1、第12讲 解析几何通解研究高考预测一：向量搭桥进行翻译 类型一：以夹角为锐角、直角、钝角为背景的向量翻译1已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点（）当抛物线过点时，求抛物线的方程；（）证明：是定值2已知椭圆（1）求椭圆的短轴长和离心率；（2）过点的直线与椭圆相交于两点，设的中点为，点，判断与的大小，并证明你的结论3如图，椭圆的一个焦点是，为坐标原点（）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（）设过点的直线交椭圆于、两点若直线绕点任意转动，值有，求的取值范围4已知椭圆过点，、为其左、右焦点，且的面积等于（1）求椭圆的方程；（2）若、是直线上的两个动点
2、，满足，问以为直径的圆是否恒过定点？若是，请给予证明；若不是，请说明理由5已知椭圆过点，且离心率为（1）求椭圆的方程；（2）过的直线交椭圆于，两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由6已知抛物线，过点的直线交与、两点，圆是以线段为直径的圆（）证明：坐标原点在圆上；（）设圆过点，求直线与圆的方程类型二：以共线为背景的向量翻译7已知、分别是椭圆的左、右焦点，其左准线与轴相交于点，并且满足，（1）求此椭圆的方程；（2）设、是这个椭圆上的两点，并且满足，当时，求直线的斜率的取值范围8已知，分别为椭圆的左、右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线，垂足为，线段的垂直平分线交于点（
3、）求动点的轨迹的方程；（）过点作直线交曲线于两个不同的点和，设，若，求的取值范围高考预测二：以弦长、面积为背景的条件翻译9已知点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）设过点的动直线与椭圆相交于，两点当的面积最大时，求直线的方程10已知椭圆的焦点在轴上，椭圆的左顶点为，斜率为的直线交椭圆于、两点，点在椭圆上，直线交轴于点（）当点为椭圆的上顶点，的面积为时，求椭圆的离心率；（）当，时，求的取值范围11如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，满足，的中点均在抛物线上（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）设中点为，且，证明
4、：；（3）若是曲线上的动点，求面积的最小值高考预测三：斜率为背景的条件翻译12设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，直线不与轴重合，求的值13设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于，两点，已知点的坐标为（）当与轴垂直时，求点、的坐标及的值；（）设为坐标原点，证明：14在直角坐标系中，抛物线与直线交于、两点（1）当时，分别求抛物线在点和处的切线方程；（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由15已知曲线上动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，若过的动直线与曲线相交于，两点（1）说明曲线的形状，并写出其标准方程；（2）
5、是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由高考预测四：选用合适的方程形式或面积公式实现简化计算16（1）直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，证明：；（2）直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，点在抛物线的准线上，且轴，证明：直线经过原点17设椭圆，直线过椭圆左焦点且不与轴重合，椭圆交于、，左准线与轴交于，当与轴垂直时，（1）求椭圆的方程；（2）直线绕着旋转，与圆交于，两点，若，求的面积的取值范围为椭圆的右焦点）高考预测五：利用计算的对称性避免重复计算18已知动点到定点的距离比到定直线的距离小1（1）求证：点轨迹为抛物线，并求出其轨迹方程；（2）
6、大家知道，过圆上任意一点，任意作互相垂直的弦、，则弦必过圆心（定点）受此启发，研究下面问题：过（1）中的抛物线的顶点任意作互相垂直的弦、，问：弦是否经过一个定点？若经过，请求出定点坐标，否则说明理由；研究：对于抛物线上顶点以外的定点是否也有这样的性质？请提出一个一般的结论，并证明19设椭圆，其离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为（）求椭圆的方程；（）设曲线的上、下顶点分别为、，点在曲线上，且异于点、，直线，与直线分别交于点，（1）设直线，的斜率分别为，求证：为定值；（2）求线段长的最小值高考预测六：设而不求，整体代换20已知平面内一动点在轴的上方，点到的距离与它到轴的距离的差等于1（1）求动点轨迹的方程；（2）设，为曲线上两点，与的横坐标之和为4求直线的斜率；设为曲线上一点，在处的切线与直线平行，且，求直线的方程21已知抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为，设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中，为切点（1）求抛物线的方程；（2）当点，为直线上的定点时，求直线的方程；（3）当点在直线上移动时，求的最小值