1、2022 年年北京市北京市中考中考模拟模拟数学数学试题（试题（4） 一、选择题一、选择题(共共 16 分，每题分，每题 2 分分)第第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。 1（2 分）我县人口约为 530060 人，用科学记数法可表示为（ ） A5300610 人 B5.3006105人 C53104人 D0.53106人 2（2 分）下列微信表情图标属于轴对称图形的是（ ） A B C D 3（2 分）一个正多边形的内角和为 540，则这个正多边形的每一个外角等于（ ） A108 B90 C72 D60 4（2 分）数轴上点 A，B，M
2、表示的数分别是 a，2a，9，点 M 为线段 AB 的中点，则 a 的值是（ ） A3 B4.5 C6 D18 5（2 分）已知锐角AOB，如图， （1）在射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆心，OC 长为半径作，交射线 OB 于点 D，连接 CD； （2）分别以点 C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点 P，连接 CP，DP； （3）作射线 OP 交 CD 于点 Q 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） ACPOB BCP2QC CAOPBOP DCDOP 6（2 分）如果 ab5，那么代数式（2）的值是（ ） A B C5 D5 7（2 分）中国共产党第十八届中
3、央委员会第五次全体会议认为，到二二年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到二二年国内生产总值和城乡居民人均收入比二一年翻一番（即二二年国内生产总值和城乡居民人均收入是二一年二倍），产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高 设从二一一年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长 p%下面给出了关于 p 的四个判断：p的值大于 100；p 的值是 50；p 的值是 20；p 的值是 7.2其中符合要求的是（ ） A B C D
4、8（2 分）在 2017 年的体育考试中某校 6 名学生的体育成绩统计如图所示，这组数据的中位数和平均数分别是（ ） A26 和 26 B25 和 26 C27 和 28 D28 和 29 二、填空题二、填空题(共共 16 分，每题分，每题 2 分分) 9（2 分）当 x 时，分式的值为零 10（2 分）如图，在ABC 中，已知点 D、点 E 分别为 BC、AD 的中点，且BDE 的面积为 3，则ABC的面积是 11（2 分）在如图所示的几何体中，主视图是三角形的是 （填序号） 12（2 分）如图中的每个小方格都是边长为 1 的正方形，那么ABC 的度数是 13（2 分）在平面直角坐标系 xO
5、y 中，点 M（m，n）（m0，n0）在双曲线 y上，点 M 关于 y轴的对称点 N 在双曲线 y，则 k1+k2的值为 14（2 分）如图，以菱形 ABCD 的对角线 AC 为边，在 AC 的左侧作正方形 ACEF，连接 FD 并延长交 EC于点 H若正方形 ACEF 的面积是菱形 ABCD 面积的 1.4 倍，CH6，则 EF 15（2 分）若一组数 x1，x2，x3，xn的平均数为 ，方差为 s2，则另一组数 kx1，kx2，kx3，kxn的平均数和方差分别为 和 16（2 分）在菱形 ABCD 中，MNPQ 分别为边 AB，BC，CD，DA 上的点（不与端点重合） 对于任意菱形 ABC
6、D，下面四个结论中， 存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形； 存在无数个四边形 MNPQ 是菱形； 存在无数个四边形 MNPQ 是矩形； 存在无数个四边形 MNPQ 是正方形 所有正确结论的序号是 三、解答题（共三、解答题（共 68 分，第分，第 17-20 题，每题题，每题 5 分，第分，第 21-22 题，每题题，每题 6 分，第分，第 23 题题 5 分，第分，第 24 题题 6 分，第分，第25 题题 5 分，第分，第 26 题题 6 分，第分，第 27-28 题，每题题，每题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17（5
7、分）计算：|1|（）1+（2020）02cos45 18（5 分）解不等式组： 19（5 分）已知关于 x 的一元二次方程 x24x+m+10 有两个不相等的实数根， （1）求 m 的取值范围； （2）当 m1 时，求出此时方程的两个根 20（5 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB10，连接 BD，sinABD点 P 是射线 BC 上的一个动点（点 P 不与点 B 重合），连接 AP，与对角线 BD 相交于点 E，连接 EC （1）求证：ABECBE； （2）若 CEEP，求线段 DE 的长； （3）若 BP4，求PEC 的面积 21（5 分）某校为了解七年级男生身体素质情况，随机抽取了七年
8、级若干名男生，对他们 100 米跑步进行测试，以测试数据（精确到 0.1 秒）为样本，绘制出频数表和频数分布直方图，如图所示 某校七年级部分男生 100 米跑步成绩的频数表 组别（秒） 频数 频率 12.5513.55 2 0.1 13.5514.55 5 0.25 14.5515.55 a 0.35 15.5516.55 4 b 16.5517.55 2 0.1 请结合图表完成下列问题： （1）a ；b （2）请把频数分布直方图补充完整 （3） 若 100 米跑步成绩为 15.5 秒或小于 15.5 秒为优秀， 七年级男生共有 150 名， 请估计七年级男生 100米跑步成绩达到优秀的人数
9、22（6 分）如图，O 是四边形 ABCD 的外接圆AC、BD 是四边形 ABCD 的对角线，BD 经过圆心 O，点 E 在 BD 的延长线上，BA 与 CD 的延长线交于点 F，DF 平分ADE （1）求证：ACBC； （2）若 ABAF，求F 的度数； （3）若，O 半径为 5，求 DF 的长 23（6 分）观察下列由连续的正整数组成的宝塔形等式： 第 1 层 1+23 第 2 层 4+5+67+8 第 3 层 9+10+11+1213+14+15 第 4 层 16+17+18+19+2021+22+23+24 （1）填空：第 8 层等号右侧的第一个数是 ，第 n 层等号右侧的第一个数是
10、（用含 n 的式子表示，n 是正整数）； （2）数字 2021 排在第几层？请简要说明理由； （3）求第 n 层右侧数字之和 24（6 分）如图，P 为O 的直径 AB 上的一个动点，点 C 在上，连接 PC，过点 A 作 PC 的垂线交O于点 Q已知 AB5cm，AC3cm设 A、P 两点间的距离为 xcm，A、Q 两点间的距离为 ycm 某同学根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行探究 下面是该同学的探究过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量及分析，得到了 x 与 y 的几组值，如下表： x（cm） 0 2.5 3.5 4 5 y（cm） 4.0 4.
11、7 5.0 4.8 4.1 3.7 （说明：补全表格对的相关数值保留一位小数） （2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象 （3）结合画出的函数图象，解决问题：当 AQ2AP 时，AP 的长度均为 cm 25（5 分）已知点 A（1，5），B（1，1），C（2，4），请用两种不同的方法判断这三点是否在一条直线上（写出必要的推理过程） 26（6 分）在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx2（a0）经过点 A（2，2），与 y 轴交于点 B （1）求点 B 的坐标 （2）用含 a 的式子表示 b （3）当2x0 时，y 随 x 的增大而减小，求 a 的取
12、值范围 （4）直线 AB 上有一点 C（m，5），将点 C 向右平移 4 个单位长度，得到点 D当抛物线 yax2+bx2（a0）与线段 CD 只有一个公共点时，直接写出 a 的取值范围 27（7 分）在ABC 中，BAC60，AD 平分BAC 交边 BC 于点 D，分别过 D 作 DEAC 交边 AB于点 E，DFAB 交边 AC 于点 F （1）如图 1，试判断四边形 AEDF 的形状，并说明理由； （2）如图 2，若 AD4，点 H，G 分别在线段 AE，AF 上，且 EHAG3，连接 EG 交 AD 于点 M，连接 FH 交 EG 于点 N （i）求 ENEG 的值； （ii）将线段
13、DM 绕点 D 顺时针旋转 60得到线段 DM，求证：H，F，M三点在同一条直线上 28（7 分）复习巩固 切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点 割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线 切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长 阅读材料 几何原本是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设， 被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书 其中第三卷命题 362 圆幂定理 （切割线定理）内容如下： 切割线定理：从圆外一点引圆
14、的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程 已知：如图，A 是O 外一点， 求证： 证明： 2022 年年北京市北京市中考中考模拟模拟数学试题（数学试题（4） 一、选择题一、选择题(共共 16 分，每题分，每题 2 分分)第第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。 1（2 分）我县人口约为 530060 人，用科学记数法可表示为（ ） A5300610 人 B5.3006105人 C53104人 D0.5310
15、6人 【答案】B 【解析】530060 是 6 位数， 10 的指数应是 5， 故选：B 2（2 分）下列微信表情图标属于轴对称图形的是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】A、不是轴对称图形，本选项不合题意； B、不是轴对称图形，本选项不合题意； C、是轴对称图形，本选项符合题意； D、不是轴对称图形，本选项不合题意 故选：C 3（2 分）一个正多边形的内角和为 540，则这个正多边形的每一个外角等于（ ） A108 B90 C72 D60 【答案】C 【解析】设此多边形为 n 边形， 根据题意得：180（n2）540， 解得：n5， 这个正多边形的每一个外角等于：72 故选：C 4（
16、2 分）数轴上点 A，B，M 表示的数分别是 a，2a，9，点 M 为线段 AB 的中点，则 a 的值是（ ） A3 B4.5 C6 D18 【答案】C 【解析】数轴上点 A，B，M 表示的数分别是 a，2a，9，点 M 为线段 AB 的中点， 9a2a9， 解得：a6， 故选：C 5（2 分）已知锐角AOB，如图， （1）在射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆心，OC 长为半径作，交射线 OB 于点 D，连接 CD； （2）分别以点 C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点 P，连接 CP，DP； （3）作射线 OP 交 CD 于点 Q 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的
17、是（ ） ACPOB BCP2QC CAOPBOP DCDOP 【答案】A 【解析】由作图可知：射线 OP 即为AOB 的角平分线， AOPBOP， 故 C 正确，不符合题意； 由作图（1）（2）可知：OCOD，CPDP， OP 是 CD 的垂直平分线， CDOP， 故 D 正确，不符合题意； 由作图（2）可知：CDCPPD， CDP 是等边三角形， CDOP， CP2CQ， 故 B 正确，不符合题意； AOPBOP， 当 OCCP 时，AOPCPO， CPOBOP， CPOB， 故 A 错误，符合题意； 故选：A 6（2 分）如果 ab5，那么代数式（2）的值是（ ） A B C5 D5 【
18、答案】D 【解析】ab5， 原式ab5， 故选：D 7（2 分）中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，到二二年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到二二年国内生产总值和城乡居民人均收入比二一年翻一番（即二二年国内生产总值和城乡居民人均收入是二一年二倍），产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高 设从二一一年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长 p%下面给出了关于 p 的四个判断：p的值大于 100；p 的值是
19、 50；p 的值是 20；p 的值是 7.2其中符合要求的是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】 城乡居民人均收入每一年比上一年都增长 p%， 到二二年国内生产总值和城乡居民人均收入比二一年翻一番， （1+p%）102， 解得：p7.2， 故选：D 8（2 分）在 2017 年的体育考试中某校 6 名学生的体育成绩统计如图所示，这组数据的中位数和平均数分别是（ ） A26 和 26 B25 和 26 C27 和 28 D28 和 29 【答案】A 【解析】6 名同学的体育成绩从小到大排列处在第 3、4 位的数都是 26 分，因此中位数是 26 分， 平均数为26（分）， 故选：A 二、
20、填空题二、填空题(共共 16 分，每题分，每题 2 分分) 9（2 分）当 x_时，分式的值为零 【答案】3 【解析】分式的值为零，即 x290， x3， x3 故当 x3 时，分式的值为零 10（2 分）如图，在ABC 中，已知点 D、点 E 分别为 BC、AD 的中点，且BDE 的面积为 3，则ABC的面积是_ 【答案】12 【解析】点 E 为 AD 的中点，BDE 的面积为 3， ABD 的面积为 326， 点 D 为 BC 的中点， ABC 的面积为 6212 11（2 分）在如图所示的几何体中，主视图是三角形的是_（填序号） 【答案】 【解析】的主视图是矩形；的主视图是矩形，的主视图
21、是等腰三角形 主视图是三角形的是 12（2 分）如图中的每个小方格都是边长为 1 的正方形，那么ABC 的度数是_ 【答案】45 【解析】根据勾股定理即可得到：AB222+4220，BC212+3210，AC212+3210， BC2+AC210+1020AB2， ACB 是直角三角形， ACBC， ABC45， 13（2 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 M（m，n）（m0，n0）在双曲线 y上，点 M 关于 y轴的对称点 N 在双曲线 y，则 k1+k2的值为_ 【答案】0 【解析】点 M（m，n）（m0，n0）在双曲线 y上， k1mn； 又点 N 与点 M 关于 y 轴的对称， N
22、（m，n） 点 N 在双曲线 y上， k2mn； k1+k2mn+（mn）0； 14（2 分）如图，以菱形 ABCD 的对角线 AC 为边，在 AC 的左侧作正方形 ACEF，连接 FD 并延长交 EC于点 H若正方形 ACEF 的面积是菱形 ABCD 面积的 1.4 倍，CH6，则 EF_ 【答案】14 【解析】连接 BD，交 AC 于点 G 四边形 ABCD 是菱形 ACBD，DB2DG，AGCG S菱形ABCDACDBACDG 四边形 ACEF 是正方形 EFAFACCE，AFEC，ACEC DBCEAF 1 DHDF，即 DG 为梯形 ACHF 的中位线 DG（CH+AF）（CH+EF
23、） CH6，S正方形ACEF1.4S菱形ABCD EF21.4ACDG EF21.4EF（6+EF） 解得：EF14 15（2 分）若一组数 x1，x2，x3，xn的平均数为 ，方差为 s2，则另一组数 kx1，kx2，kx3，kxn的平均数和方差分别为_和_ 【答案】k ，k2s2 【解析】x1，x2，x3，xn的平均数为 ，方差为 s2， kx1，kx2，kx3，kxn的平均数为 k ，方差为 k2s2， 16（2 分）在菱形 ABCD 中，MNPQ 分别为边 AB，BC，CD，DA 上的点（不与端点重合） 对于任意菱形 ABCD，下面四个结论中， 存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形
24、； 存在无数个四边形 MNPQ 是菱形； 存在无数个四边形 MNPQ 是矩形； 存在无数个四边形 MNPQ 是正方形 所有正确结论的序号是_ 【答案】 【解析】如图，连接 AC，BD 交于 O， 四边形 ABCD 是菱形，连接 AC，BD 交于 O， 过点 O 直线 MP 和 QN，分别交 AB，BC，CD，AD 于 M，N，P，Q， 则四边形 MNPQ 是平行四边形， 故存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形；故正确； 如图，当 PMQN 时，四边形 MNPQ 是矩形，故存在无数个四边形 MNPQ 是矩形；故正确； 如图，当 PMQN 时，存在无数个四边形 MNPQ 是菱形；故正确； 当四
25、边形 MNPQ 是正方形时，MQPQ，MQD90， AQM+DQP90， 当四边形 ABCD 是正方形， AD90， AQM+AMQ90， AMQDQP， AMQDQP（AAS）， AMQD，AQPD， PDBM， ABAD， 当四边形 ABCD 为正方形时， 四边形 MNPQ 是正方形， 故菱形 ABCD 中能存在四边形 MNPQ 是正方形，但不能存在无数个四边形 MNPQ 是正方形；故错误； 故答案为 三、解答题（共三、解答题（共 68 分，第分，第 17-20 题，每题题，每题 5 分，第分，第 21-22 题，每题题，每题 6 分，第分，第 23 题题 5 分，第分，第 24 题题 6
26、 分，第分，第25 题题 5 分，第分，第 26 题题 6 分，第分，第 27-28 题，每题题，每题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17（5 分）计算：|1|（）1+（2020）02cos45 【答案】见解析 【解析】原式13+12 13+1 3 18（5 分）解不等式组： 【答案】见解析 【解析】， 解不等式得：x2， 解不等式得：x4， 不等式组的解集为：2x4 19（5 分）已知关于 x 的一元二次方程 x24x+m+10 有两个不相等的实数根， （1）求 m 的取值范围； （2）当 m1 时，求出此时方程的两个根 【答案
27、】见解析 【解析】（1）根据题意得（4）24（m+1）0， 解得 m3； （2）当 m1 时，方程变形为 x24x0， x（x4）0， x0 或 x40， 所以 x10，x24 20（5 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB10，连接 BD，sinABD点 P 是射线 BC 上的一个动点（点 P 不与点 B 重合），连接 AP，与对角线 BD 相交于点 E，连接 EC （1）求证：ABECBE； （2）若 CEEP，求线段 DE 的长； （3）若 BP4，求PEC 的面积 【答案】见解析 【解析】证明：（1）四边形 ABCD 是菱形， ABDCBD，ABBC，且 BEBE， ABECBE（SA
28、S）， （2）当点 P 在线段 BC 上时，连接 AC，交 BD 于点 O， sinABD， AO2， 四边形 ABCD 是菱形， AOCO，BODO，ACBD， BO4， DO4， CEEP，AOCO， EOAOCO2， DEEO+DO6， 当点 P 在线段 BC 的延长线上时， 同理可求：EO2，DO4， DEDOEO2， 综上所述：DE 的长为 2或 6 （3）如图 3， 四边形 ABCD 是菱形， ADBC， BEPDEA， ， ， BD8， DE， SADE，SABE2SBEC， SBPE， SPECSBECSBPE 21（5 分）某校为了解七年级男生身体素质情况，随机抽取了七年级若
29、干名男生，对他们 100 米跑步进行测试，以测试数据（精确到 0.1 秒）为样本，绘制出频数表和频数分布直方图，如图所示 某校七年级部分男生 100 米跑步成绩的频数表 组别（秒） 频数 频率 12.5513.55 2 0.1 13.5514.55 5 0.25 14.5515.55 a 0.35 15.5516.55 4 b 16.5517.55 2 0.1 请结合图表完成下列问题： （1）a_；b_ （2）请把频数分布直方图补充完整 （3） 若 100 米跑步成绩为 15.5 秒或小于 15.5 秒为优秀， 七年级男生共有 150 名， 请估计七年级男生 100米跑步成绩达到优秀的人数 【
30、答案】见解析 【解析】（1）被调查的总人数为 20.120（人）， a200.357，b4200.2， 故答案为：7、0.2； （2）补全频数分布直方图如下： （3）估计七年级男生 100 米跑步成绩达到优秀的人数为 150（0.1+0.25+0.35）105（人） 22（6 分）如图，O 是四边形 ABCD 的外接圆AC、BD 是四边形 ABCD 的对角线，BD 经过圆心 O，点 E 在 BD 的延长线上，BA 与 CD 的延长线交于点 F，DF 平分ADE （1）求证：ACBC； （2）若 ABAF，求F 的度数； （3）若，O 半径为 5，求 DF 的长 【答案】见解析 【解析】（1）证
31、明：DF 平分ADE， EDFADF， EDFABC，BACBDC，EDFBDC， BACABC， ACBC； （2）解：BD 是O 的直径， ADBF， AFAB， DFDB， FDABDA， ADBCABACB， ACB 是等边三角形， ADBACB60， ABD906030， FABD30； （3）解：， ， 设 CDk，BC2k， BDk10， k2， CD2，BCAC4， ADFBAC， FACADC， ACFDCA， ACFDCA， ， CF8， DFCFCD6 23（6 分）观察下列由连续的正整数组成的宝塔形等式： 第 1 层 1+23 第 2 层 4+5+67+8 第 3 层
32、9+10+11+1213+14+15 第 4 层 16+17+18+19+2021+22+23+24 （1）填空：第 8 层等号右侧的第一个数是_，第 n 层等号右侧的第一个数是_（用含 n的式子表示，n 是正整数）； （2）数字 2021 排在第几层？请简要说明理由； （3）求第 n 层右侧数字之和 【答案】见解析 【解析】（1）由宝塔形式可观察得出：第 8 层等号左侧第一个应为 8264，右侧第一个数应为 64+8+173， 第 n 层等号左侧的第一个数是 n2，第 n 层等号右侧的第一个数是 n2+n+1， （2）4421936，4522025，193620212025， 数字 2021
33、 应排在第 44 层， （3）第 n 层右侧第一个数是 n2+n+1，第二个 n2+n+2第 n 个 n2+n+n， n2+n+1+n2+n+2+n2+n+3+n2+n+n， nn2+nn+（1+2+3+n） n3+n2+（） n3+n2+n 24（6 分）如图，P 为O 的直径 AB 上的一个动点，点 C 在上，连接 PC，过点 A 作 PC 的垂线交O于点 Q已知 AB5cm，AC3cm设 A、P 两点间的距离为 xcm，A、Q 两点间的距离为 ycm 某同学根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行探究 下面是该同学的探究过程，请补充完整： （1）通过取点、画图
34、、测量及分析，得到了 x 与 y 的几组值，如下表： x（cm） 0 _ _ 2.5 _ 3.5 4 5 y（cm） 4.0 4.7 5.0 4.8 _ 4.1 3.7 _ （说明：补全表格对的相关数值保留一位小数） （2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象 （3）结合画出的函数图象，解决问题：当 AQ2AP 时，AP 的长度均为_cm 【答案】见解析 【解析】（1）连接 BQ，BC， 过点 C 作 CFAB 于点 F，过点 P 作 PEAC 于点 E， AQ 与 PC 交于点 G， 由圆周角定理可知：ACB90， AB5，AC3， 由勾股定理可知：B
35、C4， ABCFACBC， CF， AGPC，BQAQ， PGBQ， APGABQ， AG， PCAGAPCF， PC sinBAC， ， PEx， 由勾股定理可知：AEx， CEACAE3x， 在 RtPCE 中， 由勾股定理可知：（x）2+（3x）2， 整理可得：x2x+9， y0， y（0 x5） 将 x 的数据代入上式即可求出答案 （2）根据表格，描点，用光滑的曲线连线，如图所示， （3）由题意可知：AQ2AP， y2x， 作出直线 y2x，由图象可知直线 y2x 与图象只有一个交点， 该交点的横坐标为大约为 2.42 即 AP2.42 25（5 分）已知点 A（1，5），B（1，1）
36、，C（2，4），请用两种不同的方法判断这三点是否在一条直线上（写出必要的推理过程） 【答案】见解析 【解析】A、B、C 三点在一条直线上 方法一：设 AB 两点所在直线的解析式为 ykx+b， 将 A（1，5），B（1，1）代入， 得：， 解得：， 直线 AB 的解析式为：y3x2， 当 x2 时，y4， 点 C 也在直线 AB 上，即 A、B、C 三点在一条直线上 方法二：A（1，5），B（1，1），C（2，4）， AB2，BC，AC3， AB+BC2+3， AB+BCAC， A、B、C 三点在一条直线上 26（6 分）在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx2（a0）经过点 A（2，2）
37、，与 y 轴交于点 B （1）求点 B 的坐标 （2）用含 a 的式子表示 b （3）当2x0 时，y 随 x 的增大而减小，求 a 的取值范围 （4）直线 AB 上有一点 C（m，5），将点 C 向右平移 4 个单位长度，得到点 D当抛物线 yax2+bx2（a0）与线段 CD 只有一个公共点时，直接写出 a 的取值范围 【答案】见解析 【解析】（1）抛物线 yax2+bx2（a0）经过点 A（2，2），与 y 轴交于点 B 当 x0 时，y2， B（0，2）； （2）把点 A（2，2）代入 yax2+bx2 中，得 4a2b22 b2a2； （3）当 a0 时，依题意抛物线的对称轴需满足2
38、， 解得1a0 当 a0 时，依题意抛物线的对称轴需满足0， 解得 0a1 a 的取值范围是 1a0 或 0a1； （4）设直线 AB 的表达式为：ykx+n，则，解得：， 故直线 AB 表达式为 y2x2，把 C（m，5）代入得 m3.5 C（3.5，5），由平移得 D（，5） 当 a0 时，若抛物线与线段 CD 只有一个公共点（如图 1）， yax2+bx+cax2+（2a2）x2， 当 x时，ya3， 则抛物线上的点（，a3）在 D 点的下方， a35 解得 a 0a； 当 a0 时，若抛物线的顶点在线段 CD 上， 则抛物线与线段只有一个公共点（如图 2）， 5 解得 a（不合题意，舍
39、去），或 a 综上，a 的取值范围是 0a或 a 27（7 分）在ABC 中，BAC60，AD 平分BAC 交边 BC 于点 D，分别过 D 作 DEAC 交边 AB于点 E，DFAB 交边 AC 于点 F （1）如图 1，试判断四边形 AEDF 的形状，并说明理由； （2）如图 2，若 AD4，点 H，G 分别在线段 AE，AF 上，且 EHAG3，连接 EG 交 AD 于点 M，连接 FH 交 EG 于点 N （i）求 ENEG 的值； （ii）将线段 DM 绕点 D 顺时针旋转 60得到线段 DM，求证：H，F，M三点在同一条直线上 【答案】见解析 【解析】（1）解：四边形 AEDF 的
40、形状是菱形；理由如下： DEAC，DFAB， 四边形 AEDF 是平行四边形， AD 平分BAC， EADFAD， DEAC， EDAFAD， EADEDA， AEDE， 四边形 AEDF 是菱形； （2）（i）解：连接 EF 交 AD 于点 Q，如图 2 所示： BAC60，四边形 AEDF 是菱形， EAD30，AD、EF 相互垂直平分，AEF 是等边三角形， EAFAEFAFE60， AD4， AQ2， 在 RtAQE 中，cosEAQ，即 cos30， AE4， AEAFEF4， 在AEG 和EFH 中， AEGEFH（SAS）， AEGEFH， ENHEFH+GEFAEG+GEF60
41、， ENHEAG， AEGNEH， AEGNEH， ， ENEGEHAE3412； （ii）证明：如图 3，连接 FM， DEAC， AED180BAC120， 由（1）得：EDF 是等边三角形， DEDF，EDFFEDEFD60， 由旋转的性质得：MDM60，DMDM， EDMFDM， 在EDM 和FDM中， EDMFDM（SAS）， MEDDFM， 由（i）知，AEGEFH， DFM+EFHMED+AEGAED120， HFMDFM+HFE+EFD120+60180， H，F，M三点在同一条直线上 28（7 分）复习巩固 切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫
42、做圆的切线，这个点叫做切点 割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线 切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长 阅读材料 几何原本是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设， 被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书 其中第三卷命题 362 圆幂定理 （切割线定理）内容如下： 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程 已知：如图，A 是O 外一点，_ 求证：_ 证明： 【答案】见解析 【解析】（已知：如图，A 是O 外一点，）AB 是O 的切线，直线 ACD 为O 的割线 求证：AB2ACAD 故答案为：AB 是O 的切线，直线 ACD 为O 的割线，AB2ACAD， 证明：连接 BD，连接 BO 并延长交O 于点 E，连接 CE， AB 是O 的切线，则ABC+CBE90， BE 是圆的直径，故BCE90E+CBE， ABCE， 而ECDB， ABCBDC， BACDAB， ABCADB， ， AB2ACAD