1、 2021 年江苏省常州市武进区中考模拟年江苏省常州市武进区中考模拟数学数学试卷试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 1 （2 分）3 的绝对值是（ ） A3 B3 C3 D13 2 （2 分）要使二次根式3 有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） Ax3 Bx3 Cx3 Dx3 3 （2 分）如图所示圆柱的左视图是（ ） A B C D 4（2 分） GDP 是国民经济核算的核心指标， 也是衡量一个国家或地区经济状况和发展水平的重要指标 2019年16月份， 常州GDP总量为3765.6亿， 相比2018年增长了7.1
2、% 将3765.6用科学记数法表示为 （ ） A0.37656104 B3.7656103 C3.7656102 D376561011 5 （2 分）如图，直线 ab，直线 c 与直线 a、b 分别交于点 A、B若1143，则2 的度数为（ ） A27 B37 C43 D33 6 （2 分）如图，点 D、E 分别是ABC 的边 AB、AC 的中点，DE3，则 BC 的长为（ ） A32 B23 C6 D3 7 （2 分）如图，等边三角形 ABC 的边长为 6，若点 B 的坐标为（7，1） ，那么点 A 的坐标为（ ） A （4，7） B （3，7） C （3，33 +1） D （4，33 +1
3、） 8 （2 分）如图，在ABC 中，ABAC4，BAC120，点 P 是ABC 的中线 AD 上一点，将点 B 绕点 P 逆时针旋转 60，点 B 的对应点是点 E，则 AE 的取值范围是（ ） A4x5 B23 x5 C23 x27 D4x27 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分）分） 9 （2 分）计算：3a2aa4a 10 （2 分）8 的立方根是 11 （2 分）因式分解：xy22xy+x 12 （2 分）已知 x2 是关于 x 的方程 ax22x+30 的一个根，则 a 13 （2 分）已知圆锥的底面半径是 2，母线
4、长是 4，则圆锥的侧面积是 14 （2 分）若关于 x 的方程 x2+2x+m0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 15 （2 分）若 x、y 满足方程组 + 2 = 52 + = 4，则 x+y 16 （2 分）如图，五边形 ABCDE 内接于O，若的度数为 48，则A+D 17 （2 分）如图，在ABC 中，ACB90，BC3，以点 C 为圆心的圆与 AB 相切，C 的半径为 2.4，则 AB 18 （2 分）如图，O 的半径为 2，圆心 O 在坐标原点，正方形 ABCD 的边长为 2，点 A、B 在第二象限，点 C、D 在O 上，且点 D 的坐标为（0，2） ，现将正方形 AB
5、CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 150，点 B运动到了O 上的点 B1处，点 A、D 分别运动到了点 A1、D1处，即得到正方形 A1B1C1D1（点 C1与 C重合） ； 再将正方形 A1B1C1D1绕点 B1按逆时针方向旋转 150， 点 A1运动到了O 上的点 A2处， 点 D1、C1分别运动到了点 D2、C2处，即得到正方形 A2B2C2D2（点 B2与 B1重合） ，按上述方法旋转 2020次后，点 A2020的坐标为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 84 分）分） 19 （8 分）计算： （1） （3 +1）0+|2|31； （2） （x+1）
6、（x+2）（x1）2 20 （6 分）解不等式组3 + 1 2( + 1)5 + 12，并写出它的整数解 21 （8 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，且 BEBC，连接 CE （1）求证：CEDCEB； （2）若CED67.5，BC2，求 AB 的长 22 （8 分）某校为了了解初三年级 1000 名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.546.5；B：46.553.5；C：53.560.5；D：60.567.5；E：67.574.5） ，并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图 解答下列问题： （1
7、）这次抽样调查的样本容量是 ，并补全频数分布直方图； （2）C 组学生的频率为 ，在扇形统计图中 D 组的圆心角是 度； （3）请你估计该校初三年级体重超过 60kg 的学生大约有多少名？ 23 （8 分）2020 年 1 月，新型冠状病毒肺炎肆虐全国，湖北作为重疫区，医护人员短缺，为了保护民众的生命安全，我市某医院决定从最先报名的 3 名男医护人员和 2 名女医护人员中随机抽取部分医护工作者支援武汉 （1）如果只抽取一名医护人员，那么抽到女医护人员的概率为 （2）如果随机抽取 2 名医护人员，求抽到 1 名男医护人员和 1 名女医护人员的概率 24（8分） 如图， 矩形OABC的顶点A、 C
8、分别在y轴、 x轴上， 点B的坐标为 （4， 2） ， 反比例函数y=（x0） 的图象经过 AB 的中点 D，交 BC 于点 E （1）求 k 的值； （2）若 F 是 OC 上一点，且AFE 的面积为 3，求直线 EF 的函数表达式 25 （8 分）如图，在一笔直的海岸线上有 A、B 两个观测站，A 在 B 的正西方向，一船只从 A 处沿北偏东36方向以 40km/h 的速度航行，2h 后到达 C 处，此时，从 B 站测得船在北偏西 42的方向，求 A、B两个观测站之间的距离 （结果精确到 0.1km， 参考数据： sin360.59， cos360.81， tan360.73，sin420
9、.67，cos420.74，tan420.90） 26 （10 分）阅读资料： 如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 两点的坐标分别为 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由勾股定理得 AB2|x2x1|2+|y2y1|2，所以 A，B 两点间的距离为 AB= (2 1)2+ (2 1)2 我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图 2，在平面直角坐标系 xoy 中，A（x，y）为圆上任意一点，则 A 到原点的距离的平方为 OA2|x0|2+|y0|2，当O 的半径为 r 时，O 的方程可写为：x2+y2r2 问题拓展：如果圆心坐标为 P（a，b） ，半径为 r，那么
10、P 的方程可以写为 综合应用： 如图 3，P 与 x 轴相切于原点 O，P 点坐标为（0，6） ，A 是P 上一点，连接 OA，使 tanPOA=34，作 PDOA，垂足为 D，延长 PD 交 x 轴于点 B，连接 AB 证明 AB 是P 的切线； 是否存在到四点 O，P，A，B 距离都相等的点 Q？若存在，求 Q 点坐标，并写出以 Q 为圆心，以 OQ为半径的Q 的方程；若不存在，说明理由 27 （10 分）某数学兴趣小组发现八年级期中试卷上有这样一道题：如图，在正方形 ABCD 的外部作AED45，且 AE6，DE3，连接 BE，求 BE 的长经过思考，小明提出两种解题的思路： 思路 1：
11、如图，分别过点 D、B 作 DFAE，BGEA 的延长线，垂足分别为 F、G构造ABGDAF，求出 EG、BG 的长，再利用勾股定理求 BE 的长 思路 2：如图，将ABE 绕点 A 逆时针旋转 90，就可以构造出 RtEDF，运用勾股定理可以求出EF 的长，从而得到 BE 的长 （1）求得 BE 请你用学过的知识或参考小明的思路解决兴趣小组提出的以下两个问题： （2）如图，在菱形 ABCD 中，BAD45，在菱形 ABCD 的外部作AED22.5，且 AE= 2， DE1，连接 BE，求 BE2的值； （3）如图，在ABC 中，ABAC，BAC，在ABC 外部作APC，AP= 2AC，APC
12、，连接 PB，若 PC2+2BC2PB2，试探求 与 的数量关系 28 （10 分）如图，二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0） 、B（3，0） ，与 y 轴交于点C，连接 BC，点 P 是抛物线上一动点 （1）求二次函数的表达式 （2）当点 P 不与点 A、B 重合时，作直线 AP，交直线 BC 于点 Q，若ABQ 的面积是BPQ 面积的 4倍，求点 P 的横坐标 （3）如图，当点 P 在第一象限时，连接 AP，交线段 BC 于点 M，以 AM 为斜边向ABM 外作等腰直角三角形 AMN，连接 BN，ABN 的面积是否变化？如果不变，请求出ABN 的面积；如果变化，
13、请说明理由 2021 年江苏省常州市武进区中考数学模拟试卷年江苏省常州市武进区中考数学模拟试卷 答案与解析答案与解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 1 （2 分）3 的绝对值是（ ） A3 B3 C3 D13 【分析】当 a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数a 【解答】解：3 的绝对值是 3 故选：B 2 （2 分）要使二次根式3 有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） Ax3 Bx3 Cx3 Dx3 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数 【解答】
14、解：由题意可知：3x0， x3， 故选：D 3 （2 分）如图所示圆柱的左视图是（ ） A B C D 【分析】找到从左面看所得到的图形即可 【解答】解：此圆柱的左视图是一个矩形，故选：C 4（2 分） GDP 是国民经济核算的核心指标， 也是衡量一个国家或地区经济状况和发展水平的重要指标 2019年16月份， 常州GDP总量为3765.6亿， 相比2018年增长了7.1% 将3765.6用科学记数法表示为 （ ） A0.37656104 B3.7656103 C3.7656102 D376561011 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为整数，
15、且 n 比原来的 整数位数少 1，据此判断即可 【解答】解：3765.63.7656103 故选：B 5 （2 分）如图，直线 ab，直线 c 与直线 a、b 分别交于点 A、B若1143，则2 的度数为（ ） A27 B37 C43 D33 【分析】直接利用平行线的性质结合邻补角的性质得出答案 【解答】解：直线 ab，1143， 3143， 218014337 故选：B 6 （2 分）如图，点 D、E 分别是ABC 的边 AB、AC 的中点，DE3，则 BC 的长为（ ） A32 B23 C6 D3 【分析】根据三角形中位线定理解答即可 【解答】解：点 D、E 分别是ABC 的边 AB、AC
16、 的中点， DE 是ABC 的中位线， BC2DE， DE3， BC6， 故选：C 7 （2 分）如图，等边三角形 ABC 的边长为 6，若点 B 的坐标为（7，1） ，那么点 A 的坐标为（ ） A （4，7） B （3，7） C （3，33 +1） D （4，33 +1） 【分析】过 A 作 ADBC 于 D，根据等边三角形的性质得到 BDCD=12BC3，根据勾股定理得到AD= 2 2= 62 32=33，于是得到结论 【解答】解：过 A 作 ADBC 于 D， ABC 是等边三角形， BDCD=12BC3， AD= 2 2= 62 32=33， 点 B 的坐标为（7，1） ， A（4，
17、33 +1） ， 故选：D 8 （2 分）如图，在ABC 中，ABAC4，BAC120，点 P 是ABC 的中线 AD 上一点，将点 B 绕点 P 逆时针旋转 60，点 B 的对应点是点 E，则 AE 的取值范围是（ ） A4x5 B23 x5 C23 x27 D4x27 【分析】当点 P 与点 A 重合时，AE 有最小值，当点 P 与点 D 重合时，AE 有最大值，由旋转的性质和等边三角形的性质可求解 【解答】解：ABAC4，BAC120，AD 是中线， ABCACB30，BDCD， AD2，BD23， 当点 P 与点 A 重合时，AE 有最小值，如图， 将点 B 绕点 P 逆时针旋转 60
18、， BPBE，PBE60， PBE 是等边三角形， PEAB4AE， 当点 P 与点 D 重合时，AE 有最大值，如图， 将点 B 绕点 P 逆时针旋转 60， BPBE，PBE60， PBE 是等边三角形， BPBE23， ABEABC+PBE90， AE= 2+ 2= 2+ 2= 16 + 12 =27， AE 的取值范围是 4AE27， 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分）分） 9 （2 分）计算：3a2aa4a 2a3 【分析】根据单项式乘单项式、单项式除以单项式、合并同类项法则计算即可 【解答】解：3a2aa
19、4a 3a3a3 2a3， 故答案为：2a3 10 （2 分）8 的立方根是 2 【分析】利用立方根的定义即可求解 【解答】解：（2）38， 8 的立方根是2 故答案为：2 11 （2 分）因式分解：xy22xy+x x（y1）2 【分析】先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可 【解答】解：xy22xy+x x（y22y+1） x（y1）2， 故答案为：x（y1）2 12 （2 分）已知 x2 是关于 x 的方程 ax22x+30 的一个根，则 a 14 【分析】把 x2 代入已知方程，列出关于 a 的新方程，通过解新方程求得 a 的值即可 【解答】解：把 x2 代入 ax22x+30
20、，得 4a4+30， 解得：a=14 故答案是：14 13 （2 分）已知圆锥的底面半径是 2，母线长是 4，则圆锥的侧面积是 8 【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长2 【解答】解：底面半径是 2，则底面周长4，圆锥的侧面积=12448 14 （2 分）若关于 x 的方程 x2+2x+m0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 m1 【分析】利用判别式的意义得到224m0，然后解关于 m 的不等式即可 【解答】解：根据题意得224m0， 解得 m1 故答案为 m1 15 （2 分）若 x、y 满足方程组 + 2 = 52 + = 4，则 x+y 3 【分析】应用代入法，求出方程组 + 2
21、 = 52 + = 4的解，即可求出 x+y 的值是多少 【解答】解： + 2 = 52 + = 4 由，可得：y42x， 把代入，解得 x1， y4212， 原方程组的解是 = 1 = 2， x+y1+23 故答案为：3 16 （2 分）如图，五边形 ABCDE 内接于O，若的度数为 48，则A+D 204 【分析】连接 BD，根据圆内接四边形对角互补可得A+EDB180，再根据的度数为 48，可得DBC24，然后求解即可 【解答】解：如图，连接 BD， 的度数为 48， BDC=12 48 =24， 五边形 ABCDE 是圆内接五边形， 四边形 ABDE 是圆内接四边形， A+EDB180
22、， A+D180+24204 故答案为：204 17 （2 分）如图，在ABC 中，ACB90，BC3，以点 C 为圆心的圆与 AB 相切，C 的半径为 2.4，则 AB 5 【分析】如图，设切点为 D，连接 CD，根据切线的性质得到 CDAB，根据勾股定理得到 BD=2 2=95，根据相似三角形的性质即可得到结论 【解答】解：如图，设切点为 D，连接 CD， AB 是C 的切线， CDAB， C 的半径为 2.4， CD2.4， BD= 2 2=95， CDBACB90，BB， BCDBAC， =， 3=953， AB5， 故答案为：5 18 （2 分）如图，O 的半径为 2，圆心 O 在坐
23、标原点，正方形 ABCD 的边长为 2，点 A、B 在第二象限，点 C、D 在O 上，且点 D 的坐标为（0，2） ，现将正方形 ABCD 绕点 C 按逆时针方向旋转 150，点 B运动到了O 上的点 B1处，点 A、D 分别运动到了点 A1、D1处，即得到正方形 A1B1C1D1（点 C1与 C重合） ； 再将正方形 A1B1C1D1绕点 B1按逆时针方向旋转 150， 点 A1运动到了O 上的点 A2处， 点 D1、C1分别运动到了点 D2、C2处，即得到正方形 A2B2C2D2（点 B2与 B1重合） ，按上述方法旋转 2020次后，点 A2020的坐标为 （2+3，1） 【分析】如图，
24、由题意发现 12 次一个循环，由 202012168 余数为 4，推出 A2020的坐标与 A4相同，由此即可解决问题 【解答】解：如图，由题意发现 12 次一个循环， 202012168 余数为 4， A2020的坐标与 A4相同， A4（2+3，1） ， A2020（2+3，1） ， 故答案为： （2+3，1） ， 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 84 分）分） 19 （8 分）计算： （1） （3 +1）0+|2|31； （2） （x+1） （x+2）（x1）2 【分析】 （1）先算零指数、负整数指数幂，再算绝对值，最后加减； （2）先利用多项式乘多项式
25、法则、完全平方公式，再合并同类项 【解答】解： （1）原式1+213 223； （2）原式x2+3x+2（x22x+1） x2+3x+2x2+2x1 5x+1 20 （6 分）解不等式组3 + 1 2( + 1)5 + 12，并写出它的整数解 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，最后求其整数解即可 【解答】解：解不等式 3x+12（x+1） ，得：x1， 解不等式x5x+12，得：x2， 则不等式组的解集为：2x1， 则不等式组的整数解为1、0、1 21 （8 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，
26、且 BEBC，连接 CE （1）求证：CEDCEB； （2）若CED67.5，BC2，求 AB 的长 【分析】 （1）证根据矩形的性质得到 ADBC，根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论； （2）由（1）知，CEDCEB67.5，推出ABE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， ADBC， DECECB， BEBC， BECECB， CEDCEB； （2）解：由（1）知，CEDCEB67.5， BED135， AEB45， A90， ABE 是等腰直角三角形， BEBC2， AB=22BE= 2 故 AB 的长为2
27、22 （8 分）某校为了了解初三年级 1000 名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.546.5；B：46.553.5；C：53.560.5；D：60.567.5；E：67.574.5） ，并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图 解答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是 50 ，并补全频数分布直方图； （2）C 组学生的频率为 0.32 ，在扇形统计图中 D 组的圆心角是 72 度； （3）请你估计该校初三年级体重超过 60kg 的学生大约有多少名？ 【分析】 （1）根据 A 组的百分比和频数得出样本容量，并计算
28、出 B 组的频数补全频数分布直方图即可； （2）由图表得出 C 组学生的频率，并计算出 D 组的圆心角即可； （3）根据样本估计总体即可 【解答】解： （1）这次抽样调查的样本容量是 48%50，B 组的频数5041610812， 补全频数分布直方图，如图： （2）C 组学生的频率是 0.32；D 组的圆心角=1050 360 = 72； （3）样本中体重超过 60kg 的学生是 10+818 人， 该校初三年级体重超过 60kg 的学生=1850 100% 1000 = 360人， 故答案为： （1）50； （2）0.32；72 23 （8 分）2020 年 1 月，新型冠状病毒肺炎肆虐全国
29、，湖北作为重疫区，医护人员短缺，为了保护民众的生命安全，我市某医院决定从最先报名的 3 名男医护人员和 2 名女医护人员中随机抽取部分医护工作者支援武汉 （1）如果只抽取一名医护人员，那么抽到女医护人员的概率为 25 （2）如果随机抽取 2 名医护人员，求抽到 1 名男医护人员和 1 名女医护人员的概率 【分析】 （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有 20 种等可能的结果，其中抽到 1 名男医护人员和 1 名女医护人员的结果有 12 种，再由概率公式求解即可 【解答】解： （1）如果只抽取一名医护人员，那么抽到女医护人员的概率为23+2=25， 故答案为：25； （2）画树状图
30、如下： 共有 20 种等可能的结果，其中抽到 1 名男医护人员和 1 名女医护人员的结果有 12 种， 抽到 1 名男医护人员和 1 名女医护人员的概率为1220=35 24（8分） 如图， 矩形OABC的顶点A、 C分别在y轴、 x轴上， 点B的坐标为 （4， 2） ， 反比例函数y=（x0） 的图象经过 AB 的中点 D，交 BC 于点 E （1）求 k 的值； （2）若 F 是 OC 上一点，且AFE 的面积为 3，求直线 EF 的函数表达式 【分析】 （1）求得线段 AB 的中点 D 的坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）先求得 E 的坐标，然后根据题意求得 F 的坐标，利用待定
31、系数法即可求得直线 EF 的解析式 【解答】解： （1）点 B 的坐标为（4，2） ，AB 的中点为 D， D（2，2） ， 反比例函数 y=（x0）的图象经过 AB 的中点 D， k2（2）4， 故 k 的值为4； （2）把 x4 代入 y= 4得，y1， E（4，1） ， 连接 AF，设 F（m，0） ，则 OFm，CF4m， SAOF=12OFOA=12 2 =m，SCEF=12 =12（4m）1212m， S梯形OAEC=12（1+2）46，AFE 的面积为 3， SAFES梯形OAECSAOFSCEF6m（212m）3， 解得 m2， F（2，0） ， 设直线 EF 的解析式为 ya
32、x+b， 把 E（4，1） ，F（2，0）代入得4 + = 12 + = 0， 解得 = 12 = 1， 直线 EF 的函数表达式为 y= 12x+1 25 （8 分）如图，在一笔直的海岸线上有 A、B 两个观测站，A 在 B 的正西方向，一船只从 A 处沿北偏东36方向以 40km/h 的速度航行，2h 后到达 C 处，此时，从 B 站测得船在北偏西 42的方向，求 A、B两个观测站之间的距离 （结果精确到 0.1km， 参考数据： sin360.59， cos360.81， tan360.73，sin420.67，cos420.74，tan420.90） 【分析】过 C 作 CDAB 于
33、D，根据垂直的定义得到ADCBDC90，解直角三角形即可得到结论 【解答】解：过 C 作 CDAB 于 D， ADCBDC90， 由题意得，ACD36，BCD42，AC40280（km） ， 在 RtACD 中，ACD36，AC80km， ADACsin36800.5947.2（km） ，CDACcos36800.8164.8（km） ， 在 RtBCD 中，BCD42， BDCDtan4264.80.9058.32（km） ， ABAD+BD47.2+58.32105.5（km） ， 答：A、B 两个观测站之间的距离为 105.5km 26 （10 分）阅读资料： 如图 1，在平面直角坐标系
34、 xOy 中，A，B 两点的坐标分别为 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由勾股定理得 AB2|x2x1|2+|y2y1|2，所以 A，B 两点间的距离为 AB= (2 1)2+ (2 1)2 我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图 2，在平面直角坐标系 xoy 中，A（x，y）为圆上任意一点，则 A 到原点的距离的平方为 OA2|x0|2+|y0|2，当O 的半径为 r 时，O 的方程可写为：x2+y2r2 问题拓展： 如果圆心坐标为 P （a， b） ， 半径为 r， 那么P 的方程可以写为 （xa）2+ （yb）2r2 综合应用： 如图 3，P 与 x 轴相切于原点
35、 O，P 点坐标为（0，6） ，A 是P 上一点，连接 OA，使 tanPOA=34，作 PDOA，垂足为 D，延长 PD 交 x 轴于点 B，连接 AB 证明 AB 是P 的切线； 是否存在到四点 O，P，A，B 距离都相等的点 Q？若存在，求 Q 点坐标，并写出以 Q 为圆心，以 OQ为半径的Q 的方程；若不存在，说明理由 【分析】问题拓展：设 A（x，y）为P 上任意一点，则有 APr，根据阅读材料中的两点之间距离公式即可求出P 的方程； 综合应用：由 POPA，PDOA 可得OPDAPD，从而可证到POBPAB，则有POBPAB由P 与 x 轴相切于原点 O 可得POB90，即可得到P
36、AB90，由此可得 AB 是P 的切线； 当点 Q 在线段 BP 中点时， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 QOQPBQAQ 易证OBPPOA，则有 tanOBP=34由 P 点坐标可求出 OP、OB过点 Q 作 QHOB 于 H，易证BHQBOP，根据相似三角形的性质可求出 QH、BH，进而求出 OH，就可得到点 Q 的坐标，然后运用问题拓展中的结论就可解决问题 【解答】解：问题拓展：设 A（x，y）为P 上任意一点， P（a，b） ，半径为 r， AP2（xa）2+（yb）2r2 故答案为（xa）2+（yb）2r2； 综合应用： POPA，PDOA， OPDAPD 在POB
37、和PAB 中， = = = ， POBPAB， POBPAB P 与 x 轴相切于原点 O， POB90， PAB90， AB 是P 的切线； 存在到四点 O，P，A，B 距离都相等的点 Q 当点 Q 在线段 BP 中点时， POBPAB90， QOQPBQAQ 此时点 Q 到四点 O，P，A，B 距离都相等 POB90，OAPB， OBP90DOBPOA， tanOBP=tanPOA=34 P 点坐标为（0，6） ， OP6，OB=43OP8 过点 Q 作 QHOB 于 H，如图 3， 则有QHBPOB90， QHPO， BHQBOP， =12， QH=12OP3，BH=12OB4， OH8
38、44， 点 Q 的坐标为（4，3） ， OQ= 2+ 2=5， 以 Q 为圆心，以 OQ 为半径的Q 的方程为（x4）2+（y3）225 27 （10 分）某数学兴趣小组发现八年级期中试卷上有这样一道题：如图，在正方形 ABCD 的外部作AED45，且 AE6，DE3，连接 BE，求 BE 的长经过思考，小明提出两种解题的思路： 思路 1：如图，分别过点 D、B 作 DFAE，BGEA 的延长线，垂足分别为 F、G构造ABGDAF，求出 EG、BG 的长，再利用勾股定理求 BE 的长 思路 2：如图，将ABE 绕点 A 逆时针旋转 90，就可以构造出 RtEDF，运用勾股定理可以求出EF 的长
39、，从而得到 BE 的长 （1）求得 BE 9 请你用学过的知识或参考小明的思路解决兴趣小组提出的以下两个问题： （2）如图，在菱形 ABCD 中，BAD45，在菱形 ABCD 的外部作AED22.5，且 AE= 2，DE1，连接 BE，求 BE2的值； （3）如图，在ABC 中，ABAC，BAC，在ABC 外部作APC，AP= 2AC，APC，连接 PB，若 PC2+2BC2PB2，试探求 与 的数量关系 【分析】 （1）以图为例，由旋转可得ABEADF，根据勾股定理求出 DF 即可得出 BE； （2）将ABE 绕点 A 逆时针旋转 45，得到ADF，过 F 作 FHAE 于 H，利用勾股定理
40、求出 EF，进 而求出 BE2即可； （3）将ABP 绕点 A 逆时针旋转 ，得到ACD，由题意得出PCD 是直角三角形，再根据APD 是等腰三角形得出两角关系即可 【解答】解： （1）以图为例，由旋转可得ABEADF， BEDF，AEAF，EAF90， AEF45， AED45， DEF90，EF= 2AE62，DE3， DF= 2+ 2=(62)2+ 32=9， BEDF9； （2）由旋转可得下图， （旋转角为 45，绕点 A 逆时针旋转） ，过 F 作 FHAE 于 H， AEF67.5， AED22.5， DEF90，旋转得 BEDF， 在 RtDEF 中，DF2EF2+DE2， AE
41、AF= 2，AHFH1， EH= 2 1， EF2FH2+EH2， EF212+（2 1）242， BE2DF2EF2+DE242 +152； （3）将ABP 绕点 A 逆时针旋转 ，得到ACD， 由旋转得 BP2CD2， PC2+2BC2BP2CD2，ABAC，AP= 2AC， CP2+DP2CD2， PCD 是 Rt，且DPC90， +APD90， APD 是等腰三角形， APD=1802， 即1802+90， 2 28 （10 分）如图，二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0） 、B（3，0） ，与 y 轴交于点C，连接 BC，点 P 是抛物线上一动点 （1）求二
42、次函数的表达式 （2）当点 P 不与点 A、B 重合时，作直线 AP，交直线 BC 于点 Q，若ABQ 的面积是BPQ 面积的 4倍，求点 P 的横坐标 （3）如图，当点 P 在第一象限时，连接 AP，交线段 BC 于点 M，以 AM 为斜边向ABM 外作等腰直角三角形 AMN，连接 BN，ABN 的面积是否变化？如果不变，请求出ABN 的面积；如果变化，请说明理由 【分析】 （1）将 A，B 点坐标代入即可求出二次函数的表达式， （2）分类讨论：当 P 在 x 轴上方和在 x 轴下方，运用高相等的两个三角形的面积比等于底边比这一概念进行求解， （3）找出 N 点的运动轨迹为平行于 x 轴的一
43、条直线即可 【解答】解： （1）二次函数经过 A（1，0） ， （3，0） ， 代入得0 = (1)2+ (1)+ 0 = 32+ 3 + ， 解得 = 2 = 3， 所以二次函数的表达式为 yx2+2x+3 （2）如图所示，当 P 在 x 轴上方时， 过点 P 作 PFx 轴于点 F，过点 E 作 QEx 轴于点 E，过点 B 作 BGAP 于点 G， 可得AQEAPF， =， =41=1212=， =45， =45， 设点 P（a，a2+2a+3） ， OFa，PFa2+2a+3， AFa（1）a+1，QE=45 =45 (2+ 2 + 3)， AE=45 =4(+1)5， OEAEAO=
44、4(+1)51=415， Q 点的坐标可表示为（415，45 (2+ 2 + 3)） ， B（3，0） ，C 为二次函数与 y 轴交点， C（0，3） ， 可得 BC 的解析式为 yx+3， Q 在 BC 上， 45 (2+ 2 + 3) = 415+3， 解得 a=3+52或352 如图所示，当 P 在 x 轴下方时， 同理可求出 P 点的横坐标为15+30510或1530510， 115305100， 当 P 点横坐标为1530510时，P 在抛物线的 AC 段， 不合题意，舍去， 综上所述，P 点的横坐标为3+52或352或1530510 （3）如图所示，以 AB 为底在 x 轴上方作等腰直角三角形 ABK，连接 NK，过点 K 作 KHx 轴于点 H， AMN 和ABK 均为等腰直角三角形， =，NAMBAK， NAM+MAKBAK+MAK， NAKMAB， NAKMAB， NKAMBA， C（0，3） ，B（3，0） ， OCOB， MBA45NAKKAB， NKAB， 两条平行线之间的距离相等， N 在运动时，N 到 AB 的距离保持不变，其距离都等于 KH 的长， 在等腰直角三角形 KAB 中，AB4， KH=12 = 2， =12 =12 4 2 = 4 综上所述，ABN 的面积不变，为 4