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2022年高考数学一轮复习《第21讲函数不等式放缩》专题练习(含答案)

1、第21讲 函数不等式放缩1已知函数 ()设是函数的极值点,求的值并讨论的单调性;()当时,证明:2已知函数()设是函数的极值点,求的值并讨论的单调性;()当时,证明:3已知函数()设是函数的极值点,求的值并讨论的单调性;()当时,证明:4设,函数(1)求的单调区间;(2)证明:在上仅有一个零点;(3)若曲线在点处的切线与轴平行,且在点处的切线与直线平行是坐标原点),证明:5已知函数(1)讨论的单调性;(2)当时,证明:6已知函数为自然对数的底数)(1)求函数的最小值;(2)若,证明:7已知函数为自然对数的底数)(1)求的最小值;(2)设不等式的解集为,且,求实数的取值范围;(3)设,证明:8已

2、知函数,其中为实常数(1)若函数定义域内恒成立,求的取值范围;(2)证明:当时,;(3)求证:9已知函数(1)求函数的单调区间;(2)若在上恒成立,求的取值范围;(3)求证:10已知函数,其中为不大于零的常数(1)讨论的单调性;(2)证明:,为自然对数的底数)11已知函数,其中(1)讨论的单调性;(2)当时,证明:;(3)求证:对任意的且,都有:(其中为自然对数的底数)第21讲 函数不等式放缩1已知函数 ()设是函数的极值点,求的值并讨论的单调性;()当时,证明:【解析】(本题满分14分)解:(),是函数的极值点,即,所以(2分)于是函数,由,可得,因此,当时,;当时,所以,函数在上单调递减,

3、在上单调递增 (6分)()当时,对于任意,恒成立,又,恒成立,即,即2已知函数()设是函数的极值点,求的值并讨论的单调性;()当时,证明:【解析】解:(),是函数的极值点,(1),解得,定义域为,是的唯一零点,当时,函数单调递减;当时,函数单调递增()证明:当,时,又,取函数,当时,单调递减;当时,单调递增,得函数在时取唯一的极小值即最小值为(1),而上式三个不等号不能同时成立,故3已知函数()设是函数的极值点,求的值并讨论的单调性;()当时,证明:【解析】()解:,由是函数的极值点得(1),即,(2分)于是,由知在上单调递增,且(1),是的唯一零点(4分)因此,当时,递减;时,递增,函数在上

4、单调递减,在上单调递增(6分)()证明:当,时,又,(8分)取函数,当时,单调递减;当时,单调递增,得函数在时取唯一的极小值即最小值为(1)(12分),而上式三个不等号不能同时成立,故(14分)4设,函数(1)求的单调区间;(2)证明:在上仅有一个零点;(3)若曲线在点处的切线与轴平行,且在点处的切线与直线平行是坐标原点),证明:【解析】解:(1),在上为增函数(2)证明:,即,即,且由(1)问知函数在上为增函数,在上有且只有一个零点(3)证明:,设点,则),在点处的切线与轴平行,即:,将代入得,要证,即证,需要证,即证,因此构造函数,则,由得当时,当时,的最小值为,即:,5已知函数(1)讨论

5、的单调性;(2)当时,证明:【解析】(1)解:因为,求导,当时,恒成立,此时在上单调递增;当,由于,所以恒成立,此时在上单调递增;当时,令,解得:因为当,、当,所以在上单调递增、在,上单调递减综上可知:当时在上单调递增,当时,在上单调递增、在,上单调递减;(2)证明:由(1)可知:当时在上单调递增、在,上单调递减,所以当时函数取最大值从而要证,即证,即证,即证令,则,问题转化为证明:令,则,令可知,则当时,当时,所以在上单调递增、在上单调递减,即(2),即式成立,所以当时,成立6已知函数为自然对数的底数)(1)求函数的最小值;(2)若,证明:【解析】解:(1),令,得当时,当时,函数在区间上单

6、调递减,在区间上单调递增当时,有最小值1(2)证明:由(1)知,对任意实数均有,即令,2,则,即,7已知函数为自然对数的底数)(1)求的最小值;(2)设不等式的解集为,且,求实数的取值范围;(3)设,证明:【解析】()解:的导数令,解得;令,解得从而在内单调递减,在内单调递增所以,当时,取得最小值1()解:因为不等式的解集为,且,所以对于任意,不等式恒成立由,得当时,上述不等式显然成立,故只需考虑,的情况将变形为,令,则的导数,令,解得;令,解得从而在内单调递减,在内单调递增当时,取得最小值,实数的取值范围是()证明:由()得,对于任意,都有,即令,则,2,即,2,8已知函数,其中为实常数(1

7、)若函数定义域内恒成立,求的取值范围;(2)证明:当时,;(3)求证:【解析】解:(1)由题意则即在,上单调递增,;(2)即证,设,在,上单调递减,;(3)利用,令,得:,累加得:,当时,;9已知函数(1)求函数的单调区间;(2)若在上恒成立,求的取值范围;(3)求证:【解析】解:(1)因为函数,其定义域为所以即当时,增区间为;当时,减区间为,增区间为,(2)当时,函数增区间为,此时不满足在上恒成立;当时,函数减区间为,增区间为,要使在上恒成立,只需即可,即,令(a)则(a),解得,因此(a)在单调递增,在上单调递减,所以当时,(a)取最大值0,故在上恒成立,当且仅当时成立,即;(3)由(2)

8、知,令时,令,则综上成立10已知函数,其中为不大于零的常数(1)讨论的单调性;(2)证明:,为自然对数的底数)【解析】解:(1),(1分)当时,即,即,在单调递增,在单调递减;(3分)当,即时,对恒成立,在上单调递减;(5分)当时,或,上单调递增,在和上单调递减;(7分)综上所述,当时,在上单调递减,当时,在上单调递增,在和上单调递减当时,在单调递增,在上单调递减;(8分)(2)由(1)知,当时,在上单调递减,当时,由得:,(10分),(14分)11已知函数,其中(1)讨论的单调性;(2)当时,证明:;(3)求证:对任意的且,都有:(其中为自然对数的底数)【解析】解:(1)函数 的定义域为,当时,所以在上单调递增,当时,令,解得当时,所以,所以在上单调递减;当时,所以,所以在上单调递增综上,当时,函数在上单调递增;当时,函数在上单调递减,在上单调递增(2)当时,要证明,即证,即即设则,令得,当时,当时,所以为极大值点,也为最大值点所以(1),即故(3)证明:由(2),(当且仅当时等号成立)令,则,所以 ,即,所以