1、2022 年年浙江省杭州市浙江省杭州市中考中考冲刺数学试冲刺数学试卷卷（2） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1（2021绍兴）实数 2，0，3，中，最小的数是（ ） A2 B0 C3 D 2（2021金华）太阳与地球的平均距离大约是 150000000 千米，其中数 150000000 用科学记数法表示为（ ） A1.5108 B15107 C1.5107 D0.15109 3（2021湖州）下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A经过红绿灯路口，遇到绿灯 B射击运动员射击一次，命中靶心 C班里的两名同学，他
2、们的生日是同一天 D从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 4（2021金华）将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（ ） A B C D 5（2021杭州）下列计算正确的是（ ） A2 B2 C2 D2 6（2021绍兴）如图，正方形 ABCD 内接于O，点 P 在上，则BPC 的度数为（ ） A30 B45 C60 D90 7（2021湖州）已知抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴的交点为 A（1，0）和 B（3，0），点 P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于 A，B 的两个点，记P1AB 的面积为 S1，P2AB 的面积为 S2，有
3、下列结论：当 x1x2+2 时，S1S2；当 x12x2时，S1S2；当|x12|x22|1 时，S1S2；当|x12|x2+2|1 时，S1S2其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 8（2021杭州）已知线段 AB，按如下步骤作图：作射线 AC，使 ACAB；作BAC 的平分线 AD；以点 A 为圆心，AB 长为半径作弧，交 AD 于点 E；过点 E 作 EPAB 于点 P，则 AP：AB（ ） A1： B1：2 C1： D1： 9（2021衢州）下列计算正确的是（ ） A（x2）3x5 Bx2+x2x4 Cx2x3x5 Dx6x3x2 10（2021衢州）已知 A，B 两地相
4、距 60km，甲、乙两人沿同一条公路从 A 地出发到 B 地，甲骑自行车匀速行驶 3h 到达，乙骑摩托车，比甲迟 1h 出发，行至 30km 处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶他们离开 A 地的路程 y 与甲行驶时间 x 的函数图象如图所示当乙再次追上甲时距离 B 地（ ） A15km B16km C44km D45km 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。 11（2021湖州）计算：221 12（2021温州）分解因式：2m218 13 （2021绍兴）已知ABC 与ABD 在同一平面内，点 C，D 不重合，ABCABD30，AB4，ACAD2，则 CD 长为 14
5、（2021嘉兴） 如图， 在直角坐标系中， ABC 与ODE 是位似图形， 则它们位似中心的坐标是 15（2021杭州）如图，在直角坐标系中，以点 A（3，1）为端点的四条射线 AB，AC，AD，AE 分别过点 B（1，1），点 C（1，3），点 D（4，4），点 E（5，2），则BAC DAE（填“”、 “”、“”中的一个） 16 （2021衢州）图 1 是某折叠式靠背椅实物图，图 2 是椅子打开时的侧面示意图，椅面 CE 与地面平行，支撑杆 AD，BC 可绕连接点 O 转动，且 OAOB，椅面底部有一根可以绕点 H 转动的连杆 HD，点 H 是CD 的中点，FA，EB 均与地面垂直，测得
6、FA54cm，EB45cm，AB48cm （1）椅面 CE 的长度为 cm （2）如图 3，椅子折叠时，连杆 HD 绕着支点 H 带动支撑杆 AD，BC 转动合拢，椅面和连杆夹角CHD的度数达到最小值 30时，A，B 两点间的距离为 cm（结果精确到 0.1cm） （参考数据：sin150.26，cos150.97，tan150.27） 16 三、解答题：共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（2021绍兴）（1）计算：4sin60+（2）0 （2）解不等式：5x+32（x+3） 18（2021嘉兴）已知二次函数 yx2+6x5 （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当
7、 1x4 时，函数的最大值和最小值分别为多少？ （3）当 txt+3 时，函数的最大值为 m，最小值为 n，若 mn3，求 t 的值 19（2021衢州）为进一步做好“光盘行动”，某校食堂推出“半份菜”服务，在试行阶段，食堂对师生满意度进行抽样调查并将结果绘制成如下统计图（不完整） （1）求被调查的师生人数，并补全条形统计图 （2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形圆心角度数 （3）若该校共有师生 1800 名，根据抽样结果，试估计该校对食堂“半份菜”服务“很满意”或“满意”的师生总人数 20 （2021金华）小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学测试了 6 次，获得
8、如图测试成绩折线统计图根据图中信息，解答下列问题： （1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量 （2）求小聪成绩的方差 （3）现求得小明成绩的方差为 S小明23（单位：平方分）根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由 21（2021杭州）在直角坐标系中，设函数 yax2+bx+1（a，b 是常数，a0） （1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标； （2）写出一组 a，b 的值，使函数 yax2+bx+1 的图象与 x 轴有两个不同的交点，并说明理由 （3）已知 ab1，当 xp，q（p，q
9、 是实数，pq）时，该函数对应的函数值分别为 P，Q若 p+q2，求证：P+Q6 22（2021丽水）如图，在ABC 中，ACBC，以 BC 为直径的半圆 O 交 AB 于点 D，过点 D 作半圆 O的切线，交 AC 于点 E （1）求证：ACB2ADE； （2）若 DE3，AE，求的长 23（2021金华）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（，0），点 B 在直线 l：yx 上，过点 B作 AB 的垂线，过原点 O 作直线 l 的垂线，两垂线相交于点 C （1）如图，点 B，C 分别在第三、二象限内，BC 与 AO 相交于点 D 若 BABO，求证：CDCO 若CBO45，求四边形 ABO
10、C 的面积 （2）是否存在点 B，使得以 A，B，C 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，求 OB 的长；若不存在，请说明理由 2022 年浙江省杭州市中考冲刺数学试卷（年浙江省杭州市中考冲刺数学试卷（2） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1（2021绍兴）实数 2，0，3，中，最小的数是（ ） A2 B0 C3 D 【分析】根据正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数，即可判断出最小的数 【解答】解：302， 最小的数是3， 故选：C 【点评】本题考查了实数的比较大小，注意负数比较大小，绝对值大的反而小 2
11、（2021金华）太阳与地球的平均距离大约是 150000000 千米，其中数 150000000 用科学记数法表示为（ ） A1.5108 B15107 C1.5107 D0.15109 【分析】对于大于 10 的数，可以写成 a10n的形式，其中 1a10，n 为正整数，n 的值比原数的整数位数少 1 【解答】解：150 000 0001.5108， 故选：A 【点评】本题考查了科学记数法，解题的关键是确定 a 和 n 的值 3（2021湖州）下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A经过红绿灯路口，遇到绿灯 B射击运动员射击一次，命中靶心 C班里的两名同学，他们的生日是同一天 D从一个只装有
12、白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 【分析】根据不可能事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可 【解答】解：A、经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件，故本选项不符合题意； B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意； C、班里的两名同学，他们的生日是同一天是随机事件，故本选项不符合题意； D、从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球是不可能事件，故本选项符合题意； 故选：D 【点评】本题考查随机事件，不可能事件，必然事件，理解随机事件，不可能事件，必然事件的意义是正确判断的前提 4（2021金华）将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（ ） A B
13、C D 【分析】直三棱柱的表面展开图的特点，由三个长方形的侧面和上下两个等边三角形的底面组成 【解答】解：选项 A、B、C 均可能是该直棱柱展开图，不符合题意，而选项 D 中的两个底面会重叠，不可能是它的表面展开图，符合题意， 故选：D 【点评】考查了几何体的展开图，动手折叠一下，有助于空间想象力的培养 5（2021杭州）下列计算正确的是（ ） A2 B2 C2 D2 【分析】求出2，2，再逐个判断即可 【解答】解：A2，故本选项符合题意； B2，故本选项不符合题意； C2，故本选项不符合题意； D2，故本选项不符合题意； 故选：A 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质
14、是解此题的关键，注意：|a| 6（2021绍兴）如图，正方形 ABCD 内接于O，点 P 在上，则BPC 的度数为（ ） A30 B45 C60 D90 【分析】根据正方形的性质得到 BC 弧所对的圆心角为 90，则BOC90，然后根据圆周角定理求解 【解答】解：连接 OB、OC，如图， 正方形 ABCD 内接于O， 所对的圆心角为 90， BOC90， BPCBOC45 故选：B 【点评】 本题考查了圆周角定理和正方形的性质， 确定 BC 弧所对的圆心角为 90， 是本题解题的关键 7（2021湖州）已知抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴的交点为 A（1，0）和 B（3，0），点
15、P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于 A，B 的两个点，记P1AB 的面积为 S1，P2AB 的面积为 S2，有下列结论：当 x1x2+2 时，S1S2；当 x12x2时，S1S2；当|x12|x22|1 时，S1S2；当|x12|x2+2|1 时，S1S2其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】不妨假设 a0，利用图象法一一判断即可 【解答】解：方法一：不妨假设 a0 如图 1 中，P1，P2满足 x1x2+2， P1P2AB， S1S2，故错误 当 x12，x21，满足 x12x2， 则 S1S2，故错误， |x12|x22|1， P1，P2在 x 轴
16、的上方，且 P1离 x 轴的距离比 P2离 x 轴的距离大， S1S2，故正确， 如图 2 中，P1，P2满足|x12|x2+2|1，但是 S1S2，故错误 故选：A 方法二：解：抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴的交点为 A（1，0）和 B（3，0）， 该抛物线对称轴为 x2， 当 x1x2+2 时与当 x12x2时无法确定 P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上的对应位置， 故和都不正确； 当|x12|x22|1 时，P1（x1，y1）比 P2（x2，y2）离对称轴更远，且同在 x 轴上方或者下方， |y1|y2|， S1S2，故正确； 当|x12|x2+2|1 时，即在 x
17、 轴上 x1到 2 的距离比 x2到2 的距离大，且都大于 1， 可知在 x 轴上 x1到 2 的距离大于 1，x2到2 的距离大于 1，但 x2到 2 的距离不能确定， 所以无法比较 P1（x1，y1）比 P2（x2，y2）谁离对称轴更远，故无法比较面积，故错误； 故选：A 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考选择题中的压轴题 8（2021杭州）已知线段 AB，按如下步骤作图：作射线 AC，使 ACAB；作BAC 的平分线 AD；以点 A 为圆心，AB 长为半径作弧，交 AD 于点 E；过点 E 作 EPAB 于
18、点 P，则 AP：AB（ ） A1： B1：2 C1： D1： 【分析】直接利用基本作图方法得出 APPE，再结合等腰直角三角形的性质表示出 AE，AP 的长，即可得出答案 【解答】解：ACAB， CAB90， AD 平分BAC， EAB9045， EPAB， APE90， EAPAEP45， APPE， 设 APPEx， 故 AEABx， AP：ABx：x1： 故选：D 【点评】此题主要考查了基本作图以及等腰直角三角形的性质，正确掌握基本作图方法得出线段之间关系是解题关键 9（2021衢州）下列计算正确的是（ ） A（x2）3x5 Bx2+x2x4 Cx2x3x5 Dx6x3x2 【分析】A
19、：根据幂的乘方法则进行计算即可得出答案； B：根据合并同类项法则进行计算即可得出答案； C：根据同底数幂的乘法法则进行计算即可得出答案； D：根据同底数幂的除法法则进行计算即可得出答案 【解答】解：A：因为（x2）3x6，所以 A 选项错误； B：因为 x2+x22x2，所以 B 选项错误； C：因为 x2x3x2+3x5，所以 C 选项正确； D：因为 x6x3x63x3，所以 D 选项错误 故选：C 【点评】本题主要考查了同底数幂乘除法则、合并同类项及幂的乘方，熟练应用相关法则进行计算是解决本题的关键 10（2021衢州）已知 A，B 两地相距 60km，甲、乙两人沿同一条公路从 A 地出
20、发到 B 地，甲骑自行车匀速行驶 3h 到达，乙骑摩托车，比甲迟 1h 出发，行至 30km 处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶他们离开 A 地的路程 y 与甲行驶时间 x 的函数图象如图所示当乙再次追上甲时距离 B 地（ ） A15km B16km C44km D45km 【分析】根据图象信息先求出甲、乙速度，然后根据第二次乙追上甲时所走路程相同求出甲所用时间，再求距离 B 地的距离即可 【解答】解：由图象可知：甲的速度为：60320（km/h）， 乙追上甲时，甲走了 30km，此时甲所用时间为：30201.5（h）， 乙所用时间为：1.510.5（h）， 乙的速度为：300.560（km
21、/h）， 设乙休息半小时再次追上甲时，甲所用时间为 t， 则：20t60（t10.5）， 解得：t2.25， 此时甲距离 B 地为：（32.25）200.752015（km）， 故选：A 【点评】本题考查了一次函数和一元一次方程的应用，关键是读取图象中信息求出甲、乙的速度 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11（2021湖州）计算：221 1 【分析】直接利用负整数指数幂的性质计算得出答案 【解答】解：22121 故答案为：1 【点评】此题主要考查了负整数指数幂，正确掌握相关运算法则是解题关键 12（2021温州）分解因式：2m218 2（m+3）（m3） 【分析】
22、原式提取 2，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式2（m29） 2（m+3）（m3） 故答案为：2（m+3）（m3） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 13 （2021绍兴）已知ABC 与ABD 在同一平面内，点 C，D 不重合，ABCABD30，AB4，ACAD2，则 CD 长为 22 或 4 或 2 【分析】分 C，D 在 AB 的同侧或异侧两种情形，分别求解，注意共有四种情形 【解答】解：如图，当 C，D 同侧时，过点 A 作 AECD 于 E 在 RtAEB 中，AEB90，AB4，ABE30， AEAB2， ADAC2， DE
23、2，EC2， DEECAE， ADC 是等腰直角三角形， CD4， 当 C，D 异侧时，过 C作 CHCD 于 H， BCC是等边三角形，BCBEEC22， CHBH1，CHCH3， 在 RtDCH 中，DC2， DBD是等边三角形， DD2+2， CD 的长为 22 或 4 或 2 故答案为：22 或 4 或 2 【点评】本题考查直角三角形 30角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题 14 （2021嘉兴） 如图， 在直角坐标系中， ABC 与ODE 是位似图形， 则它们位似中心的坐标是 （4，2
24、） 【分析】根据图示，对应点所在的直线都经过同一点，该点就是位似中心 【解答】解：如图， 点 G（4，2）即为所求的位似中心 故答案是：（4，2） 【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点， 对应边互相平行 （或在同一条直线上） ， 那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心 15（2021杭州）如图，在直角坐标系中，以点 A（3，1）为端点的四条射线 AB，AC，AD，AE 分别过点 B（1，1），点 C（1，3），点 D（4，4），点 E（5，2），则BAC DAE（填“”、 “”、“”中的一个） 【分析】在直
25、角坐标系中构造直角三角形，根据三角形边之间的关系推出角之间的关系 【解答】解：连接 DE， 由上图可知 AB2，BC2， ABC 是等腰直角三角形， BAC45， 又AE， 同理可得 DE， AD， 则在ADE 中，有 AE2+DE2AD2， ADE 是等腰直角三角形， DAE45， BACDAE， 故答案为： 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理及其逆定理，对于直角三角形的判定可以根据各个点的坐标，求出各线段的长度来实现，然后再根据边来判断角的大小其解题关键在于构造相关的直角三角形 16 （2021衢州）图 1 是某折叠式靠背椅实物图，图 2 是椅子打开时的侧面示意图，椅面 CE 与
26、地面平行，支撑杆 AD，BC 可绕连接点 O 转动，且 OAOB，椅面底部有一根可以绕点 H 转动的连杆 HD，点 H 是CD 的中点，FA，EB 均与地面垂直，测得 FA54cm，EB45cm，AB48cm （1）椅面 CE 的长度为 40 cm （2）如图 3，椅子折叠时，连杆 HD 绕着支点 H 带动支撑杆 AD，BC 转动合拢，椅面和连杆夹角CHD的度数达到最小值 30时，A，B 两点间的距离为 12.5 cm（结果精确到 0.1cm） （参考数据：sin150.26，cos150.97，tan150.27） 【分析】（1）由平行线的性质可得ECBABF，由锐角三角函数可得，即可求解；
27、 （2）如图 2，延长 AD，BE 交于点 N，由“ASA”可证ABFBAN，可得 BNAF，可求 NE 的长，由锐角三角函数可求 DE 的长，即可求 DH 的长，如图 3，连接 CD，过点 H 作 HPCD 于 P，由锐角三角函数和等腰三角形的性质，可求 DC 的长，通过相似三角形的性质可求解 【解答】解：（1）CEAB， ECBABF， tanECBtanABF， ， ， CE40（cm）， 故答案为：40； （2）如图 2，延长 AD，BE 交于点 N， OAOB， OABOBA， 在ABF 和BAN 中， ， ABFBAN（ASA）， BNAF54（cm）， EN9（cm）， tanN
28、， ， DE8（cm）， CD32（cm）， 点 H 是 CD 的中点， CHDH16（cm）， CDAB， AOBDOC， ， 如图 3，连接 CD，过点 H 作 HPCD 于 P， HCHD，HPCD， PHDCHD15，CPDP， sinDHPsin150.26， PD160.264.16（cm）， CD2PD8.32（cm）， CDAB， AOBDOC， ， ， AB12.4812.5（cm）， 故答案为：12.5 【点评】 本题考查了解直角三角形的应用， 相似三角形的判定和性质， 全等三角形的判定和性质等知识，求出 CD 的长是解题的关键 三、解答题：共 66 分。解答应写出文字说明
29、、证明过程或演算步骤。 17（2021绍兴）（1）计算：4sin60+（2）0 （2）解不等式：5x+32（x+3） 【分析】（1）原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用开平方法则化简，最后一项利用零指数幂的意义化简，计算即可得到结果； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为 1 可得 【解答】解：（1）原式22+1 1； （2）5x+32（x+3）， 去括号得：5x+32x+6, 移项得：5x2x63， 合并同类项得：3x3， 解得：x1 【点评】本题主要考查实数的运算与解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的性质 18（2021嘉兴）
30、已知二次函数 yx2+6x5 （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当 1x4 时，函数的最大值和最小值分别为多少？ （3）当 txt+3 时，函数的最大值为 m，最小值为 n，若 mn3，求 t 的值 【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得； （2）根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值； （3）分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值 m 和最小值 n，进而根据 mn3 得到关于 t的方程，解方程即可 【解答】解：（1）yx2+6x5（x3）2+4， 顶点坐标为（3，4）； （2）a10， 抛物线开口向下， 顶点坐标为（3，4）， 当 x3 时，y最大值4， 当 1x3
31、 时，y 随着 x 的增大而增大， 当 x1 时，y最小值0， 当 3x4 时，y 随着 x 的增大而减小， 当 x4 时，y最小值3 当 1x4 时，函数的最大值为 4，最小值为 0； （3）当 txt+3 时，对 t 进行分类讨论， 当 t+33 时，即 t0，y 随着 x 的增大而增大， 当 xt+3 时，m（t+3）2+6（t+3）5t2+4， 当 xt 时，nt2+6t5， mnt2+4（t2+6t5）6t+9， 6t+93，解得 t1（不合题意，舍去）， 当 0t3 时，顶点的横坐标在取值范围内， m4， i）当 0t时，在 xt 时，nt2+6t5， mn4（t2+6t5）t26
32、t+9， t26t+93，解得 t13，t23+（不合题意，舍去）； ii）当t3 时，在 xt+3 时，nt2+4， mn4（t2+4）t2， t23，解得 t1，t2（不合题意，舍去）， 当 t3 时，y 随着 x 的增大而减小， 当 xt 时，mt2+6t5， 当 xt+3 时，n（t+3）2+6（t+3）5t2+4， .mnt2+6t5（t2+4）6t9， 6t93，解得 t2（不合题意，舍去）， 综上所述，t3或 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键 19（2021衢州）为进一步做好“光盘行动”，某校食堂推出“半份菜”服务，在试行阶段，食堂对师生满意
33、度进行抽样调查并将结果绘制成如下统计图（不完整） （1）求被调查的师生人数，并补全条形统计图 （2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形圆心角度数 （3）若该校共有师生 1800 名，根据抽样结果，试估计该校对食堂“半份菜”服务“很满意”或“满意”的师生总人数 【分析】（1）根据“很满意”的人数和所占的百分比，求出被调查的师生人数，再用总人数减去其它组的人数，求出“不满意”的人数，从而补全统计图； （2）用 360乘以“满意”所占的百分比即可； （3）用该校共有师生人数乘以“很满意”或“满意”所占的百分比即可 【解答】解：（1）被调查的师生人数是：12060%200（人）， “不满意”的人数有：2
34、001207010（人）， 补充条形统计图如图： （2）扇扇形统计图中表示“满意”的扇形圆心角度数为360126； （3）18001710（人） 答：估计该校对食堂“半份菜”服务“很满意”或“满意”的师生总人数为 1710 人 【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体，观察条形统计图及扇形统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键 20 （2021金华）小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学测试了 6 次，获得如图测试成绩折线统计图根据图中信息，解答下列问题： （1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量 （
35、2）求小聪成绩的方差 （3）现求得小明成绩的方差为 S小明23（单位：平方分）根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由 【分析】（1）要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，根据平均数的定义计算出两人的平均数即可； （2）根据方差的计算方法计算即可； （3）由（1）可知两人的平均数相同，由方差可知小聪的成绩波动较小，所以方差较小，成绩相对稳定 【解答】解：（1）要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可， 小聪成绩的平均数：（7+8+7+10+7+9）8（分）， 小明成绩的平均数：（7+6+6+9+10+10）8（分）， 答：应选择平均数，小聪、小明的平均
36、数分别是 8 分，8 分； （2）小聪成绩的方差为：（78）2+（88）2+（78）2+（108）2+（78）2+（98）2（平方分）； （3）小聪同学的成绩较好， 理由：由（1）可知两人的平均数相同，因为小聪成绩的方差小于小明成绩的方差，成绩相对稳定故小聪同学的成绩较好 【点评】本题考查平均数、方差，折线统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，会计算一组数据的平均数和方差 21（2021杭州）在直角坐标系中，设函数 yax2+bx+1（a，b 是常数，a0） （1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标； （2）写出一组 a，
37、b 的值，使函数 yax2+bx+1 的图象与 x 轴有两个不同的交点，并说明理由 （3）已知 ab1，当 xp，q（p，q 是实数，pq）时，该函数对应的函数值分别为 P，Q若 p+q2，求证：P+Q6 【分析】（1）考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可； （2）写出一组 a，b，使得 b24ac0 即可； （3）已知 ab1，则 yx2+x+1容易得到 P+Qp2+p+1+q2+q+1，利用 p+q2，即 p2q 代入对代数式 P+Q 进行化简，并配方得出 P+Q2（q1）2+66最后注意利用 pq 条件判断 q1，得证 【解答】解：（1）由
38、题意，得， 解得， 所以，该函数表达式为 yx22x+1 并且该函数图象的顶点坐标为（1，0） （2）例如 a1，b3，此时 yx2+3x+1， b24ac50， 函数 yx2+3x+1 的图象与 x 轴有两个不同的交点 （3）由题意，得 Pp2+p+1，Qq2+q+1， 所以 P+Qp2+p+1+q2+q+1 p2+q2+4 （2q）2+q2+4 2（q1）2+66， 由条件 pq，知 q1所以 P+Q6，得证 【点评】本题主要考查了待定系数法求解二次函数表达式，以及二次函数图象的顶点坐标，代数式的化简， 并利用配方法判断代数式的取值范围， 以及利用 b24ac 判断二次函数图象与 x 轴交
39、点个数的方法 第（3）小问的关键是利用 p+q2，首先对代数式 P+Q 化简，然后配方说明 P+Q 的范围，另外注意 q1 22（2021丽水）如图，在ABC 中，ACBC，以 BC 为直径的半圆 O 交 AB 于点 D，过点 D 作半圆 O的切线，交 AC 于点 E （1）求证：ACB2ADE； （2）若 DE3，AE，求的长 【分析】（1）连接 OD，CD，根据切线的性质得到ODE90，根据圆周角定理得到BDC90，求得ADEODC，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）根据勾股定理得到 AD2，tanA，求得A60，推出ABC 是等边三角形，得到B60，BCAB2AD4，根据弧长公式
40、即可得到结论 【解答】（1）证明：连接 OD，CD， DE 是O 的切线， ODE90， ODC+EDC90， BC 为O 直径， BDC90， ADC90， ADE+EDC90， ADEODC， ACBC， ACB2DCE2OCD， ODOC， ODCOCD， ACB2ADE； （2）解：由（1）知，ADE+EDC90，ADEDCE， AED90， DE3，AE， AD2，tanA， A60， ACBC， ABC 是等边三角形， B60，BCAB2AD4， ， 的长为 【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键 23（2021金华
41、）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（，0），点 B 在直线 l：yx 上，过点 B作 AB 的垂线，过原点 O 作直线 l 的垂线，两垂线相交于点 C （1）如图，点 B，C 分别在第三、二象限内，BC 与 AO 相交于点 D 若 BABO，求证：CDCO 若CBO45，求四边形 ABOC 的面积 （2）是否存在点 B，使得以 A，B，C 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，求 OB 的长；若不存在，请说明理由 【分析】（1）由 BCAB，COBO，可得BAD+ADBCOD+DOB90，而根据已知有BADDOB，故ADBCOD，从而可得CODCDO，CDCO； 过 A 作 AMOB 于
42、M，过 M 作 MNy 轴于 N，设 M（m，m），可得 tanOMNtanAOM，即，设 AM3n，则 OM8n，RtAOM 中，AM2+OM2OA2，可求出 AM3，OM8，由CBO45可知BOC 是等腰直角三角形，ABM 是等腰直角三角形，从而有 AMBM3，BOCOOMBM5，ABAM3，BCBO5，即可求出 S四边形ABOCSABC+SBOC； （2）（一）过 A 作 AMOB 于 M，当 B 在线段 OM 或 OM 延长线上时，设 OBx，则 BM|8x|，AB， 由AMBBOC， 即， 得 OC， BC，以 A，B，C 为顶点的三角形与BCO 相似，分两种情况：若，OB4；若，O
43、B4+或 OB4或 OB9； （二）当 B 在线段 MO 延长线上时，设 OBx，则 BM8+x，AB，由AMBBOC，即，得 OC（8+x），以 A，B，C 为顶点的三角形与BCO 相似，需满足，即，可得 OB1 【解答】（1）证明：BCAB，COBO， ABCBOC90， BAD+ADBCOD+DOB90， BABO， BADDOB， ADBCOD， ADBCDO， CODCDO， CDCO； 解：过 A 作 AMOB 于 M，过 M 作 MNy 轴于 N，如图： M 在直线 l：yx 上，设 M（m，m）， MN|m|m，ON|m|m， RtMON 中，tanOMN， 而 OAMN， A
44、OMOMN， tanAOM，即， 设 AM3n，则 OM8n， RtAOM 中，AM2+OM2OA2， 又 A 的坐标为（，0）， OA， （3n）2+（8n）2（）2， 解得 n1（n1 舍去）， AM3，OM8， CBO45，COBO， BOC 是等腰直角三角形， BCAB，CBO45， ABM45， AMOB， ABM 是等腰直角三角形， AMBM3，BOCOOMBM5， 等腰直角三角形ABM 中，ABAM3， 等腰直角三角形BOC 中，BCBO5， SABCABBC15，SBOCBOCO， S四边形ABOCSABC+SBOC； （2）解：存在点 B，使得以 A，B，C 为顶点的三角形与
45、BCO 相似，理由如下： （一）过 A 作 AMOB 于 M，当 B 在线段 OM 或 OM 延长线上时，如图： 由（1）可知：AM3，OM8， 设 OBx，则 BM|8x|，AB， COBO，AMBO，ABBC， AMBBOC90，ABM90OBCBCO， AMBBOC， ，即， OC， RtBOC 中，BC， ABCBOC90， 以 A，B，C 为顶点的三角形与BCO 相似，分两种情况： 若，则， 解得 x4， 此时 OB4； 若，则， 解得 x14+，x24，x39，x41（舍去）， OB4+或 OB4或 OB9； （二）当 B 在线段 MO 延长线上时，如图： 由（1）可知：AM3，OM8， 设 OBx，则 BM8+x，AB， COBO，AMBO，ABBC， AMBBOC90，ABM90OBCBCO， AMBBOC， ，即， OC（8+x）， RtBOC 中，BC， ABCBOC90， 以 A，B，C 为顶点的三角形与BCO 相似，需满足，即， 解得 x19（舍去），x21， OB1， 综上所述， 以 A， B， C 为顶点的三角形与BCO 相似， 则 OB 的长度为： 4 或 4+或 4或 9 或 1； 【点评】本题考查一次函数图象及应用，涉及等腰三角形性质与判定，相似三角形性质与判定，勾股定理等知识，解题的关键是根据已知用含未知数的代数式表达相关线段的长度