1、 2022年中考数学复习专题32：数形结合一、数形结合思想应用类型【一】函数图象数形结合法1.函数图象数形结合法：即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿始终，因此这种方法是最常用的，破解此类题的关键点：分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大概性质分析问题，因此需要确定能否用函数图象解决问题；画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象；数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化；得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论2.熟练掌握函数图像的变换：由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折
2、(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系1.例题 【例1】设定义在上的函数是最小正周期为2的偶函数，是的导函数当x0，时，0f(x)1；当x(0，)且x时，.则函数yf(x)sin x在3，3上的零点个数为()A4 B5 C6 D8【解析】当x0，时，0f(x)1，f(x)是最小正周期为2的偶函数，当x3，3时，0f(x)1.当x(0，)且x时，f(x)0，当x时，f(x)为单调减函数；当x时，f(x)为单调增函数，当x0，时，0f(x)1，定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数，在同一坐标系中作出ysin x和yf(x)的草图如图，由图知yf(x
3、)sin x在3，3上的零点个数为6，故选C.【例2】在上定义的函数是偶函数,且,若在区间上是减函数,则在区间上是增函数，在区间上是增函数在区间上是增函数，在区间上是减函数在区间上是减函数，在区间上是增函数在区间上是减函数，在区间上是减函数【解析】 f（x）= f（x）= f（2x），故f（x）的草图如图：由图可知，B正确。2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x1)f(x1)，当x1,0时，f(x)x3，则关于x的方程f(x)|cos x|在上的所有实数解之和为()A7 B6 C3 D1答案A【解析】因为函数f(x)为偶函数，所以f(x1)f(x1)f(x
4、1)，所以函数f(x)的周期为2，如图，在同一平面直角坐标系内作出函数yf(x)与y|cos x|的图象，由图知关于x的方程f(x)|cos x|在上的实数解有7个不妨设7个解中x1x2x3x4x5x6x7，则由图得x1x24，x3x52，x41，x6x70，所以方程f(x)|cos x|在上的所有实数解的和为42107，故选A.【练习2】已知函数f(x)若方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为()A(，0 B0,1) C(，1) D0，)答案C【解析】函数f(x)的图象如图所示，当a0,直线y=mx+z的斜率k=m0,要使目标函数最大时有唯一的最优解（1，3），则直
5、线y=mx+z的斜率m1当m0,目标函数y=mx+z的斜率k=m1.故选：C.2.巩固提升综合练习【练习1】设点P(x，y)满足，则的取值范围是()A. B. C. D1,1答案B【解析】作出不等式组所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中A(2,1)，B(1,2)，令t，f(t)t，根据t的几何意义可知，t为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接OA，OB，显然OA的斜率最小，OB的斜率2最大，即t2.由于函数f(t)t在上单调递增，故f(t)，即的取值范围是.【练习2】若函数f（x）=x2+ax+2b在区间（0，1）和（1，2）内各有一个零点，则的取值范围是A（，1） B（，）
6、C（，） D（，2）【答案】D【解析】函数f（x）=x2+ax+2b在区间（0，1）和（1，2）内各有一个零点，求得，它所表示的区域为ABC内的部分，【三】圆锥曲线数形结合法1.圆锥曲线数形结合法：是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合思想，快速解决某些相应的问题破解此类题的关键点：画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、直线等；数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥曲线的位置关系等进行分析与求解；得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论2.破解圆锥曲线问题的
7、关键是画出相应的图形，注意数和形的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息进行研究直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种：通过数形结合建立相应的关系式；通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论1.例题【例1】已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A. B. C(1,2) D(1，2)【解析】点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离，如图所示，设焦点为F，过点P作准线的垂线，垂足为S，则|PF|PQ|PS|PQ|，故当S，P，Q三点共线时取得最小值，此时P，Q的纵坐标都是1，设点P的横坐标为x0，代入y
8、24x得x0，故点P的坐标为，故选A.答案A【例2】设双曲线C：1(a0，b0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为()A. B. C.2 D.答案D【解析】如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ，则OQPF2.又PF1PF2，O为F1F2的中点，所以|PF1|2|OQ|2a.又|PF2|PF1|2a，所以|PF2|4a.在RtF1PF2中，由|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，得4a216a220a24c2，即e.来源:Z|xx|k.
9、Com2.巩固提升综合练习【练习1】已知抛物线的方程为x28y，F是其焦点，点A(2,4)，在此抛物线上求一点P，使APF的周长最小，此时点P的坐标为_答案【解析】因为(2)284，所以点A(2,4)在抛物线x28y的内部，如图所示，设抛物线的准线为l，过点P作PQl于点Q，过点A作ABl于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知，APF的周长为|PF|PA|AF|PQ|PA|AF|AQ|AF|AB|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，APF的周长取得最小值，即|AB|AF|.因为A(2,4)，所以不妨设APF的周长最小时，点P的坐标为(2，y0)，代入x28y，得y0，故使APF的周长最小的点P
10、的坐标为.【练习2】如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是( )A BCD【答案】B【解析】抛物线x24y的焦点为（0，1），准线方程为y1，圆（y1）2+x24的圆心为（0，1），与抛物线的焦点重合，且半径r2，|FB|2，|AF|yA+1，|AB|yByA，三角形ABF的周长2+yA+1+yByAyB+3，1yB3，三角形ABF的周长的取值范围是（4，6）【四】数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构
11、造两个比较熟悉的函数.1.例题【例1】函数f(x)2x的零点个数为()A.0 B.1 C.2 D.3答案B【解析】在同一平面直角坐标系下，作出函数y12x和y2的图象，如图所示.函数f(x)2x的零点个数等价于2x的根的个数，等价于函数y12x和y2图象的交点个数.由图可知只有一个交点，所以有一个零点.故选B.【例2】方程lgx = sinx的实根的个数为（ ） A. 1个B. 2个 C. 3个D. 4个【解析】画出y = lgx和y = sinx在同一坐标系中的图象，如图所示，两函数图象有3个交点，选C.2.巩固提升综合练习【练习1】若关于x的方程kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为_
12、.答案由图可得0.所以k的取值范围为.【练习2】已知函数f(x)则方程f(x)ax恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是_.答案【解析】画出函数f(x)的图象如图所示，由图可知，要使直线yax与函数f(x)有两个交点，当yax与y1平行时，显然有两个交点，此时a.当a时，只需求出当直线yax和曲线yln x相切时的斜率即可.由于相切时交点只有1个，故结合图象知，实数a的取值范围是.【五】数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用来构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.1.例题【例1】设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取
13、值范围是()A.(，1 B.(0，) C.(1，0) D.(，0)答案D当即x0时，f(x1)1，f(2x)1，不合题意.综上，不等式f(x1)f(2x)的解集为(，0).故选D.方法二f(x)函数f(x)的图象如图所示.由图可知，当x10且2x0时，函数f(x)为减函数，故f(x1)f(2x)转化为x12x.此时x1.当2x0且x10时，f(2x)1，f(x1)1，满足f(x1)f(2x).此时1x0.综上，不等式f(x1)f(2x)的解集为(，1(1，0)(，0).故选D.【例2】若不等式|x2a|xa1对xR恒成立，则实数a的取值范围是_.答案解析作出y1|x2a|和y2xa1的简图，如
14、图所示.依题意得故a.2.巩固提升综合练习来源:Z*xx*k.Com【练习1】设A(x，y)|x2(y1)21，B(x，y)|xym0，则使AB成立的实数m的取值范围是_.答案1，)【解析】集合A是圆x2(y1)21上的点的集合，集合B是不等式xym0表示的平面区域内的点的集合，要使AB，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线xym0应与圆相切或相离(在圆的左下方)，而当直线与圆相切时，有1，又m0，所以m1，故m的取值范围是1，).【练习2】已知函数f(x)若存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)f(x2)，则实数a的取值范围为_.答案0，)解析根据题意知f(x)是一个分段函数，当
15、x1时，是一个开口向下的二次函数，对称轴方程为xa；当x1时，如图(1)所示，符合题意；当0a1时，如图(2)所示，符合题意；当a0).若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为()A.7 B.6 C.5 D.4答案B【解析】根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3，4)，半径r1，且|AB|2m，因为APB90，连接OP，可知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为|OC|5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值为6.2.巩固提升综合练习【练习1】过直线上一点引圆的切线，则切线长的最小值为（ ）A B C D【答案】A【练习2】已知
16、P是直线l：3x4y80上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为_.答案2【解析】连接PC，由题意知圆的圆心C(1，1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x4y80向左上方或右下方无穷远处运动时，RtPAC的面积SPAC|PA|AC|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形PACB有唯一的最小值，此时|PC|3，从而|PA|2，所以(S四边形PACB)min2|PA|AC|2.二
17、、课后自我检测1.若方程的解为，则不等式的最大整数解是A. B. C. D. 【答案】B2.已知，如果方程ax=logbx，bx=logax，bx=logbx的根分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系为（）Ax3x1x2Bx3x2x1Cx1x3x2Dx1x2x3【答案】C3.若方程x2+ax+2b=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，则的取值范围是【答案】（，1）；设【解析】设，据题意,作出满足以上不等式组的可行域如图阴影部分所示（不含边界）其中A（3，1），B（2，0），C（1，0），设点E（a，b）为区域内的任意一点，则k=，表示点E（a，b）与点D（1，2）连
18、线的斜率KAD=，kCD=，结合图形可知：KADkKCD，k的取值范围是（，1）4.已知圆M过两点C（1，1），D（1，1）且圆心M在直线x+y2=0上，设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B是切点，则四边形PAMB面积的最小值为。【答案】2；【解析】设圆M的方程为：（xa）2+（yb）2=r2（r0），根据题意得，解得：a=b=1，r=2，故所求圆的方程为：；四边形的面积为：5.已知圆C1：（x2）2+（y3）2=1，圆C2：（x3）2+（y4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ）A54 B1 C6
19、2 D【答案】A【解析】如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：=54故选A6.当满足条件时，变量的取值范围是（）A. B. C. D.【解析】由题意在坐标系下画出|x|+|y|1的图象如右图阴影部分，若x=0时，|y|1,此时u=0;若x0时，变量可看成点A(0，3)与可行域内的点B连线斜率k的倒数,所以，k(-,-33,+),7.已知A(1,1)为椭圆1内一点，F1为椭圆的左焦点，P为椭圆上一动点，求|PF1|PA|的最大值和最小值【解析】由1可知a3，b，c2
20、，左焦点F1(2，0)，右焦点F2(2,0)由椭圆定义，知|PF1|2a|PF2|6|PF2|，|PF1|PA|6|PF2|PA|6|PA|PF2|.如图，由|PA|PF2|AF2|，知|PA|PF2| .当点P在AF2的延长线上的点P2处时，取右“”，当点P在AF2的反向延长线上的点P1处时，取左“”，即|PA|PF2|的最大、最小值分别为，.于是|PF1|PA|的最大值是6，最小值是6.8.椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点M，N，当FMN的周长最大时，FMN的面积是()A. B C D答案C【解析】如图，设椭圆的右焦点为F，连接MF，NF.因为|MF|NF|MF|NF|MF|NF
21、|MN|，所以当直线xm过椭圆的右焦点时，FMN的周长最大此时|MN|，又c1，所以此时FMN的面积S2.故选C.9.恒成立，则实数的取值范围是_答案a1【解析】当0x时，函数y8x1的图象如图中实线所示x，8xlogax1恒成立，当x时，ylogax的图象恒在y8x1的图象的上方(如图中虚线所示)ylogax的图象与y8x1的图象交于点时，a，a1.10.已知关于x的不等式ax的解集为x|4xb，则ab_.答案【解析】设f(x)，g(x)ax(x0)因为ax的解集为x|4xb，所以两函数图象在4xb上有f(x)g(x)，如图所示当x4，xb时，由f(x)g(x)，可得解得所以ab36.11.
22、已知函数是定义在上的奇函数，且当时，；当时，其中是自然对数的底数，且，则方程在上的解的个数为（ ）A4 B5 C6 D7【答案】D【解析】当时， 又，记原命题可转化为的图象交点个数.又，可作出在上的图象（如下图）在上的交点个数为，根据均为奇函数可得：在上的交点个数为，故选D.o36x912.已知偶函数满足，且当时，若在区间内，函数有3个零点，则实数的取值范围是 【答案】【解析】偶函数满足且当，函数周期为，在区间内函数有个零点等价于图象与在区间内有个交点，当时，函数图象无交点，数形结合可得且，解得，故答案为：13.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x1)f(x1)，当x1，0时，f(x)x3，则关于x的方程f(x)|cos x|在上的所有实数解之和为_.答案7【解析】因为函数f(x)为偶函数，所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以函数f(x)的周期为2.又当x1，0时，f(x)x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y1f(x)与y2|cos x|的图象如图所示.由图象知关于x的方程f(x)|cos x|在上的实数解有7个.不妨设x1x2x3x4x5x6x7，则由图得x1x24，x3x52，x41，x6x70，所以方程f(x)|cos x|在上的所有实数解的和为42107.