1、 2021 年湖南省郴州市宜章县中考数学模拟试卷年湖南省郴州市宜章县中考数学模拟试卷 一、选择题。 （本大题共一、选择题。 （本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求）题目要求） 1 （3 分）下列选项中，两数互为倒数的是（ ） A1 与 1 B0 与 0 C2021 与 2021 D2021 与12021 2 （3 分）南海是我国固有领海，南海面积超过东海、黄海、渤海面积的总和，约为 3600000 平方千米，请用科学记数法表示 3600000（ ） A36105 B3
2、.6106 C3.6107 D0.36108 3（3 分） 遵守交通规则， 防止交通事故 在下列交通标志中， 既是轴对称图形， 又是中心对称图形的是 （ ） A B C D 4 （3 分）下列计算正确的是（ ） A329 B （a+b）2a2+b2 Ca2a3a5 D16 = 4 5 （3 分）函数 = 2 中自变量 x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 6 （3 分）疫情无情人有情，爱心捐款传真情新冠肺炎防控，某班学生积极参加献爱心活动，该班 50 名学生的捐款统计情况如下表，则他们捐款金额的众数和中位数分别是（ ） 金额/元 5 10 20 50 100 人数 6 17
3、 14 8 5 A100，10 B17，10 C10，20 D17，20 7 （3 分）如图，RtABC 中，C90，利用尺规在 BC，BA 上分别截取 BE，BD，使 BEBD；分别以 D，E 为圆心、以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在CBA 内交于点 F；作射线 BF 交 AC 于点 G若CG1，P 为 AB 上一动点，则 GP 的最小值为（ ） A无法确定 B12 C1 D2 8 （3 分）如图，在反比例函数 =1的图象上有一动点 A，连接 AO 并延长交图象的另一支于点 B，在第二象限内有一点 P，满足 PAPB，当点 A 运动时，点 P 始终在函数 =的图象上运动，若 tanPA
4、B2，则 k 的值（ ） A1 B2 C4 D6 二、填空题。 （本大题共二、填空题。 （本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分，请把答案填在题中的横线上）分，请把答案填在题中的横线上） 9 （3 分）若分式;12的值为 0，则 x 的值是 10 （3 分）因式分解：a32a2b+ab2 11 （3 分）如图，直线 ab，且分别与直线 AB 交于 A、B 两点，把一块含 30角的三角尺按如图所示的位置摆放若135，则2 的度数为 12 （3 分）在一个不透明的布袋中装有 40 个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在
5、 0.30 左右，则布袋中黄球可能有 个 13 （3 分）如图，点 A 的坐标为（1，3） ，点 B 在 x 轴上，把OAB 沿 x 轴向右平移到ECD，若四边形ABDC 的面积为 9，则点 C 的坐标为 14 （3 分）已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积为 15（3 分） 如图， AB 是O 的直径， 弦 CDAB 于点 E， CDB30， = 23， 则O 的半径为 16 （3 分）如图，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 和点 A 重合，折痕为 EF，EF 与 AC 交于点 O若 AE5，BF3，则 AO 的长为 三、解答题。 （本大题共三、解答题。 （本大题共 10 小
6、题，共小题，共 82 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （6 分）计算：|3 2| + 60 (12);2 (3.14 )0 18 （6 分）先化简，再求值：(1 1+2) (2+2+4+4)，其中 x 是不等式组2 1 + 2 2 + 1的最小整数解 19 （6 分）如图，已知平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，连接 AE 并延长，交 DC 的延长线于点 F，且 AFAD，连接 BF，求证：四边形 ABFC 是矩形 20 （8 分）为全面开展“大课间”活动，某校准备成立“足球” 、 “篮球” 、 “跳绳” 、
7、 “踢毽”四个课外活动小组，学校体工处根据七年级学生的报名情况（每人限报一项）绘制了两幅不完整的统计图，请根据以上信息，完成下列问题： （1）m ，n ，并将条形统计图补充完整； （2）试问全校 2000 人中，大约有多少人报名参加足球活动小组？ （3）根据活动需要，从“跳绳”小组的二男二女四名同学中随机选取两人到“踢毽”小组参加训练，请用列表或树状图的方法计算恰好选中一男一女两名同学的概率 21 （8 分）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部 E点处测得旗杆顶端的仰角AED58，升旗台底部到教学楼底部的距离 DE7 米，升旗台坡面 CD 的坡度 i
8、1：0.75，坡长 CD2 米，若旗杆底部到坡面 CD 的水平距离 BC1 米，求旗杆 AB 的高度约为多少？（保留一位小数，参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.6） 22 （8 分）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生已知购买 2 个甲种文具、1 个乙种文具共需花费 35 元；购买 1 个甲种文具、3个乙种文具共需花费 30 元 （1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？ （2）若学校计划购买这两种文具共 120 个，投入资金不少于 955 元又不多于 1000 元，设购买甲种文具 x 个，
9、求有多少种购买方案？ （3）设学校投入资金 W 元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 23 （8 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，以斜边 AB 上的中线 CD 为直径作O，与 BC 交于点 E，与 AB 的另一个交点为 G，过点 E 作 EFAB，垂足为点 F （1）求证：FE 是O 的切线； （2）若O 的直径为 5，sinB=35，求 DG 的长 24 （10 分）小云在学习过程中遇到一个函数 y=16|x|（x2x+1） （x2） 下面是小云对其探究的过程，请补充完整： （1）当2x0 时，对于函数 y1|x|，即 y1x，当2x0 时，y1随
10、x 的增大而 ，且 y10；对于函数 y2x2x+1，当2x0 时，y2随 x 的增大而 ，且 y20；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数 y，当2x0 时，y 随 x 的增大而 （2）当 x0 时，对于函数 y，当 x0 时，y 与 x 的几组对应值如下表： x 0 12 1 32 2 52 3 y 0 116 16 716 1 9548 72 结合上表，进一步探究发现，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大在平面直角坐标系 xOy 中，画出当 x0时的函数 y 的图象 （3）过点（0，m） （m0）作平行于 x 轴的直线 l，结合（1） （2）的分析，解决问题：若直线 l 与函数y=1
11、6|x|（x2x+1） （x2）的图象有两个交点，则 m 的最大值是 25 （10 分）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片 ABC 和 DEF 拼在一起，使点 A与点 F 重合，点 C 与点 D 重合（如图 1） ，其中ACBDFE90，BCEF3cm，ACDF4cm，并进行如下研究活动 活动一： 将图 1 中的纸片 DEF 沿 AC 方向平移， 连结 AE， BD （如图 2） ， 当点 F 与点 C 重合时停止平移 （1）图 2 中的四边形 ABDE 是平行四边形吗？请说明理由； （2） 当纸片 DEF 平移到某一位置时， 小兵发现四边形 ABDE 为矩形 （如图 3）
12、 ， 则 AF 的长为 ； 活动二：在图 3 中，取 AD 的中点 O，再将纸片 DEF 绕点 O 顺时针方向旋转 度（090） ，连结OB，OE（如图 4） ； （3）当 EF 平分AEO 时，探究 OF 与 BD 的数量关系，并说明理由 26 （12 分）如图所示，抛物线 yx2+bx+c 经过 A（1，0） ，B（3，0）两点，与 y 轴相交于点 C，点 M为抛物线的顶点 （1）求抛物线的表达式； （2）若点 N 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 BN，CN求BCN 面积的最大值及此时点 N 的坐标； （3）直线 CM 交 x 轴于点 E，若点 P 是线段 EM 上的一个动点，是否存
13、在以点 P、E、O 为顶点的三角形与ABC 相似若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案解析参考答案解析 一、选择题。 （本大题共一、选择题。 （本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求）题目要求） 1 （3 分）下列选项中，两数互为倒数的是（ ） A1 与 1 B0 与 0 C2021 与 2021 D2021 与12021 【分析】根据倒数的定义，逐一判断 【解答】解：选项 A，1 的倒数还是 1，符合题意； 选项 B，0 没有倒数，不符合题意； 选
14、项 C，2021 的倒数是12021，不符合题意； 选项 D，2021 的倒数是12021，不符合题意 故选：A 2 （3 分）南海是我国固有领海，南海面积超过东海、黄海、渤海面积的总和，约为 3600000 平方千米，请用科学记数法表示 3600000（ ） A36105 B3.6106 C3.6107 D0.36108 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为整数，且 n 比原来的整数位数少 1，据此判断即可 【解答】解：36000003.6106 故选：B 3（3 分） 遵守交通规则， 防止交通事故 在下列交通标志中， 既是轴对称图形， 又是中
15、心对称图形的是 （ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形以及中心对称图形的定义解决此题 【解答】解：A根据轴对称图形以及中心对称图形的定义，A 图形既不是轴对称图形，也是不是中心对称图形，故 A 不符合题意 B根据轴对称图形以及中心对称图形的定义，B 图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故 B 不符合题意 C根据轴对称图形以及中心对称图形的定义，C 图形既不是轴对称图形，也是不是中心对称图形，故 C不符合题意 D根据轴对称图形以及中心对称图形的定义，D 图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故 D 符合题意 故选：D 4 （3 分）下列计算正确的是（ ） A329 B （a+b）2a2+
16、b2 Ca2a3a5 D16 = 4 【分析】分别关键有理数的乘方的定义，完全平方公式，同底数幂的乘法以及算术平方根的定义逐一判断即可 【解答】解：A329，故本选项不合题意； B （a+b）2a2+2ab+b2，故本选项不合题意； Ca2a3a5，故本选项符合题意； D16 = 4，故本选项不合题意 故选：C 5 （3 分）函数 = 2 中自变量 x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出自变量的取值范围即可得到答案 【解答】解：根据题意得：2x0， x2， 故选：B 6 （3 分）疫情无情人有情，爱心捐款传真情新冠肺炎防控，某班学生
17、积极参加献爱心活动，该班 50 名学生的捐款统计情况如下表，则他们捐款金额的众数和中位数分别是（ ） 金额/元 5 10 20 50 100 人数 6 17 14 8 5 A100，10 B17，10 C10，20 D17，20 【分析】根据众数和中位数的定义求解即可 【解答】解：这组数据中 10 元的人数最多， 这组数据的众数是 10 元； 中位数为第 25、26 个数据的平均数， 这组数据的中位数为20:202=20（元） ， 故选：C 7 （3 分）如图，RtABC 中，C90，利用尺规在 BC，BA 上分别截取 BE，BD，使 BEBD；分别以 D，E 为圆心、以大于12DE 的长为半
18、径作弧，两弧在CBA 内交于点 F；作射线 BF 交 AC 于点 G若 CG1，P 为 AB 上一动点，则 GP 的最小值为（ ） A无法确定 B12 C1 D2 【分析】如图，过点 G 作 GHAB 于 H根据角平分线的性质定理证明 GHGC1，利用垂线段最短即可解决问题 【解答】解：如图，过点 G 作 GHAB 于 H 由作图可知，GB 平分ABC， GHBA，GCBC， GHGC1， 根据垂线段最短可知，GP 的最小值为 1， 故选：C 8 （3 分）如图，在反比例函数 =1的图象上有一动点 A，连接 AO 并延长交图象的另一支于点 B，在第二象限内有一点 P，满足 PAPB，当点 A
19、运动时，点 P 始终在函数 =的图象上运动，若 tanPAB2，则 k 的值（ ） A1 B2 C4 D6 【分析】连接 OP，作 PMx 轴于 M，ANx 轴于 N，如图，利用反比例函数的性质得 PAPB，根据等腰三角形的性质得 OPAB，利用正切的定义得到=2，再证明 RtOPMRtOAN，利用相似的性质得=（）24，然后根据 k 的几何意义求 k 的值 【解答】解：连接 OP，作 PMx 轴于 M，ANx 轴于 N，如图， A、B 两点为反比例函数与正比例函数的两交点， 点 A、点 B 关于原点对称， OAOB， PAPB， OPAB， 在 RtAOP 中，tanPAO=2， POM+A
20、ON90，AON+OAN90， POMOAN， RtOPMRtOAN， =（）24， 而 SOAN=121=12， SPMO2， 12|k|2， 而 k0， k4 故选：C 二、填空题。 （本大题共二、填空题。 （本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分，请把答案填在题中的横线上）分，请把答案填在题中的横线上） 9 （3 分）若分式;12的值为 0，则 x 的值是 1 【分析】直接利用分式值为零的条件，则分子为零进而得出答案 【解答】解：分式;12的值为 0， x10， 解得：x1 故答案为：1 10 （3 分）因式分解：a32a2b+ab2 a（ab）2 【分析】原
21、式提取 a，再利用完全平方公式分解即可 【解答】解：原式a（a22ab+b2） a（ab）2 故答案为：a（ab）2 11 （3 分）如图，直线 ab，且分别与直线 AB 交于 A、B 两点，把一块含 30角的三角尺按如图所示的位置摆放若135，则2 的度数为 115 【分析】依据 ab，即可得到1350，再根据430，即可得出218034100 【解答】解：如图： ab，135， 3135， 又430， 2180341803530115 故答案为：115 12 （3 分）在一个不透明的布袋中装有 40 个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在
22、 0.30 左右，则布袋中黄球可能有 12 个 【分析】利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为 0.3，然后根据概率公式计算即可 【解答】解：设布袋中黄球有 x 个， 根据题意，得：40=0.30， 解得：x12， 即布袋中黄球可能有 12 个， 故答案为：12 13 （3 分）如图，点 A 的坐标为（1，3） ，点 B 在 x 轴上，把OAB 沿 x 轴向右平移到ECD，若四边形ABDC 的面积为 9，则点 C 的坐标为 （4，3） 【分析】根据平移的性质得出四边形 ABDC 是平行四边形，从而得 A 和 C 的纵坐标相同，根据四边形ABDC 的面积求得 AC 的长，即可求得 C 的坐标 【解
23、答】解：把OAB 沿 x 轴向右平移到ECD， 四边形 ABDC 是平行四边形， ACBD，A 和 C 的纵坐标相同， 四边形 ABDC 的面积为 9，点 A 的坐标为（1，3） ， 3AC9， AC3， C（4，3） ， 故答案为（4，3） 14 （3 分）已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积为 20 【分析】先利用三视图得到底面圆的半径为 4，圆锥的高为 3，再根据勾股定理计算出母线长 l 为 5，然后根据圆锥的侧面积公式：S侧rl 代入计算即可 【解答】解：根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为 8，即底面圆的半径 r 为 4，圆锥的高为 3， 所以圆锥的母线长 l= 32+
24、 42=5， 所以这个圆锥的侧面积是 4520 故答案为：20 15（3 分） 如图， AB 是O 的直径， 弦 CDAB 于点 E， CDB30， = 23， 则O 的半径为 2 【分析】根据圆周角定理得到COB2CDB60，然后根据含 30 度的直角三角形三边的关系求出OC 即可 【解答】解：CDAB，CD23， CE=12CD= 3， COB2CDB23060， OE=12OC， OE1，OC2， 即O 的半径为 2 故答案为：2 16 （3 分）如图，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 和点 A 重合，折痕为 EF，EF 与 AC 交于点 O若 AE5，BF3，则 AO 的长为 25 【
25、分析】由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出 AFFCAE5，由勾股定理求出 AB，AC，进而求出 OA 即可 【解答】解：矩形 ABCD， ADBC，ADBC，ABCD， EFCAEF， 由折叠得，EFCAFE， AFEAEF， AEAF5， 由折叠得， FCAF，OAOC， BC3+58， 在 RtABF 中，AB= 52 32=4， 在 RtABC 中，AC= 42+ 82=45， OAOC25， 故答案为：25 三、解答题。 （本大题共三、解答题。 （本大题共 10 小题，共小题，共 82 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
26、） 17 （6 分）计算：|3 2| + 60 (12);2 (3.14 )0 【分析】先计算（12）2、 （3.14）0、tan60，再化简绝对值，最后加减 【解答】解：原式23 + 3 41 3 18 （6 分）先化简，再求值：(1 1+2) (2+2+4+4)，其中 x 是不等式组2 1 + 2 2 + 1的最小整数解 【分析】根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则进行化简，然后将 x 的值求出并代入原式即可求出答案 【解答】解：原式=+21+2(:2)2(:1) =+1+2(:2)2(:1) =1， 2 1 + 2 2 + 1， 解得：1x3， 由分式有意义的条件可知：x 不能取1，2
27、，0， 故 x1， 原式1 19 （6 分）如图，已知平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，连接 AE 并延长，交 DC 的延长线于点 F，且 AFAD，连接 BF，求证：四边形 ABFC 是矩形 【分析】根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用 AAS 判定ABEFCE，从而得到 ABCF；由已知可得四边形 ABFC 是平行四边形，BCAF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形 ABFC 是矩形 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， BAECFE，ABEFCE， E 为 BC 的中点， EBEC， ABEFCE， ABCF ABCF，
28、 四边形 ABFC 是平行四边形， BCAF， 四边形 ABFC 是矩形 20 （8 分）为全面开展“大课间”活动，某校准备成立“足球” 、 “篮球” 、 “跳绳” 、 “踢毽”四个课外活动小组，学校体工处根据七年级学生的报名情况（每人限报一项）绘制了两幅不完整的统计图，请根据以上信息，完成下列问题： （1）m 25 ，n 108 ，并将条形统计图补充完整； （2）试问全校 2000 人中，大约有多少人报名参加足球活动小组？ （3）根据活动需要，从“跳绳”小组的二男二女四名同学中随机选取两人到“踢毽”小组参加训练，请用列表或树状图的方法计算恰好选中一男一女两名同学的概率 【分析】 （1）先利用
29、参加踢毽活动小组的人数它所占的百分比得到调查的总人数，再计算 m 的值和 n 的值，然后补全条形统计图； （2）利用样本估计总体，用 2000 乘以样本中参加足球活动小组的百分比即可； （3）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出一男一女两名同学的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解： （1）调查的总人数1515%100（人） ， 所以 m%=25100100%25%，即 m25， 参加跳绳活动小组的人数10030251530（人） ， 所以 n=30100360108，即 n108， 如图， 故答案为：25，108； （2）200030100=600， 所以全校 2000 人中
30、，大约有 600 人报名参加足球活动小组； （3）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中一男一女两名同学的结果数为 8， 所以恰好选中一男一女两名同学的概率=812=23 21 （8 分）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部 E点处测得旗杆顶端的仰角AED58，升旗台底部到教学楼底部的距离 DE7 米，升旗台坡面 CD 的坡度 i1：0.75，坡长 CD2 米，若旗杆底部到坡面 CD 的水平距离 BC1 米，求旗杆 AB 的高度约为多少？（保留一位小数，参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.6） 【分析】如图，延长
31、 AB 交 ED 的延长线于 M，作 CJDM 于 J则四边形 BMJC 是矩形在 RtCDJ中求出 CJ、DJ，再根据 tanAEM=构建方程即可解决问题 【解答】解：如图，延长 AB 交 ED 的延长线于 M，作 CJDM 于 J则四边形 BMJC 是矩形 在 RtCJD 中，=10.75=43， 设 CJ4k，DJ3k， 则有 9k2+16k24， k=25， BMCJ=85，BCMJ1，DJ=65，EMMJ+DJ+DE=465， 在 RtAEM 中，tanAEM=， 1.6=+85465， 解得 AB13.1 故旗杆 AB 的高度约为 13.1 米 22 （8 分）为庆祝中华人民共和国
32、七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生已知购买 2 个甲种文具、1 个乙种文具共需花费 35 元；购买 1 个甲种文具、3个乙种文具共需花费 30 元 （1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？ （2）若学校计划购买这两种文具共 120 个，投入资金不少于 955 元又不多于 1000 元，设购买甲种文具x 个，求有多少种购买方案？ （3）设学校投入资金 W 元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 【分析】 （1）设购买一个甲种文具 a 元，一个乙种文具 b 元，根据“购买 2 个甲种文具、1 个乙种文具共需花费
33、 35 元；购买 1 个甲种文具、3 个乙种文具共需花费 30 元”列方程组解答即可； （2）根据题意列不等式组解答即可； （3）求出 W 与 x 的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可 【解答】解： （1）设购买一个甲种文具 a 元，一个乙种文具 b 元，由题意得： 2 + = 35 + 3 = 30，解得 = 15 = 5， 答：购买一个甲种文具 15 元，一个乙种文具 5 元； （2）根据题意得： 95515x+5（120 x）1000， 解得 35.5x40， x 是整数， x36，37，38，39，40 有 5 种购买方案； （3）W15x+5（120 x）10 x+600， 10
34、0， W 随 x 的增大而增大， 当 x36 时，W最小1036+600960（元） ， 1203684 答：购买甲种文具 36 个，乙种文具 84 个时需要的资金最少，最少资金是 960 元 23 （8 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，以斜边 AB 上的中线 CD 为直径作O，与 BC 交于点 E，与 AB 的另一个交点为 G，过点 E 作 EFAB，垂足为点 F （1）求证：FE 是O 的切线； （2）若O 的直径为 5，sinB=35，求 DG 的长 【分析】 （1）连接 OE，根据直角三角形斜边上的中线性质可得 CDBD，然后再利用等腰三角形的性质证明 OEAB，即可解答；
35、（2）连接 CG，DE，根据直径所对的圆周角是直角可得CEDCGD90，然后在 RtDEB 中，求出 DE，BE，再利用等腰三角形的三线合一性质求出 BC，最后在 RtCGB 中，求出 BG，然后进行计算即可解答 【解答】 （1）证明：连接 OE， EFAB， EFB90， ACB90，CD 是斜边 AB 上的中线， CDBD=12AB， BBCD， OCOE， CEOBCD BCEO， OEAB， OEFEFB90， OE 是O 的半径， FE 是O 的切线； （2）连接 CG，DE， CD 是O 的直径， CEDCGD90， DEB180CED90， O 的直径为 5， CDDB5， si
36、nB=35， sinB=35， DE3， EB= 2 2= 52 32=4， CDCB，DEC90， BC2BE8， 在 RtCGB 中，cosB=8， 在 RtDEB 中，cosB=45， 8=45， BG=325， DGBGDB=3255=75， DG 的长为75 24 （10 分）小云在学习过程中遇到一个函数 y=16|x|（x2x+1） （x2） 下面是小云对其探究的过程，请补充完整： （1）当2x0 时，对于函数 y1|x|，即 y1x，当2x0 时，y1随 x 的增大而 减小 ，且 y10；对于函数 y2x2x+1，当2x0 时，y2随 x 的增大而 减小 ，且 y20；结合上述分
37、析，进一步探究发现，对于函数 y，当2x0 时，y 随 x 的增大而 减小 （2）当 x0 时，对于函数 y，当 x0 时，y 与 x 的几组对应值如下表： x 0 12 1 32 2 52 3 y 0 116 16 716 1 9548 72 结合上表，进一步探究发现，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大在平面直角坐标系 xOy 中，画出当 x0时的函数 y 的图象 （3）过点（0，m） （m0）作平行于 x 轴的直线 l，结合（1） （2）的分析，解决问题：若直线 l 与函数y=16|x|（x2x+1） （x2）的图象有两个交点，则 m 的最大值是 73 【分析】 （1）利用一次函数或二
38、次函数的性质解决问题即可 （2）利用描点法画出函数图象即可 （3）观察图象可知，x2 时，m 的值最大 【解答】解： （1）当2x0 时，对于函数 y1|x|，即 y1x，当2x0 时，y1随 x 的增大而减小，且 y10；对于函数 y2x2x+1，当2x0 时，y2随 x 的增大而减小，且 y20；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数 y，当2x0 时，y 随 x 的增大而减小 故答案为：减小，减小，减小 （2）函数图象如图所示： （3）直线 l 与函数 y=16|x|（x2x+1） （x2）的图象有两个交点， 观察图象可知，x2 时，m 的值最大，最大值 m=162（4+2+1）=73，
39、 故答案为：73 25 （10 分）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片 ABC 和 DEF 拼在一起，使点 A与点 F 重合，点 C 与点 D 重合（如图 1） ，其中ACBDFE90，BCEF3cm，ACDF4cm，并进行如下研究活动 活动一： 将图 1 中的纸片 DEF 沿 AC 方向平移， 连结 AE， BD （如图 2） ， 当点 F 与点 C 重合时停止平移 （1）图 2 中的四边形 ABDE 是平行四边形吗？请说明理由； （2） 当纸片 DEF 平移到某一位置时， 小兵发现四边形 ABDE 为矩形 （如图 3） ， 则 AF 的长为 94cm ； 活动二：在图
40、3 中，取 AD 的中点 O，再将纸片 DEF 绕点 O 顺时针方向旋转 度（090） ，连结OB，OE（如图 4） ； （3）当 EF 平分AEO 时，探究 OF 与 BD 的数量关系，并说明理由 【分析】 （1）由全等三角形的性质得出 ABDE，BACEDF，则 ABDE，可得出结论； （2）连接 BE 交 AD 于点 O，设 AFx（cm） ，则 OAOE=12（x+4） ，得出 OFOAAF212x，由勾股定理构建方程，求出 x 即可； （3）如图 2，延长 OF 交 AE 于点 H，证明EFOEFH（ASA） ，得出 EOEH，FOFH，则EHOEOHOBDODB，可证得EOHOBD
41、（AAS） ，得出 BDOH，则结论得证 【解答】解： （1）结论：四边形 ABDE 是平行四边形 理由：ABCDEF， ABDE，BACEDF， ABDE， 四边形 ABDE 是平行四边形； （2）如图 1，连接 BE 交 AD 于点 O， 四边形 ABDE 为矩形， OAODOBOE， 设 AFx（cm） ，则 OAOE=12（x+4） ， OFOAAF212x， 在 RtOFE 中，OF2+EF2OE2， （212）2+32=14（x+4）2， 解得：x=94， AF=94cm 故答案为：94cm （3）结论：BD2OF， 理由：如图 2，延长 OF 交 AE 于点 H， 由矩形的性质及
42、旋转的性质知：OAOBOEOD， OABOBAODEOED， OBDODB，OAEOEA， BDE+DEAABD+EAB， ABD+BDE+DEA+EAB360， ABD+BAE180， AEBD， OHEODB， EF 平分OEH， OEFHEF， EFOEFH90，EFEF， EFOEFH（ASA） ， EOEH，FOFH， EHOEOHOBDODB， EOHOBD（AAS） ， BDOH2OF 26 （12 分）如图所示，抛物线 yx2+bx+c 经过 A（1，0） ，B（3，0）两点，与 y 轴相交于点 C，点 M为抛物线的顶点 （1）求抛物线的表达式； （2）若点 N 是第四象限内抛
43、物线上的一个动点，连接 BN，CN求BCN 面积的最大值及此时点 N 的坐标； （3）直线 CM 交 x 轴于点 E，若点 P 是线段 EM 上的一个动点，是否存在以点 P、E、O 为顶点的三角形与ABC 相似若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）将 A（1，0） 、B（3，0）代入 yax2+bx3，即可求解； （2）过 N 点作 x 轴的垂线交直线 BC 于 Q 点，用待定系数法得直线 BC 的解析式为：yx3，设 N 点坐标为 （n， n22n3） ， 则 Q 点坐标为 （n， n3） ， 其中 0n3， NQn3 （n22n3） n2+3n，可得 SBCN=
44、12NQ|xBxC|=12（n2+3n）3= 32（n32）2+278，由二次函数性质可得答案； （3）求出 E 点坐标后，可证明OECOBC，设 P（t，t3） ，分两种情况讨论：当PEOCBA 时，由=，可求 P（34，94） ；当PEOABC 时，由=，可求 P（1，2） 【解答】解： （1）将 A（1，0） 、B（3，0）代入 yax2+bx3， 3 = 09 + 3 3 = 0，解得 = 1 = 2， yx22x3； （2）过 N 点作 x 轴的垂线交直线 BC 于 Q 点，如图： 在 yx22x3 中，令 x0 得 y3， C（0，3） ， 设直线 BC 解析式为 ykx+m， =
45、 33 + = 0，解得 = 1 = 3， 直线 BC 的解析式为：yx3， 设 N 点坐标为（n，n22n3） ，则 Q 点坐标为（n，n3） ，其中 0n3， NQn3（n22n3）n2+3n， SBCN=12NQ|xBxC|=12（n2+3n）3= 32n2+92n= 32（n32）2+278， 320， 当 n=32时，SBCN有最大值为278， 此时 n22n3（32）22323= 154， N 的坐标为（32，154） ； （3）存在以点 P、E、O 为顶点的三角形与ABC 相似，理由如下： yx22x3（x1）24， M（1，4） ， 设直线 CM 的解析式为 ykx+b， = 3 + = 4， = 1 = 3， 直线 CM 的解析式为 yx3， 令 y0 的 x3， E（3，0） ， OEOC3， OEC45， OBOC3， OBC45， OECOBC， 设 P（t，t3） ， 点 P 是线段 EM 上， 3t1， EP= 2（t+3） ，BC32， 当PEOCBA 时， =，即34=2(:3)32， t= 34， P（34，94） ； 当PEOABC 时， =，即332=2(:3)4， t1， P（1，2） ； 综上所述，P 点坐标为（34，94）或（1，2）