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2022年高考数学一轮复习《第20讲导数与三角函数的综合问题》专题练习(含答案)

1、第20讲 导数与三角函数的综合问题高考预测一:含三角函数的不等式恒成立问题 1设()求证:当时,;()若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围2已知函数的定义域为,且对任意实数、,都有(a)(b),当时,恒成立(1)求证:函数是上的减函数;(2)若不等式对任意实数恒成立,求实数的取值范围3已知函数,其中,为自然对数的底数()求函数的单调区间;()当时,求实数的取值范围4已知函数,当,时,()若函数在处的切线与轴平行,求实数的值;()求证:;()若恒成立,求实数的取值范围高考预测二:含三角的不等式证明5已知函数()求的单调区间;()记为的从小到大的第个零点,证明:对一切,有6已知函数,若不存在极

2、值点,求的取值范围;()若,证明:7(1)证明:,时,(2)若不等式对,恒成立,求实数的取值范围8(1)证明:当,时,;(2)证明:当时,对,恒成立9已知函数,若对于任意的实数恒有,求实数的取值范围10已知函数(1)讨论函数在区间,上的最小值;(2)当时,求证:对任意,恒有成立11已知函数()求证:有唯一零点,且;()对于()中的,当,时,求实数的取值范围12已知函数(1)当时,设,求的最小值;(2)求证:当,时,13已知函数(1)求函数在内的单调递增区间;(2)当,时,求证:14已知函数,为常数)(1)求函数在处的切线方程;(2)设()若为偶数,当时,函数在区间上有极值点,求实数的取值范围;

3、()若为奇数,不等式在,上恒成立,求实数的最小值第20讲 导数与三角函数的综合问题高考预测一:含三角函数的不等式恒成立问题 1设()求证:当时,;()若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围【解析】()证明:,则,设,则,(2分)当时,即为增函数,所以,即在时为增函数,所以(4分)()解法一:由()知时,所以,(6分)设,则,设,则,当时,所以为增函数,所以,所以为增函数,所以,所以对任意的恒成立(8分)又,时,所以时对任意的恒成立(9分)当时,设,则,所以存在实数,使得任意,均有,所以在为减函数,所以在时,所以时不符合题意综上,实数的取值范围为,(12分)()解法二:因为等价于(6分)设,则

4、可求,(8分)所以当时,恒成立,在,是增函数,所以,即,即所以时,对任意恒成立(9分)当时,一定存在,满足在时,所以在是减函数,此时一定有,即,即,不符合题意,故不能满足题意,综上所述,时,对任意恒成立(12分)2已知函数的定义域为,且对任意实数、,都有(a)(b),当时,恒成立(1)求证:函数是上的减函数;(2)若不等式对任意实数恒成立,求实数的取值范围【解析】(1)证明:设,则,当时,恒成立,则,函数是上的减函数;(2)解:,则不等式当时,显然成立;,则且,解得综上,实数的取值范围是,3已知函数,其中,为自然对数的底数()求函数的单调区间;()当时,求实数的取值范围【解析】解:(),令,当

5、,单调递增,(2分),单调递减 (4分)() 令,即恒成立,而,令,在,上单调递增,(6分)当时,在,上单调递增,符合题意;当时,在,上单调递减,与题意不合; (8分)当时,为一个单调递增的函数,而,由零点存在性定理,必存在一个零点,使得,当,时,从而在,上单调递减,从而,与题意不合,综上所述:的取值范围为,(12分)4已知函数,当,时,()若函数在处的切线与轴平行,求实数的值;()求证:;()若恒成立,求实数的取值范围【解析】解:,函数在处的切线与轴平行,则,得证明:当,时,令,则当,时,在,上是增函数,即当,时,令,则当,时,在,单调递增,综上可知:;()解:设令,则,令,则当,时,可得是

6、,上的减函数,故在,单调递减,当时,在,上恒成立下面证明当时,在,上不恒成立令,则当,时,故在,上是减函数,当时,存在,使得,此时,即在,不恒成立综上实数的取值范围是,高考预测二:含三角的不等式证明5已知函数()求的单调区间;()记为的从小到大的第个零点,证明:对一切,有【解析】解:(),由,解得,当,此时,函数单调递减,当,此时,函数单调递增,故的单调增区间为,单调递减区间为,()由()知,在区间上单调递减,又,故,当,且函数的图象是连续不间断的,在区间,内至少存在一个零点,又在区间,是单调的,故,因此当时,有成立当时,有当时,综上证明:对一切,有6已知函数,若不存在极值点,求的取值范围;(

7、)若,证明:【解析】解:(),设,(1)时:,在上单增,其值域是,存在,使,且在处左右两边值异号,是的极值点,得不可取;(2)时:时,在其上单减时,在其上单增,在处取极小值也是最小值若 即,在上单增,无极值点得可取,若 即在上的值域是,存在,使,且在处左右两边值异号,是的极值点得不可取;所以的取值范围是,(),故,要证明,只需证明,(1)当时,故成立;(2)当时,设,则,设,则,故在,递增,故(1),即,故在,递增,故(1),即,综上,若,7(1)证明:,时,(2)若不等式对,恒成立,求实数的取值范围【解析】(1)证明:记,则,当时,在,上是增函数,当,时,在,上是减函数,又,(1),当,时,

8、即,记,则当时,在,上是减函数则,即综上,;(2)当,时,不等式恒成立,即恒成立,也就是恒成立,即恒成立,则在,上恒成立恒成立,解得实数的取值范围是,8(1)证明:当,时,;(2)证明:当时,对,恒成立【解析】证明:(1),则,恒成立,在,上递减,在,上递减,;(4分)记,则,恒成立,在,上递增,在,上递增,;(7分)(2),时,当时,对,恒成立(14分)9已知函数,若对于任意的实数恒有,求实数的取值范围【解析】解:对于任意的实数恒有,即有,即,显然,时,显然成立;由偶函数的性质,只要考虑的情况当时,即为,由,则,考虑的导数为,即递减,即有,即,则有,故,即有,解得则实数的取值范围为,10已知

9、函数(1)讨论函数在区间,上的最小值;(2)当时,求证:对任意,恒有成立【解析】(1)解:函数的定义域是,当时,则,则函数在上单调递减,即函数在区间,上单调递减,故函数在区间,上的最小值为;当时,令,得;令,得,故函数在上单调递减,在上单调递增,当,即时,函数在区间,上单调递增,故函数在区间,上的最小值为(1),当,即时,函数在区间,上单调递减,故函数在区间,上的最小值为,当,即时,函数在上单调递减,在上单调递增,此时函数在区间,上的最小值为,综上,当时,函数在区间,上的最小值为;当时,函数在区间,上的最小值为;当时,函数在区间,上的最小值为(1)(2)证明:当时,要证,即证,因为,所以两边同

10、时乘,得,即证,当时,而,所以成立,即成立,当时,令,则,设,则因为,因为,所以,所以当时,单调递增,所以,即,所以在上单调递增,所以,即成立,综上,对任意,恒有成立11已知函数()求证:有唯一零点,且;()对于()中的,当,时,求实数的取值范围【解析】证明:函数,则,又,故在上单调递增,所以,故在上单调递增,又,(1),所以在上存在唯一零点;解:由知,时,所以,即问题等价于在,恒成立,令,令,当,时,所以,即,故在,上单调递减,所以当,时,所以,故实数的取值范围是12已知函数(1)当时,设,求的最小值;(2)求证:当,时,【解析】(1)解:函数,所以,则,故在,上恒成立,所以在,上单调递增,

11、则有,所以在,上单调递增,则有,故的最小值为0;(2)证明:令,则在,上恒成立,所以在,上单调递减,则有,所以,即,由(1)可知,对,恒成立,即,即,当时,,因为,所以,所以,故,令,则对恒成立,所以在,上单调递增,则有,即,所以,故13已知函数(1)求函数在内的单调递增区间;(2)当,时,求证:【解析】解:(1)由题意知,所以当时,解得,即在的单调递增区间是,;(2)证明:令,只需证即可,故在单调递减,即,所以,从而在上单调递减,即恒成立,当时,恒成立,即,由(1)知,当时,恒成立,综上,得证14已知函数,为常数)(1)求函数在处的切线方程;(2)设()若为偶数,当时,函数在区间上有极值点,

12、求实数的取值范围;()若为奇数,不等式在,上恒成立,求实数的最小值【解析】解:(1)函数,所以,则,当时,故切点为,由点斜式可得函数在处的切线方程为,即;(2)当为偶数时,则,令,则,因为且,所以在上恒成立,则在上单调递减,其中,因为在有极值点,所以且,即,当时,存在,使得,令,即,在上单调递增;令,即,在,上单调递减,所以在有极值点,故实数的取值范围为当为奇数时,在,上恒成立,当时,;当时,恒成立,又,令,则,所以,因为,当时,所以恒成立,所以在,上单调递减,所以,故符合题意;当时,则在上恒成立,所以当时,单调递增,与题意不符合;当时,则,所以在上存在零点,设为在上的最小零点,则时,因此在上单调递增,所以,不符合题意综上所述,的最小值为