1、仿真模拟(四)一、选择题(本大题共 18 小题，每小题 3 分，共 54 分)1设集合 Mx |x24，Nx|12 或 x4 成立的一个充分不必要条件是( )A|a b|4 B|a|4C|a| 2 且| b|2 Db4|a| b|4 知，充分性成立由|a |b|4D /bf(2)Cf(1)f(3) Df(2)f(3)，故选 C.15已知 F1，F 2 是双曲线 C： 1( a0，b0)的两个焦点，P 是双曲线 C 上一点，若x2a2 y2b2|PF1|PF 2|6 a，且PF 1F2 最小内角的大小为 30，则双曲线 C 的渐近线方程是( )A. xy0 Bx y02 2Cx2y0 D2xy0
2、答案 A解析 由题意，不妨设|PF 1|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|PF 2|2a，又|PF 1| |PF2| 6a，解得|PF 1|4a，| PF2|2a.在PF 1F2 中， |F1F2|2c ，而 ca，所以有|PF 2|0 ，b，c R)在(0,2) 内有两个实根，若Error!则实数 a 的最小值为( )A1 B. C. D.32 94 1625答案 D解析 设 f(x)ax 2bx c a( xp)( xq) ，Error!f(0)c 1，f(2.5) 1，apq1，a(2.5p)(2.5 q)1，a 2pq(2.5p)(2.5 q)1，即 a2 ，1pq2.5 p
3、2.5 q又 p(2.5p)q(2.5 q) ，625256当且仅当 pq1.25 时，等号成立a 2 ，即 a ，a 的最小值为 .256625 1625 1625二、填空题(本大题共 4 小题，每空 3 分，共 15 分)19函数 f(x)sin 2xcos 2x 的最小正周期是 _；最大值是_答案 1解析 f(x) cos 2x，T ，f (x)max1.20在ABC 中，若A120，AB5，BC7，则ABC 的面积 S_.答案 1534解析 由余弦定理得 BC2AB 2AC 22ABAC cos A，即 4925AC 225AC ，( 12)则 AC25AC240，解得 AC3.故AB
4、C 的面积 S 53sin 120 .12 153421已知等差数列a n，等比数列b n的前 n 项和分别为 Sn，T n(nN *)若Sn n2 n，b 1a 1，b 2a 3，则 Tn_.32 12答案 (4n1)23解析 由题意得 a1S 1 12 12，32 12当 n2 时，a nS nS n1 n2 n (n1) 2 (n1) 3n1，32 12 32 12当 n1 时，也成立，所以 an3n1(nN *)，所以 b1a 12，b 2a 38，所以等比数列b n的公比为 4，Tn (4n1)(nN *)21 4n1 4 2322偶函数 f(x)满足 f(1x )f(1x)，且当
5、x0,1时，f(x) ，若直线2x x2kxy k0(k0)与函数 f(x)的图象有且仅有三个交点，则 k 的取值范围是_答案 (1515，33)解析 因为直线 kxyk 0(k0)，即 k(x1) y0(k0) 过定点 (1,0)因为函数 f(x)满足 f(1x )f(1x)，所以函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，又因为函数 f(x)为偶函数，所以函数 f(x)的图象关于 y 轴对称，在平面直角坐标系内画出函数 f(x)的图象及直线 k(x1)y0( k0)如图所示，则由图易得|AB| ，|AC | ，22 1 3 42 1 15tanBAx ，tanCAx ，13 33 115 1
6、515则要使直线 kxyk 0(k 0)与函数 f(x)的图象有且仅有三个交点，则 k 的取值范围是 .(1515，33)三、解答题(本大题共 3 小题，共 31 分)23(10 分) 已知函数 f(x)cos x(sin x cos x) ，xR.332(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)的单调递增区间；(3)求 f(x)的值域解 f(x )cos x(sin x cos x)332sin xcos x (2cos2x1)32 sin 2x cos 2x12 32sin .(2x 3)(1)所以函数 f(x)的最小正周期 T .22(2)由 2k 2x 2k ，kZ，2 3 2
7、得 k xk ，kZ，512 12所以函数 f(x)的单调递增区间为(kZ)k 512，k 12(注 ：或 者 写 成 单 调 递 增 区 间 为 (k 512，k 12)k Z)(3)xR，1sin 1，即 f(x)1,1(2x 3)24(10 分) 已知椭圆 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，离心率为 ，点 M 在x2a2 y2b2 33椭圆上，且满足 MF2x 轴，| MF1| .433(1)求椭圆的方程；(2)若直线 ykx2 交椭圆于 A，B 两点，求ABO(O 为坐标原点)面积的最大值解 (1)由已知得 ，又由 a2b 2c 2，c2a2 13可得 a23c 2，b 2
8、2c 2，得椭圆方程为 1.x23c2 y22c2设点 M 在第一象限，因为 MF2x 轴，可得点 M 的坐标为 ，(c，233c)由|MF 1| ，解得 c1，4c2 43c2 433所以椭圆方程为 1.x23 y22(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，将 ykx2 代入椭圆，可得(3k 22)x 212kx60，由 0，可得 3k220 ，则有 x1x 2 ，x 1x2 ，12k2 3k2 62 3k2所以|x 1x 2| .218k2 123k2 2因为直线 ykx2 与 y 轴交点的坐标为 (0,2)，所以OAB 的面积 S 2|x1x 2|12 ，218k2 123k
9、2 2 263k2 23k2 2令 3k22t，由 3k220 知 t(0，) ，所以 S 2 2 ，26tt 4 6tt2 8t 16 6t 16t 8 62当且仅当 t ，即 t4 时等号成立16t所以当 t4 时，ABO 的面积取得最大值 .6225(11 分) 已知函数 yf(x)，若在定义域内存在 x0，使得 f(x 0)f(x 0)成立，则称 x0 为函数 f(x)的局部对称点(1)若 a，bR 且 a0，证明：函数 f(x)ax 2bx a 必有局部对称点；(2)若函数 f(x) 2xc 在区间1,2 上有局部对称点，求实数 c 的取值范围(1)证明 由 f(x)ax 2bxa，得 f(x )ax 2bx a，代入 f(x)f(x )0，得(ax 2 bxa)( ax2bxa) 0，得到关于 x 的方程 ax2a0(a0)，其中 4a2，由于 aR 且 a0，所以 0 恒成立，所以函数 f(x)ax 2bx a(a，bR ，a0) 必有局部对称点(2)解 方程 2x2 x 2c 0 在区间1,2上有解，于是2c2 x2 x .设 t2 x(1 x2)，则 t4，122ct ，其中 2t ，1t 1t 174所以 c1.178即 c . 178， 1