1、2022年中考数学复习专题19：三角恒等变换【一】公式顺用、逆用及其变形用 1.两角和差公式：cos()cos cossin sin. cos()cos cossin sin.sin()sin coscos sin. sin()sin coscos sin.tan(). tan()（，均不等于k(kZ)）.2.二倍角公司sin 22sin cos； cos 2cos2sin22cos2112sin2； tan 2.变形1：降幂公式: cos2，变形2：半角公式：（1cos 22cos2， 1cos 22sin2）sin ，cos，tan特别注意：两角和与差的正切公式有两种变形形式tan tan
2、 tan()(1tan tan )或1tan tan .当为特殊角时，常考虑使用变形形式，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式.1.例题【例1】计算：(1)cos(15)； (2)cos 15cos 105sin 15sin 105.【解析】(1)方法一原式cos(3045)cos 30cos 45sin 30sin 45.方法二原式cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.(2)原式cos(15105)cos(90)cos 900.【例2】(1)计算：cos2sin2；【解析】原式cos .(2)计算：；【解析】222.(3)计算：cos 20c
3、os 40cos 80.【解析】原式2sin 20cos 20cos 40cos 80sin 40cos 40cos 80sin 80cos 80sin 160.【例3】(1)_.【解析】 原式tan(4515)tan 60.(2)化简：tan 23tan 37tan 23tan 37.【解析】方法一tan 23tan 37tan 23tan 37tan(2337)(1tan 23tan 37)tan 23tan 37tan 60(1tan 23tan 37)tan 23tan 37.方法二tan(2337)，tan 23tan 37tan 23tan 37，tan 23tan 37tan 2
4、3tan 37.（3）已知sin ，3，求cos和tan .【解析】sin ，且3，cos .由cos 2cos21，得cos2.，cos .tan 2.2.巩固提升综合练习【练习1】化简cos 15cos 45cos 75sin 45的值为()A. B. C D【解析】B cos 15cos 45cos 75sin 45cos 15cos 45sin 15sin 45cos(1545)cos(30).【练习2】_.【解析】1原式tan(3075)tan 451.【练习3】在ABC中，AB，且tan Atan Btan Atan B，则角C的值为()A. B. C. D.【解析】Atan At
5、an Btan Atan Btan(AB)(1tan Atan B)(tan Atan B1)(*)若1tan Atan B0，则cos Acos Bsin Asin B0，即cos(AB)0.0AB，AB与题设矛盾由(*)得tan(AB)，即tan C.又0C，C.【练习4】若sin cos ，则sin 2= .【解析】由题意，得(sin cos )2，12sin cos ，即1sin 2，sin 2.【二】拆凑角问题 三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或
6、差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”1.例题【例1】已知，则 的值为()A B. C. D【答案】A【解析】sin，coscossin.【例2】已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点. 若角满足sin()，则cos 的值为_【答案】或 【解析】由角的终边过点，得sin ，cos .由sin()，得cos().由()，得cos cos()cos sin()sin ，所以cos 或cos .【例3】若，则（ ）ABCD【答案】D【解析】2.巩固提升综合练习【练习1】已知，则_.【答案】【解析】tantantantan.【练习2】若，A，则sin A的值为()
7、A. B.C.或 D.【答案】B【解析】A，A，cos（A） ，sin Asin（A）- sin（A）coscos（A）sin.【练习3】已知sin(-310)=35，则cos(+5)=（ ）A.-45B.45C.-35D.35【答案】C【解析】因为sin(-310)=35，则cos(+5)=cos2+(-310)=-sin(-310)=-35故应选C【练习4】若sin（）=，则cos（）=（）ABCD【答案】C【解析】令，则，所以，故选C【练习5】已知，则的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意得：本题正确选项：【三】常值代换 常数“1”的代换:1=sin2+cos2,1=2cos2-c
8、os 2,1=cos 2+2sin2,1=tan .1.例题【例1】已知，（1）求的值；（2）求的值【解析】（1），（2），【例2】已知ABC中,则tanA= .【解析】解法一：列出方程组由第一个方程得,代入第二个方程得，即， 解得或，因为ABC中0A0,，所以. 答案:.解法二：由已知得sinA0, cosA0, |sin A|-1,由两边平方,整理得，即，分子分母同除以得， 解得.2.巩固提升综合练习【练习1】已知aR，sina+2cosa=102，则tan2a=（ ）A-34或-35B-34C34D-35【答案】B【解析】因为sina+2cosa=102，所以sina+2cosa2=52
9、，所以sin2a+4cos2a+4sinacosa=52，所以sin2a+4cos2a+4sinacosasin2a+cos2a=52，即tan2a+4+4tanatan2a+1=52，解得tana=3或者tana=-13，当tana=3时，tan2a=2tana1-tan2a=-34，当tana=-13时，tan2a=2tana1-tan2a=-34，综上所述，tan2a=-34，故选B。【练习2】已知，则的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】 则 故选A.【四】辅助角公式yasin xbcos xsin(x)其中，延申探索：(1)提常数，提出得到yasin xbcos x(2)定角度，确定
10、一个角满足：cos ，sin 一般为特殊角，等，则得到(cos sin xsin cos x)(3)化简、逆用公式得asin xbcos xsin(x)温馨提醒1：所在的象限由a和b的符号确定:温馨提醒2：另法asin xbcos x=(sin sin xcos cos x)=cos(x)这里，（）1.例题【例1】函数f(x)sin xcos x，x的最小值为_【解析】1f(x)sin，x.x，f(x)minsin1.【例2】已知函数f(x)sin2sin2 (xR)(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合【解析】(1)f(x)sin2sin2sin21co
11、s212sin12sin1，f(x)的最小正周期为T.(2)当f(x)取得最大值时，sin1，有2x2k(kZ)，即xk (kZ)，所求x的集合为.2.巩固提升综合练习【练习1】当函数取得最大值时，的值是_【解析】，这时，即，所以【练习2】如果是奇函数，则= .【解析】，其中，为奇函数，所以，即，所以【练习3】已知函数f(x)coscos，g(x)sin 2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)f(x)g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合【解析】(1)f(x)cos2xsin2xcos 2x，f(x)的最小正周期为T.(2)h(x)f(x)g(x)cos 2
12、xsin 2xcos，当2x2k(kZ)，即xk(kZ)时，h(x)有最大值.此时x的集合为.课后自我检测1已知sin ，且，则sin的值为_【答案】【解析】因为sin ，且，所以，所以cos .因为sin 22sin cos ，cos 22cos21.所以sinsin 2coscos 2sin.2若，则 。【答案】【解析】因为，又，所以，故选B.3已知，则 。【答案】【解析】=又,解又，,故故所以故选：A4已知，则 。【答案】【解析】因为，诱导公式可得， ，又因为所以 5已知sin（），则sin2x的值为（ ）【答案】【解析】设,则，6已知，则 。【答案】，7若，则等于 。【答案】【解析】，
13、则，则，所以，因此，8已知，为锐角，且，则 。A.B.C.D.【答案】C【解析】 ,选C.9已知角的始边是轴非负半轴其终边经过点，则的值为_【答案】【解析】由题意得:,且 ,故填.10在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x的非负半轴重合，终边过点，则_。【答案】；【解析】由题意，角的终边过点，求得，利用三角函数的定义，求得，又由.11 平面直角坐标系中，点是单位圆在第一象限内的点，若，则为_【答案】【解析】由题意知：，由，得， ，故答案为：.12若，则（ ）【答案】【解析】由题意得，则.，故选.13已知，则的值为 。【答案】【解析】因为，所以，14已知均为锐角，满足，则 。【答案】【
14、解析】由已知、均为锐角，又cos（+）coscossinsin，0+，+15若，则 。【答案】【解析】令，则由，可得16已知，则_.【答案】.【解析】，平方相加可得即由降幂公式可得求得.17若，则_【答案】【解析】由题意，通分可得，所以本题答案为.18 已知，则_【答案】【解析】因为，所以，应填答案。19若，则_【答案】【解析】，则，故答案为.20若，则_.【答案】【解析】由题意可得：，即：，解方程可得：.21已知，且cos，sin，则cos()_.【答案】【解析】，又cos，sin，sin，sin，又，cos（），cos()cos-coscossinsin.22（1）已知，求的值；（2）已知
15、，求的值.【解析】（1）由题得.（2）,所以.23已知是方程的根， 是第三象限角.（1）求 的值；（2）已知，若是第三象限角，且，求的值.【解析】(1)方程5x27x60的根为或2，又是第三象限角，sin，cos，原式.(2).，又是第三象限角，.故.24已知关于x的方程2x2(1)xm0的两根分别是sin 和cos ，(0,2)，求：(1)的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时的值【解析】(1)原式sin cos .由条件知sin cos ，故.(2)由已知，得sin cos ，sin cos ，因为12sin cos (sin cos )2，所以122，解得m.(3)由得或又(0,2)，故或.故当sin ，cos 时，；当sin ，cos 时，.25.已知函数f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR)(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间【解析】(1)由题意，故(2)由(1)知，则f(x)的最小正周期是。由正弦函数的性质，令，解得，所以f(x)的单调递增区间是