点 D 的位置上（即平移后点 B 的对

20、应点为点 D） ，则点 C 平移后的对应点的坐标为（ ） A （2，1） B （3，1） C （2，3） D （1，3） 【分析】设正方形 ABCD 平移后得到正方形 ABCD，作 BEy 轴于点 E，DFy 轴于点 F，CGDF 交 FD 的延长线于点 G，则 E（0，4） ，AE1，BE2，再证明BAEADFDCG，则 BEAFDG2，AEDFCG1，可确定正方形 ABCD 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度得到正方形 ABCD，根据平移的性质求出点 C的坐标即可 【解答】解：如图，正方形 ABCD 平移后得到正方形 ABCD， 作 BEy 轴于点 E，DFy 轴于点 F

21、，CGDF 交 FD 的延长线于点 G， A（0，3） ，B（2，4） ， E（0，4） ， AE1，BE2， 四边形 ABCD 是正方形， BAADDC，BADADC90， BEAAFDDGC90， BAE90DAFADF90CDGDCG， BAEADFDCG（AAS） ， BEAFDG2，AEDFCG1， OF4121，FG1+23， F（0，1） ，D（1，1） ，G（3，1） ， C（3，2） ， 将正方形 ABCD 平移，使点 B 落在点 D 的位置上， 正方形 ABCD 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度， xC312，yC231， C（2，1） ， 故选：A 1

22、0 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，BC9，AC12，按以下步骤作图：以 A 为圆心，任意长为半径作弧，分别与 AC，AB 交于点 D，E；分别以 D，E 为半径，大于12DE 的长度为半径画弧，两弧交于点 F；作射线 AF 交 BC 于点 G；以点 B 为圆心，BG 的长为半径画弧，交射线 AG 于点 H则线段 GH 的长为（ ） A35 B10 C4 D4.5 【分析】如图，过点 G 作 GTAB 于点 T，过点 B 作 BJGH 于点 J利用面积法求出 CG，再利用相似三角形的性质求出 GJ，可得结论 【解答】解：如图，过点 G 作 GTAB 于点 T，过点 B 作 BJGH

23、 于点 J 由作图可知，AG 平分CAB，BGBH， GCAC，GTAB， GCGT，设 GCGTx， 在 RtACB 中，AC12，BC9， AB= 2+ 2= 122+ 92=15， SACBSACG+SAGB， 12129=1212x+1215x， x4， GCGT4，GBBCCG5， AG= 2+ 2= 122+ 42=410， BGJAGC，BJGC90， BJGACG， =， 4=5410， GJ=102， BGBH，BJGH， JGJH， GH2GJ= 10， 故选：B 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）写出一个比5小的整数：

24、 如：5（答案不唯一） 【分析】先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后即可判断出所求的整数的范围 【解答】解：253， 3 52， 所有小于或等于3 的整数都可以 故答案为：5 12 （3 分）不等式组 + 213 0的解集是 x3 【分析】分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集即可 【解答】解： + 213 0， 解不等式，得：x1， 解不等式，得：x3， 不等式组的解集为：x3 故答案为：x3 13 （3 分）学校新开设了航模、围棋、书法、绘画四个社团，如果小华和小玲两名同学各随机选择参加其中一个社团，那么小华和小玲选到同一个社团的概率为 14 【分析】画

25、树状图，共有 16 种等可能的结果，其中小华和小玲选到同一个社团的结果有 4 种，再由概率公式求解即可 【解答】解：把航模、围棋、书法、绘画四个社团分别记为：A、B、C、D， 画树状图如下： 共有 16 种等可能的结果，其中小华和小玲选到同一个社团的结果有 4 种， 小华和小玲选到同一个社团的概率为416=14， 故答案为：14 14 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8，P 为 AD 边上的中点，点 M 在 AB 边上，点 N 在射线BC 上，沿直线 MN 将BMN 折叠，点 B 恰好落在点 P 处，则 NC 的长为 32 【分析】连接 BP，交 MN 于点 O 由折叠的性质

26、可知，BOPO= 13，ABPBNO，推出ABPONB，则=，即413=213，解得 BN=132，所以 CNBCBN8132=32 【解答】解：如图，连接 BP，交 MN 于点 O. 在 RtABP 中，BP= 2+ 2= 42+ 62=213， 由折叠的性质可知， BOPO= 13，BOMN ABPBNO， ABPONB， =， 即413=213， 解得 BN=132， CNBCBN8132=32 故答案为：32 15 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，O 为对角线的交点，E、F 分别为 BC、CD 的中点，以 C 为圆心， 2 为半径作， 再分别以 E、 F 为圆心， 1

27、为半径作、 ， 则图中阴影部分的面积为 2 【分析】连接 BD，OC，根据正方形的性质可得 OBOCOD= 2，OBOC，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形 BD 面积，即等于扇形 CBD 减去直角三角形 CBD 的面积之差 【解答】解：连接 BD，OC，如图， 正方形 ABCD 的边长为 2，O 为对角线的交点， BCCD，OBOCOBOCOD， OBOCOD= 2， 由题意可得：BD 经过点 O， 点 E，F 分别为 BC，AD 的中点， BEECCFDF1， = = 弓形 OB弓形 OD弓形 OC 阴影部分的面积等于弓形 BD 的面积 S阴影S扇形CBDSCBD=902236012

28、222 故答案为：2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）先化简，再求值：2:2:12:（1:22x） ，其中 x= 2 +1 【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得 【解答】解：原式=(+1)2(+1)（1:222） =+112 =1+(1:)(1;) =11， 当 x= 2 +1 时， 原式=1121= 22 17 （9 分）某校为加强感恩教育，对七年级部分学生是否知道母亲节情况进行调查，如图所示的是针对此次调查的扇形和条形统计图 （1）n 30 ；参与调查的人数 120 ； （2）补

29、全条形统计图； （3）若全校共有七年级学生 720 名，请你估计这所学校有多少名学生不知道母亲节 【分析】 （1）读图可知：用 360 分别减去 120 和 210，即可得出 n 的值； “记不清”的有 40 人，占总人数的120360，据此可得参与调查的人数； （2）分别求出“知道”和“不知道”所占比例，再乘以总人数即可求解； （3）用样本估计总体即可 【解答】解： （1）由题意，得 n36012021030， 参与调查的人数为：40120360=120（人） 故答案为：30；120； （2） “知道”为：120210360=70（人） ， “不知道”为：12030360=10（人） ，补全

30、条形统计图如下： （3）720 30360=60（名） ， 答：估计这所学校有 60 名学生不知道母亲节 18 （9 分）九年级（1）班数学兴趣小组的同学们学完了三角函数知识后，决定在数学活动课上用自己学到的知识测量某公园人工湖亭子 A 与它正东方向的亭子 B 之间的距离，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量项目及结果如下表 项目 内容 课题 公园人工湖亭子 A 与它正东方向的亭子 B 之间的距离 测量示意图 如图，在 P 点用测角器测得亭子 A、B 所处的方位角，测得点 P与亭子 A 之间的距离 测量数据 A 位于点 P B 位于点 P PA 的长度 北偏西 30 北偏东

31、42 200 米 请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出亭子 A 与亭子 B 之间的距离 （结果精确到 1 米，参考数据：sin420.67，cos420.74，tan420.90，3 1.73） 【分析】作 PHAB 于点 H，在直角APH 中求得 HP 和 AH 的长，然后在直角BPH 中利用三角函数求得 BH 的长，根据 ABAH+BH 即可求解 【解答】解：如图，作 PHAB 于点 H 由题意得，APH30，BPH42 在直角APH 中，APH30， AH=12AP=12200100（米） ， PHAPcosAPH20032=1003（米） ， 在直角PBH 中，BPH42， BHP

32、HtanBPH1003 tan421003 0.90903（米） ， 则 ABAH+BH100+903 100+901.73255.7256（米） 答：亭子 A 与亭子 B 之间的距离约为 256 米 19 （9 分）随着 5G 网络的覆盖，某通信公司推出了两种全国流量套餐业务 套餐一：使用者每月需缴 5 元月租费，流量按 0.1 元/M 收费 套餐二：20 元套餐费，包含 500M 流量，超过 500M 的部分按 0.2 元/M 收取 设某人一个月内使用 5G 流量 xM，设按照套餐一所需的费用为 y1；按照套餐二所需的费用为 y2 （1）试分别写出 y1、y2与 x 之间的函数关系式； （

33、2）每月使用 5G 流量为多少时，两种套餐所需费用一样多？ 【分析】 （1）根据题中给出的收费方式求解即可； （2）根据（1）中给出的关系式，令 y1y2求解即可 【解答】解： （1）由题意可得，y10.1x+5， 当 0 x500 时，y220； 当 x500 时，y20.2（x500）+200.2x80， y2= 20(0 500)0.2 80(500) （2）令 0.1x+520，解得 x150； 令 0.1x+50.2x80，解得 x850 每月使用 5G 流量 150M 或 850M 时，两种套餐所需费用一样多 20 （9 分）定义：如果一个三角形中有两个内角 ，满足 +290，那么

34、我们称这个三角形为“近直角三角形” （1）若ABC 是“近直角三角形” ，B90，C50，则A 20 ； （2） 如图， 在 RtABC 中， ACB90， 点 O 为 AB 边上一点， 以 OB 为半径的圆与 AC 相切于点 D，连接 BD求证：ABD 是“近直角三角形” 【分析】 （1）根据题意可得C+2A90，然后进行计算即可解答； （2）连接 OD，根据切线的性质可得ODA90，从而可得A+AOD90，再根据圆周角定理可得AOD2ABD，即可解答 【解答】 （1）解：ABC 是“近直角三角形” ，B90，C50， C+2A90， 2A9050， 2A40， A20， 故答案为：20；

35、（2）证明：连接 OD， AC 与O 相切于点 D， ODA90， A+AOD90， AOD2ABD， A+2ABD90， ABD 是“近直角三角形” 21 （10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+bx+c 过 A，B，C 三点， 点 A 的坐标是（3，0） ，点 C 的坐标是（0，3） ，点 B 在 x 轴上 （1）求这个抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； （2）P 是抛物线上一动点，若ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形，求所有符合条件的点 P 的坐标 【分析】 （1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式，再利用配方法将抛物线解析式化为顶点式，即可求得顶点 D 的

36、坐标； （2）分PAC90，PCA90两种情况分别求出点 P 的坐标即可 【解答】解： （1）将点 A（3，0） ，C（0，3）代入 yx2+bx+c， 得：9 + 3 + = 0 = 3， 解得： = 2 = 3， 此抛物线的表达式为 yx22x3 yx22x3（x1）24， 顶点 D 的坐标为（1，4）. （2）设 P（t，t22t3） ， 当PAC90时，如图 1，过点 P 作 PHx 轴于 H， OAOC3，AOC90， OACOCA45， PABPACOAC45， PHx 轴， AHP90， APH90PAB904545， PABAPH， PHAH， t22t33t， 解得：t2 或

37、 t3（舍去） ， P（2，5） ； 当PCA90时，如图 2，过点 P 作 PHy 轴于 H， OAOC3，AOC90， OACOCA45， PCH180PCAOCA180904545， PHy 轴， CHP90， CPH90PCH904545， PCHCPH， PHCH， t3（t22t3） ， 解得：t1 或 t0（舍去） ， P（1，4） 综上，符合条件的点 P 的坐标为（2，5）或（1，4） 22 （10 分）小亮在学习中遇到这样一个问题： 如图 1，在等腰ABC 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，P 是 AC 上的一个动点，AC4cm，当PEF为等腰三角形时，求线段 AP 的

38、长度 小亮根据学习函数的经验，尝试结合函数研究此问题，请将下面的探究过程补充完整： （1）根据点 P 在 AC 上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 AP，PE，PF 的长度，得到下表的几组对应值： AP/cm 0 0.5 1 1.5 2 3 3.5 4 4.5 PE/cm 1.12 0.71 0.50 0.71 1.12 1.58 2.06 2.55 3.04 PF/cm 3.04 2.55 2.06 1.58 a 0.71 0.50 0.71 1.12 表格中 a 的值为 1.12 ； （2）将线段 AP 的长度作为自变量 x，PE 和 PF 的长度都是 x 的函数，分别记为 yPE和

39、yPF，并在平面直角坐标系 xOy 中画出了函数 yPE的图象， 如图 2 所示， 请在同一平面直角坐标系中画出函数 yPF的图象； （3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当PEF 为等腰三角形时，线段AP 的长度 （结果保留一位小数） 【分析】 （1）根据线段中点的定义得到 AECF，AC，根据全等三角形的性质得到结论； （2）根据题意作出函数 yPF的图象即可； （3）根据三角形中位线的性质得到 EF=12AC2（cm） ，根据题意作出作出直线 yEF2，根据函数图象 的交点坐标即可得到结论 【解答】解： （1）AP2 时，点 P 为 AC 的中点， E，F 分别

40、是 AB，BC 的中点，ABBC， AECF，AC， APECPF（SAS） ， PEPF1.12， 即 a1.12， 故答案为：1.12； （2）函数 yPF的图象如图所示； （3）E，F 分别是 AB，BC 的中点， EF=12AC2（cm） ， PEF 为等腰三角形， PEEF 或 PFEF 或 PEPF， 如上图作出直线 yEF2， 当 PEEF 时，则 yEF2 的图象与 yPE的图象交点横坐标为 x3.2， 当 PFEF 时，则 yEF2 的图象与 yPF的图象交点横坐标为 x1.1， 当 PEPF 时，则 yPE的图象与 yPF的图象交点横坐标为 x2， 综上所述：线段 AP 长

41、度的近似值为 3.2cm 或 1cm 或 2cm 23 （11 分）已知 D 是等腰直角ABC 所在平面上的任意一点，BAC90，连接 DA 并延长到点 E，使得 AEDA连接 BD，CD，以 DB，DC 为邻边作平行四边形 DBFC，连接 EF （1）如图 1，当点 D 在ABC 的直角角平分线上时，EF 与 BC 的位置关系为 EFBC ，数量关系为 EFBC ； （2）如图 2，当点 D 不在BAC 的平分线上时， （1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图 2 的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； （3）将 AD 绕点 A 逆时针旋转，当ACD15，BFC90时，请直接写出

42、的值 【分析】 （1）设 EF 交 BC 于点 G，由 ABAC，AF 平分BAC 得 EFBC，因为四边形 DBFC 是平行四边形，所以 FGDG，而 AEDA，可得 EF2AGBC； （2） EFBC， EFBC 仍然成立， 设 EF 交 BC 于点 H， 连接 DF 交 BC 于点 G， 连接 AG， 则 FGDG，AEDA，根据三角形中位线定理可得 AGEF，AG=12EF，而 AGBC，AG=12BC，于是得 EFBC，EFBC； （3）分两种情况，一是点 D 与点 B 在直线 AC 的异侧，则BCD45+1560，由四边形 DBFC是平行四边形，且BFC90得BDC90， 于是可求

43、得 DC=12BC，AB=22BC， 可求得=22；二是点 D 与点 B 在直线 AC 的同侧， 则BCD451530， 于是可求得 DC=32BC， AB=22BC，可求得=62 【解答】 （1）解：如图 1，EF 交 BC 于点 G， ABAC，AF 平分BAC， EFBC， BAC90， AG=12BCBGCG， 四边形 DBFC 是平行四边形， FGDG， AEDA， EFAG+AE+FGAG+DA+DGAG+AG=12BC+12BCBC， 故答案为：EFBC，EFBC （2）解：成立， 证明：如图 2，EF 交 BC 于点 H，连接 DF 交 BC 于点 G，连接 AG， 四边形 D

44、BFC 是平行四边形， GFDG，BGCG， ABAC， AGBC， BAC90， AG=12BC， AEDA， AGEF，AG=12EF， EHBAGB90，12EF=12BC， EFBC，EFBC （3）解：如图 3，点 D 与点 B 在直线 AC 的异侧， ACBABC45，ACD15， BCD45+1560， 四边形 DBFC 是平行四边形，且BFC90， BDCBFC90， DCBCcosBCDBCcos60=12BC， ABBCcosABCBCcos45=22BC， =1222=22； 如图 4，点 D 与点 B 在直线 AC 的同侧， ACBABC45，ACD15， BCD451530， 四边形 DBFC 是平行四边形，且BFC90， BDCBFC90， DCBCcosBCDBCcos30=32BC， ABBCcosABCBCcos45=22BC， =3222=62， 综上所述，的值为22或62