1、2022年中考数学复习专题5：立体几何中平行与垂直证明【一】“平行关系”常见证明方法1.1 直线与直线平行的证明1.1.1 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行等1.1.2 利用三角形中位线性质1.1.3 利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 1.1.4 利用直线与平面平行的性质定理：b如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。1.1.5 利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 1.1.6 利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行
2、。1.1.7 利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。1.1.8 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点1.2 直线与平面平行的证明1.2.1 利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 1.2.2 利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。a1.2.3 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点1.3 平面与平面平行的证明1.3.1 利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。P1.3.2 利
3、用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等1.3.3 利用定义：两个平面没有公共点1.例题【例1】 如图，已知菱形，其边长为2，绕着顺时针旋转得到，是的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值证明（1）连结AC交BD于点O，连结OM在菱形中，O为AC中点，M为的中点OM为APC的中位线，OMAP -（利用1.1.2中位线性质）又OM面，且PA面平面 -（利用1.2.1直线与平面平行的判定定理）【例2】 已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是、边长为的菱形，又，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点 证明：DN/平面PMB。 证明：取PB中点为E，连结ME、NE点
4、M、N分别是棱AD、PC的中点 NE BC ,又MD BC NE MD，即四边形ABCD为平行四边形ME/DN -（利用1.1.1平行四边形性质）又 ME面PMB，且DN面PMB， DN/平面PMB-（利用1.2.1直线与平面平行的判定定理）【例3】如图，已知点是平行四边形所在平面外的一点，分别是，上的点且，求证：平面 证明：过E作EM/AD交PD于点M ,连结MF= = PB/MF，又AD/BC，EM/BCBC面PBC，且EM面PBC，EM/面PBC，同理MF/面PBC，-（利用1.2.1直线与平面平行的判定定理）FM面EFM，EM面EFM，EM MF于点M, 面EMF/面PBC, -（利用
5、1.3.1 平面与平面平行的判定定理)EF/面PBC - (利用1.2.2平面与平面平行的性质)2.巩固提升综合练习【练习1】如图，在六面体中，平面平面，平面，,且, 求证： 平面； ABCDEGF证明：取DG的中点为M连结FM、AM，DM=MG=EF=1又四边形EFMD为平行四边形，EF DE平面,且平面平面ADDE,ADAB,又AB、DE面ABED, AB=DE=2 AB DEAB FM,即四边形ABFM为平行四边形，BFAM，又BF 面，AM面平面【练习2】如图，分别是正方体的棱，的中点求证：（1）平面；（2）平面平面【解析】证明（1）如图，取的中点，连接，因为，所以，所以四边形为平行四
6、边形，故，因为平面，平面，所以平面（2）由题意可知连接，因为，所以四边形是平行四边形，故又，所以平面平面【练习3】在如图所示的五面体中，四边形为菱形，且， 平面， ， 为中点.求证： 平面.【解析】证明：取中点，连接，因为分别为中点，所以，又平面，且平面，所以平面，因为平面， 平面，平面平面，所以又， ，所以， .所以四边形为平行四边形.所以.又平面且平面，所以平面，又，所以平面平面.又平面，所以平面.【二】“垂直关系”常见证明方法2.1直线与直线垂直的证明2.1.1 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直,等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角
7、线垂直等。2.1.2 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90，则两直线互相垂直。2.1.3 利用直线与平面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。 b2.1.4 利用平面与平面垂直的性质推论：如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。b2.1.5 利用常用结论：c 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线。b b 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互相垂直。2.2 直线与平面垂直的证明2.2.1 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底
8、面 等2.2.2 看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。2.2.3 利用直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。2.2.4 利用平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。2.2.5 利用常用结论： 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一个平面。2.3 平面与平面垂直的证明2.3.1 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等2.3.2 看二面角：两个平面相交，如果它们所成的
9、二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。2.3.3 利用平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。1.例题【例1】APBCFED如图,四边形ABCD为矩形，CF平面ABCD，DE平面ABCD，AB=4a，BC= CF=2a，P为AB的中点.求证：平面PCF平面PDE.证明：ABCD为矩形，AB=2BC, P为AB的中点，PBC为等腰直角三角形，BPC=45.同理可证APD=45. DPC=90，即PCPD. - （利用2.1.1）又DE面ABCD，PC面ABCD，PCDE. - （利用2.1.3）DEPD=D ，PC 面PDE . - （
10、利用2.2.3）又PC面PCF，面PCF面PDE。- （利用2.3.3）【例2】如图，在四棱锥中，ABCD是矩形，点是的中点，点在上移动。求证：。【证明】， - （利用2.1.3） ，- （利用2.1.1） ，- （利用2.2.3） ，点是的中点 - （利用2.1.1） 又 - （利用2.1.3）【例3】如图，在四边形中，点为线段上的一点.现将沿线段翻折到，使得平面平面，连接，.证明：平面.【证明】()连结，交于点,在四边形中，,又平面平面，且平面平面=平面- （利用2.2.4）2.巩固提升综合练习【练习1】 如图，四棱锥S-ABCD的底面是矩形，SA底面ABCD，P为BC边的中点，SB与平面
11、ABCD所成的角为，且AD=2，SA=1。求证：PD平面SAP；【证明】SA面ABCD，SBA为SB与面ABCD的夹角，SBA =，且SAAB，AB=1在矩形ABCD中，P为BC边的中点，AB=BP=1, AP=, 同理DP=又AD=2，APD=,即APPDSA面ABCD, SAPD, 且SA、AP面SAP，SAAP于点A,PD平面SAP【练习2】 如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点，（1）求证：平面；（2）求证：平面；【解析】（1）证明：连接与，两线交于点，连接在中，分别为，的中点，又平面，平面，平面（2）证明：侧棱底面，平面，又为棱的中点，平面，平面，又，在和中，即，平面，平面【练习3
12、】如图，四棱锥中，为正三角形且证明：平面平面【解析】（1）证明：，且，又为正三角形，又，又，平面，又平面，平面平面课后自我检测1如图，四边形为正方形，平面，（1）求证：；（2）若点在线段上，且满足，求证：平面；（3）求证：平面【解析】（1），与确定平面，平面，由已知得且，平面又平面，（2）过作，垂足为，连接，则又，又且，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面（3）由（1）可知，在四边形中，则设，故，则，即又，平面2直三棱柱中， ， ， ，点是线段上的动点.（1）当点是的中点时，求证： 平面；（2）线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，试求出的长度；若不存在，请说明理由.【解析】（1）如图
13、，连接，交于点，连接，则点是的中点，又点是的中点，由中位线定理得，因为平面， 平面，所以平面.（2）当时平面平面.证明：因为平面， 平面，所以又， ，所以平面，因为平面，所以平面平面，故点满足.因为， ， ，所以，故是以角为直角的三角形，又，所以.3.如图， 为等边三角形， 平面， ， ， 为的中点.（）求证： 平面；（）求证：平面平面.【解析】（1）证明：取的中点，连结在中， ， ， ， 四边形为平行四边形 又平面 平面（2）证：面， 平面，又为等边三角形，又，平面，又，面，又面，面面4. 已知平面四边形中， 中， ，现沿进行翻折，得到三棱锥，点， 分别是线段， 上的点，且平面.求证：（1）直线平面；（2）当是中点时，求证：平面平面.【解析】（1）证明：因为平面， 平面，平面平面，所以因为平面， 平面，所以 /平面（2）因为是的中点， ，所以为的中点.又因为，所以又， ，所以， 平面， ，所以平面.因为平面，所以平面平面.