1、 2021 年安徽省铜陵市义安区中考数学二模试卷年安徽省铜陵市义安区中考数学二模试卷 一、选择题一、选择题 12021 的相反数是（ ） A2021 B2021 C12021 D12021 2下列运算正确的是（ ） A （a3）4a7 B （a）3 （a）4a7 Ca3+a4a7 D （a）7（a）4a3 3 分 别 从 正 面 、 上 面 、 左 面 观 察 下 列 物 体 ， 得 到 的 平 面 图 形 完 全 相 同 的 是 （ ） A B C D 4水分子的直径为 0.4 纳米，1 纳米等于 109米，则 0.4 纳米用科学记数法表示为（ ） A0.4109米 B4109米 C0.41
2、010米 D41010米 52021 年春节前夕，学校向 2000 名学生发出“减少空气污染，少放烟花爆竹”倡议书，并围绕“A 类：不放烟花爆竹；B 类：少放烟花爆竹；C 类：使用电子鞭炮；D 类：不会减少烟花爆竹数量”四个选项进行问卷调查（单选） ，并对 100 名学生的调查结果绘制成统计图（如图所示） 根据抽样结果，估计全校“使用电子鞭炮”的学生有（ ） A200 名 B400 名 C600 名 D750 名 6 定义： 在C30的ABC 中， 我们把A 的对边与C 的对边的比叫做A 的邻弦， 记作 thiA， 即 thiA=，则 thi45的值为（ ） A22 B1 C2 D3 7用总长
3、 10m 个的铝合金材料做一个如图所示的窗框（不计损耗） ，窗框的上部是等腰直角三角形，下部是一个矩形，窗框的总面积为 3m2（材料的厚度忽略不计） 若设等腰直角三角形的斜边长为 xm，则下列方程符合题意的是（ ） Ax （5x22x）+12x23 Bx （5x+22x）+14x23 Cx （5x+22x）+12x23 Dx （5x22x）+14x23 8如图，A 是反比例函数 y=图象上一点，过点 A 作 x 轴的平行线交 x 反比例函数 y= 3的图象于点 B，点 C 在 x 轴上，且 SABC3，则 k 的值为（ ） A6 B6 C9 D9 9如图，在菱形 ABCD 中，A60，点 P
4、从 A 点出发，沿 ABC 方向匀速运动，过点 P 作 PQBD交菱形的另一边于点Q， 设点P的运动路程为x， PCQ的面积为y， 则y与x之间的函数图象可能为 （ ） A B C D 10如图，O 的半径为 2，定点 P 在O 上，动点 A，B 也在O 上，且满足APB30，C 为 PB 的中点，则点 A，B 在圆上运动的过程中，线段 AC 的最大值为（ ） A2+33 B1+3 C2+32 D23 2 二、填空题二、填空题 11计算32 22的结果为 12分解因式：x29 13如图，D，E 分别是ABC 的边 BC，AC 上的点，若 ABAC，ADAE，CDE20，则BAD 的大小为 14
5、边长为2的正方形 ABCD 的顶点 B，D 在 y 轴的正半轴上，A 点坐标为（1，2） ，点 P 从 A 点出发，沿着 ABCD 运动 （1）当 P 运动到边 BC 上时，OABBOP，如图 1，此时点 P 经过的路径长是 （2）当 P 运动到边 CD 上时，OAP90，如图 2，此时点 P 经过的路径长是 三、解答题（共三、解答题（共 9 小题，满分小题，满分 0 分）分） 15解方程：x（x4）2 16如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 1212 网格中，给出以格点（网格线的交点）为端点的线段 AB 及格点 O （1）将线段 AB 绕点 O 顺时针旋转 90得到线段 CD（
6、点 A，B 的对应点分别为 C，D） ，请画出线段CD （2）以线段 CD 为一边，在网格内作出一个周长最大的等腰CDE，点 E 在格点上 17 孙子算经中记载了一道题，大意是：100 匹马恰好拉了 100 片瓦，已知一匹大马能拉 3 片瓦，3 匹小马能拉 1 片瓦问有多少匹大马、多少匹小马？ 18SOAB、SOAD、SOBC、SOCD分别表示OAB、OAD、OBC、OCD 的面积 （1）如图 1，O 为四边形 ABCD 对角线上任一点，请写出 SOAB、SOAD、SOBC、SOCD之间存在的一种等式，并根据此等式关系，求出当 SOAB3，SOAD6，SOBC=32时，SOCD的值 （2）如图
7、 2，O 为 BD 上任一点，SOAB、SOAD、SOBC、SOCD是否还存在（1）中的等式关系？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由 19如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口 C，途经某海域 A 处时，港口 C 的工作人员监测到点 A在南偏东 30方向上，另一港口 B 的工作人员监测到点 A 在正西方向上已知港口 C 在港口 B 的北偏西 60方向，且 B、C 两地相距 120 海里 （1）求出此时点 A 到港口 C 的距离（计算结果保留根号） ； （2）若该渔船从 A 处沿 AC 方向向港口 C 驶去，当到达点 A时，测得港口 B 在 A的南偏东 75的方向上，求此时渔船的航行
8、距离（计算结果保留根号） 20如图，ABC 是O 的内接三角形，ACBC，D 为上一点，延长 DA 至点 E，使 CECD （1）求证：AEBD； （2）若 ACBC，求证：AD+BD= 2CD 21随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式（A微信、B支付宝、C现金、D其他） ，现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计图 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）这次活动共调查了 人；在扇形统计图中 C 所对应的圆心角的度数为 （2）请补全条形统计图 （3）在一次购物中，小贤和小辉都想从“A
9、微信” 、 “B支付宝” 、 “C现金”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率 22定义：如果两个函数 y1，y2存在 x 取同一个值，使得 y1y2，那么称 y1，y2互为“等值函数” ，对应的x 值为 y1，y2的“等值根” （1）函数 y1=12x+b 与 y2=3是否互为“等值函数”？如果是，求出当 b1 时，两函数的“等值根” ；如 果不是，请说明理由 （2） 如图所示的是 y|x2+2x|的图象， 它是由二次函数 yx22x 的图象 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴下方，图象的其余部分保持不变得到的若 y1=12x
10、+b 与 y2|x2+2x|互为“等值函数” ，且有两个“等值根” ，求 b 的取值范围 23如图 1，在矩形 ABCD 中，BGAC 交 AC 于点 G，E 为 AB 的中点，EG 的延长线交 AD 于点 F，连接CF （1）若 AFFD，求ABG 的大小 （2）如图 2，若EFC90，M 为 CD 的中点，连接 BF，FM 求证：BFFM 试求22的值 2021 年安徽省铜陵市义安区中考数学二模试卷年安徽省铜陵市义安区中考数学二模试卷 答案与答案与解析解析 一、选择题一、选择题 12021 的相反数是（ ） A2021 B2021 C12021 D12021 【分析】利用相反数的定义分析得
11、出答案，只有符号不同的两个数互为相反数 【解答】解：2021 的相反数是：2021 故选：A 2下列运算正确的是（ ） A （a3）4a7 B （a）3 （a）4a7 Ca3+a4a7 D （a）7（a）4a3 【分析】根据整式的乘方运算、乘除运算以及加法运算法则即可求出答案 【解答】解：A、原式a12，故 A 不符合题意 B、原式a3a4a7，故 B 符合题意 C、a3与 a5不是同类项，故 C 不符合题意 D、原式a7a4a3，故 D 不符合题意 故选：B 3 分 别 从 正 面 、 上 面 、 左 面 观 察 下 列 物 体 ， 得 到 的 平 面 图 形 完 全 相 同 的 是 （ ）
12、 A B C D 【分析】图、图、图、图可以近似的看作正方体，圆锥体，长方体、圆柱体，根据它们三视图的形状进行判断即可 【解答】解：图、图、图、图可以近似的看作正方体，圆锥体，长方体、圆柱体， 正方体的三视图都是正方形的， 圆锥体的主视图、左视图是三角形的，而俯视图是圆形的， 长方体的三视图虽然都是长方形的，但它们的大小不相同， 圆柱的主视图、主视图是长方形的，但俯视图是圆形的， 因此从正面、上面、左面看所得到的平面图形完全相同的是正方体， 故选：A 4水分子的直径为 0.4 纳米，1 纳米等于 109米，则 0.4 纳米用科学记数法表示为（ ） A0.4109米 B4109米 C0.4101
13、0米 D41010米 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：1 纳米0.000000001 米 0.4 纳米41010米 故选：D 52021 年春节前夕，学校向 2000 名学生发出“减少空气污染，少放烟花爆竹”倡议书，并围绕“A 类：不放烟花爆竹；B 类：少放烟花爆竹；C 类：使用电子鞭炮；D 类：不会减少烟花爆竹数量”四个选项进行问卷调查（单选） ，并对 100 名学生的调查结果绘制成统计图（如图所示） 根据抽样结果，估计全校“
14、使用电子鞭炮”的学生有（ ） A200 名 B400 名 C600 名 D750 名 【分析】用全校的学生数乘以“使用电子鞭炮”所占的百分比即可得出答案 【解答】解：被调查的学生中“使用电子鞭炮”的学生由 100（30+35+15）20（名） ， 全校“使用电子鞭炮”的学生有：201002000400（名） 故选：B 6 定义： 在C30的ABC 中， 我们把A 的对边与C 的对边的比叫做A 的邻弦， 记作 thiA， 即 thiA=，则 thi45的值为（ ） A22 B1 C2 D3 【分析】根据题意，可以画出相应的图形，然后即可用 BD 表示出 AB 和 BC，从而可以计算出 thi45
15、的值 【解答】解：如右图所示，作 BDAC 于点 D， 设 BDa， C30，A45， AB=45=22= 2a，BC=30=12=2a， thi45=22= 2， 故选：C 7用总长 10m 个的铝合金材料做一个如图所示的窗框（不计损耗） ，窗框的上部是等腰直角三角形，下部是一个矩形，窗框的总面积为 3m2（材料的厚度忽略不计） 若设等腰直角三角形的斜边长为 xm，则下列方程符合题意的是（ ） Ax （5x22x）+12x23 Bx （5x+22x）+14x23 Cx （5x+22x）+12x23 Dx （5x22x）+14x23 【分析】设等腰直角三角形的斜边长为 xm，则等腰直角三角形的
16、直角边长为22xm，下部两个全等矩形合成的大矩形的长为 xm，宽为（5x22x）m，根据矩形的面积公式、三角形的面积公式结合窗框的总面积为 3m2，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 【解答】解：设等腰直角三角形的斜边长为 xm，则等腰直角三角形的直角边长为22xm，下部两个全等矩形合成的大矩形的长为 xm，宽为（5x22x）m， 依题意，得 x （5x22x）+14x23 故选：D 8如图，A 是反比例函数 y=图象上一点，过点 A 作 x 轴的平行线交 x 反比例函数 y= 3的图象于点 B，点 C 在 x 轴上，且 SABC3，则 k 的值为（ ） A6 B6 C9 D9 【分析
17、】延长 AB，与 y 轴交于点 D，由 AB 与 x 轴平行，得到 AD 垂直于 y 轴，利用反比例函数 k 的几何意义表示出三角形 AOD 与三角形 BOD 面积，由三角形 AOD 面积减去三角形 BOD 面积表示出三角形AOB 面积，由于 SAOBSABC，将已知三角形 ABC 面积代入求出 k 的值即可 【解答】解：延长 AB，与 y 轴交于点 D， ABx 轴， ADy 轴， A 是反比例函数 y=图象上一点，B 反比例函数 y= 3的图象上的点， SAOD= 12k，SBOD=32， SAOBSABC3，即12k32=3， 解得：k9， 故选：C 9如图，在菱形 ABCD 中，A60
18、，点 P 从 A 点出发，沿 ABC 方向匀速运动，过点 P 作 PQBD交菱形的另一边于点Q， 设点P的运动路程为x， PCQ的面积为y， 则y与x之间的函数图象可能为 （ ） A B C D 【分析】分点 P 在 AB 和 BC 上两种情况讨论，分别写出对应的函数解析式即可 【解答】解：如图，连接 AC，AC 与 PQ 交与点 E，AC 与 BD 交与点 F， 当 P 在 AB 上时， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD， 又PQBD， ACPQ， CE 是三角形 PCQ 在 PQ 边上的高， 由菱形的性质得 APAQ， PAQ60， 三角形 APQ 是等边三角形， PQAPx，APE6
19、0， sin60=32， AE=32， 设 ACm， CEAC32xm32， y=12( 32) = 342+12， 该部分是开口向下的二次函数， 当 P 在 BC 上时， 设菱形的边长为 a， 则 PC2ax，则 PQCE=32(2 ) = 3 32， y=12 (3 32) (2 ) =342 3 + 32， 该部分是开口向上的二次函数， 只有 C 选项符合题意， 故选：C 10如图，O 的半径为 2，定点 P 在O 上，动点 A，B 也在O 上，且满足APB30，C 为 PB 的中点，则点 A，B 在圆上运动的过程中，线段 AC 的最大值为（ ） A2+33 B1+3 C2+32 D23
20、 2 【分析】如图，连接 OA，OP，OB，延长 BA 到 H，使得 AHBA，连接 PH证明 AC=12PH，求出 PH的最大值即可解决问题 【解答】解：如图，连接 OA，OP，OB，延长 BA 到 H，使得 AHBA，连接 PH BAAH，BCCP， AC=12PH， 当 PH 的值最大时，AC 的值最大， AOB2APB60，OAOB， AOB 是等边三角形， AOAHAB， HOB90， OH= 3OB23， PHOH+OP， PH23 +2， PH 的最大值为 23 +2， AC 的最大值为3 +1 故选：B 二、填空题二、填空题 11计算32 22的结果为 5 【分析】先计算被开方
21、数，再化简即可 【解答】解：32 22= 5 故答案为：5 12分解因式：x29 （x+3） （x3） 【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式 【解答】解：x29（x+3） （x3） 故答案为： （x+3） （x3） 13如图，D，E 分别是ABC 的边 BC，AC 上的点，若 ABAC，ADAE，CDE20，则BAD 的大小为 40 【分析】利用三角形的外角可得到：ADE+CDEB+BAD，ADEAEDC+EDC，然后进行代换得到C+BADC+20+20，即可求得答案 【解答】解：ADC 是三角形 ABD 的外角，AED 是三角形 DEC 的一个外角，CDE20， A
22、DCBAD+BADE+EDC，AEDEDC+C， B+BADADE+20，AEDC+20， ABAC，D、E 分别在 BC、AC 上，ADAE，CDE20， BC，ADEAEDC+20， C+BADC+20+20， BAD40， 故答案为：40 14边长为2的正方形 ABCD 的顶点 B，D 在 y 轴的正半轴上，A 点坐标为（1，2） ，点 P 从 A 点出发，沿着 ABCD 运动 （1）当 P 运动到边 BC 上时，OABBOP，如图 1，此时点 P 经过的路径长是 322 （2）当 P 运动到边 CD 上时，OAP90，如图 2，此时点 P 经过的路径长是 823 【分析】 （1）证明A
23、BOOBP，可得=，由此求出 BP，可得结论 （2）构建一次函数确定点 P 的坐标，再求出 PC，可得结论 【解答】解： （1）如图 1 中， 四边形 ABCD 是正方形， ABDCBD45， ABOOBP135， A（1，2） ， B（0，1） ，D（0，3） OB1，AB= 12+ 12= 2， BAOPOB， ABOOBP， =， 21=1， PB=22， AB+PB= 2 +22=322 点 P 经过的路径长是322 故答案为：322 （2）如图 2 中，连接 AC 交 BD 于点 K，设 AP 交 BD 于点 T 由题意 AKKC1，C（1，2） ，D（0，3） ， 直线 CD 的解
24、析式为 yx+3， PAOAKO90， cosAOK=， 2OT12+22， OT=52， 直线 AT 的解析式为 y=12x+52， 由 = + 3 =12 +52，解得 =13 =83， P（13，83） ， PC=(1 13)2+ (2 83)2=223， AB+BC+CP22 +223=823， 此时点 P 经过的路径长是823 故答案为：823 三、解答题（共三、解答题（共 9 小题，满分小题，满分 0 分）分） 15解方程：x（x4）2 【分析】方程整理后，应该在左右两边同时加上一次项系数4 的一半的平方 【解答】解：由原方程，得 x24x2， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方
25、，得到 x24x+42+4， 配方得（x2）26 所以 x26 解得 x12+6，x226 16如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 1212 网格中，给出以格点（网格线的交点）为端点的线段 AB 及格点 O （1）将线段 AB 绕点 O 顺时针旋转 90得到线段 CD（点 A，B 的对应点分别为 C，D） ，请画出线段CD （2）以线段 CD 为一边，在网格内作出一个周长最大的等腰CDE，点 E 在格点上 【分析】 （1）根据旋转的性质即可将线段 AB 绕点 O 顺时针旋转 90得到线段 CD； （2）根据网格可得 CD 为 34 格对角线，作出 EF 为 68 格对角线，进而可
26、得以线段 CD 为一边的周长最大的等腰CDE 【解答】解： （1）如图，线段 CD 即为所求； （2）如图，等腰CDE 即为所求 17 孙子算经中记载了一道题，大意是：100 匹马恰好拉了 100 片瓦，已知一匹大马能拉 3 片瓦，3 匹小马能拉 1 片瓦问有多少匹大马、多少匹小马？ 【分析】设有 x 匹大马，y 匹小马，根据 100 匹马恰好拉了 100 片瓦，已知一匹大马能拉 3 片瓦，3 匹小马能拉 1 片瓦，列方程组求解 【解答】解：设有 x 匹大马，y 匹小马，根据题意得 + = 1003 +13 = 100， 解得 = 25 = 75 答：有 25 匹大马，75 匹小马 18SOA
27、B、SOAD、SOBC、SOCD分别表示OAB、OAD、OBC、OCD 的面积 （1）如图 1，O 为四边形 ABCD 对角线上任一点，请写出 SOAB、SOAD、SOBC、SOCD之间存在的一种等式，并根据此等式关系，求出当 SOAB3，SOAD6，SOBC=32时，SOCD的值 （2）如图 2，O 为 BD 上任一点，SOAB、SOAD、SOBC、SOCD是否还存在（1）中的等式关系？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由 【分析】 （1）过点 A 作 AMBD 于 M，过点 C 作 CNBD 于点 N，根据三角形面积公式即可得出结论，再把 SOAB3，SOAD6，SOBC=32代入
28、，即可求出 SOCD的值； （2）过点 A 作 AEBD 于 E，过点 C 作 CFBD 于点 F，根据三角形面积公式即可得出结论 【解答】解： （1）如图，过点 A 作 AMBD 于 M，过点 C 作 CNBD 于点 N， SOAB=12BOAM，SOAD=12DOAM，SOBC=12BOCN，SOCD=12DOCN， SOABSOCD=14BOAMDOCN，SOADSOBC=14DOAMBOCN， SOABSOCDSOADSOBC， 当 SOAB3，SOAD6，SOBC=32时， 3SOCD632， SOCD3； （2）存在，理由如下： 如图，过点 A 作 AEBD 于 E，过点 C 作
29、CFBD 于点 F， SOAB=12BOAE，SOAD=12DOAE，SOBC=12BOCF，SOCD=12DOCF， SOABSOCD=14BOAEDOCF，SOADSOBC=14DOAEBOCF， SOABSOCDSOADSOBC 19如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口 C，途经某海域 A 处时，港口 C 的工作人员监测到点 A在南偏东 30方向上，另一港口 B 的工作人员监测到点 A 在正西方向上已知港口 C 在港口 B 的北偏西 60方向，且 B、C 两地相距 120 海里 （1）求出此时点 A 到港口 C 的距离（计算结果保留根号） ； （2）若该渔船从 A 处沿 AC 方向向
30、港口 C 驶去，当到达点 A时，测得港口 B 在 A的南偏东 75的方向上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号） 【分析】 （1）延长 BA，过点 C 作 CDBA 延长线于点 D，由直角三角形的性质和锐角三角函数的定义求出 AC 即可； （2） 过点 A作 ANBC 于点 N， 由 （1） 得： CD60 海里， AC403海里， 证出 AB 平分CBA，得 AEAN，设 AAx，则 AE=12AA，ANAE= 3AE=32x，证出 AC2AN= 3x，由题意得出方程，解方程即可 【解答】解： （1）如图所示：延长 BA，过点 C 作 CDBA 延长线于点 D， 由题意可得：CBD30，
31、BC120 海里， 则 CD=12BC60 海里， cosACD=cos30=32， 即60=32， AC403（海里） ， 答：此时点 A 到军港 C 的距离为 403海里； （2）过点 A作 ANBC 于点 N，如图： 由（1）得：CD60 海里，AC403海里， AECD， AAEACD30， BAA45， BAE75， ABA15， 215ABA， 即 AB 平分CBA， AEAN， 设 AAx，则 AE=12AA，ANAE= 3AE=32x， 1603030，ANBC， AC2AN= 3x， AC+AAAC， 3x+x403， 解得：x60203， AA（60203）海里， 答：此时
32、渔船的航行距离为（60203）海里 20如图，ABC 是O 的内接三角形，ACBC，D 为上一点，延长 DA 至点 E，使 CECD （1）求证：AEBD； （2）若 ACBC，求证：AD+BD= 2CD 【分析】（1） 先证出AECBDC， 只要再找一对角相等就可以了， 利用边相等， 可得CABCBA，CEACDE，而CABCDBCDE，故CEACDB， （CECD，CAECBD）再利用 SAS 可证出AECBDC （2）利用（1）中的全等，可得，AEBD，ECADCB，那么就有ECDECA+ACD90，根据勾股定理得 DE= 2CD，而 DEAD+AEAD+BG，所以有 AD+BD= 2C
33、D 【解答】证明： （1）ABC 是O 的内接三角形，ACBC， ABCBAC， CECD， CDECED； 又ABCCDE， ABCBACCDECED， （同弧上的圆周角相等） ACBDCE， BCDACE， 在AEC 和BDC 中， = = = ， AECBDC（SAS） ， AEBD （2）ACBC， ACB90， DCE90； 又CDCE， DCE 为等腰直角三角形， DE= 2CD， 又DEAD+AE 且 AEBD， AD+BD= 2CD 21随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式（A微信
34、、B支付宝、C现金、D其他） ，现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计图 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）这次活动共调查了 200 人；在扇形统计图中 C 所对应的圆心角的度数为 79.2 （2）请补全条形统计图 （3）在一次购物中，小贤和小辉都想从“A微信” 、 “B支付宝” 、 “C现金”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率 【分析】 （1）根据 B 的人数和所占的百分比求出总人数；用 360乘以 C 所占的百分比即可； （2）用总人数乘以 D 所占的百分比，求出 D 的人数，再用总人数减去其他人数，求出
35、A 的人数，从而 补全统计图； （3） 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解： （1）这次活动共调查的人数有：5628%200（人） ， 在扇形统计图中 C 所对应的圆心角的度数为：36044200=79.2 故答案为：200，79.2； （2）D 的人数有：20020%40（人） ， A 的人数有：20056444060（人） ，补全统计图如下： （3）将微信记为 A、支付宝记为 B、现金记为 C， 画树状图如下： 共有 9 种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有 3 种， 两人恰好选择
36、同一种支付方式的概率为39=13 22定义：如果两个函数 y1，y2存在 x 取同一个值，使得 y1y2，那么称 y1，y2互为“等值函数” ，对应的x 值为 y1，y2的“等值根” （1）函数 y1=12x+b 与 y2=3是否互为“等值函数”？如果是，求出当 b1 时，两函数的“等值根” ；如果不是，请说明理由 （2） 如图所示的是 y|x2+2x|的图象， 它是由二次函数 yx22x 的图象 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴下方，图象的其余部分保持不变得到的若 y1=12x+b 与 y2|x2+2x|互为“等值函数” ，且有两个“等值根” ，求 b 的取值范围 【分析】 （1）联
37、立方程 y1y2得12x+b=3，通过判别式求解把 b1 代入求解 （2）先求出直线与抛物线 yx2+2x 相切时 b 的值，然后分类讨论 b 增大减小两种情况 【解答】解： （1）由 y1y2得12x+b=3， 整理得 x2+2bx60， 4b2+240， 函数 y1=12x+b 与 y2=3互为“等值函数” ， 当 b1 时，x2+2x60， 解得 x1+7或 x17， x1+7或 x17是 y1=12x+b 与 y2=3的“等值根” （2）如图 当直线 y=12x+b 与抛物线 yx2+2x 相切时，方程12x+bx2+2x 中（32）2+4b0， b= 916， b916满足题意， 抛
38、物线 yx2+2x 与 x 轴交点坐标为（0，0） ， （2，0） ， 当直线经过（0，0）时，b0， 当直线经过（2，0）时，01+b， 解得 b1， 当 0b1 时满足题意 综上所述，0b1 或 b916 23如图 1，在矩形 ABCD 中，BGAC 交 AC 于点 G，E 为 AB 的中点，EG 的延长线交 AD 于点 F，连接CF （1）若 AFFD，求ABG 的大小 （2）如图 2，若EFC90，M 为 CD 的中点，连接 BF，FM 求证：BFFM 试求22的值 【分析】 （1）根据相似三角形的判定和性质得出EAFABC，进而利用三角函数解答即可； （2）根据相似三角形的判定和性质
39、得出AEFDFC，进而利用垂直的判定解答即可； 设 AEx，AFy，求出 AB2，AD2（用 a 表示） ，即可解决问题 【解答】证明： （1）F 是 AD 中点， AFFD， E 是 AB 中点， AEEB=12AB， =12，=12， EAFABC90， EAFABC， AEFBAC， AGEG， BGAC， EG=12ABAEBE， AGAEBE=12AB， =12， sinABG=12， ABG30； （2）EAFEFCFDC90， EAFFDC， 同理可证：ABFDFM， AFBDMF， DMF+DFM90， AFB+DFM90， BFM90， BFFM； 设 AEx，AFy， 在 RtABG 中，AEBE， EAEG， EAGEGAFGC， 又EAFEFC90， FACFCA， FAFC， EAFEFCFDC90， EAFFDC， =， =22， 在 RtDFC 中，DF2+DC2FC2AF2， 442+ 42= 2， 22=2;12， 22=42(:22)2 =422+42+442 =4221+4+4(21)2 = 2 1