1、 2022 年四川省绵阳市涪城区中考模拟年四川省绵阳市涪城区中考模拟数学数学试卷（试卷（1） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 36 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1（3 分） 已知关于 x 的方程中： ax2+bx+c0： x （x1）（3x） 0； （k2+1） x2+kx1； ，其中一元二次方程的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 2 （3 分）如图图形中是中心对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）将二次函数 yx24x4 的图象先向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度得到的图象对应的二次函数的表达式为 yx2+ax+b，则 ab 的
2、值为（ ） A22 B22 C88 D88 4 （3 分）将如图所示的图案绕其中心旋转一个合适的角度可以和原图案重合，这个旋转角的最小度数为（ ） A45 B60 C75 D90 5 （3 分）下列选项中，能使关于 x 的一元二次方程 ax24x+c0 一定有实数根的是（ ） Aa0 Ba0 Cc0 Dc0 6 （3 分）在圆内接四边形 ABCD 中，A、B、C 的度数之比为 2：4：7，则B 的度数为（ ） A140 B100 C80 D40 7 （3 分）某超市 2019 年的销售利润是 100 万元，计划到 2021 年利润要达到 144 万元，若设每年平均增长率是 x%，则可得方程（
3、） A100（1+x）2144 B100（1+x%）2144 Cx2144 D100 x（x+1）144 8 （3 分） 已知A 与B 的半径分别为 3cm 和 7cm， 两圆的圆心距 AB7cm， 则两圆的位置关系是 （ ） A外切 B内切 C相离 D相交 9 （3 分）如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点 A（1，0） 、点 B（3，0） 、点 C（4，y1） ，若点 D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：二次函数 yax2+bx+c 的最小值为4a；若1x24，则 0y25a；若 y2y1，则 x24；一元二次方程 cx2+bx+a0 的两个根为1 和，其中正确结论
4、的序号是（ ） A B C D 10 （3 分）如图，在O 中，弦 BC，半径 OA弦 BC 于点 D，将O 沿弦 BC 向上折叠，使折叠后的圆弧与 AD 交于点 E，若 sinABE，则 OD 的长度（ ） A3 B C4 D 11 （3 分）如图，O 的半径为 4，CD 切O 于点 D，AB 是直径若 EDAB 于点 F 且CDE120，则 ED 的长度为（ ） A2 B4 C6 D4 12 （3 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值如表所示，点 A（4，y1） ，B（2，y2） ，C（4，y3）在该抛物线上，则 y1，y2，y3的大小关系为（ ） x
5、 3 2 1 0 1 y 3 2 3 6 11 Ay1y3y2 By3y1y2 Cy1y2y3 Dy1y3y2 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 13 （4 分）给出下列两条抛物线：请尽可能多地找出这两条抛物线的共同点： （5 条以上得满分） 14 （4 分）若关于 x 的一元二次方程的两个根分别为 x11，x22，则这个方程是 15 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，OA3，AB5，将AOB绕点 A按顺时针方向旋转得到ADC， 使CD所在直线经过点B， 则直线CD 的解析式为 16
6、 （4 分）如图，抛物线 yx2+2x+m+1（m 为常数）交 y 轴于点 A，与 x 轴的一个交点在 2 和 3 之间，顶点为 B 若点 M（2，y1） 、P（2，y3）在该函数图象上，则 y1y2y3； 将抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线解析式为 y（x+1）2+m； 抛物线 yx2+2x+m+1 与直线 ym+3 有且只有一个交点； 点 A 关于直线 x1 的对称点为 C，点 D、E 分别在 x 轴和 y 轴上，当 m1 时，四边形 BCDE 周长的最小值为 其中正确判断的序号是 17 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，P 是对角线 AC
7、 上的动点，以点 P 为圆心，PC 长为半径作P当P 与矩形 ABCD 的边相切时，CP 的长为 18 （4 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的顶点为 D，与 x 轴交点 A，B 的横坐标分别为1，3，与y 轴负半轴交于点 C下面五个结论：2a+b0；b24ac2a；对任意实数 x，ax2bxa；M（x1，y1） ，N（x2，y2）是抛物线上两点（x1x2） ，若 x1+x22，则 y1y2；使ABC 为等腰三角形的 a 值可以有 3 个其中正确的结论有 （填序号） 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 90 分）分） 19 （16 分）解方程： （1）3（x3）5x
8、（x3） ； （2） （x+1） （x1）+2（x+3）13 20 （12 分）方程有多少个实根？是正数根还是负数根？ 21 （12 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 E，点 D 为 AC 的中点，连接 DE （1）求证：DE 是O 的切线 （2）若 CE1，OA，求ACB 的度数 22 （12 分）某商品市场销售抢手，其进价为每件 80 元，售价为每件 130 元，每个月可卖出 500 件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 2 件（每件售价不能高于 240 元） 设每件商品的售价上涨 x 元（x 为正整数） ，每个月的销售
9、利润为 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围； （2）每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为 40000 元？根据以上结论，请你直接写出 x 在什么范围时，每个月的利润不低于 40000 元？ 23 （12 分）如图所示：已知抛物线 yax2（a0）与一次函数 ykx+b 的图象相交于两点 A（1，1） ，B（2，4） ，点 P 是抛物线上不与 A，B 重合的一个动点，点 Q 是 y 轴上的一个动点 （1）求 a，k，b 的值 （2）直接写出关于 x 的不等式 ax2kx2 的
10、解集； （3）当点 P 在直线 AB 上方时，请求出PAB 面积的最大值并求出此时点 P 的坐标； （4）是否存在以 P，Q，A，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出 P，Q 的坐标；若不存在，请说明理由 24（12 分） 把两个等腰直角ABC 和ADE 按图 1 所示的位置摆放， 将ADE 绕点 A 按逆时针方向旋转，如图 2，连接 BD，EC，设旋转角为 （0360） （1）如图 1，BD 与 EC 的数量关系是 ，BD 与 EC 的位置关系是 ； （2）如图 2， （1）中 BD 和 EC 的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由 （3）如图 3
11、，当点 D 在线段 BE 上时，BEC （4）当旋转角 时，ABD 的面积最大 25 （14 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，且 B 的坐标为（3，0） ，抛物线对称轴为 l：x1 （1）求抛物线的解析式； （2）连接 AC，BC，求ABC 的面积； （3）若点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点，连接 AC，BP，CP，求四边形 ACPB 面积的最大值 参考答案解析参考答案解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 36 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1（3 分） 已知关于 x 的方程中： ax2+bx+c0：
12、x （x1）（3x） 0； （k2+1） x2+kx1； ，其中一元二次方程的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：ax2+bx+c0 当 a0 是一元一次方程，故不符合题意； x（x1） （3x）0 是一元二次方程，故符合题意； （k2+1）x2+kx1 是一元二次方程，故符合题意； 是分式方程，故不符合题意； 故选：B 2 （3 分）如图图形中是中心对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A、如果一个图形绕某一点旋转 180后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，故 A 符合题意； 故选：A 3 （3 分）将二次函数 yx24x4 的图象先
13、向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度得到的图 象对应的二次函数的表达式为 yx2+ax+b，则 ab 的值为（ ） A22 B22 C88 D88 【解答】解：yx24x4（x2）28， 将抛物线 y（x2）28 先向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度得到：y（x22）28+3，即 yx28x+11， a8，b11， 故 ab81188 故选：D 4 （3 分）将如图所示的图案绕其中心旋转一个合适的角度可以和原图案重合，这个旋转角的最小度数为（ ） A45 B60 C75 D90 【解答】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转 90，旋转 4 次所组成，故最小旋转
14、角为 90 故选：D 5 （3 分）下列选项中，能使关于 x 的一元二次方程 ax24x+c0 一定有实数根的是（ ） Aa0 Ba0 Cc0 Dc0 【解答】解：一元二次方程有实数根， （4）24ac164ac0，且 a0， ac4，且 a0； A、若 a0，当 a1、c5 时，ac54，此选项错误； B、a0 不符合一元二次方程的定义，此选项错误； C、若 c0，当 a1、c5 时，ac54，此选项错误； D、若 c0，则 ac04，此选项正确； 故选：D 6 （3 分）在圆内接四边形 ABCD 中，A、B、C 的度数之比为 2：4：7，则B 的度数为（ ） A140 B100 C80 D
15、40 【解答】解：设A 的度数为 2x，则B、C 的度数分别为 4x、7x， 由题意得：2x+7x180， 解得：x20， 则B4x80， 故选：C 7 （3 分）某超市 2019 年的销售利润是 100 万元，计划到 2021 年利润要达到 144 万元，若设每年平均增长率是 x%，则可得方程（ ） A100（1+x）2144 B100（1+x%）2144 Cx2144 D100 x（x+1）144 【解答】解：由题意可得， 100（1+x%）144， 故选：B 8 （3 分） 已知A 与B 的半径分别为 3cm 和 7cm， 两圆的圆心距 AB7cm， 则两圆的位置关系是 （ ） A外切
16、B内切 C相离 D相交 【解答】解：两圆的半径分别为 3cm，7cm， 半径和为：3+710（cm） ，半径差为：734（cm） ， 其圆心距为 7cm，4710， 这两圆的位置关系是：相交 故选：D 9 （3 分）如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点 A（1，0） 、点 B（3，0） 、点 C（4，y1） ，若点 D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：二次函数 yax2+bx+c 的最小值为4a；若1x24，则 0y25a；若 y2y1，则 x24；一元二次方程 cx2+bx+a0 的两个根为1 和，其中正确结论的序号是（ ） A B C D 【解答】解：抛物线解析式为
17、 ya（x+1） （x3） ， 即 yax22ax3a， ya（x1）24a， 当 x1 时，二次函数有最小值4a，所以正确； 当 x4 时，ya515a， 当1x24，则4ay25a，所以错误； 点 C（4，5a）关于直线 x1 的对称点为（2，5a） ， 当 y2y1，则 x24 或 x2，所以错误； b2a，c3a， 方程 cx2+bx+a0 化为3ax22ax+a0， 整理得 3x2+2x10，解得 x11，x2，所以正确 故选：A 10 （3 分）如图，在O 中，弦 BC，半径 OA弦 BC 于点 D，将O 沿弦 BC 向上折叠，使折叠后的圆弧与 AD 交于点 E，若 sinABE，
18、则 OD 的长度（ ） A3 B C4 D 【解答】解：连接 BF，BO，如图： 将O 沿 BC 对折交 AD 于点 E， BEBF，DEDF， AF 是O 的直径， ABF90， A+F90， 半径 OA弦 BC 于点 D， F+FBD90， EBDFBDA， ABE902A，连接 OB， OAOB， AABO， ABODBE， ABEOBD， sinABE， sinOBD， 设 ODx，则 OB4x，则 BDx， BC6， BDBC3， x3， x3，即 OD3， 故选：A 11 （3 分）如图，O 的半径为 4，CD 切O 于点 D，AB 是直径若 EDAB 于点 F 且CDE120，则
19、 ED 的长度为（ ） A2 B4 C6 D4 【解答】解：CD 切O 于点 D， ODCD， ODC90， CDE120， ODECDEODC30， AB 是直径，EDAB， EFDF，OFOD2， DF2， ED4， 故选：D 12 （3 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值如表所示，点 A（4，y1） ，B（2，y2） ，C（4，y3）在该抛物线上，则 y1，y2，y3的大小关系为（ ） x 3 2 1 0 1 y 3 2 3 6 11 Ay1y3y2 By3y1y2 Cy1y2y3 Dy1y3y2 【解答】解：由表格可得， 该函数的对称轴是直线 x
20、2，当 x2 时，y 随 x 的增大而减小，当 x2 时，y 随 x的增大而增大， 点 A（4，y1） ，B（2，y2） ，C（4，y3）在该抛物线上，2（4）2，4（2）6， y3y1y2， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 13 （4 分）给出下列两条抛物线：请尽可能多地找出这两条抛物线的共同点： 抛物线开口向上，抛物线都与 y 轴交于点（0，1） ，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，抛物线都不经过第四象限，两条抛物线最小值都为1等等 （5 条以上得满分） 【解答】解：两条抛物线的共同点：抛物线开口向上，抛物线都与
21、 y 轴交于点（0，1） ，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，抛物线都不经过第四象限，两条抛物线最小值都为1等等 14 （4 分）若关于 x 的一元二次方程的两个根分别为 x11，x22，则这个方程是 x23x+20 【解答】解：关于 x 的一元二次方程的两个根分别为 x11，x22， x1+x23，x1x22， 这个方程是 x23x+20 故答案为：x23x+20 15 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，OA3，AB5，将AOB 绕点 A 按顺时针方向旋转得到ADC，使 CD 所在直线经过点 B，则直线 CD 的解析式为 yx+4 【
22、解答】解：OA3，AB5， OB4， A（3，0） ，B（0，4） ， 直线 AB 为 yx+4， 由题意可知 ABAC，ADDC， BDCD， ACD 与ABD 关于 AD 对称， ABD 与ABO 关于 AB 对称，D 是 O 的对称点， 设 D（m，n） ， 则，解得， D（，） ， 设直线 CD 的解析式为 ykx+4， 把 D 的坐标代入得，k+4，解得 k， 直线 CD 的解析式为 yx+4， 故答案为 yx+4 16 （4 分）如图，抛物线 yx2+2x+m+1（m 为常数）交 y 轴于点 A，与 x 轴的一个交点在 2 和 3 之间，顶点为 B 若点 M（2，y1） 、P（2，
23、y3）在该函数图象上，则 y1y2y3； 将抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线解析式为 y（x+1）2+m； 抛物线 yx2+2x+m+1 与直线 ym+3 有且只有一个交点； 点 A 关于直线 x1 的对称点为 C，点 D、E 分别在 x 轴和 y 轴上，当 m1 时，四边形 BCDE 周长的最小值为 其中正确判断的序号是 【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x1， 点 P（2，y3）关于 x1 的对称点 P（0，y3） ， a10， 当 x1 时，y 随 x 增大而增大， 又，点 M（2，y1） 、P（0，y3）在该函数图象上， y2y3y1， 故错误； 将该抛物
24、线向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线解析式为 y（x+2）2+2（x+2）+m+12，即 y（x+1）2+m， 故正确； 把 ym+3 代入 yx2+2x+m+1 中， 得 x22x+20， b24ac0， 抛物线 yx2+2x+m+1 与直线 ym+3 没有交点， 故错误； 当 m1 时，抛物线的解析式为 yx2+2x+2， A（0，2） ，C（2，2） ，B（1，3） 作点 B 关于 y 轴的对称点 B（1，3） ，作 C 关于 x 轴的对称点 C（2，2） ， 连接 BC，与 x 轴、y 轴分别交于 D、E 点，则 BE+ED+CD+BCBE+ED+CD+BC， 根
25、据两点之间线段最短， 知BC最短， 而BC的长度一定， 此时四边形BCDE的周长最小， 最小为， 故正确 故答案为： 17 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，P 是对角线 AC 上的动点，以点 P 为圆心，PC 长为半径作P当P 与矩形 ABCD 的边相切时，CP 的长为 或 【解答】解：作 PEAD 于 E，PFAB 于 F， 在 RtABC 中，AC5， 由题意可知，P 只能与矩形 ABCD 的边 AD、AB 相切， 当P 与 AD 相切时，PEPC， PEAD，CDAD， PECD， APEACD， ，即， 解得，CP， 当P 与 AB 相切时，PFPC， PFAB，
26、CBAB， PFBC， APEACD， ，即， 解得，CP， 综上所述，当P 与矩形 ABCD 的边相切时，CP 的长或， 故答案为：或 18 （4 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的顶点为 D，与 x 轴交点 A，B 的横坐标分别为1，3，与y 轴负半轴交于点 C下面五个结论：2a+b0；b24ac2a；对任意实数 x，ax2bxa；M（x1，y1） ，N（x2，y2）是抛物线上两点（x1x2） ，若 x1+x22，则 y1y2；使ABC 为等腰三角形的 a 值可以有 3 个其中正确的结论有 （填序号） 【解答】解：抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A（1，0）
27、、B（3，0） ， ， 2a+b0 故正确 ：由分析知：， b2a，c3a， b24ac（2a）24a（3a）16a2， 若 b24ac2a，即 16a22a， 根据题目已有条件，无法推断出 a， 无法定论 对于任意实数 x，ax2bxa 成立， 即对于任意实数 x，ax2bxa0 成立 令 gax2bxa（a0） a0， a0， 关于实数 x 的二次函数 gax2bxa 图象开口向下 若对于任意 x，gax2bxa0，故需判断（b）24 （a） （a）与 0 的数量关系 b2a，c3a， （2a）24a20， 对于任意实数 x，g0 故正确 ， y1y2a（x1+x2） （x1x2）+b（x
28、1x2） b2a， y1y2a（x1+x2） （x1x2）2a（x1x2）a（x1x2） （x1+x22） a0，x1x2，x1+x22， x1x20，x1+x220， a（x1x2） （x1+x22）0， y1y20， y1y2 故正确 ：经分析，ACBC，AB4 若ABC 为等腰三角形，则 ACAB 或 ABBC OA1，OCc3a，OB3， AC，BC 当 ACAB4 时，则， （不合题意，舍去） 当 ABBC4 时，则， （不合题意，舍去） 综上所述：a 值有两个 故不正确 故答案为 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 90 分）分） 19 （16 分）解方程： （1）
29、3（x3）5x（x3） ； （2） （x+1） （x1）+2（x+3）13 【解答】解： （1）3（x3）5x（x3） ， 3（x3）5x（x3）0， 则（x3） （35x）0， x30 或 35x0， 解得 x13，x2； （2）整理成一般式，得：x2+2x80， （x+4） （x2）0， 则 x+40 或 x20， 解得 x14，x22 20 （12 分）方程有多少个实根？是正数根还是负数根？ 【解答】解：方程变形为 x2x， 则它的解就是二次函数 yx2x 和反比例函数 y交点的横坐标 由图象可得二次函数过第 1，2，4 象限和坐标原点，反比例函数过第 1，3 象限， 它们有一个交点且在
30、第 1 象限 原方程有一个实数根，并且为正实数根 21 （12 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 E，点 D 为 AC 的中点，连接 DE （1）求证：DE 是O 的切线 （2）若 CE1，OA，求ACB 的度数 【解答】 （1）证明：如图，连接 OD，OE， OBOE， OBEOEB， 点 D 是 AC 的中点，O 是 AB 的中点， ODBC， OBEAOD，OEBDOE， AODEOD， 在AOD 和EOD 中， ， AODEOD（SAS） ， OEDOAD90， OEDE， DE 是O 的切线； （2）解：如图，连接 AE， AB 为O 直
31、径， AEBAEC90， 点 D 为 AC 的中点， 设 ADCDx， AE， C+CAE90，BAE+CAE90， CBAE， AECBEA， ， ， x， 两边平方，得 （4x21）x23， 整理，得 4x4x230， （x21） （4x2+3）0， （x21）0 或（4x2+3）0， 解得，x1（负值舍去） ， （4x2+3）0 无解， x1， AC2x2， cosC， C60 答：ACB 的度数为 60 22 （12 分）某商品市场销售抢手，其进价为每件 80 元，售价为每件 130 元，每个月可卖出 500 件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 2 件（每件售
32、价不能高于 240 元） 设每件商品的售价上涨 x 元（x 为正整数） ，每个月的销售利润为 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围； （2）每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为 40000 元？根据以上结论，请你直接写出 x 在什么范围时，每个月的利润不低于 40000 元？ 【解答】解： （1）设每件商品的售价上涨 x 元（x 为正整数） ，每个月的销售利润为 y 元，由题意得： y（13080+x） （5002x） 2x2+400 x+25000 每件售价不能高于 240
33、 元 130+x240 x110 y 与 x 的函数关系式为 y2x2+400 x+25000，自变量 x 的取值范围为 0 x110，且 x 为正整数 （2）y2x2+400 x+25000 2（x100）2+45000 当 x100 时，y 有最大值 45000 元 每件商品的涨价 100 元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是 45000 元 （3）令 y40000，得： 2x2+400 x+2500040000 解得：x150，x2150 0 x110 x50，即每件商品的涨价为 50 元时，每个月的利润恰为 40000 元； 由二次函数的性质及问题的实际意义， 可知当 50 x1
34、10， 且 x 为正整数时， 每个月的利润不低于 40000元 每件商品的涨价为 50 元时，每个月的利润恰为 40000 元；当 50 x110，且 x 为正整数时，每个月的利润不低于 40000 元 23 （12 分）如图所示：已知抛物线 yax2（a0）与一次函数 ykx+b 的图象相交于两点 A（1，1） ，B（2，4） ，点 P 是抛物线上不与 A，B 重合的一个动点，点 Q 是 y 轴上的一个动点 （1）求 a，k，b 的值 （2）直接写出关于 x 的不等式 ax2kx2 的解集； （3）当点 P 在直线 AB 上方时，请求出PAB 面积的最大值并求出此时点 P 的坐标； （4）是
35、否存在以 P，Q，A，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出 P，Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）把 A（1，1） ，代入 yax2中，可得：a1， 把 A（1，1） ，B（2，4）代入 ykx+b 中，可得：，解得， a1，k1，b2； （2）观察函数图象可知，关于 x 的不等式 ax2kx2 的解集是 x1 或 x2； （3）过点 A 作 y 轴的平行线，过点 B 作 x 轴的平行线，两者交于点 C， A（1，1） ，B（2，4） ， C（1，4） ，ACBC3， 设点 P 的横坐标为 m，则点 P 的纵坐标为m2 过点 P 作 PDAC 于 D，作 PE
36、BC 于 E则 D（1，m2） ，E（m，4） ， PDm+1，PEm2+4 SAPBSAPC+SBPCSABC， ACPD+BCPEBCAC， 3（m+1）3（m2+4）33， m2+m+3 0，m， 而1m2， 当 m时，SAPB的最大值为，此时点 P 的坐标为（，） ； （4）存在三组符合条件的点 当以 P，Q，A，B 为顶点的四边形是平行四边形时， APBQ，AQBP，A（1，1） ，B（2，4） ， 可得坐标如下： P的横坐标为3，代入二次函数表达式， 解得：P（3，9） ，Q（0，12） ； P的横坐标为 3，代入二次函数表达式， 解得：P（3，9） ，Q（0，6） ； P 的横坐
37、标为 1，代入二次函数表达式， 解得：P（1，1） ，Q（0，4） 故：P、Q 的坐标分别为（3，9） 、 （0，12）或（3，9） 、 （0，6）或（1，1） 、 （0，4） 24（12 分） 把两个等腰直角ABC 和ADE 按图 1 所示的位置摆放， 将ADE 绕点 A 按逆时针方向旋转，如图 2，连接 BD，EC，设旋转角为 （0360） （1）如图 1，BD 与 EC 的数量关系是 BDCE ，BD 与 EC 的位置关系是 BDCE ； （2）如图 2， （1）中 BD 和 EC 的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由 （3）如图 3，当点 D 在线段 B
38、E 上时，BEC 90 （4）当旋转角 90或 270 时，ABD 的面积最大 【解答】解： （1）BDEC，且 BDEC，理由如下： ABAC，ADAE， ABADACAE， BDEC； ABAC，点 D，E 分别在 AB，AC 上， BDEC； 故答案为：BDEC；BDEC； （2）成立， 证明：根据旋转的性质可得：ADAE，ABAC，BADCAE， ABDACE（SAS） ， BDEC， 作 BD 的延长线 EC 交 EC 于点 F，交 AC 于点 G， ABDACE， ABDACE， AGBFGC， GABGFC90， BDEC； （3）当点 D 在线段 BE 上时， BADBACDA
39、C90DAC， CAEDAEDAC90DAC， BADCAE， 又ABAC，ADAE， BADCAE（SAS） ， ADBAEC180ADE135， BECAEC451354590， 故答案为：90； （4）由题意知，点 D 的轨迹是以 A 为圆心 AD 为半径的圆， 在ABD 中，当 AB 为底时，点 D 到 AB 的距离最大时，ABD 的面积最大， 当 ADAB 时，ABD 的面积最大， 旋转角为 90或 270， 故答案为：90或 270 25 （14 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，且 B 的坐标为（3，0） ，抛物线对称轴为 l
40、：x1 （1）求抛物线的解析式； （2）连接 AC，BC，求ABC 的面积； （3）若点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点，连接 AC，BP，CP，求四边形 ACPB 面积的最大值 【解答】解： （1）由题意得， ， 解得， 抛物线的解析式的解析式为 yx22x3； （2）令 y0，则 x22x30， 解得：x13，x21， A（01， ）B（3，0） ， 令 x0，y3， C（0，3） ， AB4， SABC436； （3）B（3，0） ，C（0，3） ， 设直线 BC 的解析式为 ykx+n， ， 直线 BC 的解析式为 yBCx3， 如图，过 P 作 PNx 轴交 AB 于 N，交 BC 于 G 设 P（m，m22m3） ，G（m，m3） ， GPm3m2+2m+3 m2+3m， SBCPGP（BN+ON）GPOBx， 四边形 ACPB 的面积SABC+SBCP6+（x）， 0， x时，四边形 ACPB 的面积的最大值为