1、 2022 年四川省广元市中考数学模拟试卷（年四川省广元市中考数学模拟试卷（1） 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）若有理数 a、b、c 满足|ab|2，|bc|6，则|ac|（ ） A6 B8 C4 D4 或 8 2 （3 分）下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）下列运算正确的是（ ） A4aa3 B2（2ab）4ab C （a+b）2a2+b2 D （a+2） （a2）a24 4 （3 分）一组数据 1、2、2、3，若增加一个数据 2，则下列统计量发生变化的是（
2、） A平均数 B中位数 C众数 D方差 5 （3 分）下列命题正确的是（ ） A对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B有一个角是直角的四边形是矩形 C有一组对角相等的四边形是平行四边形 D对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 6 （3 分）用三角板作ABC 的边 AC 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A B C D 7 （3 分）圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥侧面积为（ ） A3 B6 C3 D6 8 （3 分）在平面直角坐标系中，将二次函数 yx2+x+6 在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为 G（如图所示） ，
3、当直线 yx+m 与图象 G 有 4 个交点时，则 m 的取值范围是（ ） Am3 Bm2 C2m3 D6m2 9 （3 分）如图， 正方形的四个顶点在半径为 2 的大圆圆周上，四条边都与小圆都相切，AB， CD 过圆心 O，且 ABCD，则图中阴影部分的面积是（ ） A4 B2 C D 10 （3 分）如图所示，ACB 中，ACB90，CDAB 于 D，则下列结论正确的有（ ） BCCD；ACAD；ABAC；BCAD A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 11 （4 分）计算： 13 （4 分）已
4、知点 A 在数轴上，且和表示 1 的点相距个单位长度，则点 A 表示的数为 14 （4 分）如图，点 A，B，C 在同一个圆上，ACB90，弦 AB 的长度等于该圆半径的倍，则 cosACB 的值是 15 （4 分）如图，在ABC 中，ABAC，点 A 在 y 轴上，点 C 在 x 轴上，BCx 轴，tanACO延长 AC 到点 D，过点 D 作 DEx 轴于点 G，且 DGGE，连接 CE，反比例函数 y（k0）的图象经过点 B，和 CE 交于点 F，且 CF：FE2：1若ABE 面积为 6，则点 D 的坐标为 16 （4 分）如图，直线 l 过正方形 ABCD 的顶点 B，点 A，C 到直
5、线 l 的距离分别是 a 和 b，且满足：+|b2|0，则正方形 ABCD 的面积是 三解答题（共三解答题（共 10 小题，满分小题，满分 96 分）分） 17 （6 分）解方程：+2 18 （8 分）先化简，再求值： （1），其中 x1 19 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，延长 AB 至 E，使 BEAB，连接 DE，分别交BC，AC 于点 F，G （1）求证：BFCF； （2）若 BC6，DG4，求 FG 的长； （3）若FCG 面积为 1，则四边形 ABFG 面积为多少？ 20 （9 分）某汽车配件厂生产甲、乙、丙三种汽车轮胎，生产各种轮胎所需的工时和产值
6、如下表所示，又知道每周生产三种轮胎的总工时是 168 个，总产值是 111.2 万元 汽车零部件 甲种 乙种 丙种 每个所需工时（个） 每个产值（千元） 4 3 1 （1）若每周丙种轮胎生产 252 台，问其它两种轮胎每周分别生产多少个？ （2）现有 4S 店以产值价的 1.2 倍购进这三种轮胎共 100 个，考虑市场需求和资金周转，其中丙种轮胎购进 50 个，而用于购买这 100 个轮胎的总资金最少 24.96 万元，但最多不超过 25.2 万元，那么该商店有哪几种购进轮胎方案？ （3）若销售每件甲种轮胎可获利 200 元，每件乙种轮胎可获利 150 元，每件丙种轮胎可获利 100 元，在第
7、（2）问的进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 21 （9 分）在初三年级某班的一次体育模拟测试中，班长对全班同学的测试成绩进行了统计，并绘制了如下不完整的统计图表，请根据图表提供的信息完成以下问题： 组别 成绩 人数 A 90 x100 4 B 80 x90 15 C 70 x80 m D 60 x70 10 （1）图表中：m ；B 组的圆心角为 度 （2）A 组 4 名同学中有 2 男 2 女，从中随机抽取两名同学参加市运会，请你用画树状图或列表法求： 被抽取的 2 名同学恰好是 1 男 1 女的概率； 至少 1 名男生被抽到的概率 22 （10 分）2019 年 12 月
8、27 日，我国成功发射了“长征五号”遥三运载火箭如图， “长征五号”运载火箭从地面A处垂直向上发射， 当火箭到达B处时， 从位于地面M处的雷达站测得此时仰角AMB45，当火箭继续升空到达 C 处时， 从位于地面 N 处的雷达站测得此时仰角ANC30， 已知 MN120km，BC40km （1）求 AB 的长； （2）若“长征五号”运载火箭在 C 处进行“程序转弯” ，且ACD105，求雷达站 N 到其正上方点D 的距离 23 （10 分）点 A（3，1） ，B（2，2） ，反比例函数 y（k0，x0）的图象记为 L （1）若 L 经过点 A 图象 L 的解析式为 点 B 在图象 L 上，还是在
9、图象 L 的上方或下方？为什么？ （2）如图在（1）的条件下，L 上纵坐标为 3 的点 P 与点 C 关于原点 O 对称，PQx 轴于点 Q，CDx轴于点 D求QCD 的面积 （3）若 L 与线段 AB 有公共点，直接写出 k 的取值范围 24 （10 分）已知：如图所示，MN 是O 的直径，B 是O 上一点，NP 平分BNM 交O 于 P，过 P 作PABN 于 A （1）求证：PA 与O 相切； （2）若 MN20，BN12，求 MP 的长； （3）若 D 是 ON 中点，过 D 作 CDON 交 AP 于 C，若 CD19，tanMNP，求O 的半径 25 （12 分）从三角形（不是等腰
10、三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形有两角对应相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线” （1）如图，在ABC 中，CD 为角平分线，A40，B60，求证：CD 为ABC 的“优美分割线” （2）在ABC 中，A46，CD 为ABC 的“优美分割线”且ACD 为等腰三角形，求ACB 的度数 （3）在ABC 中，A30，AC6，CD 为ABC 的“优美分割线” ，且ACD 是等腰三角形，求线段 BD 的长 26 （14 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：
11、yx+m 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B（0，1） ，抛物线 yx2+bx+c 经过点 B，且与直线 l 的另一个交点为 C（4，n） （1）求 n 的值和抛物线的解析式； （2）点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 t（0t4） DEy 轴交直线 l 于点 E，点 F 在直线 l 上，且四边形 DFEG 为矩形（如图 2） ，点 H 是直线 BC 上横坐标为3 的点若矩形 DFEG 的周长为 p，求 p 与 t 的函数关系式以及 p 的最大值；在 p 取最大值时，有一动点 Q 从点 H 出发，以每秒 v 个单位的速度沿射线 HB 运动到 I 点，然后以每秒v 个单位的速度从点
12、 I 运动到点 D，若要点 Q 所用时间最少直接写出点 I 的坐标； （3） 把直线 BC 绕着点 A 逆时针旋转 45， 得到直线 l， 点 M 是位于 x 轴上方的直线 l上的一动点，是否存在点 M，使OMAABO？若存在，请求出 M 点坐标：如果不存在，请说明理由 参考答案解析参考答案解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）若有理数 a、b、c 满足|ab|2，|bc|6，则|ac|（ ） A6 B8 C4 D4 或 8 【解答】解：|ab|2，|bc|6， ab2，bc6， 两式相加可得：ac8 或8 或 4
13、或4 |ac|4 或 8 故选：D 2 （3 分）下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； B是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意 故选：A 3 （3 分）下列运算正确的是（ ） A4aa3 B2（2ab）4ab C （a+b）2a2+b2 D （a+2） （a2）a24 【解答】解：A、4aa3a，故本选项错误； B、应为 2（2ab）4a2b，故本选项错误； C、应为（a+
14、b）2a2+2ab+b2，故本选项错误； D、 （a+2） （a2）a24，正确 故选：D 4 （3 分）一组数据 1、2、2、3，若增加一个数据 2，则下列统计量发生变化的是（ ） A平均数 B中位数 C众数 D方差 【解答】解：A、原来数据的平均数是 2，添加数字 2 后平均数仍为 2，故 A 与要求不符； B、原来数据的中位数是 2，添加数字 2 后中位数仍为 2，故 B 与要求不符； C、原来数据的众数是 2，添加数字 2 后众数仍为 2，故 C 与要求不符； D、原来数据的方差 S2（12）2+（22）2+（22）2+（32）2， 添加数字 2 后的方差 S2（12）2+（22）2+
15、（22）2+（32）2+（22）2，故方差发生了变化 故选：D 5 （3 分）下列命题正确的是（ ） A对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B有一个角是直角的四边形是矩形 C有一组对角相等的四边形是平行四边形 D对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题； C、有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题； D、对角线互相平分且垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题； 故选：A 6 （3 分）用三角板作ABC 的边 AC 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A B
16、C D 【解答】解：A，B，C 都不是ABC 的边 AC 上的高，只有选项 D 符合题意 故选：D 7 （3 分）圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥侧面积为（ ） A3 B6 C3 D6 【解答】解：圆锥的底面周长212，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为 2， 则圆锥侧面积233， 故选：C 8 （3 分）在平面直角坐标系中，将二次函数 yx2+x+6 在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为 G（如图所示） ，当直线 yx+m 与图象 G 有 4 个交点时，则 m 的取值范围是（ ） Am3 Bm2 C2m3 D6m2 【解答】解：
17、如图，当 y0 时，x2+x+60，解得 x12，x23，则 A（2，0） ，B（3，0） ， 将该二次函数在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方的部分图象的解析式为 y（x+2） （x3） ， 即 yx2x6（2x3） ， 当直线yx+m 经过点 A（2，0）时，2+m0，解得 m2； 当直线 yx+m 与抛物线 yx2x6（2x3）有唯一公共点时，方程 x2x6x+m 有相等的实数解，解得 m6， 所以当直线 yx+m 与新图象有 4 个交点时，m 的取值范围为6m2 故选：D 9 （3 分）如图， 正方形的四个顶点在半径为 2 的大圆圆周上，四条边都与小圆都相切，AB， CD
18、过圆心 O， 且 ABCD，则图中阴影部分的面积是（ ） A4 B2 C D 【解答】解：正方形的四条边都与小圆都相切， EFCD，CDMN， ABCD， 阴影部分的面积恰好为正方形 MNEF 外接圆面积的， 正方形 MNEF 的四个顶点在半径为 2 的大圆上， S阴影22， 故选：C 10 （3 分）如图所示，ACB 中，ACB90，CDAB 于 D，则下列结论正确的有（ ） BCCD；ACAD；ABAC；BCAD A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：BCCD 垂线段最短，故正确； ACAD 垂线段最短垂线段最短，故正确； ABAC 垂线段最短故正确； BCAD 垂线段最短故
19、错误， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 11 （4 分）计算： 76 【解答】解：57762222192， 221976， 故答案为：76 1.34451013 【解答】1013 故答案为：1.34451013 13（4 分） 已知点 A 在数轴上， 且和表示 1 的点相距个单位长度， 则点 A 表示的数为 1+或 1 【解答】解：当点 A 在表示 1 的点的左边时，此时点表示的数为 1； 当点 A 在表示 1 的点的右边时，此时点表示的数为 1+； 故答案为：1+或 1 14 （4 分）如图，点 A，B，C 在同一个圆上
20、，ACB90，弦 AB 的长度等于该圆半径的倍，则 cosACB 的值是 【解答】解：作直径 AD，连接 BD，如图， AD 为直径， ABD90， 弦 AB 的长度等于该圆半径的倍， ， 在 RtADB 中，sinADB， ADB45， ACBADB45， cosACB 故答案为 15 （4 分）如图，在ABC 中，ABAC，点 A 在 y 轴上，点 C 在 x 轴上，BCx 轴，tanACO延长 AC 到点 D，过点 D 作 DEx 轴于点 G，且 DGGE，连接 CE，反比例函数 y（k0）的图象经过点 B，和 CE 交于点 F，且 CF：FE2：1若ABE 面积为 6，则点 D 的坐标
21、为 （，3） 【解答】解：过点 A 作 AMBC，垂足为 M， ABAC， BMCM， tanACO 设 OA2m，OC3m，则 BC4m，因此点 C（3m，0） 、B（3m，4m） ， DEx 轴于点 G，且 DGGE， CECD， ECGDCGACO， tanECGtanACO， 设 EG2n，则 CG3n，因此点 E（3m+3n，2n） ， 又CF：FE2：1即点 F 是 CE 的三等分点， 点 F（3m+2n，n） ， 把 B（3m，4m）和 F（3m+2n，n）代入反比例函数 y得， k3m4m（3m+2n） n，即（3m2n） （3m+n）0， m0，n0， nm， 点 E 的坐标
22、为（m，3m） ， SABE6S梯形ABCO+S梯形BCGES梯形AOGE， （2m+4m）3m+（4m+3m）m（2m+3m）m6， 解得 m1， E（，3） ， D（，3） 故答案为： （，3） 16 （4 分）如图，直线 l 过正方形 ABCD 的顶点 B，点 A，C 到直线 l 的距离分别是 a 和 b，且满足：+|b2|0，则正方形 ABCD 的面积是 5 【解答】解：如图， 四边形 ABCD 是正方形， ABBC，ABC90， AEEF，CFEF， AEBBFC90， ABE+CBF1809090，ABE+EAB90， EABCBF， 在AEB 和BFC 中， ， AEBBFC（A
23、AS） ， BECF2， 在 RtAED 中，由勾股定理得：AB 即正方形 ABCD 的面积是 5， 故答案为：5 三解答题（共三解答题（共 10 小题，满分小题，满分 96 分）分） 17 （6 分）解方程：+2 【解答】解：去分母得：3x2+10 x+6， 移项合并得：2x2， 解得：x1 18 （8 分）先化简，再求值： （1），其中 x1 【解答】解：原式 ； 当 x1 时， 原式 19 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，延长 AB 至 E，使 BEAB，连接 DE，分别交BC，AC 于点 F，G （1）求证：BFCF； （2）若 BC6，DG4，求 FG
24、的长； （3）若FCG 面积为 1，则四边形 ABFG 面积为多少？ 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， EEDC， BEAB， CDAB， 又EEDC，BFEDFC， EBFDCF（AAS） ， BFCF； （2）解：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， CFGADG， ， BFCFBCAD，DG4， ， FG2； （3）解：由（2）得：，CFGADG， CDG 的面积2FCG 的面积2，ADG 的面积4FCG 的面积4， ACD 的面积ADG 的面积+CDG 的面积6， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABC 的面积ACD 的面
25、积6， 四边形 ABFG 的面积ABC 的面积FCG 的面积615 20 （9 分）某汽车配件厂生产甲、乙、丙三种汽车轮胎，生产各种轮胎所需的工时和产值如下表所示，又知道每周生产三种轮胎的总工时是 168 个，总产值是 111.2 万元 汽车零部件 甲种 乙种 丙种 每个所需工时（个） 每个产值（千元） 4 3 1 （1）若每周丙种轮胎生产 252 台，问其它两种轮胎每周分别生产多少个？ （2）现有 4S 店以产值价的 1.2 倍购进这三种轮胎共 100 个，考虑市场需求和资金周转，其中丙种轮胎购进 50 个，而用于购买这 100 个轮胎的总资金最少 24.96 万元，但最多不超过 25.2
26、万元，那么该商店有哪几种购进轮胎方案？ （3）若销售每件甲种轮胎可获利 200 元，每件乙种轮胎可获利 150 元，每件丙种轮胎可获利 100 元，在第（2）问的进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【解答】解： （1）设甲种轮胎生产 x 个，乙种轮胎生产 y 个， 根据题意得：， 解这个方程组，得 答：甲种轮胎生产 170 个，乙种轮胎生产 60 个； （2）设该店购进甲种轮胎 m 个，则购进乙种轮胎（50m）个， 根据题意得：24.960.48m+0.36（50m）+0.125025.2， 解这个不等式组，得 8m10， m 为正整数， m 的值为 8 或 9 或 10， 因
27、此有三种采购方案： 方案一：购进甲种 8 个，乙种 42 个，丙种 50 个， 方案二：购进甲种 9 个，乙种 41 个，丙种 50 个， 方案三：购进甲种 10 个，乙种 40 个，丙种 50 个， （3）售出这些轮胎可获利： 方案一：8200+42150+5010012900（元） ， 方案二：9200+41150+5010012950（元） ， 方案三：10200+40150+5010013000（元） ， 答：方案三获利最多，按这种方案可获利 13000 元 21 （9 分）在初三年级某班的一次体育模拟测试中，班长对全班同学的测试成绩进行了统计，并绘制了如下不完整的统计图表，请根据图表
28、提供的信息完成以下问题： 组别 成绩 人数 A 90 x100 4 B 80 x90 15 C 70 x80 m D 60 x70 10 （1）图表中：m 21 ；B 组的圆心角为 108 度 （2）A 组 4 名同学中有 2 男 2 女，从中随机抽取两名同学参加市运会，请你用画树状图或列表法求： 被抽取的 2 名同学恰好是 1 男 1 女的概率； 至少 1 名男生被抽到的概率 【解答】解： （1）1020%50（人） ， 则 m504151021， B 组的圆心角为：360108， 故答案为：21，108； （2）画树状图如图： 共有 12 个等可能的结果，抽取的 2 名同学恰好是 1 男
29、1 女的结果有 8 个， 抽取的 2 名同学恰好是 1 男 1 女的概率为； 共有 12 个等可能的结果，至少 1 名男生被抽到的结果有 10 个， 至少 1 名男生被抽到的概率为 22 （10 分）2019 年 12 月 27 日，我国成功发射了“长征五号”遥三运载火箭如图， “长征五号”运载火箭从地面A处垂直向上发射， 当火箭到达B处时， 从位于地面M处的雷达站测得此时仰角AMB45，当火箭继续升空到达 C 处时， 从位于地面 N 处的雷达站测得此时仰角ANC30， 已知 MN120km，BC40km （1）求 AB 的长； （2）若“长征五号”运载火箭在 C 处进行“程序转弯” ，且AC
30、D105，求雷达站 N 到其正上方点D 的距离 【解答】解： （1）设 AB 为 xkm，则 AM 为 xkm， 在 RtACN 中，ANC30， tanANC，即， 解得： ； （2）作 DHCN，垂足为点 H， 由（1）可得， ， ACD105， NCD45， AND90， CND60， 设 HN 为 y，则， ， 解得：y80， DN2y160， 答：雷达站 N 到其正上方点 D 的距离为 160km 23 （10 分）点 A（3，1） ，B（2，2） ，反比例函数 y（k0，x0）的图象记为 L （1）若 L 经过点 A 图象 L 的解析式为 y（x0） 点 B 在图象 L 上，还是在
31、图象 L 的上方或下方？为什么？ （2）如图在（1）的条件下，L 上纵坐标为 3 的点 P 与点 C 关于原点 O 对称，PQx 轴于点 Q，CDx轴于点 D求QCD 的面积 （3）若 L 与线段 AB 有公共点，直接写出 k 的取值范围 【解答】解： （1）L 过点 A（3，1） ， 1， k3， 图象 L 的解析式为 y； 故答案为：y（x0） ； 点 B 在图象 L 上方， 理由：由（1）知，图象 L 的解析式为 y， 当 x2 时，y2， 点 B 在图象 L 上方； （2）由（1）知，图象 L 的解析式为 y， 点 P 的纵坐标为 3， 点 P 的横坐标为1， P（1，3） ， PQx
32、 轴于点 Q， Q（1，0） ， 点 P 与点 C 关于原点 O 对称， C（1，3） ， CDx 轴于 D， D（1，0） ，CD3， DQ1（1）2， SQCDDQCD233； （3）当图象 L 过点 A 时， 由（1）知，k3， 当图象 L 过点 B 时， 将点 B（2，2）代入图象 L 解析式 y中，得 k224， 当线段 AB 与图象 L 相切时， 设直线 AB 的解析式为 ymx+n， 将点 A（3，1） ，B（2，2）代入 ymx+n 中， ， ， 直线 AB 的解析式为 yx+4， 联立图象 L 的解析式和直线 AB 的解析式得， 化为关于 x 的一元二次方程为 x2+4xk0
33、， 16+4k0， k4， 即满足条件的 k 的范围为：4k3 24 （10 分）已知：如图所示，MN 是O 的直径，B 是O 上一点，NP 平分BNM 交O 于 P，过 P 作PABN 于 A （1）求证：PA 与O 相切； （2）若 MN20，BN12，求 MP 的长； （3）若 D 是 ON 中点，过 D 作 CDON 交 AP 于 C，若 CD19，tanMNP，求O 的半径 【解答】 （1）证明：如图 1，连接 OP， NP 平分BNM， MNPBNP， OPON， OPNONP， OPNBNP， OPAN， PAAN， PAOP， PA 与O 相切； （2）解：如图 2，连接 BM
34、 交 OP 于点 E， MN 是直径， BMBN， OPBM， MEBE， MN20，BN12， MB16， MEBE8， OE6， PE1064， MP4 （3）解：如图 3，连接 OC，设 CD 与 NP 的交点为 F， tanMNP，FDN90， 设 DF3x，DN4x， CF193x，OPON8x， DNF+NFDOPN+FPC90， 又DNFFPC， NFDFPC， DFNPFC， FPCPFC， PCFC193x， OP2+PC2OC2OD2+DC2， （8x）2+（193x）2（4x）2+192， 解得 x2， OP16 25 （12 分）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的
35、一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形有两角对应相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线” （1）如图，在ABC 中，CD 为角平分线，A40，B60，求证：CD 为ABC 的“优美分割线” （2）在ABC 中，A46，CD 为ABC 的“优美分割线”且ACD 为等腰三角形，求ACB 的度数 （3）在ABC 中，A30，AC6，CD 为ABC 的“优美分割线” ，且ACD 是等腰三角形，求线段 BD 的长 【解答】解：根据题意知，ABC 不是等腰三角形，ACD 是等腰三角形，且BDCBCA （1
36、）如图 1 中， A40，B60， ACB80， ABC 不是等腰三角形， CD 平分ACB， ACDBCDACB40， ACDA40， ACD 为等腰三角形， DCBA40，CBDABC， BCDBAC， CD 是ABC 的完美分割线 （2）当 ADCD 时，如图 2， ACDA46， BDCBCA， BCDA46， ACBACD+BCD92 当 ADAC 时，如图 3， ACDADC67， BDCBCA， BCDA46， ACBACD+BCD113 当 ACCD 时，如图 4， ADCA46， BDCBCA， BCDA46， ADCBCD，矛盾，舍弃 ACB 的度数是 92或 113 （3
37、）若 ACAD 时，ADCACD75，BCDA30， 此时ACB105，A30，B45， 过 C 作 CEAB 于 E，E 为垂足，如图所示， 在直角ACE 中，A30， AEACcos303，CEACsin303， 在直角BCE 中，B45， BCE18090B45B， BECE3， BDABADAE+BEAD3+3633； 若 ADCD 时，如图 5， 此时AACD30，BCDA30，此时ACB60，故B90 在直角ABC 中，A30，AC6，则 BC3 在直角BCD 中，BCD30，BC3，则 BDBCtan30 若 ACCD 时，则应有ACDABCD， 由三角形外角的性质可知，CDAB
38、CD+B 与CDABCD 相矛盾， 故此情况不成立； 综上所述，BD 的长为 33 或 26 （14 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：yx+m 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B（0，1） ，抛物线 yx2+bx+c 经过点 B，且与直线 l 的另一个交点为 C（4，n） （1）求 n 的值和抛物线的解析式； （2）点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 t（0t4） DEy 轴交直线 l 于点 E，点 F 在直线 l 上，且四边形 DFEG 为矩形（如图 2） ，点 H 是直线 BC 上横坐标为3 的点若矩形 DFEG 的周长为 p，求 p 与 t 的函数关系
39、式以及 p 的最大值；在 p 取最大值时，有一动点 Q 从点 H 出发，以每秒 v 个单位的速度沿射线 HB 运动到 I 点，然后以每秒v 个单位的速度从点 I 运动到点 D，若要点 Q 所用时间最少直接写出点 I 的坐标； （3） 把直线 BC 绕着点 A 逆时针旋转 45， 得到直线 l， 点 M 是位于 x 轴上方的直线 l上的一动点，是否存在点 M，使OMAABO？若存在，请求出 M 点坐标：如果不存在，请说明理由 【解答】解： （1）直线 l：yx+m 过点 B（0，1） m1，直线 l：yx1 点 C（4，n）在直线 l 上 n411 抛物线 yx2+bx+c 经过点 B、C 解得
40、： 抛物线解析式为 yx2x1 （2）D（t，t2t1） ，DEy 轴交直线 l 于点 E E（t，t1） DEt1（t2t1）t2+2t yx10 时，x2 A（2，0） ，OA2 AB sinABO，cosABO 四边形 DFEG 是矩形 DFEAOB90 DEy 轴有DEFABO sinDEF，cosDEF DFDE，EFDE p2（DF+EF）DE（t2+2t）t2+t（t2）2+ 当 t2 时，p 的最大值为 p 取得最大值时，D（2，2） H 在直线 BC 上且横坐标为3 H（3，） sinABO，即 OAAB 动点 Q 的速度从 v 变为v 时，转动角度BAx， IDx 轴 即：
41、yIyD2 x12 解得：x2 I 的坐标为（2，2） （3）存在满足条件的点 M，使OMAABO 如图，过点 B 作 BN直线 l于点 N，过点 N 作 STy 轴于 S，过点 A 作 ATST 于 T BSNBNAT90 SBN+BNSBNS+ANT90 SBNANT BAN45 BNNA BSNNTA（AAS） BSNT，SNTA 设 N（n，a） ，则 SNn，ATa BSOSOBATOBa1，NTSTSNOASN2n 解得： N（，） 设直线 l解析式为 ykx+z，直线 l过点 N、A 解得： 直线 l解析式为 y3x6 作点 B（0，1）关于 x 轴的对称点 B，过 B作 BM直线 l于点 M，连接 AB、OM B（0，1） ，ABOABO AOBAMB90 点 O、M 在以 AB为直径的圆上 OMAOBAABO 设直线 BM 解析式为：ykx+1 k31 即 k 直线 BM 解析式为：yx+1 解得： 点 M 坐标为（，）