1、第20讲 导数与三角函数的综合问题高考预测一：含三角函数的不等式恒成立问题 1设（）求证：当时，；（）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围2已知函数的定义域为，且对任意实数、，都有（a）（b），当时，恒成立（1）求证：函数是上的减函数；（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围3已知函数，其中，为自然对数的底数（）求函数的单调区间；（）当时，求实数的取值范围4已知函数，当，时，（）若函数在处的切线与轴平行，求实数的值；（）求证：；（）若恒成立，求实数的取值范围高考预测二：含三角的不等式证明5已知函数（）求的单调区间；（）记为的从小到大的第个零点，证明：对一切，有6已知函数，若不存在极
2、值点，求的取值范围；（）若，证明：7（1）证明：，时，（2）若不等式对，恒成立，求实数的取值范围8（1）证明：当，时，；（2）证明：当时，对，恒成立9已知函数，若对于任意的实数恒有，求实数的取值范围10已知函数（1）讨论函数在区间，上的最小值；（2）当时，求证：对任意，恒有成立11已知函数（）求证：有唯一零点，且；（）对于（）中的，当，时，求实数的取值范围12已知函数（1）当时，设，求的最小值；（2）求证：当，时，13已知函数（1）求函数在内的单调递增区间；（2）当，时，求证：14已知函数，为常数）（1）求函数在处的切线方程；（2）设（）若为偶数，当时，函数在区间上有极值点，求实数的取值范围；
3、（）若为奇数，不等式在，上恒成立，求实数的最小值第20讲 导数与三角函数的综合问题高考预测一：含三角函数的不等式恒成立问题 1设（）求证：当时，；（）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围【解析】（）证明：，则，设，则，（2分）当时，即为增函数，所以，即在时为增函数，所以（4分）（）解法一：由（）知时，所以，（6分）设，则，设，则，当时，所以为增函数，所以，所以为增函数，所以，所以对任意的恒成立（8分）又，时，所以时对任意的恒成立（9分）当时，设，则，所以存在实数，使得任意，均有，所以在为减函数，所以在时，所以时不符合题意综上，实数的取值范围为，（12分）（）解法二：因为等价于（6分）设，则
4、可求，（8分）所以当时，恒成立，在，是增函数，所以，即，即所以时，对任意恒成立（9分）当时，一定存在，满足在时，所以在是减函数，此时一定有，即，即，不符合题意，故不能满足题意，综上所述，时，对任意恒成立（12分）2已知函数的定义域为，且对任意实数、，都有（a）（b），当时，恒成立（1）求证：函数是上的减函数；（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围【解析】（1）证明：设，则，当时，恒成立，则，函数是上的减函数；（2）解：，则不等式当时，显然成立；，则且，解得综上，实数的取值范围是，3已知函数，其中，为自然对数的底数（）求函数的单调区间；（）当时，求实数的取值范围【解析】解：（），令，当
5、，单调递增，（2分），单调递减 （4分）（） 令，即恒成立，而，令，在，上单调递增，（6分）当时，在，上单调递增，符合题意；当时，在，上单调递减，与题意不合； （8分）当时，为一个单调递增的函数，而，由零点存在性定理，必存在一个零点，使得，当，时，从而在，上单调递减，从而，与题意不合，综上所述：的取值范围为，（12分）4已知函数，当，时，（）若函数在处的切线与轴平行，求实数的值；（）求证：；（）若恒成立，求实数的取值范围【解析】解：，函数在处的切线与轴平行，则，得证明：当，时，令，则当，时，在，上是增函数，即当，时，令，则当，时，在，单调递增，综上可知：；（）解：设令，则，令，则当，时，可得是
6、，上的减函数，故在，单调递减，当时，在，上恒成立下面证明当时，在，上不恒成立令，则当，时，故在，上是减函数，当时，存在，使得，此时，即在，不恒成立综上实数的取值范围是，高考预测二：含三角的不等式证明5已知函数（）求的单调区间；（）记为的从小到大的第个零点，证明：对一切，有【解析】解：（），由，解得，当，此时，函数单调递减，当，此时，函数单调递增，故的单调增区间为，单调递减区间为，（）由（）知，在区间上单调递减，又，故，当，且函数的图象是连续不间断的，在区间，内至少存在一个零点，又在区间，是单调的，故，因此当时，有成立当时，有当时，综上证明：对一切，有6已知函数，若不存在极值点，求的取值范围；（
7、）若，证明：【解析】解：（），设，（1）时：，在上单增，其值域是，存在，使，且在处左右两边值异号，是的极值点，得不可取；（2）时：时，在其上单减时，在其上单增，在处取极小值也是最小值若 即，在上单增，无极值点得可取，若 即在上的值域是，存在，使，且在处左右两边值异号，是的极值点得不可取；所以的取值范围是，（），故，要证明，只需证明，（1）当时，故成立；（2）当时，设，则，设，则，故在，递增，故（1），即，故在，递增，故（1），即，综上，若，7（1）证明：，时，（2）若不等式对，恒成立，求实数的取值范围【解析】（1）证明：记，则，当时，在，上是增函数，当，时，在，上是减函数，又，（1），当，时，
8、即，记，则当时，在，上是减函数则，即综上，；（2）当，时，不等式恒成立，即恒成立，也就是恒成立，即恒成立，则在，上恒成立恒成立，解得实数的取值范围是，8（1）证明：当，时，；（2）证明：当时，对，恒成立【解析】证明：（1），则，恒成立，在，上递减，在，上递减，；（4分）记，则，恒成立，在，上递增，在，上递增，；（7分）（2），时，当时，对，恒成立（14分）9已知函数，若对于任意的实数恒有，求实数的取值范围【解析】解：对于任意的实数恒有，即有，即，显然，时，显然成立；由偶函数的性质，只要考虑的情况当时，即为，由，则，考虑的导数为，即递减，即有，即，则有，故，即有，解得则实数的取值范围为，10已知
9、函数（1）讨论函数在区间，上的最小值；（2）当时，求证：对任意，恒有成立【解析】（1）解：函数的定义域是，当时，则，则函数在上单调递减，即函数在区间，上单调递减，故函数在区间，上的最小值为；当时，令，得；令，得，故函数在上单调递减，在上单调递增，当，即时，函数在区间，上单调递增，故函数在区间，上的最小值为（1），当，即时，函数在区间，上单调递减，故函数在区间，上的最小值为，当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，此时函数在区间，上的最小值为，综上，当时，函数在区间，上的最小值为；当时，函数在区间，上的最小值为；当时，函数在区间，上的最小值为（1）（2）证明：当时，要证，即证，因为，所以两边同
10、时乘，得，即证，当时，而，所以成立，即成立，当时，令，则，设，则因为，因为，所以，所以当时，单调递增，所以，即，所以在上单调递增，所以，即成立，综上，对任意，恒有成立11已知函数（）求证：有唯一零点，且；（）对于（）中的，当，时，求实数的取值范围【解析】证明：函数，则，又，故在上单调递增，所以，故在上单调递增，又，（1），所以在上存在唯一零点；解：由知，时，所以，即问题等价于在，恒成立，令，令，当，时，所以，即，故在，上单调递减，所以当，时，所以，故实数的取值范围是12已知函数（1）当时，设，求的最小值；（2）求证：当，时，【解析】（1）解：函数，所以，则，故在,上恒成立，所以在,上单调递增，
11、则有，所以在,上单调递增，则有，故的最小值为0；（2）证明：令，则在,上恒成立，所以在,上单调递减，则有，所以，即,由（1）可知，对,恒成立，即，即，当时，,因为,所以，所以，故，令，则对恒成立，所以在,上单调递增，则有，即，所以，故13已知函数（1）求函数在内的单调递增区间；（2）当，时，求证：【解析】解：（1）由题意知，所以当时，解得，即在的单调递增区间是，；（2）证明：令，只需证即可，故在单调递减，即，所以，从而在上单调递减，即恒成立，当时，恒成立，即，由（1）知，当时，恒成立，综上，得证14已知函数，为常数）（1）求函数在处的切线方程；（2）设（）若为偶数，当时，函数在区间上有极值点，
12、求实数的取值范围；（）若为奇数，不等式在，上恒成立，求实数的最小值【解析】解：（1）函数，所以，则，当时，故切点为，由点斜式可得函数在处的切线方程为，即；（2）当为偶数时，则，令，则，因为且，所以在上恒成立，则在上单调递减，其中，因为在有极值点，所以且，即，当时，存在，使得，令，即，在上单调递增；令，即，在，上单调递减，所以在有极值点，故实数的取值范围为当为奇数时，在，上恒成立，当时，；当时，恒成立，又，令，则，所以，因为，当时，所以恒成立，所以在，上单调递减，所以，故符合题意；当时，则在上恒成立，所以当时，单调递增，与题意不符合；当时，则，所以在上存在零点，设为在上的最小零点，则时，因此在上单调递增，所以，不符合题意综上所述，的最小值为