1、 2022年中考数学复习专题29：极坐标与参数方程的应用一、极坐标与参数方程的应用题型分析【一】轨迹方程的问题一、极坐标方程1圆的极坐标方程若圆心为M(0，0)，半径为r的圆方程为220cos(0)r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：r；(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：2acos；(3)当圆心位于，半径为a：2asin.2直线的极坐标方程若直线过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：sin()0sin (0)几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：0和0；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过且平行于极轴：
2、sin b.二、参数方程直线、圆、椭圆的参数方程【例1】在极坐标系中，已知圆的圆心，半径，点在圆上运动以极点为直角坐标系原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系（1）求圆的参数方程；（2）若点在线段上，且，求动点轨迹的极坐标方程【解析】（1）由已知得，圆心的直角坐标为，所以的直角坐标方程为，所以圆的参数方程为（为参数）（2）由（1）得，圆的极坐标方程为，即，设，根据，可得，将代入的极坐标方程，得，即动点轨迹的极坐标方程为【例2】在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程；（2）过极点作直线与圆交于点，求的中点所在曲线的极坐标方程.【
3、解析】（1）圆的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为：，转换为极坐标方程为：.（2）过极点作直线与圆C交于点A，设的中点坐标为，所以，所以，即，所以中点所在的曲线的极坐标方程为【例3】已知圆C经过点P，圆心C为直线sin与极轴的交点，求圆C的极坐标方程【解析】解法1在直线的极坐标方程sin中，令0，得2，所以C(2，0)因为POC是边长为2的正三角形，所以圆C的半径r2.因为圆C经过极点O，所以圆C极坐标方程为4cos.解法2以极点为坐标原点，极轴为x轴建立平面直角坐标系，则直线方程为yx2，P的直角坐标为(1，)，令y0，得x2，所以C(2，0)，所以圆C的半径PC2，所以圆C的方程为
4、(x2)2(y0)24，即x2y24x0，所以圆C的极坐标方程为4cos.2.巩固提升综合练习【练习1】 （2019年高考全国卷理数）在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P（1）当时，求及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程【解析】（1）因为在C上，当时，由已知得设为l上除P的任意一点在中，经检验，点在曲线上所以，l的极坐标方程为（2）设，在中， 即因为P在线段OM上，且，故的取值范围是所以P点轨迹的极坐标方程为【练习2】在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线sin()与极轴的交点，求圆C的极坐标方程【解析】在直线方程si
5、n()中，令0，得2，所以圆心为C(2，0)在POC中，由余弦定理，得圆C的半径rCP2.圆C经过极点，其极坐标方程为4cos.【练习3】 （2019年高考全国卷理数）如图，在极坐标系Ox中，弧，所在圆的圆心分别是，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧（1）分别写出，的极坐标方程；（2）曲线由，构成，若点在M上，且，求P的极坐标【解析】（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为（2）设，由题设及（1）知若，则，解得；若，则，解得或；若，则，解得综上，P的极坐标为或或或【二】转化中的应用问题 一、极坐标的转化问题互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为
6、极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度互化公式为，直角坐标方程化极坐标方程可直接将xcos ，ysin 代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为cos ，sin 的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以即可达到目的，但要注意变形的等价性二、参数方程的消参问题1.消参的常用方法(1)代入消参法，是指由曲线的参数方程中的某一个(或两个)得到用x(或y，或x，y)表示参数的式子，把其代入参数方程中达到消参的目的(2)整体消参法，是指通过恰当的变形把两式平方相加(或相减、相乘、相除)达到消参的目的，此时常用到一些桓等式，如sin2cos21，sec2t
7、an21，224等2消参的注意事项(1)消参时，要特别注意参数的取值对变量x，y的影响，否则易扩大变量的取值范围(2)参数方程中变量x，y就是参数的函数，可用求值域的方法确定变量x，y的取值范围【例1】已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin .()把C1的参数方程化为极坐标方程；()求C1与C2交点的极坐标(0,02)【解析】()将消去参数t，化为普通方程，即.将代入得.所以的极坐标方程为.()的普通方程为.由 解得或所以与交点的极坐标分别为，.【练习1】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数在以原点为极点，轴
8、正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为（）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（）若直线与曲线交于两点，求【解析】解法一：（）由得的普通方程为， 又因为，所以的极坐标方程为（或）由得，即，所以的直角坐标方程为（）设的极坐标分别为，则，由消去得，化为，即，因为，即，所以，或，即或所以解法二：（）同解法一（）曲线的方程可化为，表示圆心为且半径为1的圆6分将的参数方程化为标准形式(其中为参数)，代入的直角坐标方程为得，整理得，解得或设对应的参数分别为，则所以，又因为是圆上的点，所以。解法三：（）同解法一（）曲线的方程可化为，表示圆心为且半径为1的圆又由得的普通方程为，则点到直线的距离为，所
9、以，所以是等边三角形，所以，又因为是圆上的点，所以。【三】最值、几何意义的综合问题 1.距离最值（点到点、曲线点到线、）距离的最值： -用“参数法”（1）曲线上的点到直线距离的最值问题（2）点与点的最值问题“参数法”：设点-套公式-三角辅助角设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设套公式：利用点到线的距离公式辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一2.面积的最值问题面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题3.几何意义及其综合应用：(1)极坐标中，利用的几何意义解决问题(2)参数方程中，利用参数的几何意义解决问题1.例题【例1】 已知点是圆上的动点.(1)求的取值范围；
10、(2)若恒成立，求实数的取值范围.解析 （1）由圆的方程得，得。则可得的取值范围是。（2）若恒成立，则，因为，所以，故，得。所以的取值范围是。【例2】已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为 为参数）在极坐标系（与直角坐标取相同的长度单位，且以原点为极点，轴的非负半轴为极轴）中，曲线的方程为，（）求曲线直角坐标方程，并说明方程表示的曲线类型；（）若曲线、交于A、B两点，定点，求的最大值【解析】（）将代入，得，配方得， 表示以为圆心，为半径的圆 （）将曲线的参数方程代入的直角坐标方程，得， 由参数的几何意义，因为，故，即 【例3】在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数).以原点为极点，轴正半轴为极
11、轴建立极坐标系，的极坐标方程为.()写出的直角坐标方程；()为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标.【解析】()由，从而有.()设，则，故当=0时，|取最小值，此时点的直角坐标为.【例4】 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）在曲线上取两点，与原点构成，且满足，求面积的最大值.【解析】（1）可知曲线的普通方程为，所以曲线的极坐标方程为，即.（2）由（1）不妨设，所以面积的最大值为4.【名师点睛】本小题主要考查参数方程、直角坐标方程和和极坐标方程的相互转化，考查利用极坐标求解三角形面积的最大值问
12、题.属于中档题.【例5】在直角坐标系中，圆的方程为（）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，求的斜率【解析】（）由，得，因为，所以的极坐标方程为.（）设对应的极径分别为，则得，所以，由得，所以的斜率为或2.巩固提升综合练习【练习1】在平面直角坐标系中，设是椭圆上的一个动点，求的最大值.解析 点是椭圆上的一个动点，则（为参数），则，故.【练习2】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)，直线的参数方程为(为参数).(1)若，求与的交点坐标；(2)若上的点到距离的最大值为，求.【解析】(1)曲线的普通方程为.当时，直线的普通方
13、程为.由解得或.从而与的交点坐标为，.(2)直线的普通方程为，故上的点到的距离为.当时，的最大值为.由题设得，所以；当时，的最大值为.由题设得，所以.综上，或.【练习3】在平面坐标系中中，已知直线的参考方程为(为参数)，曲线的参数方程为(为参数).设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值.【解析】直线的普通方程为.因为点在曲线上，设，从而点到直线的的距离，当时，.因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值.【练习4】已知直线（为参数），曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立直角坐标系（1）求曲线的极坐标方程，直线的普通方程；（2）把直线向左平移一个单位得到直线，设与曲
14、线的交点为，为曲线上任意一点，求面积的最大值【解析】（1）把曲线消去参数可得，令，代入可得曲线的极坐标方程为把直线化为普通方程（2）把直线向左平移一个单位得到直线的方程为，其极坐标方程为联立所以，所以，故圆心到直线的距离为，圆上一点到直线的最大距离为，所以面积的最大值为【练习5】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设，直线交曲线于，两点，是直线上的点，且，当最大时，求点的坐标【解析】（1）（为参数）消去参数可得，直线的普通方程为由可得，将，代入上式可得，曲线的直角坐标方程
15、为（2）设直线上的三点，所对应的参数分别为，将代入，整理得，则，与异号，由，得，当，即时，最大，此时最大，且，此时，代入可得此时点的坐标为或三、课后自我检测1在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.()写出的普通方程和的直角坐标方程；()设点P在上，点Q在上，求的最小值及此时P的直角坐标.【解析】()的普通方程为，的直角坐标方程为.()由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以 的最小值，即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.2已知曲线的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，
16、轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.正方形的顶点都在上，且、依逆时针次序排列，点的极坐标为.()求点、的直角坐标；()设为上任意一点，求的取值范围.【解析】(1)点的极坐标为点的直角坐标为(2)设；则3已知在直角坐标系内，直线的参数方程为（为参数，为倾斜角）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出曲线的直角坐标方程及直线经过的定点的坐标；（2）设直线与曲线相交于两点，求点到两点的距离之和的最大值【解析】（1）曲线的直角坐标方程为，直线过定点（2）将直线的参数方程代入，得设点对应的参数分别为，则，因为，所以因此，当时，有最大值4【2019年高考全国卷理数
17、】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值【解析】（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为的直角坐标方程为（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）C上的点到的距离为当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为5在极坐标系中，已知点P(22,2)，圆C的方程为=22cos，求过点P且与圆C相切的直线的极坐标方程。【解析】以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则点P22,2的直角坐标为P0,22， 圆C的方程=22cos的直角坐
18、标方程为x2+y2=22x，即x-22+y2=2，当过点P的直线斜率不存在时，即直线方程为x=0时，满足与圆C相切； 当过点P且与圆C相切的直线斜率存在时，设斜率为k，则直线方程为y=kx+22，即kx-y+22=0，因为直线与圆C相切，所以2k+22k2+1=2，解得k=-34，所以此时所求的直线方程为3x+4y-82=0，所以过点P且与圆C相切的直线的极坐标方程为=2R和3cos+4sin-82=0。6已知曲线：，直线：(为参数).() 写出曲线的参数方程，直线的普通方程；()过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.【解析】 () 7 已知抛物线，点在轴的正半轴上，过的
19、直线与相交于两点，为坐标原点.(1)若时，的斜率为，求以为直径的圆的方程；(2)若存在直线使得成等比数列，求实数的取值范围.【解析】 （1）若=1时，直线的斜率为1，则直线的方程为,设,圆心，联立方程，消去建立的一元二次方程得，所以，过焦点（1,0）,所以，那么以为直径的圆的方程为.（2） 设直线的参数方程为（为参数），代入抛物线方程中得：，即，且成等比数列，则,即，得，故4.因此实数的取值范围为.8在直角坐标系中，曲线：(为参数，0)其中，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：，：.()求与交点的直角坐标；()若与相交于点A，与相交于点B，求的最大值.【解析】()曲线的直角坐标方
20、程为，曲线的直角坐标方程为.联立解得或所以与交点的直角坐标为和.()曲线的极坐标方程为，其中.因此得到极坐标为，的极坐标为.所以，当时，取得最大值，最大值为.9在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为.(1)为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；(2)设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值.【解析】(1)设的极坐标为，的极坐标为.由椭圆知，.由得的极坐标方程.因此的直角坐标方程为.(2)设点的极坐标为.由题设知，于是面积.当时，取得最大值.所以面积的最大值为.10 在极坐标系中, O为极点, 半径为2的圆C的圆心的极坐标为.（1）求圆C的极坐标方程；（2）在以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立的直角坐标系中，直线的参数方程为 （t为参数），直线与圆C相交于A，B两点，已知定点,求|MA|MB|。【解析】（1）设是圆上任意一点，则在等腰三角形COP中，OC=2，OP=,，而 所以，即为所求的圆C的极坐标方程。 （2）圆C的直角坐标方程为 ，即： 将直线l的参数方程 （t为参数）代入圆C的方程得：，其两根满足 所以，|MA|MB|