1、仿真模拟(一)一、选择题(本大题共 18 小题，每小题 3 分，共 54 分)1设集合 M1,0,1，N 为自然数集，则 MN 等于 ( )A 1,0 B 1C0,1 D1答案 C2已知 A(1,1,1)，B(3,3,3) ，点 P 在 x 轴上，且|PA |PB|，则 P 点坐标为( )A(6,0,0) B(6,0,1)C(0,0,6) D(0,6,0) 答案 A解析 点 P 在 x 轴上，设 P(x,0,0)，又|PA| PB|， x 12 0 12 0 12 ，x 32 0 32 0 32解得 x6.故选 A.3在等差数列a n中，a 12，a 3a 510，则 a7 等于( )A5 B
2、6 C8 D10答案 C解析 因为在等差数列a n中，a 12，a 3a 510，所以 2a4a 3a 510，解得 a45，所以公差 d 1.所以 a7a 16d268.故选 C.a4 a14 14若幂函数 f(x)的图象过点(2,8)，则 f(3)的值为( )A6 B9 C16 D27答案 D解析 设幂函数 f(x)x ，其图象过点(2,8)，可得 f(2)2 8，解得 3，即 f(x)x 3，可得f(3)27.故选 D.5在锐角三角形 ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a，b.若 2asin B b，则 A 等于( )3A. B.3 4C. D.6 12答案 A解析 因为在ABC
3、 中，2asin B b，3所以由正弦定理 ，得 2sin Asin B sin B，asin A bsin B 3由角 A 是锐角三角形的内角知 sin B0，所以 sin A .又ABC 为锐角三角形，所以 A .32 36已知 cos ，且 是钝角，则 tan 等于( )12A. B. C D333 3 33答案 C解析 cos ，且 为钝角，12sin ，1 cos232tan .sin cos 37已知 b，c 是平面 内的两条直线，则 “直线 a”是“直线 ab，直线 ac”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 依题意，由 a，b
4、，c，得 ab，ac；反过来，由 ab，ac 不能得出 a.因为直线 b，c 可能是平面 内的两条平行直线综上所述， “直线 a”是“直线 ab，直线 ac”的充分不必要条件，故选 A.8已知实数 x，y 满足不等式组Error!则 2xy 的最大值是( )A0 B3 C4 D5答案 C解析 在平面直角坐标系中画出题中的不等式组表示的平面区域为以(0,0)，(1,2) ，(2，1)为顶点的三角形区域(如图阴影部分，含边界 )，由图易得当目标函数 z2xy 经过平面区域内的点(1,2)时，z2xy 取得最大值zmax2124，故选 C.9下列命题为真命题的是( )A平行于同一平面的两条直线平行B
5、与某一平面成等角的两条直线平行C垂直于同一平面的两条直线平行D垂直于同一条直线的两条直线平行答案 C解析 如图所示，A1C1平面 ABCD，B 1D1平面 ABCD，但是 A1C1B 1D1O 1，所以 A 错；A 1O，C 1O 与平面 ABCD 所成的角相等，但是 A1OC 1OO ，所以 B 错；D 1A1A 1A，B 1A1A 1A，但是B1A1D 1A1A 1，所以 D 错；由线面垂直的性质定理知 C 正确10如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A圆锥 B棱柱 C圆柱 D棱锥答案 C11若关于 x 的不等式|ax|x 3|4 在 R 上有解，则实数 a 的取值范围是( )A
6、7， ) B7,7C1，) D1,7答案 D解析 因为不等式|ax | x3| 4 在 R 上有解，所以 4(|ax|x3|) min|a3| ，解得1a7，故选 D.12已知正项等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S32a 3 a1，则该数列的公比为( )A2 B. C4 D.12 14答案 A解析 设正项等比数列a n的公比为 q0，因为 S32a 3a 1，所以 2a1a 2a 3，所以a1(2q) a 1q2，化为 q2q20，q0，解得 q2.故选 A.13.如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ACB90，CACBCC 11，则直线 A1B 与平面 BB1C1C 所成角
7、的正弦值为( )A. B.22 155C. D.33 63答案 C解析 连接 BC1，由 A1C1平面 BB1C1C，得A 1BC1 是直线 A1B 与平面 BB1C1C 所成的角，在 RtA 1BC1 中，A 1C11，BC 1 ，BA 1 ，sin .2 313 3314已知 F1，F 2 为双曲线 Ax2By 21 的焦点，其顶点是线段 F1F2 的三等分点，则其渐近线的方程为( )Ay2 x By x224Cy x Dy2 x 或 y x224答案 D解析 由题意可知，双曲线焦点在 x 轴或 y 轴上2a 2c，c 29a 2.13又c 2a 2b 2，b 28a 2，故 2 ， .b
8、a 2 ab 24渐近线方程为 y2 x 或 y x.22415已知函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x1) 与 f(x1) 都是奇函数，则一定有 ( )Af(x)为偶函数 Bf(x)为奇函数Cf(x2) 为偶函数 Df(x3)为奇函数答案 D解析 因为函数 f(x1)，f(x1)均为奇函数，所以 f(x1)f(x 1)，f(x1)f(x1)，则 f(x 3)f(x 21)f (x2)1f(x1)f(x 1)f(x21)f( x2)1f( x 3)，所以函数 f(x 3)为奇函数，故选 D.16存在函数 f(x)满足：对于任意的 xR 都有 f(x22x) |xa|，则 a 等于( )A1
9、 B1 C2 D4答案 B解析 由题意不妨令 x22x 0，则 x0 或 x2，所以 f(0)|0a| 2a|，解得 a1，故选 B.17已知 Rt AOB 的面积为 1，O 为直角顶点，设向量 a ，b ， a2b，则OA |OA |OB |OB | OP 的最大值为( )PA PB A1 B2 C3 D4答案 A解析 以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴，OB 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系(图略)设 A(m,0)，B (0，n)，则 a(1,0)，b(0,1)， a2b(1,2)，OP ( m1， 2)， (1 ，n2) ，PA PB 因为 RtAOB 的面积为 1，即有 m
10、n2，则 1m2(n2)5 ( m2n) 52 5221，PA PB 2mn当且仅当 m2n2 时，取得最大值 1.18.过双曲线 1(a0，b0)的右焦点 F2 向其一条渐近线作垂线 l，垂足为 P，l 与另一x2a2 y2b2条渐近线交于 Q 点，若 3 ，则双曲线的离心率为 ( )QF2 PF2 A2 B. C. D.343 233答案 B解析 由题意得直线 F2Q 的方程为 y (xc)，ab与直线 y x 联立，消去 x 得 y ，ba ab(aby c)解得 yP .abc与直线 y x 联立，消去 x 得 y ，解得 yQ .ba ab( aby c) abcb2 a2因为 3
11、，QF2 PF2 所以 yQ3y P，即 ，abcb2 a2 3abc结合 b2c 2a 2 化简得 c23a 2，所以双曲线的离心率 e ，故选 B.ca 3二、填空题(本大题共 4 小题，每空 3 分，共 15 分)19已知抛物线 C：y 22x，点 M(3,5)，点 P 在抛物线 C 上移动，点 P 在 y 轴上的射影为Q，则|PM| |PQ| 的最大值是 _，此时点 P 的坐标为_答案 55 12 (3 54 ，1 52 )解析 抛物线 C 的焦点 F ，准线 l：x ，(12，0) 12则由抛物线的定义知|PM | PQ|PM |PF | |MF| ，12 12 55 12此时点 P
12、 在第四象限，且由抛物线 C：y 22x 及直线 MF：y2x1 得点 P 的坐标为.(3 54 ，1 52 )20已知向量 a(1,2)，b( 2，t )，若 ab，则实数 t 的值是_答案 4解析 由 ab 得 t220 ，所以 t4.21对于实数 x，y ，若|x1|1，| y2|1，则| x2y1|的最大值为_答案 5解析 |x2y1| |(x 1)2(y2) 2| |(x1) 2(y2)|2|x1|2| y2|25.22在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ，则cos A 3cos Ccos B 3c ab的值为_sin Csin A答案 3解析 由正弦定理
13、 2R，asin A bsin B csin C得 cos A 3cos Ccos B 3c ab 2R3sin C sin A2Rsin B ，3sin C sin Asin B即(cos A3cos C)sin B(3sin Csin A)cos B，化简可得 sin(AB) 3sin(BC)，又 ABC ，所以 sin C3sin A ，因此 3.sin Csin A三、解答题(本大题共 3 小题，共 31 分)23(10 分) 已知函数 f(x)sin xcos x，xR .(1)求 f 的值；(2)(2)求函数 f(x)的最小正周期；(3)求函数 g(x)f f 的最小值(x 4)
14、(x 34)解 (1)由题意得 f sin cos 1.(2) 2 2(2)因为 f(x) sin ，2 (x 4)所以函数 f(x)的最小正周期为 2.(3)因为 g(x)f f(x 4) (x 34) sin sin(x) (cos xsin x)2 (x 2) 2 22cos .(x 4)所以当 x 2k ，k Z，即 x 2k，kZ 时，函数 g(x)取得最小值2.4 3424(10 分) 已知椭圆 C 的焦点 F1( ，0) 和 F2( ，0)，长轴长为 4，设直线 yx2 交椭2 2圆 C 于 A，B 两个不同的点(1)求椭圆 C 的方程；(2)求弦 AB 的长解 (1)因为椭圆
15、C 的焦点为 F1( ，0)和 F2( ，0)，长轴长为 4，2 2所以设所求椭圆的方程为 1(a b0)，x2a2 y2b2则依题意有 a2，c ，所以 b2a 2c 22.2所以椭圆 C 的方程为 1.x24 y22(2)联立Error!消去 y 得 3x28x 40，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则由根与系数的关系有 x1x 2 ，x 1x2 ，83 43所以由弦长公式得|AB| 1 k2x1 x22 4x1x2 .2 ( 83)2 443 42325(11 分) 已知函数 f(x)x |xa|bx .(1)当 a2，且 f(x)是 R 上的增函数时，求实数 b 的取值范
16、围；(2)当 b2，且对任意 a( 2,4)，关于 x 的方程 f(x) tf(a)总有三个不相等的实数根，求实数 t 的取值范围解 (1)f(x) x|x 2|bxError!因为 f(x)连续，且 f(x)在 R 上单调递增，等价于这两段函数分别递增，所以Error!得 b2.(2)f(x)x|xa|2xError!tf(a)2ta.当 2a4 时， a，a 22 a 22f(x)在 上单调递增，( ，a 22 )在 上单调递减，(a 22 ，a)在(a，) 上单调递增，所以 f(x)极大值 f a1，(a 22 ) a24f(x)极小值 f(a) 2a，所以Error!对 2a4 恒成立，解得 0t1.当2a2 时， a ，a 22 a 22f(x)在 上单调递增，( ，a 22 )在 上单调递减，(a 22 ，a 22 )在 上单调递增，(a 22 ， )所以 f(x)极大值 f a1，(a 22 ) a24f(x)极小值 f a 1，(a 22 ) a24所以 a12ta a1 对2a2 恒成立，a24 a24解得 0t1，综上，0t1.