1、仿真模拟(三)一、选择题(本大题共 18 小题，每小题 3 分，共 54 分)1已知集合 Ax| x1，B x|x2 或 x1 且 x2，即函数的定义域为(1,2) (2，)故选 D.3已知向量 a，b 满足|a| 3 ，|b|2 ，且 a( ab)，则 a 与 b 的夹角为( )3A. B.2 23C. D.34 56答案 D解析 由 a(ab)，得 a(ab)|a| 2| a|b|cosa，b96 cosa，b0，解得3cosa，b ，因为a，b 0, ，所以向量 a 与 b 的夹角为 ，故选 D.32 564已知直线 l：ax y20 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的值是(
2、)A1 B1 C2 D2答案 A解析 axy20 在 y 轴上的截距为 2，axy20 在 x 轴上的截距也为 2，2a20，a1.5已知角 的终边过点 P(1,2)，则 sin() sin cos()等于( )(2 )A. B. C. D.55 255 455 5答案 B解析 根据三角函数的定义知，sin ，cos .255 55sin( )sin cos()(2 )sin cos cos sin .2556某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )A三棱锥 B四棱锥C四棱台 D三棱台答案 B解析 正视图和侧视图为三角形，该几何体为锥体又俯视图是四边形，该几何体为四棱锥7若直线 l：y
3、 xb 是圆 C：x 2y 22x6y80 的切线，则实数 b 的值是( )A2 或6 B2 或6C2 或4 D2 或 6答案 A解析 圆 C：(x1) 2(y 3) 22 的圆心为 C(1，3)，半径为 ，圆心到直线 l 的距离 d2 ，可得 b2 或 b6.|1 3 b|2 28若 a，b 为实数，则“ab”是“log 3alog 3b”成立的 ( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 B解析 因为 log3alog 3b，即 ab0，所以“ab”是“ log3alog 3b”成立的必要不充分条件，故选 B.9.如图，已知正方体 ABCDA 1B1C1D1
4、 的棱长为 4，点 E，F 分别是段线 AB，C 1D1 上的动点，点 P 是上底面 A1B1C1D1 内一动点，且满足点 P 到点 F 的距离等于点 P 到平面 ABB1A1 的距离，则当点 P 运动时，PE 的最小值是( )A5 B4 C4 D22 5答案 D解析 以 D 为原点，DA，DC，DD 1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示设 F(0，y F，4)，P( xP，y P，4)，E(4，y E，0)，其中 yF，x P，y P，y E0,4，根据题意|PF|4 x P|，即 |4x P|，x2P yP yF2所以(y Py F)2168x P0，得
5、0x P2，|PE| 2 ，4 xP2 yP yE2 16 4 22 16 5当且仅当 xP 2，y Py Ey F时等号成立10已知函数 f(x)Error!则满足 f(x)1 的 x 的取值范围为( )A. B.1，53 53，3C(，1) D(，1 53， ) 53，3答案 D解析 不等式 f(x)1 等价于Error!或Error!解得 x1 或 x 3，53所以不等式的解集为(， 1 ，故选 D.53，311若两个正实数 x，y 满足 1，且 x2ym 22m 恒成立，则实数 m 的取值范围是( )2x 1yA(4,2) B( 4,8)C(2,8) D(1,2)答案 A解析 因为 1
6、，2x 1y所以 x2y(x 2y ) 4 42 8，当且仅当 x4，y2 时等号成立(2x 1y) 4yx xy 4yxxy因为 x2ym 22m 恒成立，所以 m22m0)的一条渐近线方程为 y x，F 1，F 2 分别为双曲线 C 的x24 y2b2 62左、右焦点，P 为双曲线 C 上的一点，且满足 |PF1| PF2|31，则| |的值是( )PF1 PF2 A4 B2 6C2 D.106105答案 C解析 由双曲线的一条渐近线方程为 y x，62得 ，b2 62所以 b ，c .6 10又|PF 1| 3|PF2|，且|PF 1|PF 2|2a4，所以|PF 1|6，| PF2|2
7、，又|PF 1|2| PF2|2|F 1F2|2，所以 PF1PF 2，则| | 2 ，故选 C.PF1 PF2 |PF1 |2 |PF2 |2 1017已知点 F1，F 2 是双曲线 C： 1( a0，b0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点x2a2 y2b2P 在双曲线 C 的右支上，且满足 |F1F2|2| OP|，|PF 1|3| PF2|，则双曲线 C 的离心率的取值范围为( )A(1，) B.102， )C. D.(1，102 (1，52答案 C解析 由|F 1F2|2| OP|，可得|OP|c ，即PF 1F2 为直角三角形，且 PF1PF 2，可得|PF 1|2| PF2|2|F
8、 1F2|2.由双曲线定义可得|PF 1| PF2|2a，又|PF 1| 3|PF2|，可得|PF 2| a，即有(| PF2|2a) 2|PF 2|24c 2，化为(| PF2|a) 22c 2a 2，即有 2c2a 24a 2，可得 c a，102由 e 可得 1e .ca 10218已知函数 f(x)x|x| ，若对任意的 x1，f (xm )f(x)0 恒成立，则实数 m 的取值范围是( )A(，1) B( ，1C(，2) D(，2答案 C解析 由题意得 f(x)Error!则易得函数 f(x)为 R 上的单调递增的奇函数，则不等式 f(x m)f(x)0 等价于 f(xm )f(x)
9、f(x)，所以 xmx，又因为不等式 f(xm)f(x)0 在(，1上恒成立，所以 xmx 在(，1上恒成立，所以 m(2x )min，x( ，1 ，因为当 x1 时，2x 取得最小值2，所以 m2，即实数 m 的取值范围为(，2) ，故选 C.二、填空题(本大题共 4 小题，每空 3 分，共 15 分)19已知抛物线 C：y 2ax(a0)的焦点为 F，过焦点 F 和点 P(0,1)的射线 FP 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，O 为坐标原点若|FM| MN|13，则a_，S FON _.答案 224解析 设点 M 的坐标为(x M，y M)，N 点纵坐标为 yN，因为|F
10、M| |MN|13，所以 ，xM a4a2 34所以 xM ，所以 M .a8 (a8，2a4)由 kMFk PM可知 ，解得 a .24a a81 24a a8 2所以 ，解得 yN2.yMyN 24ayN 14所以 SFON 2 .12 24 2420已知 a0，b0，且 ab1，则 的最小值为_(1a 2)(1b 2)答案 16解析 由题意得 (1a 2)(1b 2) (a ba 2)(a bb 2) 103(ba 3)(ab 3) (ba ab)103216，当且仅当 ，即 ab 时取等号ba ab 1221等比数列a n中，前 n 项和为 Sn，a 1a92a 3a6，S 5 62，
11、则 a1 的值为_答案 2解析 设等比数列a n的公比为 q，则由 a1a92a 3a6 得 a q82a q7，21 21解得 q2，则 S5 62，a11 251 2解得 a12.22已知函数 f(x)Error!a，b，c，d 是互不相同的正数，且 f(a)f(b)f(c) f(d)，则 abcd的取值范围是_答案 (21,24)解析 设 abcd，作出函数 f(x)的图象，如图，由图可知，ab1，cd10，所以 abcdcd ,3c4，所以 cdc(10c)( c5) 225，显然 21cd24，所以 abcd 的取值范围是(21,24)三、解答题(本大题共 3 小题，共 31 分)2
12、3(10 分) 已知函数 f(x)abcos 2x(b0)的最大值为 ，最小值为 .32 12(1)求 a，b 的值；(2)求 g(x)4sin b 的图象的对称中心和对称轴方程(ax 3)解 (1)因为 b0，易得 f(x)maxab ，32f(x)minab ，解得 a ，b1.12 12(2)由(1)得，g(x )4sin 1，(12x 3)由 sin 0，可得 x k，kZ，(12x 3) 12 3即 x2k ，kZ，23所以函数 g(x)图象的对称中心是 ，kZ .(2k 23，1)由 sin 1，(12x 3)可得 x k ，k Z，12 3 2即 x2k ，kZ，53所以函数 g
13、(x)图象的对称轴方程为 x2k ，k Z.5324(10 分) 已知点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)是抛物线 y28x 上相异两点，且满足 x1x 24.(1)若直线 AB 经过点 F(2,0)，求|AB| 的值；(2)是否存在直线 AB，使得线段 AB 的中垂线交 x 轴于点 M，且|MA| 4 ？若存在，求直线2AB 的方程；若不存在，请说明理由解 (1)因为直线 AB 过抛物线 y28x 的焦点 F(2,0)，根据抛物线的定义得|AF|x 12，|BF|x 22，所以|AB| AF|BF|x 1x 248.(2)假设存在直线 AB 符合题意，由题知当直线 AB 斜率不存在时
14、，不符合题意，设直线 AB 的方程为 ykx b，联立方程组Error!消去 y 得 k2x2 (2kb8)x b 20，(*)故 x1x 2 4，2kb 8k2所以 b 2k.4k所以 x1x2 2.b2k2 (4k2 2)所以|AB| 1 k2 x1 x22 4x1x2 1 k242 4(4k2 2)2 .8k4 1k2因为 y1y 2k (x1x 2)2b4k 2b .8k设 AB 的中点为 C，则点 C 的坐标为 .(2，4k)所以 AB 的中垂线方程为 y (x2)，4k 1k即 xky60.令 y0，得 x6.所以点 M 的坐标为(6,0) 所以点 M 到直线 AB 的距离d|CM
15、 | 6 22 16k2 .4k2 1|k|因为|MA| 2 2|CM| 2，(|AB|2)所以(4 )2 2 2.2 (4k4 1k2 ) (4k2 1|k| )解得 k1.当 k1 时，b2；当 k1 时，b2.把Error!和Error!分别代入(*)式检验，得 0 ，不符合题意所以直线 AB 不存在25(11 分) 已知函数 f(x)x 2(a4)x3a.(1)若 f(x)在0,1上不单调，求 a 的取值范围；(2)若对于任意的 a(0,4) ，存在 x00,2，使得|f (x0)|t，求 t 的取值范围解 (1)由 00，|f(4 a2 )| a2 8a 84 a 42 84所以|f( x)|maxa 1.当 10，| f(x)|max3a，|f(4 a2 )| 8 a24综上，|f( x)|max Error!故|f(x)| max1，所以 t1.