1、2022年中考数学复习专题21：排列组合与二项式定理与排列相关的常见问题【一】特殊元素、特殊位置的排列问题特殊元素、特殊位置的排列问题解法：（1） 以元素为主体：即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；（2） 以位置为主体：即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.1.例题【例1】有名学生排成一排，求分别满足下列条件的排法种数，要求列式并给出计算结果.（1）甲不在两端；（2）甲、乙相邻；（3）甲、乙、丙三人两两不得相邻；（4）甲不在排头，乙不在排尾。【答案】（1）30240（2）10080（3）14400（4）30960【解析】（1）假设8个人对应8个空位，甲不站两端，有6个位置可选，则其他7个
2、人对应7个位置，故有：种情况（2）把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外6人全排列，故有种情况；（3）把甲乙丙3人插入到另外5人排列后所形成的6个空中的三个空，故有种情况；（4）利用间接法，用总的情况数减去甲在排头、乙在排尾的情况数，再加上甲在排头同时乙在排尾的情况，故有种情况【例2】毕业季有位好友欲合影留念，现排成一排，如果：（1）、两人不排在一起，有几种排法？（2）、两人必须排在一起，有几种排法？（3）不在排头，不在排尾，有几种排法？【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）将、插入到其余人所形成的个空中，因此，排法种数为；（2）将、两人捆绑在一起看作一个复合元素和其他人去安排
3、，因此，排法种数为；（3）分以下两种情况讨论：若在排尾，则剩下的人全排列，故有种排法；若不在排尾，则有个位置可选，有个位置可选，将剩下的人全排列，安排在其它个位置即可，此时，共有种排法.综上所述，共有种不同的排法种数.2.巩固提升综合练习【练习1】用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数（）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；【解析】（1）将所有的三位偶数分为两类：（i）若个位数为，则共有（个）；（ii）若个位数为或，则共有（个），所以，
4、共有个符合题意的三位偶数（2）将这些“凹数”分为三类：（i）若十位数字为，则共有（个）；（ii）若十位数字为，则共有（个）；（iii）若十位数字为，则共有（个），所以，共有个符合题意的“凹数”（3）将符合题意的五位数分为三类：（i）若两个奇数数字在一、三位置，则共有（个）；（ii）若两个奇数数字在二、四位置，则共有（个）；（iii）若两个奇数数字在三、五位置，则共有（个），所以，共有个符合题意的五位数【练习2】7个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？其中甲不站排头，乙不站排尾；其中甲、乙、丙3人两两不相邻；其中甲、乙中间有且只有1人；其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列【解析】根据题意，分2种
5、情况讨论：、甲站在排尾，剩余6人进行全排列，安排在其他6个位置，有种排法，、甲不站在排尾，则甲有5个位置可选，有种排法，乙不能在排尾，也有5个位置可选，有种排法，剩余5人进行全排列，安排在其他5个位置，有种排法，则此时有种排法；故甲不站排头，乙不站排尾的排法有种根据题意，分2步进行分析，、将除甲、乙、丙之外的4人进行全排列，有种情况，排好后，有5个空位，、在5个空位种任选3个，安排甲、乙、丙3人，有种情况，则共有种排法根据题意，、先将甲、乙全排列，有种情况，、在剩余的5个人中任选1个，安排在甲乙之间，有种选法，、将三人看成一个整体，与其他四人进行全排列，有种排法，则甲、乙中间有且只有1人共有种
6、排法根据题意，分2步进行分析：、在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，有种排法，、将甲、乙、丙按从左到右的顺序安排在剩余的3个空位中，只有1种排法，则甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有种【二】相邻元素的排列问题相邻元素的排列问题解法捆绑法：即先把排在一起的元素（个）捆绑成一个版块（有种方法）；再把版块当作一个“大元素”与其他元素进行排列.1.例题【例1】7人排成一排（1） 甲、乙、丙排在一起，共有多少种排法？（2） 甲、乙相邻，丙、丁相邻，共有多少种排法？（3） 甲、乙、丙排在一起，且都不在两端，共有多少种排法？（4） 甲、乙、丙排在一起，且甲在两端，共有多少种排法？（5） 甲
7、、乙之间恰有2人，共有多少种排法？（6） 甲、乙之间是丙，共有多少种排法？【解析】（1）甲、乙、丙版块有种排法，与其余4人排列，共种排法；（2） 甲、乙版块有种排法，丙、丁版块有种排法，与其余3人排列，共种排法；（3） 甲、乙、丙版块有种排法，与其余4人排列，且版块不在两端，共种排法；（4） 甲在两端有种排法，乙、丙版块与甲相邻有种排法，共种排法；（5） 甲、乙之间恰有2人版块有，与其余3人排列，共种排法；（6） 甲、乙、丙版块有种排法，与其余4人排列，共种排法；2.巩固提升综合练习【练习1】有本互不相同的书，其中数学书本，英语书本，语文书本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起
8、，英语书也恰好排在一起的排法共有_种.（用数值回答）【解析】由于数学书恰好排在一起，英语书也恰好排在一起，则将数学书捆绑成一个大元素，英语书也捆绑成一个大元素，与两本语文书形成四个元素，因此，所有的排法种数为种.故答案为：.【练习2】A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（ ）A60种B48种C30种D24种【解析】首先，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，考虑B、C两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换，根据排列数的计算公式，得到，接下来，考虑其余三人
9、的情况，其余位置可以互换，可得种，最后根据分步计数原理，得到种，故选B.【练习3】“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排,“仁”排在第一位,且“智信”相邻的概率为（ ）ABCD【解析】“仁义礼智信”排成一排,任意排有种排法,其中“仁”排在第一位,且“智信”相邻的排法有种排法,故概率故选：A【练习4】某小区有排成一排的8个车位，现有5辆不同型号的轿车需要停放，则这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的概率为_（结果用最简分数表示）.【解析】5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的方法数
10、有种，8个车位任意停5辆车子方法数为，所以概率为故答案为：【三】不相邻元素的排列问题将个不同元素与个不同元素进行排列，要求这个元素互不相邻，求排列数时，使用插空法，具体方法如下：个不同元素在个不同元素中插空，先把个元素排好，有种排法；个不同元素有个空，将个不同元素放入这个空中，有种排法；由分步乘法计数原理，共有种排法.1.例题【例1】7人排成一排（1）甲、乙、丙互不相邻，共有多少种排法？（2）甲、乙相邻，丙、丁不相邻，共有多少种排法？（3）甲、乙不相邻，丙、乙不相邻，共有多少种排法？【解析】（1）共种排法；（2）甲、乙版块有种排法，与其余3人共4人排列有，丙、丁在5个空中插空，共种排法；（3）
11、甲、乙、丙互不相邻，共种排法；甲、丙相邻成版块有种排法，与乙在其余4人中插空，共种排法，所以，共有1440+960=2400种排法.【例2】老况、老王、老顾、小周、小郭和两位王女士共7人要排成一排拍散伙纪念照.（1）若两位王女士必须相邻，则共有多少种排队种数？（2）若老王与老况不能相邻，则共有多少种排队种数？（3）若两位王女士必须相邻，若老王与老况不能相邻，小郭与小周不能相邻，则共有多少种排队种数？【答案】（1）；（2）；（3）；【解析】（1）首先把两位女士捆绑在一起看做一个符合元素，和另外5人全排列，故有种，（2）将老王与老况插入另外5人全排列所形成的6个空的两个，故有种，（3）首先把两位女
12、士捆绑在一起看做一个符合元素，再将老王与老况（或小郭与小周）插入到符合元素和老顾全排列所形成的3个空中的2个，此时形成了5个空，将小郭与小周（或老王与老况）插入其中，故有种2.巩固提升综合练习【练习1】某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为（ ）A720B520C600D264【解析】若甲、乙两节目只有一个参加，则演出顺序的种数为：，若甲、乙两节目都参加，则演出顺序的种数为：；因此不同的演出顺序的种数为.故选：D.【练习2】有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼
13、此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（ ）种A48B72C78D84【解析】五个小球全排列共有：种排法当两个红色小球与两个黄色小球都相邻时，共有：种排法当两个红色小球相邻，两个黄色小球不相邻时，共有：种排法当两个红色小球不相邻，两个黄色小球相邻时，共有：种排法颜色相同的小球不相邻的排法共有：种排法故选：【练习3】2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有155个国家和地区，26个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位.在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有_ 种.【解
14、析】先安排丁、戊、己共有种再安排甲、乙、丙，插入四个空位中，共有种则甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有，故答案为：144【练习4】现有5个不同编号的小球，其中黑色球2个，白色球2个，红色球1个，若将其随机排成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是_.【解析】由题意,5个不同的小球全排列为,同一色的有种,同二色的有种情况.故同一颜色的小球不相邻的排列总数有种.故相同颜色的球都不相邻的概率是.故答案为：【四】含定序元素的排列问题含定序元素的排列问题常规方法：（1）全排消序法（除法）：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排
15、列数；即先全排，再除以定序元素的全排列。如：个元素的全排列中若有（）个元素必须按照一定顺序排列，这个元素相邻或不相邻不受限制，其排列数为：.（2）逐一插入法：先排好个元素，只有1种排法；剩下的个元素一个一个地插空，其排列数为：.（3）只选不排法：先从个位置中选出个位置，排列这个元素有种，剩下的个元素在剩下的个位置进行排列，有种，共有.1.例题【例1】4男3女排成一排，且4男不等高，4男自左向右从高到矮的顺序排列，有多少种排法？【解析】（1）方法一，全排消序法：先全排列，再消除因4男有序造成的影响，所以共有种排法；（2） 方法二，逐一插入法：4男自左向右从高到矮的顺序排列后，第一个女的插入空当中
16、，有5种方法；第二个女的插入空当中，有6种方法；第三个女的插入空当中，有7种方法；所以共有种排法；（3） 方法三，只选不排法 先选定4男的位置，有种，3人可以任意排列，有种，所以共有=210种排法.【例2】某工程队有5项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后立即进行那么安排这5项工程的不同排法种数是_.（用数字作答）【解析】由题意得乙丙相邻，甲与乙丙定顺序，所以安排这项工程的不同排法种数是.2.巩固提升综合练习【练习1】用1,2,3,4,5,6,7排出无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？(1)偶数不相邻；(2)偶数一定在奇数位上；(3)1和2之间
17、恰夹有一个奇数，没有偶数；(4)三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列【答案】（1）1440 （2）576 （3）720 （4）840(1)用插空法，共有AA1440(个)(2)先把偶数排在奇数位上有A种排法，再排奇数有A种排法，所以共有AA576(个)(3)在1和2之间放一个奇数有A种方法，把1,2和相应的奇数看成整体和其他4个数进行排列有A种排法，所以共有AAA720(个)(4)七个数的全排列为A，三个数的全排列为A，所以满足要求的七位数有840(个)【练习2】7人站成一排(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法；(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则
18、有多少不同的排列方法【答案】（1）2520（2）840【解析】(1)甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故有2520种不同的排法（2）甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的.故有840种不同的排法与组合相关的常见问题【一】有限制条件的抽(选)取问题有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：（1）“含”与“不含”问题：其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；（2）“至多”“至少”问题：其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏1.例题【例1】某
19、市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？【答案】（1）561；（2）5984；（3）2100；（4）2555；（5）6090.【解析】（1）从余下的34种商品中，选取2种有 (种)，某一种假货必须在内的不同取法有561种.（2）从余下的34种可选商品中，选取3种，有(种).某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.（3
20、）从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有(种).恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.（4） 选取2种假货有种，选取3种假货种，共有选取方式 (种).至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.（5） 选取3种的总数为，选取3种假货有种，因此共有选取方式 (种).至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.【例2】10双互不相同的袜子混装在一只口袋中，从中任意抽取4只，求各有多少种情况出现如下结果（1）4只袜子没有成双；（2）4只袜子恰好成双；（3）4只袜子2只成双，另两只不成双【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）；（2）；（3）2.巩固提升综合练习【练习1】男运
21、动员名,女运动员名,其中男女队长各人,选派人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法.（1）任选人（2）男运动员名,女运动员名（3）至少有名女运动员（4）队长至少有一人参加（5）既要有队长,又要有女运动员【答案】（1）252（2）120（3）246（4）196（5）191【解析】（1） 男运动员名,女运动员名,共名 任选人的选法为: 任选人,共有种选法. （2） 选派男运动员名,女运动员名. 首先选名男运动员,有种选法,再选名女运动员,有种选法 根据分步计数乘法原理 选派男运动员名,女运动员名,共有种选法.（3） 至少名女运动员包括以下几种情况:女男,女男,女男,女男. 由分类加法计数原理可得
22、有:. 至少有名女运动员有种选法.（4） 只有男队长的选法为选法,只有女队长的选法为选法又 男、女队长都入选的选法为选法. 共有种选法. 队长至少有一人参加有:种选法. （5） 当有女队长,其他人选法任意,共有种选法, 不选女队长时,必选男队长,共有种选法,选男队长且不含女运动员有种选法.不选女队长时共有种选法. 既有队长又有女运动员共有:种选法.【练习2】从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：(1)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？(2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？(3)如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？【答案】（1）30；（2）
23、91种；（3）120种.【解析】(1)；(2)方法1：(间接法)在9人选4人的选法中，把男甲和女乙都不在内的去掉，就得到符合条件的选法数为：(种)；方法2：(直接法)甲在内乙不在内有种，乙在内甲不在内有种，甲、乙都在内有种，所以男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内的选法共有：(种).(3)方法1：(间接法)在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数为：(种)；方法2：(直接法)分别按含男1，2，3人分类，得到符合条件的选法总数为：(种).【二】分组分配问题1、不同元素的分组分配问题：一般地，个不同的元素分成组，各组内元素数目分别为，其中组元素数目相等，那么分组方法数是
24、：.2、相同元素的分组分配问题：（1）隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法隔板法专门解决相同元素的分配问题（2）将个相同的元素分给（）个不同的对象，有种方法可描述为1个空中插入1块板1.例题【例1】按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份
25、4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;【答案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90.【解析】（1）先从6本书中选1本，有种分配方法；再从剩余5本书中选择2本，有种分配方法剩余的就是2本书，有种分配方法所以总共有种分配方法（2）由（1）可知分组后共有60种方法，分别分给甲乙丙后的方法有种（3）从6本书中选择2本书，有种分配方法；再从剩余4本书中选择2本书，有种分配方法；剩余的就是2本书，有种分配方法;所以有种分配方法但是，该过程有重复假如6本书分别为A、B、C、D、E、F，若三个步骤分别选出的是则所有情况为，所以分配方
26、式共有种（4）由（3）可知，将三种分配方式分别分给甲乙丙三人，则分配方法为种（5）从6本书中选4本书的方法有种从剩余2本书中选1本书有种因为在最后两本书选择中发生重复了 所以总共有种（6）由（5）可知，将三种分配情况分别分给甲乙丙三人即可，即种【例2】将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子【答案】（1）10 （2）40 （3）30【解析】(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C10(种)(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行先在
27、首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000|00|，有C种插法，故共有CC40(种)(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有C种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如|00|0000|，有C种插法将两块板与前面三块板之一并放，如|00|0000|，有C种插法故共有C(CC)30(种)2.巩固提升综合练习【练习1】按下列要求分配6本不同的书,各
28、有多少种不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.【答案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90；（7）30【解析】（1）无序不均匀分组问题.先选本有种选法;再从余下的本中选本有种选法;最后余下的本全选有种选法.故共有 (种)选法.（2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同
29、三人,在题的基础上,还应考虑再分配,共有.（3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为,若第一步取了,第二步取了,第三步取了,记该种分法为(,),则种分法中还有(,),(,),(,),(,),(,),共有种情况,而这种情况仅是,的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有.（4）有序均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式 (种).（5）无序部分均匀分组问题.共有 (种)分法.（6）有序部分均匀分组问题.在题的基础上再分配给个人,共有分配方式 (种).（7）直接分配问题.甲选本有种选法,乙从余下本中选本有种选法,余下本留给丙有种选法,共有 (
30、种)选法.【练习2】某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A4种 B10种 C18种 D20种【答案】B【解析】由于只剩一本书，且这些画册、集邮册分别相同，可以从剩余的书的类别进行分析又由于排列、组合针对的是不同的元素，应从4位朋友中进行选取第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把3本相同的集邮册和1本画册分给4位朋友，只有1位朋友得到画册即把4位朋友分成人数为1,3的两队，有1个元素的那队分给画册，另一队分给集邮册，有C种分法第二类：当剩余的一本是集邮册时，相当于把2本相同的画册和2本相同的集邮册分给4位朋友，有2位朋友得到
31、画册，即把4位朋友分成人数为2,2的两队，一队分给画册，另一队分给集邮册，有C种分法因此，满足题意的赠送方法共有CC4610(种)【练习3】（2018黑龙江鹤岗一中高二月考（理）按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?(用数字作答)(1) 个不同的小球放入个不同的盒子；(2) 个不同的小球放入个不同的盒子,每个盒子至少一个小球；(3) 个相同的小球放入个不同的盒子,每个盒子至少一个小球；(4) 个不同的小球放入个不同的盒子,恰有个空盒.【答案】（1）4096（2）1560（3）10（4）2160【解析】(1)464 096；(2)1 560；(3)410；或10； (4)2 160. 排列与组
32、合综合问题1.例题【例1】在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率.【答案】(1) (2) (3) 【解析】(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA，那么，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是；(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()1P(E)；(3)因为有两人同时参加A岗位服务的概率，所以仅有一人参加A岗位服务的概率P1
33、1P2.【例2】用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少?（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少?（3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个?【答案】（1）36个（2）36个（2）49个【解析】（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有个；（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有个；（3）要求在组成的五位数中，要求得从小到大排列，30124排第几个，则计算出比30124小的五位数的情况，比30124小的五位数，则万位为1或2，其余位置任意排，即，故在组成的五位数中比30124小的数有48个，所以在组成的五位
34、数中，若从小到大排列，30124排第49个.2.巩固提升综合练习【练习1】（1）五人站一排，必须站右边，则不同的排法有多少种；（2）晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又加了2个节目，若将这2 个节目插入原节目单中，则不同的插法有多少种（3）有四个编有1、2、3、4的四个不同的盒子，有编有1、2、3、4的四个不同的小球，现把小球放入盒子里小球全部放入盒子中有多少种不同的放法；恰有一个盒子没放球有多少种不同的放法；恰有两个盒子没放球有多少种不同的放法【解析】（1）根据题意， 五人并排站成一排，有种情况，而其中B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，则其情况数目是相等的，则B站在A的右边的情况
35、数目为60，（2）增加两个新节目，将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，可以应用插空法来解，原来的5个节目形成6个空，新增的两个节目插到6个空中，共有30（3）.1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法同理，2、3、4号小球也各有4种放法，共有44256种放法恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、2先从4个小球中任选2个放在一起，有种方法，然后与其余2个小球看成三组，分别放入4个盒子中的3个盒子中，有种放法由分步计数原理知共有144种不同的放法恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法：(i).一个盒子内放1个球，另一个盒子
36、内放3个球先把小球分为两组，一组1个，另一组3个，有种分法，再放到2个盒子内，有种放法，共有种方法；(ii).2个盒子内各放2个小球先从4个盒子中选出2个盒子，有种选法，然后把4个小球平均分成2组，每组2个，放入2个盒子内，有种选法，共有种方法由分类计数原理知共有84种不同的放法【练习2】有4个不同的球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内(1)共有几种放法？(2)恰有一个盒不放球，共有几种放法？【解析】(1)一个球一个球地放到盒子里，每个球都可有4种独立的放法由分步计数原理，放法共有44256种(2)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从4个盒子中任意拿出去1个；将4个球分为2,1,1三组，有
37、种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个各放一个球，两个盒子全排列即可由分步计数原理，共有144种放法二项式定理【一】通项及二项式系数1.二项式定理展开式的通项公式：展开式：；通项：第项为.2.二项式定理展开式的通项及系数有如下常规考点：对于常数项：隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项：解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；对于整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致1.例题【例1】在二项式的展开式中，含的项的系数是 。（2）二
38、项式的展开式的常数项是_（3）在二项式的展开式中，的系数为 。【答案】（1）10（2）7 （3）-80【解析】（1）的展开项，令，可得，故选（2）二项式的展开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为（3）由题意，二项式的展开式的通项为，令，可得，即展开式中的系数为.【例2】（1）的展开式中项的系数为（ ）A B C D（2）（2019重庆八中高三月考（理）的展开式中的系数为（ ）ABC、D【答案】（1）A（2）C【解析】（1） 二项展开式的通项公式 中不含项,无需求解. 中含项,即当时中含项,即当时 的展开式中项故选:A.（2） ，故它的展开式中含的项有的和故的系数为，故选：2.巩固提升综合练习
39、【练习1】展开式中的常数项为_【答案】【解析】展开式的通项为当时即展开式中的常数项为故答案为：【练习2】展开式中含的项的系数为（ ）A B C D【答案】B【解析】由展开式的通项公式=,令即,展开式中含的项的系数为.故选:B.【练习3】二项式的二项展开式中第3项的二项式系数为_.【答案】【解析】由题意n11，r2，二项式（3x1）11的二项展开式第3项的二项式系数为55，故答案为：55【练习4】的展开式中的系数是（ ）A58B62C52D42【答案】D【解析】的展开式中的系数是.选D.【练习5】的展开式中的系数为_.【答案】5【解析】由的展开式中项为：，所以的系数为.故答案为：.测 【二】二项
40、式系数和问题二项展开式中系数和的求法：（1） 对形如，()的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如()的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可（2） 一般地，若，则展开式中：各项系数之和为：；奇数项系数之和为：；偶数项系数之和为：.1.例题【例1】若.求：（1）；（2）；（3）.【解析】（1）令，可得，（2）令可得，由得，（3）由题意得二项式展开式的通项为，每项的系数，【例2】在二项式的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和【解析】设(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二项式系数之和为CCCC29.(2)各
41、项系数之和为a0a1a2a9，令x1，y1，所以a0a1a2a9(23)91.(3)令x1，y1，可得a0a1a2a959，又a0a1a2a91，将两式相加可得a0a2a4a6a8，即所有奇数项系数之和为.2.巩固提升综合练习【练习1】设.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值【解析】（1）令，得.令，得. （2）令，得. 与 式联立， - 得，所以 （3）（令）【练习2】我设(2x)100a0a1xa2x2a100x100，求下列各式的值(1)求a0；(2)a1a2a3a4a100；(3)a1a3a5a99；(4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2；(5)|a0|a1|a100|.
42、【解析】(1)令x0，则展开式为a02100.(2)令x1，可得a0a1a2a100(2)100，所以a1a2a100(2)1002100.(3)令x1，可得a0a1a2a3a100(2)100.与式联立相减得a1a3a99.(4)由可得，(a0a2a100)2(a1a3a99)2(a0a1a2a100)(a0a1a2a100)(2)100(2)1001.(5)|a0|a1|a100|，即(2x)100的展开式中各项系数的和，在(2x)100的展开式中，令x1，可得各项系数的和为(2)100.【三】系数的最值问题1、二项式系数的最大项的求法：求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对中的进行
43、讨论当为奇数时，中间两项的二项式系数最大当为偶数时，中间一项的二项式系数最大2、展开式中系数的最大项的求法：求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析如求()的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法设展开式中各项系数分别为，且第项最大，应用，解出，即得出系数的最大项1.例题【例1】已知二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.（1）求正整数的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中系数最大的项.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）二项式展开式的通项为，由于展开式系数的绝对值成等差数列，则，即，整理得，解得；（2）第项的二项式系数为，因此，第项的二项式系数最大，此时，；（3）由，得，整理得，解得，所以当或时，项的系数最大.因此，展开式中系数最大的项为.2.巩固提升综合练习【练习1】（2018上海市第二工业大学附属龚路中学高三月考）在的展开式中，（1）求展开式中所有的有理项；（2）展开式中系数的绝对值最大的项是第几项？并求系数最大的项和系数最小的项【解析】(1)由题展开式中的第项.即.故当为整数时为有理项.故当时成立,分别为,.即,(2)由知,当系数的