1、第3讲 解三角形高考预测一：三角形中的求值问题类型一：三角恒等变换 1在中，内角、的对边分别为、，已知（1）求的值；（2）若，求的面积2在中，内角、所对的边分别为、，已知，（）求角的大小；（）若，求的面积3的内角，的对边分别为，设（1）求；（2）若，求4在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答问题：的内角，的对边分别为，若，_，求和类型二：几何图形5在中，点在边上，（1）求；（2）求的面积6如图，在中，点在边上，且，（1）求；（2）求，的长7如图，在中，点在线段上（1）若，求的长；（2）若，的面积为，求的值8如图，在平面四边形中，（1）求的值；（2）若，求的长9如图，在平面四边形中，（
2、1）求；（2）若，求10在平面四边形中，的面积为2（1）求的长；（2）求的面积11如图，在平面四边形中，（1）当四边形内接于圆时，求四边形的面积；（2）当四边形的面积最大时，求对角线的长12如图所示，已知圆内接四边形，记（1）求证：；（2）若，求的值及四边形的面积13如图，角，为平面四边形的四个内角，（1）若，求；（2）若，求14某市欲建一个圆形公园，规划设立，四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其中，的位置已确定，（单位：百米），记，且已知圆的内接四边形对角互补，如图，请你为规划部门解决以下问题（1）如果，求四边形的区域面积；（2）如果圆形公园的面积为万平方米，求的值类型三：向量问题1
3、5锐角的内角，所对的边分别为，向量与平行（1）求角；（2）若，求周长的取值范围16在中，内角，的对边分别为，且已知，求：（1）和的值；（2）的值17中，、分别是三内角、的对边，若解答下列问题：（1）求证：；（2）求的值；（3）若，求的面积高考预测二：三角形中的取值范围或最值类型一：化为角的关系18设是锐角三角形，分别是内角，所对边长，（1）求角的大小；（2）求的取值范围19在中，角、的对边分别为、，、成等差数列（1）若，求的值；（2）设，求的最大值20在中，角，所对的边分别为，角，依次成等差数列（1）若，试判断的形状；（2）若为钝角三角形，且，试求的取值范围类型二：周长或边长的范围21在中，角
4、，所对的边分别是，且，依次成等差数列（1）求角的大小；（2）若，求周长的取值范围22在中，角，所对的边分别为，已知（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围23在中，角，所对的边分别为，且（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，其外接圆的半径为，求的周长的取值范围类型三：面积的范围24在中，角，的对边分别为，且满足（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值25在内角、的对边分别为，已知（1）求角；（2）若，求面积的最大值26的内角、的对边分别为，已知（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围27已知圆的半径为为常数），它的内接三角形满足成立，其中，分别为，的对边，（1）求角；（2）求三
5、角形面积的最大值第3讲 解三角形高考预测一：三角形中的求值问题类型一：三角恒等变换 1在中，内角、的对边分别为、，已知（1）求的值；（2）若，求的面积【解析】解：（1），；（2）由（1）可得，由余弦定理可得，解得，则，2在中，内角、所对的边分别为、，已知，（）求角的大小；（）若，求的面积【解析】（本题满分为12分）解：（），分可得：，可得：，分中，可得，可得：分（）由（）可得，可得：，分，分，由正弦定理，可得：，分分（注：解法较多，酌情给分，直接的也给分）3的内角，的对边分别为，设（1）求；（2）若，求【解析】解：（1）的内角，的对边分别为，由正弦定理得：，（2），由正弦定理得，解得，4在，这
6、三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答问题：的内角，的对边分别为，若，_，求和【解析】解：若选，由正弦定理可得，则，由余弦定理可得，又，若选，由正弦定理可得，若选，由正弦定理可得，或，类型二：几何图形5在中，点在边上，（1）求；（2）求的面积【解析】解：（1）由，可得，则（2）在中，由正弦定理可得，即，解得，所以，所以的面积6如图，在中，点在边上，且，（1）求；（2）求，的长【解析】解：（1）在中，因为，所以，所以（2）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得：所以7如图，在中，点在线段上（1）若，求的长；（2）若，的面积为，求的值【解析】解：（1）中，中，由正弦定理可得，；（2）设，则，的
7、面积为，由正弦定理可得，8如图，在平面四边形中，（1）求的值；（2）若，求的长【解析】解：，（1）在中，由余弦定理，得；（2）设，则，在中，由正弦定理，解得：即的长为39如图，在平面四边形中，（1）求；（2）若，求【解析】解：（1）中，由正弦定理得，即，解得；（2）由，所以，在中，由余弦定理得：，解得10在平面四边形中，的面积为2（1）求的长；（2）求的面积【解析】解：（1）由已知，所以，又，所以，在中，由余弦定理得：，所以（2）由，得，所以，又，所以为等腰三角形，即，在中，由正弦定理得：，所以11如图，在平面四边形中，（1）当四边形内接于圆时，求四边形的面积；（2）当四边形的面积最大时，求对
8、角线的长【解析】（本题满分为14分）解：（1）连接，由余弦定理可得：，可得：，分又四边形内接于圆，则又，所以：，化简可得：，又，所以，分所以，分（2）设四边形的面积为，则，可得：，分可得：，可得：，平方后相加，可得：，即：，分又，当时，有最大值，即有最大值此时，代入，可得：，又，可得：，分在中，可得：，可得分12如图所示，已知圆内接四边形，记（1）求证：；（2）若，求的值及四边形的面积【解析】解：（1）（2）由于：，由题知：，可得：，则，则，则，13如图，角，为平面四边形的四个内角，（1）若，求；（2）若，求【解析】解：（1）在中，中，由正弦定理，（2）在中，在中，可得：，可得：，可得，则，1
9、4某市欲建一个圆形公园，规划设立，四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其中，的位置已确定，（单位：百米），记，且已知圆的内接四边形对角互补，如图，请你为规划部门解决以下问题（1）如果，求四边形的区域面积；（2）如果圆形公园的面积为万平方米，求的值【解析】解：（1）连结，可得四边形的面积为：，四边形内接于圆，可得在中，由余弦定理可得：，同理可得：在中，结合，得，解得，代入式，可得四边形面积（2）设圆形公园的半径为，则面积为万平方米，可得：，可得：，由正弦定理，可得：，由余弦定理可得：，两边平方，整理可得：，整理可得：，解得：，或类型三：向量问题15锐角的内角，所对的边分别为，向量与平行（1
10、）求角；（2）若，求周长的取值范围【解析】解：（1）因为：，所以：，由正弦定理，得：，又因为：，从而可得：，由于：，所以：（2）因为：由正弦定理知，可得：三角形周长，又因为：，所以：，因为：为锐角三角形，所以：，所以：16在中，内角，的对边分别为，且已知，求：（1）和的值；（2）的值【解析】解：（1），可得，即为；，即为，解得，或，由，可得，；（2）由余弦定理可得，则17中，、分别是三内角、的对边，若解答下列问题：（1）求证：；（2）求的值；（3）若，求的面积【解析】证明：（1）因，故，即由正弦定理，得，故，因为，故，故（4分）（2）因，故，由余弦定理得，即；又由（1）得，故，故（10分）（3
11、）由得，即，故，因，故，故是正三角形，故面积（16分）高考预测二：三角形中的取值范围或最值类型一：化为角的关系18设是锐角三角形，分别是内角，所对边长，（1）求角的大小；（2）求的取值范围【解析】解：（1）由正弦定理得：，为锐角，故，而为锐角，（2），是锐角三角形，19在中，角、的对边分别为、，、成等差数列（1）若，求的值；（2）设，求的最大值【解析】解：（1）、成等差数列，；（2），的最大值是20在中，角，所对的边分别为，角，依次成等差数列（1）若，试判断的形状；（2）若为钝角三角形，且，试求的取值范围【解析】解：（1），依次成等差数列，由余弦定理，为正三角形（2）要求的式子，故代数式的取值
12、范围是，类型二：周长或边长的范围21在中，角，所对的边分别是，且，依次成等差数列（1）求角的大小；（2）若，求周长的取值范围【解析】解：（1），成等差数列，又，；（2）在中，由正弦定理，的周长又，周长的取值范围，22在中，角，所对的边分别为，已知（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围【解析】解：（1）由已知得：，即，即，又为三角形的内角，则；（2），即，由余弦定理得：，即，则23在中，角，所对的边分别为，且（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，其外接圆的半径为，求的周长的取值范围【解析】解：（1）中，由，得，即；所以；又，所以；（2）由（1）知，且外接圆的半径为，由正弦定理得，；由正弦定理
13、得；所以；，所以；又为锐角三角形，则且，又，则，所以；所以；所以，即周长的取值范围是，类型三：面积的范围24在中，角，的对边分别为，且满足（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值【解析】解：（1），由正弦定理，得：整理得在中，（2）由余弦定理，当且仅当时取“”三角形的面积三角形面积的最大值为25在内角、的对边分别为，已知（1）求角；（2）若，求面积的最大值【解析】解：（1），根据正弦定理，得，比较，可得，即，结合为三角形的内角，可得；（2）中，根据余弦定理，可得，化简可得，即当且仅当时等号成立面积，综上所述，当且仅当时，面积的最大值为26的内角、的对边分别为，已知（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围【解析】解：（1），即为，可得，若，可得，不成立，由，可得；（2）若为锐角三角形，且，由余弦定理可得，由三角形为锐角三角形，可得且，且，解得，可得面积，27已知圆的半径为为常数），它的内接三角形满足成立，其中，分别为，的对边，（1）求角；（2）求三角形面积的最大值【解析】解：（1），由正弦定理得，代入，得，由余弦定理知，；（2）由（1）知，当且仅当时，