1、2022年中考数学复习专题10：圆锥曲线中的垂径定理(一) 圆中的垂径定理（问题背景：直线斜率存在） 图1 图2 图3（1）如图1，在圆O中，E为弦AB中点，则OEAB，即（2）如图2，在圆O中，与圆O相切于E点，则OE，即.（若切点坐标为，可得切线方程：）（3）如图3，AB为圆O直径，E圆上异于A、B两点的动点，则BEAE，即.（二）圆锥曲线中的垂径定理（问题情景假设：假设下列问题讨论所涉及的直线斜率都存在情况下）1.椭圆中的垂径定理（以焦点在轴的椭圆方程为例） 图1 图2 图3（1）如图1，在椭圆C中，E为弦AB的中点，则;（证明：用点差法）（2）如图2，在椭圆C中，与椭圆相切于E点，则;
2、（证明：法一：极限思想，当A无穷接近B点；法二：换元法变换为证明即可；法三：导数）（3）如图3,过中心O,交椭圆于A,B两点,E是椭圆上异于A、B点的动点则.（证明：取AE重点M，连接OM，即可用（1）证明）【注意：若焦点在轴上的椭圆方程， 则上面结论变为：，即】2.双曲线中的垂径定理（以焦点在轴的双曲线方程为例） 图1 图2 图3 图4 图5（1）如图1或图2，E为弦AB的中点，则;（2）如图3，与双曲线相切于E点，则;（3）如图4，过O点的交双曲线于A,B两点，E是双曲线上异于A、B点的动点,则.（4）如图5，交上双曲线两渐近线于A,B两点，E为线段AB的中点，则.【注意：若焦点在轴上的双
3、曲线方程，则上面斜率乘积结论变为：，即】圆、椭圆与双曲线中的垂径定理可以归结为（统称为有心圆锥曲线）：（1）若方程或）存在以上关系，则上述结论可表述为：，即，其中分别是系数的倒数.（2）若方程存在以上关系，则上述结论可表述为：，即，其中分别是系数.（三）例题点评1.例题初探【例1】过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆相交于A,B两点，若M是线段AB的中点，则该椭圆的离心率为 .【解析】方法一：点差法方法二：由垂径定理，即，因为0e1,所以解的【例2】已知A、B为椭圆的左右顶点，P为椭圆上异于A、B的点，PA、PB的斜率分别为，且，则该椭圆的离心率为 【解析】答案为【例3】设双曲线C：的顶点为，
4、P为双曲线上一点，直线交双曲线C的一条渐近线于M点，直线和的斜率分别为，若且，则双曲线C离心率为（ ）A、2 B、 C、 D、4【解析】利用双曲线过中心弦结论，即 答案：B【例4】已知A、B是双曲线的两个顶点，P是双曲线上异于A、B的另一点，P关于轴的对称点为，记直线AP、BQ的斜率分别为，且，则双曲线的离心率为 【解析】，由垂径定理得 答案：【例5】过双曲线的左焦点F且斜率为1的直线与双曲线的两条渐近线交于A、B两点，记线段AB的中点为M，且等于半焦距，则双曲线的离心率 【解析】，双曲线的开口较小，渐近线斜率的绝对值比1小，故直线与双曲线的交点都位于轴左侧，当直线竖起来时中点即F，而直线斜率
5、为1，故中点M位于第三象限，由，（O为坐标原点），由垂径定理得 答案：【例6】已知直线的斜率为1，且与双曲线相切于第一象限于点，则点的坐标为_.【解析】法一：因为直线的斜率为1，所以设代入双曲线得因为直线与双曲线相切，所以，即，解得当时，解得，当时，解得因为切点在第一象限，所以点.故答案为：.法二：设切点坐标为，由垂径定理得：，又因为点在双曲线上，可得：解得，所以，所以点.故答案为：.2.提高与巩固例题【例1】已知直线交椭圆于M、N两点，B是椭圆与轴正半轴的交点，若BMN的重心恰好为椭圆的右焦点，则直线的方程为 【解析】设，由重心公式得，【三角形ABC重心的坐标公式为，其中】线段MN的中点为，
6、由垂径定理得（O为坐标原点），直线的方程为【例2】已知椭圆，P是椭圆的上顶点，过P作斜率为的直线交椭圆于另一点A，设点A关于原点的对称点为B，（1） 求PAB面积的最大值（2）设线段PB的中垂线与轴交于点N，若点N在椭圆内部，求斜率的取值范围【解析】（1），面积最大为2（2）方法一（与椭圆联立）：，N刚到下顶点时，中垂线，PB：与椭圆联立可求得PB中点为在中垂线上，代入得方法二（与直线联立）：由垂径定理得，PB：与边AP平行的中位线联立得PB中点为，由M与构成的中垂线斜率，解得【例3】设直线与双曲线两条渐近线分别交于A，B，若点满足，则该双曲线的离心率是 【解析】方法一（垂径定理）：记M为PM
7、的中点，则PM：与直线AB联立，容易得由垂径定理得 答案：方法二（暴力计算）直线分别与两条渐近线联立得，AB的中点为，所以线段AB的中垂线斜率为方法三（渐近线点差法）：设AB中点为，则由点差法知又中点在直线上，故，由得由得，【例4】已知某椭圆的焦点是，过点并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且椭圆上不同的两点满足条件：成等差数列(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标；(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围【解析】(1)由题意，设椭圆方程为，则，所以，所以。（2）由（1），所以，设焦半径，成等差数列,则解得,故弦AC中点的横坐标为4.（2） 设AC中点为M，
8、由（2），则可设，（3） AC的垂直平分线：,由椭圆垂径定理得而，所以，即又，又在上，故，即，而，所以.其实AC的垂直平分线：，横过定点.自我素养养成练习与思考1.如图，已知椭圆，过原点的直线交椭圆于点P、A两点（其中点P在第一象限），过点P作轴的垂线，垂线为C，连AC并延长交椭圆于B，若，则椭圆的离心率为 【解析】记，延长PC交椭圆于D，连AD，由初中几何知识得，由得，由垂径定理得 答案：2.已知双曲线的左右焦点为，右顶点为A，P为双曲线右支上一点，交双曲线的左支于点Q，与渐近线交于点R，线段PQ的中点为M，若，则双曲线的离心率为 【解析】由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得，故 由垂径定
9、理得联立直线PQ：与直线OM：得，由得，解得答案：23.如图，已知椭圆的左右顶点分别为A、B，P为第一象限内一点，且，连接PA交椭圆于点C，连BC、OP，若，则椭圆的离心率为 【解析】，由初中几何知识得，由垂径定理得 答案：4.如图，分别是双曲线C：的左右焦点，B是虚轴的端点，直线与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线MN与轴交于点M，若，则C的离心率是 。【解析】方法一（垂径定理）：与联立得由方法二：，直线PQ为：，两条渐近线为：由得：，由得直线MN为：，令得又，解之得：，即 5.过点作直线与椭圆交于两点，求的中点的轨迹的方程。【解析】设 ，由垂径定理，即 ，化简得 ，当与
10、轴平行时，的坐标也满足方程，故所求的中点的轨迹的方程为；6.过点作直线与有心圆锥曲线交于两点，是否存在这样的直线使点为线段的中点？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.【解析】假设过点P(1,1)作直线与有心圆锥曲线交于两点，且P为的中点，则，由于 直线，即，代入曲线的方程得， 即 由 得.故当时，存在这样的直线，其直线方程为；当时，这样的直线不存在. 7.如图，椭圆C：，不过原点O的直线与C相交于A、B两点，且线段AB被直线OP平分，求ABP的面积取最大值时直线的方程【解析】由椭圆垂径定理1得：，设直线：与椭圆联立得由两点间距离公式的第二条得，点P到直线的距离，时函数S递增，时函数S递减面积最大时所求方程为8.已知椭圆的离心率为，直线与相切于点E. 求椭圆的方程.【解析】法一：由题意得.于是椭圆的方程可表示为.联立，得.因为直线：与相切，所以，得，故椭圆的方程为.法二：由题意得.于是椭圆的方程可表示为.设切点坐标为，由垂径定理得：，又因为点在直线上，所以：所以，切点坐标代入椭圆，可得