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2022年高考数学一轮复习《第6讲数列的综合》专题练习(含答案)

1、第6讲 数列的综合高考预测一:数列不等式的证明 1(1)当时,求证:;(2)当时,求证:2若为正整数),求证:不等式对一切正整数恒成立3已知正项数列的前项和为,且,()求,的值,并写出数列的通项公式;()设,数列的前项和为,求证:4等比数列的前项和为,已知对任意的,点均在函数且,均为常数)的图象上(1)求的值;(2)当时,记,证明:对任意的,不等式成立5已知曲线,2,从点向曲线引斜率为的切线,切点为,(1)求数列与的通项公式;(2)证明:6已知函数()当曲线在,(1)处的切线与直线垂直时,求的值;()求函数的单调区间求证:7已知函数(1)求函数的单调区间;(2)若恒成立,试确定实数的取值范围;

2、(3)证明:,8已知函数(1)求的极值;(2)求证:且9已知函数()讨论的单调性;()求证:10设数列的前项和为,已知,()求数列的通项公式;()证明:对一切正整数,有11已知二次函数的图象过点,且(1)求的解析式;(2)若数列满足,且,求数列的通项公式;(3)对于(2)中的数列,求证:12已知函数(1)若,求的值;(2)设为整数,且对于任意正整数,求的最小值13已知函数,(1),令,(1)求数列的通项公式;(2)证明14已知函数,数列满足条件:,试比较与1的大小,并说明理由15设数列的前项和为,且,(1)求证:数列为等比数列,并求;(2)设数列满足,数列的前项和为,求证:16已知数列满足:且

3、,且(1)求数列的通项公式;(2)当时,记,设数列的前项和为,求证:17设二次函数满足:的解集为;对任意都有成立数列满足:,(1)求的值;(2)求的解析式;(3)求证:第6讲 数列的综合高考预测一:数列不等式的证明 1(1)当时,求证:;(2)当时,求证:【解析】解:(1)证明:,故不等式成立 (2)证明:,即2若为正整数),求证:不等式对一切正整数恒成立【解析】证明:即:不等式对一切正整数恒成立3已知正项数列的前项和为,且,()求,的值,并写出数列的通项公式;()设,数列的前项和为,求证:【解析】解:()解:当时,即,又,解得,由,可得,即,又,是首项为1,公差为1的等差数列,;()证明:由

4、()得:,当时,将上式对从1到求和,得,注意到:,将上式对从1到求和,得,所以经验证,当时,上式也成立4等比数列的前项和为,已知对任意的,点均在函数且,均为常数)的图象上(1)求的值;(2)当时,记,证明:对任意的,不等式成立【解析】解:(1)由题意,当时,且,所以时,是以为公比的等比数列,又,即,解得,的值;(2)证明:当时,由(1)知,因此,不等式为当时,左式,右式,左式右式,所以结论成立假设时结论成立,即,则当时,要证当时结论成立,只需证成立,只需证:成立,显然成立,当时,成立,综合可知不等式成立5已知曲线,2,从点向曲线引斜率为的切线,切点为,(1)求数列与的通项公式;(2)证明:【解

5、析】解:(1)设直线,联立,得,则,(负值舍去),可得,;(2)证明:,由,即为,即有,可得;由,设,由,可得,即,在,递增,由,可得,即有,即,则6已知函数()当曲线在,(1)处的切线与直线垂直时,求的值;()求函数的单调区间求证:【解析】解:,(2分)由题意可得(1),即解得,(3分)由知:(5分)当时,在区间和上,;在区间上,(6分)故的单调递减区间是和,单调递增区间是(7分)当时,在区间上;在区间上(8分)故的单调递增区间是,单调递减区间是(9分)综上所述:当时,函数的单调递减区间是和,单调递增区间是;当时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是(10分)由及知:当时,且即当,时,恒有成

6、立由知:;得,即(14分)7已知函数(1)求函数的单调区间;(2)若恒成立,试确定实数的取值范围;(3)证明:,【解析】解:(1)函数的定义域为,当时,在上是增函数;当时,若时,有,若,时,有,则在上是增函数,在,上是减函数(2)由(1)知时,在上是增函数,而(1),不成立,故,又由(1)知的最大值为,要使恒成立,则即可,即,得(3)由(2)知,当时,有在恒成立,且在上是减函数,(1),即在,上恒成立,令,则,即,从而,则,8已知函数(1)求的极值;(2)求证:且【解析】解:(1)的定义域为,令,解得:,当时,在是增函数,当时,在,是减函数,在处取得极大值,无极小值(2)证明:由(1),取,当

7、时取等号,令,故故;9已知函数()讨论的单调性;()求证:【解析】(本小题满分12分)解:()的定义域为,(1分)当时,在上单调递减;(2分)当时,由解得;由解得;(4分)所以在上单调递增,在上单调递减(5分)()证明:由()得当时,(1),即当且仅当时等号成立(6分)所以,(7分),(9分)所以,(11分)即(12分)10设数列的前项和为,已知,()求数列的通项公式;()证明:对一切正整数,有【解析】()解:,当时,由,得,数列是以首项为,公差为1的等差数列,当时,上式显然成立;()证明:由()知,当时,原不等式成立当时,原不等式亦成立当时,当时,原不等式亦成立综上,对一切正整数,有11已知

8、二次函数的图象过点,且(1)求的解析式;(2)若数列满足,且,求数列的通项公式;(3)对于(2)中的数列,求证:【解析】解:(1)由,解之得,即;(2),由累加得,;(3),当时,显然成立;当时,12已知函数(1)若,求的值;(2)设为整数,且对于任意正整数,求的最小值【解析】解:(1)因为函数,所以,且(1)所以当时恒成立,此时在上单调递增,这与矛盾;当时令,解得,所以在上单调递减,在上单调递增,即(a),若,则(a)(1),从而与矛盾;所以;(2)由(1)可知当时,即,所以当且仅当时取等号,所以,即;因为为整数,且对于任意正整数,成立,当时,所以的最小值为313已知函数,(1),令,(1)

9、求数列的通项公式;(2)证明【解析】(1)解:函数,(1),联立解得:令,两边取倒数可得:,变形为:,数列是等比数列,首项为1,公比为,(2)证明:,数列单调递增,14已知函数,数列满足条件:,试比较与1的大小,并说明理由【解析】解:,函数在区间,上单调递增,于是由,得,由此猜想:以下用数学归纳法证明这个猜想:当时,结论成立;假设时结论成立,即,则当时,由在区间,上单调递增知,即时,结论也成立由、知,对任意,都有即,15设数列的前项和为,且,(1)求证:数列为等比数列,并求;(2)设数列满足,数列的前项和为,求证:【解析】证明:(1),时,相减可得,化为:,数列为等比数列,首项与公比都为,化为:(2),数列的前项和为,16已知数列满足:且,且(1)求数列的通项公式;(2)当时,记,设数列的前项和为,求证:【解析】解:(1)当时,当时,故;当时,;故;(2)证明:当时,可验证,故,故证毕17设二次函数满足:的解集为;对任意都有成立数列满足:,(1)求的值;(2)求的解析式;(3)求证:【解析】(1)解:由于对任意都有成立,则令,得,则;(2)解:由于的解集为,可设,由,可得,则;(3)证明:,则,即有,令,则,由于,则有,即有,则,则,则由于,则上式,则原不等式成立