1、 2021 年山东省济南市中考模拟年山东省济南市中考模拟数学数学试卷试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，共 48 分） 1. 下列各数中，是无理数的是( ) A. 83 B. 16 C. 0.575757 D. 4 2. 在以下几何体中，三视图完全相同的是( ) A. 圆锥 B. 正方体 C. 圆柱 D. 五棱柱 3. 我国第七次人口普查显示，全国除港澳台地区总人口约为141200万人，将141200万这个数用科学记数法表示为( ) A. 0.1412 106 B. 1.412 105 C. 1.412 109 D. 1.412 1010 4. 如图所示，/，/， = 70，则的度数为(
2、) A. 70 B. 110 C. 120 D. 20 5. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 6. 如图，在数轴上，点表示3，过点作数轴的垂线.截取 = 1，以原点为圆心，以长为半径画弧，交负半轴于点，那么点所表示的数是( ) A. 3 B. 3.5 C. 10 D. 10 7. 如果2+ 3 2 = 0，那么代数式(32;9+1:3) ;32的值为( ) A. 1 B. 12 C. 13 D. 14 8. 从1，2，3，5这四个数字中任取两个，其乘积为偶数的概率是( ) A. 14 B. 38 C. 12 D. 34 9. 若式子 1 + ( 1)0有意
3、义，则一次函数 = ( 1) + 1 的图象不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 第 2 页，共 20 页 10. 如图所示， 为一小山坡，工人砍伐离坡脚处7米远的一棵大树，他们在处测得大树顶端的仰角是52，在坡顶处测得大树顶端的仰角是28.已知斜坡的坡度为 = 1：2.砍伐时大树倒向山坡，并在坡脚处被折断，大树正对坡顶，则此时树顶距点约为( )米(精确到0.01参考数据：52 1.30，28 0.90，52 0.79，28 0.47，5 2.236) A. 0.14 B. 0.98 C. 2.10 D. 9.10 11. 如图是某商场一楼与二楼之间的手
4、扶电梯示意图其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线， = 150，的长是8，则乘电梯从点到点上升的高度是 A. B. 4 C. D. 8 12. 如果点(2,1)，(1,2)在抛物线 = 2+ 2上，那么下列结论正确的是( ) A. 1 2 C. 1 2 D. 1 2 二、填空题（本大题共 6 小题，共 24 分） 13. 如图，从边长为( + 3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠，无缝隙)，则拼成的长方形的另一边长是_。 14. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖(飞镖每次都落在游戏板上)，则击中
5、黑色区域的概率是_ 15. 14.一个六边形的内角和等于 度 16. 若关于的一元二次方程( 3)2+ 6 + 2 7 + 12 = 0有一个根是0，那么的值为_ 17. 已知点(0,4)，(8,0)和(,)，若过点的圆的圆心是线段的中点，则这个圆的半径的最小值等于_ 18. 如图所示，在 中，/， 和梯形的面积相等，则： =_ 三、计算题（本大题共 1 小题，共 6 分） 19. (1)计算：|3 1| + (2033 )0 (12);1 330 + 83 (2)先化简，再求值：( +1:2) 2;1:2，其中： = 2 + 1 四、解答题（本大题共 8 小题，共 58 分） 20. 对于整
6、数，符号表示运算 ，已知1 14 3，试求 + 的值 21. 如图， 在 和 中， 与相交于点， = ， = .求证： = 第 4 页，共 20 页 22. 为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，国家每年都要对中学生进行一次体能测试，测试结果分“优秀”“良好”、“及格”、“不及格”四个等级，某学校从九年级学生中随机抽取部分学生的体能测试结果进行分析，并根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据这两幅统计图中的信息回答下列问题 (1)本次抽样调查共抽取多少名学生？ (2)补全条形统计图 (3)在扇形统计图中，求测试结果为“良好”等级所对应圆心角的度数为_ (4)若该学校九年级共有
7、1200名学生，请你估计该学校九年级学生中测试结果为“不及格”等级的学生有多少名？ 23. 如图，是 的直径，是 上一点，且= ，连接、，直线1经过点，在直线1上取点，使 = ，与相交于点，连接.且 = (1)根据题意补全图形，并求的度数 (2)求证：直线1是 的切线 24. 现有一长方形纸片，如图所示，将 沿折叠，使点恰好落在边上的点，已知 = 6， = 10，求的长 25. 某图书馆计划选购甲、 乙两种图书 甲图书每本价格是乙图书每本价格的25倍， 如果用900元购买图书，则单独购买甲图书比单独购买乙图书要少18本 (1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？ (2)如果该图书馆计划购买乙图
8、书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲乙两种图书的总费用不超过1725元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？ 26. 如图，在 中，点、分别在、上，平分，/，如果 = 6， = 4， = 15，求和的长 27. 如图， 和 是有公共顶点的等腰直角三角形， = = 90，点为射线，的交点 (1)求证： = ； (2)若 = 2， = 1，把 绕点旋转， 当 = 90时，求的长； 直接写出旋转过程中线段长的最小值与最大值 第 6 页，共 20 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】【解析】解：、82= 2，是整数，属于有理数，故本选项不合题意； B、16 = 4，是整数，属于有理数
9、，故本选项不合题意； C、0.575757是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意； D、4是无理数，故本选项符合题意 故选： 无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数由此即可判定选择项 此题主要考查了无理数的定义， 注意带根号的要开不尽方才是无理数， 无限不循环小数为无理数 如，2，0.8080080008(每两个8之间依次多1个0)等形式 2.【答案】 【解析】解：、圆锥的主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆形；故本选项错误; B、正方体的主视图、左视图、俯视图都是正方形；故本选
10、项正确； C、圆柱的主视图、左视图是矩形、俯视图是圆，故本选项错误； D、五棱柱的主视图、左视图是矩形，大小不一定相同，俯视图是五角形，故本选项错误 故选： 分别写出各个立体图形的三视图，判断即可 本题考查了简单几何体的三视图，掌握主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形是解题的关键 3.【答案】 【解析】解：141200万= 1412000000 = 1.412 109 故选： 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 10，其中1 | 10，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可 此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 10，其中1 | 1， 所以
11、一次函数 = ( 1) + 1 的图象可能是： ， 所以，一次函数 = ( 1) + 1 的图象不经过第二象限， 故选 B 首先根据二次根式中的被开方数是非负数， 以及0= 1( 0)， 判断出的取值范围， 然后判断出 1、 1 的正负，再根据一次函数的图象与系数的关系，进而判断函数不经过的象限 此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系， 要熟练掌握， 解答此题的关键是要明确： 当 0时， (0,)在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当 0时，(0,)在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴；此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：0= 1( 0)；00 1；此题还考查了二次根
12、式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数 10.【答案】 【解析】解：设 = = 米， 斜坡的坡度为 = 1：2， = 2， 则 = = 7 + 2， 由勾股定理得， = (2)2+ 2= 5 2.236， 在 中，tan =， = tan 7 1.3 = 9.1， = 9.1 ， 在 中，tan =， 则9.1;7:2 0.9， 解得， = 1.00， 则此时树顶距点约为：7 + 2.236 9.1 0.14(米)， 故选： 设 = = 米，根据坡度的概念用表示出，根据勾股定理求出，根据正切的定义求出，根据正切的定义列式求出，计算即可 本题考查的是解直
13、角三角形的应用仰角俯角、坡度坡角问题，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键 11.【答案】 【解析】本题考查直角三角形的性质过作 ，已知 = 150，即已知 = 30，根据三角函数就可以求解 解：过作 于点 第 10 页，共 20 页 在 中，由三角函数的定义可知 = 30 = 8 = 4 故选 B 12.【答案】 【解析】解：抛物线 = 2+ 2的对称轴是 = 2;2= 1， = 1 0，抛物线开口向下，2 1 1， 1 2 故选： 首先求得抛物线 = 2+ 2的对称轴是 = 1，利用二次函数的性质， 点、 在对称轴的左侧， 随着的增大而增大，得出答案即可 本题考
14、查了二次函数的性质，求得对称轴，掌握二次函数图象的性质解决问题 13.【答案】 + 6 【解析】 【分析】 本题考查了平方差公式的几何背景，表示出剩余部分的面积是解题的关键。根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理即可得解。 【解答】 解：拼成的长方形的面积： ( + 3)2 32=( + 3 + 3)( + 3 3)=( + 6) 拼成的长方形一边长为 另一边长是 + 6 故答案为 + 6。 14.【答案】13 【解析】解：总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积， 飞镖落在阴影部分的概率是39=13， 故答案为：13 根据几何概率的求法：飞
15、镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件()；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件()发生的概率 15.【答案】720 【解析】本题考查多边形内角和定理的应用，属于基础题，熟知多边形内角和定理是解题的关键 解： 边形的内角和为( 2) 180， 六边形的内角和为(6 2) 180 = 720， 故答案为：720 16.【答案】4 【解析】解：把 = 0代入( 3)2+ 6 + 2 7 + 12 = 0得2 7 + 12 = 0， 解得1= 4，2= 3， 3 0， 的值为4
16、 故答案为4 先把 = 0代入( 3)2+ 6 + 2 7 + 12 = 0得2 7 + 12 = 0，再解关于的方程，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的的值 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解也考查了一元二次方程的定义 17.【答案】2 第 12 页，共 20 页 【解析】解：的中点的坐标是：(4,2) (,)在一次函数 = 上， 设过且与直线 = 垂直的直线的解析式是 = + ， 把(4,2)代入解析式得：4 + = 2， 解得： = 6， 则函数解析式是 = 6 根据题意得： = 6 = ， 解得： = 3 = 3， 则交点的坐标
17、是(3,3) 则这个圆的半径的最小值是：(4 3)2+ (2 + 3)2= 2 故答案是：2 首先求得的中点的坐标， 然后求得经过点且垂直于直线 = 的直线的解析式， 然后求得与 = 的交点坐标，再求得交点与之间的距离即可 本题考查了待定系数法求函数的解析式， 以及两直线垂直的条件， 正确理解(,)， 一定在直线 = 上，是关键 18.【答案】2 + 1 【解析】解： 和梯形的面积相等， =12，即=12， 又 /， = ， = ， ，=12， 则： = 1：(2 1) = 2 + 1 故答案为：2 + 1 由 和梯形的面积相等， 且 和梯形的面积之和等于 的面积， 所以 的面积与 的面积之比
18、为1：2，然后由/，根据两直线平行得到两对同位角相等，进而得到 与 相似， 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方， 由面积之比求出相似比， 进而求出对应边与的比，根据比例性质即可求出：的比值 此题考查了相似三角形的判定与性质，要求学生掌握两三角形相似时，对应边之比等于相似比；周长比等于相似比；对应量(除面积)之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方此题的关键是利用面积之比求出相似比即对应边之比，这种方法称为“列比例式求解法” 19.【答案】解：(1)|3 1| + (2019 )0 (12);1 330 + 83 = 3 1 + 1 2 3 33+ 2 = 3 1 + 1 2 3 + 2 =
19、 0； (2)( +1 + 2) 2 1 + 2 =( + 2) + 1 + 2 + 2( + 1)( 1) =2+ 2 + 1( + 1)( 1) =( + 1)2( + 1)( 1) =:1;1， 当 = 2 + 1时，原式=2:1:12:1;1= 1 + 2 【解析】(1)根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值可以解答本题； (2)根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题 本题考查分式的化简求值、绝对值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法 20.【答案】解：由1 14 3，得1 4 1
20、，得 3， 由4 1 所以1 3，因为，是整数，故 = 2 当 = 1时， = 2， + = 3； 当 = 1时， = 2， + = 3； 当 = 2时， = 1， + = 3； 当 = 2时， = 1， + = 3； 综上知 + = 3或 + = 3 【解析】根据材料中给出的计算方法分别计算出由1 3，得1 4 1，得 3； 由4 1 所以1 3，因为，是整数，故 = 2 第 14 页，共 20 页 再分别把 = 1时， = 1时， = 2时， = 2时对应的值求出来，可知 + = 3或 + = 3 主要考查了不等式组的解法，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值一般方法是先解不等式
21、组，再根据解集求特殊值 21.【答案】证明：在 与 中， = = = ， ()， = 【解析】根据证明 与 全等，进而利用全等三角形的性质解答即可 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明 与 全等解答 22.【答案】144 【解析】解：(1)本次抽样调查学生有：18 30% = 60(名)， 即本次抽样调查共抽取60名学生； (2)及格的学生有：60 18 24 3 = 15(名)， 补全的条形统计图如右图所示： (3)测试结果为“良好”等级所对应圆心角的度数是：2460 360 = 144， 测试结果为“良好”等级所对应圆心角的度数是144 故答案为：144； (4)该学校七年级学生
22、中测试结果为“不及格”等级的学生有：1200 360= 60(名)， 即该学校七年级学生中测试结果为“不及格”等级的学生有60人 (1)根据统计图可知优秀的18人占30%，从而可以得到本次抽查的学生数； (2)根据抽查的学生数可以得到抽查中及格的人数，从而可以将条形统计图补充完整； (3)用良好的人数占抽查人数的比值乘以360即可解答本题； (4)根据统计图中的数据可以求得该学校七年级学生中测试结果为“不及格”等级的学生人数 本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题 23.【答案】(1)解：如图， = ， = ，
23、是 的直径， = 90， = 45， 设 = ， = ， = ， = = =12(180 )， = 45 + ， 45 + =12(180 )，解得 = 30， 即 = 30； (2)证明：连接，作 于，如图， = ， = ， ， 在 中， =12 =12， = ， /， ， 直线1是 的切线 【解析】 (1)利用= 得到 = ， 再利用圆周角定理得到 = 90， 所以 = 45， 设 = ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到45 + =12(180 )，然后解方程求出即可； (2)连接， 作 于， 如图， 先证明 ， 再证明 = ， 从而判断/， 所以 ， 然后根据切线的判定定理得到结论
24、 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线也考查了圆周角定理和等腰三角形的性质 第 16 页，共 20 页 24.【答案】解：四边形是矩形， = = 6， = = 10， = = 90， 又将 折叠使点恰好落在边上的点， = = 10， = ， 在 中， = 6， = 10， = 102 62= 8， = 10 8 = 2， 设 = = ，则 = 6 ， 在 中，2= 2+ 2，即2= 22+ (6 )2， 解得 =103， = 6 =83， 即的长为83 【解析】由勾股定理求出 = 8，得出 = 2，设 = = ，则 = 6 ，在 中，2= 2+ 2，即2= 22
25、+ (6 )2，解得 =103，即可得出答案 本题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键 25.【答案】解：(1)设乙图书每本价格为元，则甲图书每本价格为2.5元 由题意得，9009002.5= 18 解得 = 30 经检验， = 30是原方程的根且符合题意 2.5 = 2.5 30 = 75(元) 所以甲图书每本价格为75元，乙图书每本价格为30元； (2)设设购买乙图书本，则购买甲图书;82本， 由题意得，75 ;82+ 30 1725 解得 30 因为，最大可以取30， 所以，图书馆最多可以购买30本乙图书 【解析】 (1
26、)利用“用900元购买图书， 则单独购买甲图书比单独购买乙图书要少18本”得出等式求出答案； (2)根据题意表示出购买甲、乙两种图书的总经费进而得出不等式，并求出答案 此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确表示出图书的价格是解题关键 26.【答案】解： / = 即15=66:4 = 9 / = 平分 = = = = 9 / = 即:9=610 =272 【解析】 要求的长， 直接根据/， 得=， 再根据角平分线定义以及平行线的性质， 可得 为等腰三角形，即 = ，又/，得=，计算的长即可 此题综合运用了平行线的性质、等腰三角形的判定、平行线分线段成比例定理 27.【答案】(
27、1)证明：如图1中， 和 是等腰直角三角形， = = 90， = ， = ， = ， 在 和 中， 第 18 页，共 20 页 = = = ， = (2)解：、如图2中，当点在上时， = = 1 = 90， = 2+ 2= 5， 同(1)可证 = = ， =， 2=15， =255 、如图3中，当点在延长线上时， = 3 = 90， = 2+ 2= 5， 同(1)可证 = = ， ， =， 2=35， =655， 综上， =255或655 解：、如图4中，以为圆心为半径画圆，当在 下方与 相切时，的值最小 理由：此时最小，因此最小，( 是直角三角形，斜边为定值，最小，因此最小) ， = 2 2
28、= 22 12= 3， 由(1)可知， ， = = 90， = = 3， = = = 90， 四边形是矩形， = = 1， = = 3 1 、如图5中，以为圆心为半径画圆，当在 上方与 相切时，的值最大 第 20 页，共 20 页 理由：此时最大，因此最大，( 是直角三角形，斜边为定值，最大，因此最大) ， = 2 2= 22 12= 3， 由(1)可知， ， = = 90， = = 3， = = = 90， 四边形是矩形， = = 1， = + = 3 + 1 综上所述，长的最小值是3 1，最大值是3 + 1 【解析】(1)欲证明 = ，只要证明 即可 (2)分两种情形、如图2中，当点在上时， = = 1.由 ，得=，由此即可解决问题、如图3中，当点在延长线上时， = 3.解法类似 、如图4中，以为圆心为半径画圆，当在 下方与 相切时，的值最小、如图5中，以为圆心为半径画圆，当在 上方与 相切时，的值最大分别求出即可 本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题