1、第10讲 空间向量高考预测一：线线角、线面角、二面角、距离问题 1如图，在三棱锥中，底面，为的中点，为中点，（1）求证：平面；（2）求与平面成角的正弦值；（3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由2如图，在三棱柱中，为的中点，且（1）求证：平面；（2）求多面体的体积；（3）求二面角的平面角的余弦值3如图，在梯形中，四边形为矩形，平面平面，（）求证：平面；（）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围4如图，在几何体中，底面是平行四边形，平面，与交于点（）求证：平面；（）若平面 与平面 所成的锐二面角余弦值为，求线段的长度5在四棱锥中，
2、底面是直角梯形，为的中点，平面平面求与成角的余弦值（1）求平面与平面所成的锐二面角的大小；（）在棱上是否存在点使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由6如图，三棱柱中，侧面为的菱形，（1）证明：平面平面（2）若，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值7如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面，四边形为平行四边形，（）若，求证：平面；（）若，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积8如图，在三棱锥中，平面，（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）求点到平面的距离9如图，在直三棱柱中，（1）若，求证：平面；（2）若，是棱上的一动点试确定点的位置，使点到平面的距离等于10如图，四棱锥的底面是边长
3、为2的正方形，（1）证明：；（2）当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时二面角的大小第10讲 空间向量 高考预测一：线线角、线面角、二面角、距离问题1如图，在三棱锥中，底面，为的中点，为中点，（1）求证：平面；（2）求与平面成角的正弦值；（3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由【解析】（1）证明：底面，又，平面，平面，为的中点，平面；（2）由题意建立如图所示的空间直角坐标系，0，2，2，0，1，1，2，设平面的法向量为，则，取，设与平面成角为，则（3）假设在线段上存在点，使得平面设，2，平面，平面的法向量为，0，解得点是靠近点的四等分点2如图，在三棱柱
4、中，为的中点，且（1）求证：平面；（2）求多面体的体积；（3）求二面角的平面角的余弦值【解析】解：（1）证明：，为的中点又，平面又，面（2）棱锥（3）以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图则，0，0，0，2，2，0，设是面的一个法向量，则由得可取，1，同理设是面的一个法向量，且，0，则由得取二面角为锐二面角，所以其平面角的余弦值为3如图，在梯形中，四边形为矩形，平面平面，（）求证：平面；（）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围【解析】解：证明：在梯形中，平面平面，平面平面，平面平面由可建立分别以直线，为轴，轴，轴的如图所示空间直角坐标系，令，则，1，
5、0，设为平面的一个法向量，由得取，则，是平面的一个法向量当时，有最小值，当时，有最大值4如图，在几何体中，底面是平行四边形，平面，与交于点（）求证：平面；（）若平面 与平面 所成的锐二面角余弦值为，求线段的长度【解析】（）证明：取的中点，连接，又点为的中点，又，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面；（）解：，又平面，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系可得：，0，0，0，0，1，设平面的法向量为，则，可得：，取，设平面的法向量为，则，可得：，取，平面 与平面 所成的锐二面角余弦值为，解得或由平面 与平面 所成二面角为锐二面角，因此取5在四棱锥中，底面是直角梯形，为的中点，平面平面求
6、与成角的余弦值（1）求平面与平面所成的锐二面角的大小；（）在棱上是否存在点使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由【解析】解：取的中点，连接，平面平面，平面平面，平面，平面；如图所示，以为原点，所在的直线为轴，在平面内过垂直于的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系；由直角梯形中，可得，0，1，2，0，0，2，0，；，与成角的余弦值为；（）由，1，设平面的法向量为，即，令，得，；取平面的一个法向量，1，；，平面与平面所成的锐二面角为；（）设，则，0，0，若平面，则，解得，即时，满足平面6如图，三棱柱中，侧面为的菱形，（1）证明：平面平面（2）若，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成
7、角的正弦值【解析】证明：（1）连接交于，连接，侧面为菱形，为的中点，又，平面平面平面平面（2）由，平面，平面，从而，两两互相垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，直线与平面所成的角为，设，则，又，是边长为2的等边三角形，0，0，1，设是平面的法向量，则，令，设直线与平面所成的角为则直线与平面所成角的正弦值为7如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面，四边形为平行四边形，（）若，求证：平面；（）若，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积【解析】证明：（）若，则四边形为正方形，则，为直角三角形，则，平面，平面，则，平面；（）若，则，建立以为坐标原点，分别为，轴的空间直角坐标系如图
8、：则，0，0，0，则，0，设面的一个法向量为，0，则，则，令，则，则，设面的一个法向量为，则，令，则，则，0，二面角的余弦值为，即，得，即，则三棱锥的体积8如图，在三棱锥中，平面，（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）求点到平面的距离【解析】解：如图示：，以为原点建立空间直角坐标系，由题意得：，0，0，1，2，0，（）证明：，1，1，0，即，平面；（）解：由（）可得，1，为平面的一个法向量，设平面的法向量为，而，1，0，则，即，不妨设，可得，1，易知二面角为锐角，因此有，即二面角的余弦值是；（）解：，0，1，0，作平面，垂足为，设，且，由，得：，解得，即点到平面的距离是9如图，在直三棱柱中
9、，（1）若，求证：平面；（2）若，是棱上的一动点试确定点的位置，使点到平面的距离等于【解析】（1）证明：当时，又，且，平面而平面，由，得到平面（2）解：如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为，0，、，2，、，2，设，0，设平面的法向量为，则，2，且，取，得平面的一个法向量为，且，又，于是点到平面的距离，或（舍所以，当点为棱的中点时，点到平面的距离等于10如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，（1）证明：；（2）当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时二面角的大小【解析】（1）证明：分别取，的中点，连接，因为，所以，又因为，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以，在中，因为垂直平分，所以，又因为，所以，从而可得；（2）解：由（1）知，是二面角的平面角，设，在中，过点作于，则，因为平面，平面，所以平面平面，又因为平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，即为，设直线与平面所成角为，所以，令，则，当且仅当，即时，有最大值2，此时直线与平面所成角为的正弦值最大，所以当直线与平面所成角的正弦值最大时，二面角的大小为