1、 2022 年湖北省随州市高新区中考数学第一次联考试卷年湖北省随州市高新区中考数学第一次联考试卷 一、单选题（每小题一、单选题（每小题 3 分，共计分，共计 30 分）分） 1 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2 （3 分）人民日报讯：2020 年 6 月 23 日，中国第 55 颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网支持北斗三号新信号的 22 纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用已知 1 纳米109米，则 22 纳米用科学记数法可表示为（ ） A2.2108米 B2.2108米 C0.22107米
2、 D2.2109米 3 （3 分）下列计算正确的是（ ） A （x3）2x5 B （x）2xx Cx3x2x6 D （2x2y）36x6y3 4 （3 分）某经济技术开发区今年一月份工业产值达 40 亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为 175 亿元，若设平均每月的增长率为 x，根据题意可列方程（ ） A40（1+x）2175 B40+40（1+x）2175 C40（1+x）2+40（1+x）2175 D40+40（1+x）+40（1+x）2175 5 （3 分）用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树 3 周，则绳子还多 5 尺；若环绕大树 4 周，则绳子又少了2 尺，这根绳子有多长？环绕大树一
3、周需要多少尺？设绳子有 x 尺，环绕大树一周需要 y 尺，所列方程组中正确的是（ ） A3 5 = 4 + 2 = B3 + 5 = 4 2 = C3 5 = 4 + 2 = D3 + 5 = 4 2 = 6 （3 分）如图，从边长为 a 的大正方形中剪掉一个边长为 b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ） A （ab）2a22ab+b2 Ba（ab）a2ab C （ab）2a2b2 Da2b2（a+b） （ab） 7 （3 分）第 1 个图形有 9 个边长为 1 的小正方形，第 2 个图形有 14 个边长为 1 的小正方形，则第 1
4、0个图形中边长为 1 的小正方形的个数为（ ） A72 B64 C54 D50 8 （3 分）如图所示，已知ABC 中，BC12，BC 边上的高 h6，D 为 BC 上一点，EFBC，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，设点 E 到边 BC 的距离为 x则DEF 的面积 y 关于 x 的函数图象大致为（ ） A B C D 9 （3 分）我们知道，一元二次方程 x21 没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1，若我们规定一个“新数” ，使其满足 i21（即方程 x21 有一个根为 i） ，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有 i1i，i2
5、1，i3i2ii，i4（i2） 2（1）21从而对任意正整数 n，我们可得到 i4n+1i4ni（i4）nii，同理可得 i4n+21，i4n+3i，i4n1，那么，i+i2+i3+i4+i2016+i2017的值为（ ） A0 B1 C1 Di 10 （3 分）如图是二次函数 yax2+bx+c（a0）图象的一部分，对称轴为 x=12，且经过点（2，0） 下列说法： abc0； 2b+c0； 4a+2b+c0； 若 （52， y1） ， （52， y2） 是抛物线上的两点， 则 y1y2； 14bm（am+b） （其中 m12） 其中说法正确的是（ ） A B C D 二、填空题（每小题二、
6、填空题（每小题 3 分，共计分，共计 18 分）分） 11 （3 分）计算： （13）112 +3tan30+|3 2| 12 （3 分）把抛物线 y2x2先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度后，所得函数的表达式为 13 （3 分）如图，点 C、D 是以 AB 为直径的半圆 O 的三等分点，的长为13，则图中阴影部分的面积为 （结果不取近似值） 14 （3 分）如图，在 33 的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，在从图中剩余的 7 个小正方形中任选一个涂黑，则图案是轴对称图形的概率是 15 （3 分）如图，过O 外一点 P 引O 的两条切线 PA、PB，切点分别是 A、B
7、，OP 交O 于点 C，点 D是优弧上不与点A、 点C重合的一个动点， 连接AD、 CD， 若APB60， 则ADC的度数是 16 （3 分）已知，在ABC 中，ABAC过 A 点的直线 a 从与边 AC 重合的位置开始绕点 A 按顺时针方向旋转角 ，直线 a 交 BC 边于点 P（点 P 不与点 B、点 C 重合） ，BMN 的边 MN 始终在直线 a 上（点 M在点 N 的上方） ，且 BMBN，连接 CN （1）当BACMBN90时，如图 a，当 45时，ANC 的度数为 ； （2）如图 b，当BACMBN90时，请直接写出ANC 与BAC 之间的数量关系 三、解答题三、解答题 17 （
8、6 分）先化简，再求值： （x3+1）22+2+1，其中 x 满足 x2+x30 18 （7 分）已知关于 x 的方程 x2+（2k+1）x+k220 （1）若方程有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围； （2）若方程的两个实数根为 x1、x2，且满足 x12+x2211，求 k 的值 19 （8 分）为了解某校九年级男生 1000 米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D、C、B、A 四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题： （1）a ，b ，c ； （2）扇形统计图中表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数为 度； （3）学校决定从 A 等次的甲、
9、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生 1000 米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率 20 （8 分） 如图，一次函数 y1x+b 的图象与与反比例函数 y2=（k0，x0） 的图象交于点 A（2，1） ，B 两点 （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求AOB 的面积； （3）如图，在第二象限，当 y1y2时，写出 x 的范围 21 （9 分）如图，AB 为O 的直径，点 D 为弦 BC 的中点，OD 的延长线交O 于点 E，连接 AE，BE，CEAE 与 BC 交于点 F，点 H 在 OD 的延长线上，且OHBAEC （1）求证：BH
10、与O 相切； （2）若 BE2，tanA=12，求 BF 的长 22 （11 分）九年级孟老师数学小组经过市场调查，得到某种运动服的月销量 y（件）是售价 x（元/件）的一次函数，其售价、月销售量、月销售利润 w（元）的三组对应值如下表： 售价 x（元/件） 130 150 180 月销售量 y（件） 210 150 60 月销售利润 w（元） 10500 10500 6000 注：月销售利润月销售量（售价进价） （1）求 y 关于 x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围） ； 运动服的进价是 元/件；当售价是 元/件时，月销售利润最大，最大利润是 元 （2）由于某种原因，该商品进价降低
11、了 m 元/件（m0） ，商家规定该运动服售价不得低于 150 元/件，该商店在今后的售价中，月销售量与售价仍满足（1）中的函数关系式，若月销售量最大利润是 12000元，求 m 的值 23 （11 分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形 （1）初步尝试 如图 1，已知等腰直角ABC，ACB90，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形 （2）理解运用 如图 2， 已知ACD 为直角三角形， ADC90， 以 AC， AD 为边向外作正方向 ACFB 和正方形 ADGE，连接 BE，求证：ACD 与ABE 为偏等积三角形 （3）综合探究 如图 3，二次函数 y=12
12、x232x5 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，在二次函数的图象上是否存在一点 D，使ABC 与ABD 是偏等积三角形？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 24 （12 分）如图，抛物线 yax2+bx+2 与 x 轴交于 A，B 两点，且 OA2OB，与 y 轴交于点 C，连接 BC，抛物线对称轴为直线 x=12，D 为第一象限内抛物线上一动点，过点 D 作 DEOA 于点 E，与 AC 交于点F，设点 D 的横坐标为 m （1）求抛物线的表达式； （2）当线段 DF 的长度最大时，求 D 点的坐标； （3） 抛物线上是否存在点 D， 使得以点 O，
13、D， E 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在， 求出 m 的值；若不存在，请说明理由 2022 年湖北省随州市高新区中考数学第一次联考试卷年湖北省随州市高新区中考数学第一次联考试卷 答案与解析答案与解析 一、单选题（每小题一、单选题（每小题 3 分，共计分，共计 30 分）分） 1 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐个判断即可 【解答】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形是第一个图形和第三个图形，共 2 个， 故选：B 2 （3 分）人民日报讯：2020 年 6 月
14、23 日，中国第 55 颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网支持北斗三号新信号的 22 纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用已知 1 纳米109米，则 22 纳米用科学记数法可表示为（ ） A2.2108米 B2.2108米 C0.22107米 D2.2109米 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数 n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：22 纳米22109米2.2108米 故选：B 3 （3 分）下列计算正确的是（ ） A （x3）2x5
15、B （x）2xx Cx3x2x6 D （2x2y）36x6y3 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案 【解答】解：A （x3）2x6，故此选项不合题意； B （x）2xx，故此选项符合题意； Cx3x2x5，故此选项不合题意； D （2x2y）38x6y3，故此选项不合题意； 故选：B 4 （3 分）某经济技术开发区今年一月份工业产值达 40 亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为 175 亿元，若设平均每月的增长率为 x，根据题意可列方程（ ） A40（1+x）2175 B40+40（1+x）2175 C40（1+x）2+40（1+x）2175 D40+
16、40（1+x）+40（1+x）2175 【分析】增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（1+增长率） ，本题可先用 x 表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程 【解答】解：二月份的产值为：40（1+x） ， 三月份的产值为：40（1+x） （1+x）40（1+x）2， 故第一季度总产值为：40+40（1+x）+40（1+x）2175 故选：D 5 （3 分）用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树 3 周，则绳子还多 5 尺；若环绕大树 4 周，则绳子又少了2 尺，这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？设绳子有 x 尺，环绕大树一周需要 y 尺，所列
17、方程组中正确的是（ ） A3 5 = 4 + 2 = B3 + 5 = 4 2 = C3 5 = 4 + 2 = D3 + 5 = 4 2 = 【分析】根据“若环绕大树 3 周，则绳子还多 5 尺；若环绕大树 4 周，则绳子又少了 2 尺” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，此题得解 【解答】解：依题意得：3 + 5 = 4 2 = 故选：D 6 （3 分）如图，从边长为 a 的大正方形中剪掉一个边长为 b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ） A （ab）2a22ab+b2 Ba（ab）a2ab C （ab）2a2b2 Da
18、2b2（a+b） （ab） 【分析】根据面积相等，列出关系式即可 【解答】解：由题意这两个图形的面积相等， a2b2（a+b） （ab） ， 故选：D 7 （3 分）第 1 个图形有 9 个边长为 1 的小正方形，第 2 个图形有 14 个边长为 1 的小正方形，则第 10个图形中边长为 1 的小正方形的个数为（ ） A72 B64 C54 D50 【分析】找到相邻两个图形间的小正方形的变化规律，再列式解答 【解答】解：第 1 个图形有 9 个边长为 1 的正方形； 第 2 个图形有 9+514 个边长为 1 的正方形； 第 3 个图形有 14+5 个边长为 1 的正方形； 每个图形比前一个图
19、形多 5 个边长为 1 的正方形， 故第 n 个图形有（5n+4）个正方形 第 10 个图形有 54 个正方形 故选：C 8 （3 分）如图所示，已知ABC 中，BC12，BC 边上的高 h6，D 为 BC 上一点，EFBC，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，设点 E 到边 BC 的距离为 x则DEF 的面积 y 关于 x 的函数图象大致为（ ） A B C D 【分析】可过点 A 向 BC 作 AHBC 于点 H，所以根据相似三角形的性质可求出 EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案 【解答】解：过点 A 向 BC 作 AHBC 于点 H，所以根据相似比可知：12=6;6， 即 E
20、F2（6x） 所以 y=122（6x）xx2+6x （0 x6） 该函数图象是抛物线的一部分， 故选：D 9 （3 分）我们知道，一元二次方程 x21 没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1，若我们规定一个“新数” ，使其满足 i21（即方程 x21 有一个根为 i） ，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有 i1i，i21，i3i2ii，i4（i2）2（1）21从而对任意正整数 n，我们可得到 i4n+1i4ni（i4）nii，同理可得 i4n+21，i4n+3i，i4n1，那么，i+i2+i3+i4+i2016+i2017的值为（ ） A
21、0 B1 C1 Di 【分析】i1i，i21，i3i2i（1） ii，i4（i2）2（1）21，i5i4ii，i6i5i1，从而可得 4 次一循环，一个循环内的和为 0，计算即可 【解答】解：由题意得，i1i，i21，i3i2i（1） ii，i4（i2）2（1）21，i5i4ii，i6i5i1， 故可发现 4 次一循环，一个循环内的和为 0， 201745041， i+i2+i3+i4+i2016+i2017i 故选：D 10 （3 分）如图是二次函数 yax2+bx+c（a0）图象的一部分，对称轴为 x=12，且经过点（2，0） 下列说法： abc0； 2b+c0； 4a+2b+c0； 若
22、（52， y1） ， （52， y2） 是抛物线上的两点， 则 y1y2； 14bm（am+b） （其中 m12） 其中说法正确的是（ ） A B C D 【分析】根据抛物线开口向下，可得 a0，根据抛物线对称轴为 x= 2=12，可得 ba0，根据抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，可得 c0，进而可以判断； 根据对称轴为 x=12，且经过点（2，0） ，可得抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0） ，可得= 122，即 c2a，进而可以判断； 根据抛物线经过（2，0） ，可得当 x2 时，y0，即 4a+2b+c0，进而可以判断； 根据点（52，y1）离对称轴要比点（52，y2）离对称轴
23、远，可得 y1y2，进而可以判断； 根据抛物线的对称轴 x=12，可得当 x=12时，y 有最大值，即14a+12b+cam2+bm+c（其中 m12） 根据ab，即可进行判断 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 抛物线对称轴为 x= 2=12， ba0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c0， abc0， 所以正确； 对称轴为 x=12，且经过点（2，0） ， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0） ， = 122， c2a， 2b+c2a2a0 所以正确； 抛物线经过（2，0） ， 当 x2 时，y0， 4a+2b+c0， 所以错误； 点（52，y1）离对称轴要比点（52，y2
24、）离对称轴远， y1y2， 所以正确； 抛物线的对称轴 x=12， 当 x=12时，y 有最大值， 14a+12b+cam2+bm+c（其中 m12） ab， 14bm（am+b） （其中 m12） ， 所以正确 所以其中说法正确的是 故选：A 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共计分，共计 18 分）分） 11 （3 分）计算： （13）112 +3tan30+|3 2| 523 【分析】直接利用负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式323 +333+23 323 + 3 +23 523 故答案为：523 12 （3 分）把抛物线
25、y2x2先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度后，所得函数的表达式为 y2（x3）2+2 【分析】根据二次函数的图象平移的法则进行解答即可 【解答】解：把抛物线 y2x2先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度后，所得函数的表达式为：y2（x3）2+2 故答案为：y2（x3）2+2 13 （3 分）如图，点 C、D 是以 AB 为直径的半圆 O 的三等分点，的长为13，则图中阴影部分的面积为 6 （结果不取近似值） 【分析】连接 CO、DO，利用等底等高的三角形面积相等可知 S阴影S扇形COD，利用扇形的面积公式计算即可 【解答】解：连接 CO、DO，如下图所示，
26、 C，D 是以 AB 为直径的半圆上的三等分点，的长为13， COD60，圆的半周长r313， r1， ACD 的面积等于OCD 的面积， S阴影S扇形COD=6012360=6 故答案为：6 14 （3 分）如图，在 33 的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，在从图中剩余的 7 个小正方形中任选一个涂黑，则图案是轴对称图形的概率是 57 【分析】将空白部分小正方形分别涂黑，任意一个涂黑共 7 种情况，其中涂黑 1，3，5，6，7 有 5 种情况可使所得图案是一个轴对称图形，利用概率公式求解即可 【解答】解：如图， 将图中剩余的编号为 1 至 7 的小正方形中任意一个涂黑共 7 种情况，其
27、中涂黑 1，3，5，6，7 有 5 种情况可使所得图案是一个轴对称图形， 所以所得图案是轴对称图形的概率是57 故答案为：57 15 （3 分）如图，过O 外一点 P 引O 的两条切线 PA、PB，切点分别是 A、B，OP 交O 于点 C，点 D是优弧上不与点 A、点 C 重合的一个动点，连接 AD、CD，若APB60，则ADC 的度数是 30 【分析】根据四边形的内角和，可得BOA，根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理，可得答案 【解答】解：如图，连接 OB，OA， 过O 外一点 P 引O 的两条切线 PA，PB， PBOPAO90，BPOAPO， 由四边形的内角和定理，得BOA3609
28、09060120， AOCBOC60； 由圆周角定理，得ADC=12AOC30， 故答案为：30 16 （3 分）已知，在ABC 中，ABAC过 A 点的直线 a 从与边 AC 重合的位置开始绕点 A 按顺时针方向旋转角 ，直线 a 交 BC 边于点 P（点 P 不与点 B、点 C 重合） ，BMN 的边 MN 始终在直线 a 上（点 M在点 N 的上方） ，且 BMBN，连接 CN （1）当BACMBN90时，如图 a，当 45时，ANC 的度数为 45 ； （2） 如图 b， 当BACMBN90时， 请直接写出ANC 与BAC 之间的数量关系 ANC9012BAC 【分析】 （1）证明四边
29、形 ABNC 是正方形，根据正方形的对角线平分一组对角线即可求解； （2）根据等腰三角形的两底角相等求出BNPACB，然后证明BNP 和ACP 相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，再根据两边对应成比例夹角相等可得ABP 和CNP 相似，然后根据相 似三角形对应角相等可得ANCABC，然后根据三角形的内角和定理列式整理即可得解 【解答】解： （1）BAC90，45， APBC，BPCP， APBP， 又MBN90，BMBN， APPN， APPNBPPC， ANBC， 四边形 ABNC 是正方形， ANC45， 故答案为：45； （2）ANC9012BAC 理由如下：BACMBN90，ABA
30、C，BMBN， ABCACBBNP=12（180BAC） ， 又BPNAPC， BNPACP， =， 又APBCPN， ABPCNP， ANCABC， 在ABC 中，ABC=12（180BAC）9012BAC， ANC9012BAC 三、解答题三、解答题 17 （6 分）先化简，再求值： （x3+1）22+2+1，其中 x 满足 x2+x30 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出 x2+x3，从而得出答案 【解答】解：原式=2+3+12(+1)2 =(2)+1(:1)2;2 x（x+1） x2+x， x2+x30， x2+x3， 则原式3 18 （7 分）已知关
31、于 x 的方程 x2+（2k+1）x+k220 （1）若方程有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围； （2）若方程的两个实数根为 x1、x2，且满足 x12+x2211，求 k 的值 【分析】 （1）根据根的判别式得出关于 k 的不等式，求出不等式的解集即可； （2） 根据根与系数的关系得出 x1+x2 （2k+1） ， x1x2k22， 根据完全平方公式变形后代入， 得出（2k+1）22（k22）11，再求出即可 【解答】解： （1）方程有两个不相等的实数根， （2k+1）241（k22）4k+90， 解得：k94， 即 k 的取值范围是 k94； （2）根据根与系数的关系得：x1+x2（
32、2k+1） ，x1x2k22， 方程的两个实数根为 x1、x2，且满足 x12+x2211， （x1+x2）22x1x211， （2k+1）22（k22）11， 解得：k3 或 1， 关于 x 的方程 x2+（2k+1）x+k220 有两个不相等的实数根， 必须 k94， k3 舍去， 所以 k1 19 （8 分）为了解某校九年级男生 1000 米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D、C、B、A 四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题： （1）a 2 ，b 45 ，c 20 ； （2）扇形统计图中表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数为 72 度；
33、（3）学校决定从 A 等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生 1000 米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率 【分析】 （1）根据 A 等次人数及其百分比求得总人数，总人数乘以 D 等次百分比可得 a 的值，再用 B、C 等次人数除以总人数可得 b、c 的值； （2）用 360乘以 C 等次百分比可得； （3）画出树状图，由概率公式即可得出答案 【解答】解： （1）本次调查的总人数为 1230%40 人， a405%2，b=184010045，c=84010020， 故答案为：2、45、20； （2）扇形统计图中表示 C 等次的扇形所对的圆
34、心角的度数为 36020%72， 故答案为：72； （3）画树状图，如图所示： 共有 12 个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有 2 个， 故 P（选中的两名同学恰好是甲、乙）=212=16 20 （8 分） 如图，一次函数 y1x+b 的图象与与反比例函数 y2=（k0，x0） 的图象交于点 A（2，1） ，B 两点 （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求AOB 的面积； （3）如图，在第二象限，当 y1y2时，写出 x 的范围 【分析】 （1）分别把 A 点坐标代入 y1x+b 和 y2=（k0，x0）中计算出 b 和 k 的值即可； （2）先确定 B 点坐标，然后设
35、直线 yx+3 与 x 轴的交点为 C，求得 C 的坐标，再根据三角形面积公式 求解； （3）根据图象即可求得 【解答】解： （1）把 A（2，1）代入 y1x+b 得2+b1，解得 b3； 把 A（2，1）代入 y2=（k0，x0）得 k212， 一次函数的表达式是 y1x+3，反比例函数的表达式 y2= 2； （2）由 = + 3 = 2，解得 = 1 = 2或 = 2 = 1， B 点坐标为（1，2） ， 设直线 yx+3 与 x 轴的交点为 C， 把 y0 代入求得 x3， C（3，0） ， AOB 的面积AOC 的面积BOC 的面积=12 3 2 12 3 1 =32； （3）观察图
36、象，在第二象限，当 y1y2时，x 的范围为2x1 21 （9 分）如图，AB 为O 的直径，点 D 为弦 BC 的中点，OD 的延长线交O 于点 E，连接 AE，BE，CEAE 与 BC 交于点 F，点 H 在 OD 的延长线上，且OHBAEC （1）求证：BH 与O 相切； （2）若 BE2，tanA=12，求 BF 的长 【分析】 （1）欲证明 BH 与O 相切，只要证明ABH90即可 （2）先求出 EB、AB，由EBFEAB，得=，由此即可解决问题 【解答】 （1）证明：D 为 BC 中点， ODBC， ODB90， DOB+DBO90， OHBAEC，AECDBO， OHB+DOB9
37、0， OBH90， OBBH， BH 与O 相切 （2）解：AB 是直径， AEB90， AE4，tanA=12， BE2，AB25， ODBC， = ， EBFEAB， BEAFEB， EBFEAB， =，即25=12， BF= 5 22 （11 分）九年级孟老师数学小组经过市场调查，得到某种运动服的月销量 y（件）是售价 x（元/件）的一次函数，其售价、月销售量、月销售利润 w（元）的三组对应值如下表： 售价 x（元/件） 130 150 180 月销售量 y（件） 210 150 60 月销售利润 w（元） 10500 10500 6000 注：月销售利润月销售量（售价进价） （1）求
38、y 关于 x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围） ； 运动服的进价是 80 元/件；当售价是 140 元/件时，月销售利润最大，最大利润是 10800 元 （2）由于某种原因，该商品进价降低了 m 元/件（m0） ，商家规定该运动服售价不得低于 150 元/件，该商店在今后的售价中，月销售量与售价仍满足（1）中的函数关系式，若月销售量最大利润是 12000元，求 m 的值 【分析】 （1）设 y 关于 x 的函数解析式为：ykx+b（k0） ，代入表中相关数据得二元一次方程组，解得 k 和 b 的值再代入 ykx+b 即可； （2）运动服的进价等于售价减去每件的利润；根据每件的利润乘以
39、月销售量等于月销售利润，得关于 x的二次函数，配方，根据二次函数的性质可得答案； （3）根据进价变动后每件的利润变为x（80m）元，用其乘以月销售量，得到关于 x 的二次函数，求得对称轴， 判断对称轴小于150， 由开口向下的二次函数的性质可知， 当x150时w取得最大值12000，解关于 m 的方程即可 【解答】解： （1）设 y 关于 x 的函数解析式为：ykx+b（k0） 由题意得： 210 = 130 + 150 = 150 + 解得： = 3 = 600 y 关于 x 的函数解析式为 y3x+600； （2）运动服的进价是：1301050021080（元） 月销售利润 w（x80）
40、（3x+600） 3x2+840 x48000 3（x140）2+10800 当售价是 140 元时，月销售利润最大，最大利润为 10800 元 故答案为：80；140；10800； （3）由题意得： wx（80m）（3x+600） 3x2+（8403m）x48000+600m 对称轴为 x1402 m0 1402140150 商家规定该运动服售价不得低于 150 元/件 由二次函数的性质，可知当 x150 时，月销售量最大利润是 12000 元 31502+（8403m）15048000+600m12000 解得：m10 m 的值为 10 23 （11 分）新定义：我们把两个面积相等但不全等
41、的三角形叫做偏等积三角形 （1）初步尝试 如图 1，已知等腰直角ABC，ACB90，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形 （2）理解运用 如图 2， 已知ACD 为直角三角形， ADC90， 以 AC， AD 为边向外作正方向 ACFB 和正方形 ADGE，连接 BE，求证：ACD 与ABE 为偏等积三角形 （3）综合探究 如图 3，二次函数 y=12x232x5 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，在二次函数的图象上是否存在一点 D，使ABC 与ABD 是偏等积三角形？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）取 AC 的中点 D，连接
42、 BD，则BAD 和BCD 为偏等积三角形； （2）过点 B 作 BHAE，垂足为 H，先证明ABHACD，则 CDHB ，依据三角形的面积公式可知 SABESCDA，然后再依据偏等积三角形的定义进行证明即可； （3）先依据ABC 与ABD 的面积相等可求得点 D 的纵坐标，然后利用抛物线的解析式可求得点 D 的横坐标，最后结合偏等积三角形的定义进行判断即可 【解答】解： （1）如图 1 所示，取 AC 的中点 D，连接 BD，则BAD 和BCD 为偏等积三角形 （2）如图 2 所示：过点 B 作 BHAE，垂足为 H 四边形 ABFC 和四边形 ADGE 均为正方形， HAC+DAC90，B
43、AH+HAC90，ABAC，ADAE BAHDAC 在ABH 和ACD 中 = = = 90 = ， ABHACD CDHB SABE=12AEBH，SCDA=12ADDC，AEAD，CDBH， SABESCDA ACD 与ABE 为偏等积三角形 （3）SABCSABD， 点 D 到 AB 的距离等于点 C 到 AB 的距离 将 x0 代入得：y5， CO5 点 D 到 AB 的距离为 5，即点 D 的纵坐标为5 当点 D 的纵坐标为5，时，ABC 与ABD 全等（舍去） 当点 D 的纵坐标为 5 时，12x232x55，整理得：x23x200，解得 x1=3+892，x2=3892 点 D
44、的坐标为（3:892，5）或（3;892，5） 24 （12 分）如图，抛物线 yax2+bx+2 与 x 轴交于 A，B 两点，且 OA2OB，与 y 轴交于点 C，连接 BC，抛物线对称轴为直线 x=12，D 为第一象限内抛物线上一动点，过点 D 作 DEOA 于点 E，与 AC 交于点F，设点 D 的横坐标为 m （1）求抛物线的表达式； （2）当线段 DF 的长度最大时，求 D 点的坐标； （3） 抛物线上是否存在点 D， 使得以点 O， D， E 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在， 求出 m 的值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）点 A、B 的坐标分别为（2t，0） 、 （
45、t，0） ，则 x=12=12（2tt） ，即可求解； （2）点 D（m，m2+m+2） ，则点 F（m，m+2） ，则 DFm2+m+2（m+2）m2+2m，即可求解； （3）以点 O，D，E 为顶点的三角形与BOC 相似，则=或，即可求解 【解答】解： （1）设 OBt，则 OA2t，则点 A、B 的坐标分别为（2t，0） 、 （t，0） ， 则 x=12=12（2tt） ，解得：t1， 故点 A、B 的坐标分别为（2，0） 、 （1，0） ， 则抛物线的表达式为：ya（x2） （x+1）ax2+bx+2， 解得：a1，b1， 故抛物线的表达式为：yx2+x+2； （2）对于 yx2+x+
46、2，令 x0，则 y2，故点 C（0，2） ， 由点 A、C 的坐标得，直线 AC 的表达式为：yx+2， 设点 D 的横坐标为 m，则点 D（m，m2+m+2） ，则点 F（m，m+2） ， 则 DFm2+m+2（m+2）m2+2m， 10，故 DF 有最大值，DF 最大时 m1， 点 D（1，2） ； （3）存在，理由： 点 D（m，m2+m+2） （m0） ，则 OEm，DEm2+m+2， 以点 O，D，E 为顶点的三角形与BOC 相似， 则=或，即=12或 2，即;2:2=12或 2， 解得：m1 或2（舍去）或1:334或1;334（舍去） ， 经检验 m1 或1:334是方程的解， 故 m1 或1:334