1、第14讲 解析几何常见常考模型高考预测一：垂直弦模型 1已知抛物线的焦点是，若过焦点的直线与相交于，两点，所得弦长的最小值为4（1）求抛物线的方程；（2）设，是抛物线上两个不同的动点，为坐标原点，若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值2已知椭圆，、是椭圆上的两点（）求椭圆的方程；（）是否存在直线与椭圆交于、两点，交轴于点，使成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由3已知曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等（）求曲线的方程；（）若不经过坐标原点的直线与曲线交于，两点，且求证：直线过定点4已知椭圆的左、右两个焦点分别是，焦距为2，点在椭圆上且满足，（）求椭圆的标准方程；（）点
2、为坐标原点，直线与椭圆交于，两点，且，证明为定值，并求出该定值5已知抛物线焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且（）求此抛物线的方程；（）过点做直线交抛物线于，两点，求证：6已知，为椭圆上的两个动点，满足（1）求证：原点到直线的距离为定值；（2）求的最大值；（3）求过点，且分别以，为直径的两圆的另一个交点的轨迹方程高考预测二：内接直角三角形模型7在直角坐标系中，点到、的距离之和是4，点的轨迹与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和（1）求轨迹的方程；（2）当时，求与的关系，并证明直线过定点8已知椭圆的中心在坐标原点，左、右焦点分别为，为椭圆上的动点，的面积最大值为，以原点为圆心，椭
3、圆短半轴长为半径的圆与直线相切（1）求椭圆的方程；（2）若直线过定点且与椭圆交于，两点，点是椭圆的右顶点，直线与直线分别与轴交于，两点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由9过抛物线上不同两点、分别作抛物线的切线相交于点，（1）求点的轨迹方程；（2）已知点，是否存在实数使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由10已知椭圆，点、分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线（不与轴重合）交于，两点（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求的面积；（3）是否存在直线，使得点在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由11已知焦点在轴上的椭圆过点，且离
4、心率为，为椭圆的左顶点（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点的直线与椭圆交于，两点若直线垂直于轴，求的大小；若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由高考预测三：中点弦模型12已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切、是椭圆的左、右顶点，直线过点且与轴垂直（1）求椭圆的标准方程；（2）设是椭圆上异于、的任意一点，作轴于点，延长到点使得，连接并延长交直线于点，为线段的中点，判断直线与以为直径的圆的位置关系，并证明你的结论13已知椭圆的左、右焦点分别为、，为上顶点，交椭圆于另一点，且的周长为8，点到直线的距离为2（）
5、求椭圆的标准方程；（）求过作椭圆的两条互相垂直的弦，、分别为两弦的中点，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标14已知，是椭圆上的三个点，是坐标原点（）当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积；（）当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由15已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，的面积为（1）求椭圆的方程：（2）设椭圆的左、右顶点为，过的直线与椭圆交于不同的两点，（不同于点，探索直线，的交点能否在一条垂直于轴的定直线上，若能，求出这条定直线的方程；若不能，请说明理由16已知椭圆：过点，其左、右顶点分别为，左、右焦点为，其中，（1）求栖圆的方程：（2）设，为椭
6、圆上异于，两点的任意一点，于点，直线，设过点与轴垂直的直线与直线交于点，证明：直线经过线段的中点17已知定圆，动圆和已知圆内切，且过点，（1）求圆心的轨迹及其方程；（2）试确定的范围，使得所求方程的曲线上有两个不同的点关于直线对称高考预测四：角分线模型18已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点，在轴上，离心率（1）求椭圆的方程；（2）求的平分线所在直线的方程；（3）在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由19如图，在平面直角坐标系中，椭圆，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连结，并延长交椭圆于点，设直线的斜率为（）当时，求点
7、到直线的距离；（）证明：对任意，都有20设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足丨丨丨丨当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（）过原点且斜率为的直线交曲线于、两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点，是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由21已知椭圆经过点，的四个顶点构成的四边形面积为（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上是否存在相异两点，使其满足：直线与直线的斜率互为相反数；线段的中点在轴上若存在，求出的平分线与椭圆相交所得弦的弦长；若不存在，请说明理由22
8、如图，已知椭圆，是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且，（）求椭圆的方程；（）设、为椭圆上异于，且不重合的两点，且的平分线总是垂直于轴，是否存在实数，使得，若存在，请求出的最大值，若不存在，请说明理由23已知椭圆过点（）求椭圆的方程，并求其离心率；（）过点作轴的垂线，设点为第四象限内一点且在椭圆上（点不在直线上），点关于的对称点为，直线与交于另一点设为原点，判断直线与直线的位置关系，并说明理由24已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且以点为圆心，长为半径的圆与直线相切（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线，分别交抛物线于点，若的平分线与轴平行，试探究：直线的斜率是否为定值？若为定值，求出该定值
9、；若不为定值，请说明理由25如图，设为抛物线的焦点，是抛物线上一定点，其坐为，为线段的垂直平分线上一点，且点到抛物线的准线的距离为（1）求抛物线的方程；（2）过点任作两条斜率均存在的直线、，分别与抛物线交于点、，如图示，若直线的斜率为定值，求证：直线、的倾斜角互补高考预测五：切线模型26已知左、右焦点分别为、的椭圆与直线相交于、两点，使得四边形为面积等于的矩形（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上一动点（不在轴上）作圆的两条切线、，切点分别为、，直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，求的面积的取值范围27已知为抛物线上一点，是抛物线的焦点，且（1）求抛物线的方程；（2）过圆上任意一点，作抛物线的两条切
10、线，与抛物线相切于点，与轴分别交于点，求四边形面积的最大值28已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点，处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且经过点（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的右焦点，直线与椭圆相切于点（点在第一象限），过原点作直线的平行线与直线相交于点，问：线段的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由29已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，直线与椭圆有且只有一个公共点（1）求该椭圆的离心率以及标准方程；（2）若点是轴上任一定点，动弦所在直线过点且与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，则是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由