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山东省济南XX学校2019届高三上学期第一次月考数学(理)试卷(含答案)

1、绝密启用前2018-2019 学年度学校 10 月月考卷注意事项:1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷(选择题)请点击修改第 I 卷的文字说明一、单选题1已知 为实数集,集合 , ,则韦恩图中阴影部分表示的集合为( )A B C D 2已知 .若“ ”是真命题,则实数 a 的取值范围是A (1,+) B (,3) C (1,3) D 3设集合 , ,则下列结论正确的是( )A B C D 4设集合 ,集合 ,则 等于 ( )A B C D 5已知 ,命题 p: , ,则 A p 是假命题, : ,B p 是假命题, : ,C p 是真命题, : ,D

2、 p 是真命题, : ,6已知集合 , ,则( )A B C D 7集合 , ,若 ,则 的取值范围是( )A B C D 8集合 , ,则 是( )A B C D 9函数 关于直线 对称,则函数 关于( )A 原点对称 B 直线 对称 C 直线 对称 D 直线 对称10设 ,若函数 恰有 3 个零点,则实数 的取值范围为( )A B C D 11已知函数 是定义在区间 上的可导函数,满足 且 ( 为函数的导函数),若 且 ,则下列不等式一定成立的是( )A B C D 12已知定义在 R 上的函数 满足 且在 上是增函数,不等式对任意 恒成立,则实数 的取值范围是( )A B C D 第 I

3、I 卷(非选择题)请点击修改第 II 卷的文字说明二、填空题13已知函数 ,则 _14记 为不超过 的最大整数,如 ,则函数 的所有零点之和为_.15已知函数 为奇函数,若 ,则 的值为_.16给出以下四个命题:(1)命题 ,使得 ,则 ,都有 ; (2)已知函数 f(x)|log 2x|,若 a b,且 f(a) f(b),则 ab1;(3)若平面 内存在不共线的三点到平面 的距离相等,则平面 平行于平面 ; (4)已知定义在 上的函数 满足条件 ,且函数 为奇函数,则函数的图象关于点 对称其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)三、解答题17已知三个集合: , ,.(I)求 ;(II)

4、已知 ,求实数 的取值范围.18已知函数 .()讨论函数 的单调性;()当 时,求证: .19已知函数 ()求函数 的单调区间与极值;()若不等式 对任意 恒成立,求实数 的取值范围;()求证: .20已知函数 ,(1)分别求 的值:(2)讨论 的解的个数:(3)若对任意给定的 ,都存在唯一的 ,满足 ,求实数的取值范围.21已知函数 , ()当 x0 时, f( x) h( x)恒成立,求 a 的取值范围;()当 x0 时,研究函数 F( x)= h( x) g( x)的零点个数;()求证: (参考数据:ln1.10.0953)22已知函数 ,其导函数为 当 时,若函数 在 R 上有且只有一

5、个零点,求实数 a 的取值范围; 设 ,点 是曲线 上的一个定点,是否存在实数 使得成立?并证明你的结论参考答案1D【解析】【分析】首先确定集合 A,B,然后结合 Venn 图求解阴影部分表示的集合即可.【详解】求解分式不等式 可得 ,求解二次不等式 可得 ,则 ,韦恩图中阴影部分表示的集合为 ,即 .本题选择 D 选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法,集合的交并补运算, Venn 图及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2C【解析】【分析】由题意可知命题 p,q 均为真命题,据此求解实数 a 的取值范围即可.【详解】由“ ”是真命题可知命题 p,q 均为真命题,若命题 p

6、 为真命题,则: ,解得: ,若命题 q 为真命题,则: ,即 ,综上可得,实数 a 的取值范围是 ,表示为区间形式即 .本题选择 C 选项.【点睛】本题主要考查复合命题问题,与二次函数有关的命题,与指数函数有关命题的处理方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3B【解析】,故选 .4B【解析】【分析】先求出集合 A 和集合 B,由此能求出 AB【详解】集合 A=y|y=log2x,0x4=y|y2,集合 B=x|ex1=x|x0,AB=x|0x2=(0,2故选:B【点睛】求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解;在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和

7、数轴使抽象问题直观化一般地,集合元素离散时用 Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍5C【解析】【分析】利用特称值,判断特称命题的真假,利用命题的否定关系,特称命题的否定是全称命题写出结果。【详解】,当 时,命题 : , ,是真命题命题 : , ,则故选【点睛】本题主要考查了命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,属于基础题。6A【解析】【分析】求出集合 , ,判断 , 的关系,即可得到答案.【详解】因为 , .所以 .故选 A.【点睛】本题考查集合与集合的关系,是基础题.7B【解析】【分析】由题意求出 , ,要使 ,则 .【详解】根据题意 ,可得 , ,

8、要使,则,故选 B.【点睛】本题考查集合的综合运算,属中档题.8C【解析】【分析】根据函数的定义域及值域分别求出集合 和集合 ,求出集合 的补集,即可求得 .【详解】集合集合故选 C.【点睛】本题考查函数的定义域与函数的值域的求法,集合的交、并、补的运算,考查计算能力9D【解析】【分析】由题意结合函数图象的变换规律确定函数的对称性即可.【详解】将函数 的图象向左平移 个单位长度即可得到函数 的图象,结合函数 关于直线 对称,可知函数 关于直线 对称.本题选择 D 选项.【点睛】本题主要考查函数的对称性,函数的平移变换等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10A【解析】【分析】由题意得令

9、 ,即 与 恰有 3 个交点,由 ,利用导数得到函数的单调性即可得解.【详解】恰有 3 个零点,则 恰有 3 个根,令 ,即 与 恰有 3 个交点,当 时, ,所以 在 上是减函数;当 时, ,当 时, ,当 时, ,所以 在 时增函数,在 时减函数,且 ,所以故选 A【点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等11C【解析】构造函数 , ,所以 是 上的减函数.令 ,则,由已知 ,可得 ,下面证明 ,即证

10、明 ,令 ,则 ,即 在 上递减, ,即 ,所以 ,若 ,则 .故选.【点睛】本小题主要考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查大小比较,关键在于构造函数法.问题的关键点在于利用好 ,这是一个含有原函数和它的导函数的式子,故考虑用构造函数法构造函数,构造函数 后,就可以用上已知条件来判断单调性了.12B【解析】【分析】根据函数的对称性判断函数的单调性,采取排除法,由四个选项的特征代入特值求解【详解】,则函数 关于 对称函数 在 上是增函数函数 在 是减函数,即 在 上是减函数当 时,不等式 变为 ,根据函数 的图象特征可得出: ,解得 或 ,满足不等式 对任意 恒成立,由此排除 两个选项

11、当 时,不等式 变为 ,根据函数 的图象特征可得出: ,解得 ,不满足不等式 对任意 恒成立,由此排除综上所述, 选项是正确的故选【点睛】本题主要考查了抽象函数的性质探究方法与应用,解答本题直接求解较为复杂,采取排除法来求解,由四个选项中的特征找出切入点,通过验证特殊值来排除错误答案。134【解析】【分析】根据分段函数对应性,根据自变量大小对应代入解析式,即得结果.【详解】【点睛】(1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现 的形式时,应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量

12、的值,切记代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.14【解析】【分析】由 ,令 ,求导利用函数单调性可证得 在上无零点,只需考虑: , , , 求解即可.【详解】由题意可知: .令 .有: .所以 在 上单调递减,有 ,所以 在 上无零点,只需考虑: , , ,可得三个零点分别为 ,故答案为 【点睛】本题主要考查了分段函数的零点问题,属于中档题.15 3【解析】【分析】由函数 为奇函数,可得 ,进而可得解.【详解】因为函数 为奇函数,且 , ,所以 ,所以 所以 【点睛】本题主要考查了奇偶性的应用,属于基础题.16(1)(2)(4)【解析】【分析】(1),根据特称命题的否定

13、是全称命题,判断即可;(2)根据函数与方程的关系,利用对数函数的性质进行运算判断(3)利用线面平行的定义进行判断;(4)利用奇函数图象的对称性,及函数图象的平移变换,可得函数的对称中心.【详解】(1)命题 ,使得 ,则 ,都有 ;正确;(2) ,不妨设 ,则 ,则 ,即,即 ,正确;(3)平面 内存在不共线的三点到 的距离相等,这 3 个点可能在 2 个相交平面的交线的两侧,故不正确(4)函数 是奇函数,其图象关于原点对称又函数 的图象是由 向左平移 个单位长度得到函数 的图象关于点 对称,正确即答案为(1)(2)(4).【点睛】本题考查特称命题的否定,函数与方程的关系,线面平行,考查函数的奇

14、偶性,对称性等,属基础题.17(1) (2)【解析】【分析】(I)解方程求出集合 、 ,计算 ;(II)根据 ,求出集合 的元素特征,求出实数 的取值范围【详解】(1) , , (2) ,设 ,则即解得所以实数 的取值范围是【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题,是中档题18(1) 当 时,函数的增区间为 ,减区间为 , ;当 时,函数无单调区间;当 时,函数的减区间为 ,增区间为 ,(2)见解析.【解析】【分析】(1)函数求导,由 得函数减区间,由 得函数的增区间;(2)欲证 ,只需证 ,设 , ,即证 ,分别求导求最值即可.【详解】(1)定义域为 ,因为 , 当 时, ; 或 ,此时函数的

15、增区间为 ,减区间为 ,当 时, ,函数无单调区间当 时, ; 或 ,此时函数的减区间为 ,增区间为 ,(2)欲证 ,即证 ,只需证 ,设 , ,即证因为 ,令 ,得当 时, ;当 或 时, ,又因为 ,当 时, ,当 时,所以 ,而所以 ,即 成立.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题,属于难题不等式恒成立问题常见方法: 分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立( 即可); 数形结合( 图象在 上方即可); 讨论最值 或 恒成立; 讨论参数.19()见解析;() ;()见解析.【解析】【分析】()函数的定义域为 .且 ,据此列表讨论可知: 的单调递增区间

16、为 ,单调递减区间为 . 的极大值为 ,无极小值.()由题意可得 恒成立,令 ,由导函数可得当 时函数 有最大值 ,所以.()由()知 ,则 ,据此结合不等式的性质利用放缩法即可证得.【详解】()定义域为 .,令 ,得 .0增 极大值 减由上图表知:的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .的极大值为 ,无极小值.() ,令 又 ,令 解得 ,当 x 在 内变化时, , 变化如下表:x) + 0 由表知,当 时函数 有最大值,且最大值为 ,所以 .()由()知 ,又,即 .【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查

17、都非常突出 ,本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用20(1)-1,0.(2) 解: 解: 解: 解.(3) .【解析】【分析】(1)直接由分段函数求得 , 的值;(2)求出函数 的解析式并作出图象,数形结合可得 的解的个数;(3)由题意可得 的取值必须大于 1,然后根据的范围分析关于 的二次函数的值域,从而可得实数 的取值范围【详解】(1

18、) , , (2) ,画图 的图象如图,由图可知,当 时,方程 有 0 解;当 时,方程 有 2 解;当 时,方程 有 4 解;当 时,方程 有 3 解(3)要使对任意给定的 ,都存在唯一的 ,满足 ,则 的取值必须大于 1;即当 时, 的值域包含于 ;当 时, ,舍去;当 时, , ;当 时, ,舍去;综上所述【点睛】本题主要考查了分段函数的应用,关键是可以把 当作是一个整体,然后再确定数的大小后再把它作为一个关于 的函数求解,是难题21(1) a 的取值范围为(,1;(2)见解析.【解析】【分析】构造辅助函数, ,根据 的取值范围,求导,确定函数的单调性,根据函数的单调性求出 的最小值,即

19、可得到 的取值范围当 在 上变化时,讨论函数 和 的图象公共点的个数,即讨论 的零点的个数,分类讨论,确定函数的单调性,即可得出结论由 可知当 时, ,对 恒成立,令 ,则 ,即可得证【详解】()令 H( x)= h( x) f( x)=e x1 aln( x+1)( x0)则若 a1,则 , H( x)0, H( x)在0,+)递增,H( x) H(0)=0,即 f( x) h( x)在0,+)恒成立,满足, a1,a 的取值范围(,1;若 a1, 在0,+)递增,H( x) H(0)=1 a 且 1 a0,且 x+时, H( x)+,则 x0 (0,+ )使 H( x0)=0 进而 H(

20、x)在0, x0)递减,在( x0,+)递增,所以当 x(0, x0)时 H( x) H(0)=0,即当 x(0, x0)时, f( x) h( x),不满足题意,舍去;综合,知 a 的取值范围为(,1;()依题意得 ,则 F( x)=e x x2+a,则 F( x)=e x2 x0 在(,0)上恒成立,故 F( x)=e x x2+a 在(,0)递增,所以 F( x) F(0)=1+ a,且 x时, F( x);若 1+a0,即 a1,则 F( x) F(0)=1+ a0,故 F( x)在(,0)递减, F( x) F(0)=0, F( x)在(,0)无零点;若 1+a0,即 a1,则 使

21、,进而 F( x)在 递减,在 递增,且 x时, ,F( x)在 上有一个零点,在 无零点,故 F( x)在(,0)有一个零点综合,当 a1 时无零点;当 a1 时有一个公共点()证明:由()知,当 a=1 时,e x1+ln( x+1)对 x0 恒成立,令 ,则 即 ;由()知,当 a=1 时, 对 x0 恒成立,令 ,则 , ;故有 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题及零点问题,结合导数求出函数的单调性及函数的极值,然后求出结果,还考查了不等式问题,结合已证结果,赋值证明,本题有一定难度。22(1) 或 ;(2)见解析.【解析】【分析】当 , ,由题意 ,令 ,则 ,解

22、得 ,由此能求出 或 时, 在 R 上有且只有一个零点由 ,得 ,假设存在 ,则 ,利用导数性质推导出不存在实数 使得 成立。【详解】当 时, , , ,由题意得 ,即 ,令 ,则 ,解得 ,当 时, , 单调弟增,当 时, , 单调递减,当 时, ,当 时, ,则 或 时, 在 R 上有且只有一个零点由 ,得 ,假设存在 ,则有 ,即 ,即 , , ,令 ,则 ,两边同时除以 ,得 ,即 ,令 , ,令 在 上单调递增,且 ,对于 恒成立,即 对于 恒成立,在 上单调递增, ,对于 恒成立,不成立,同理, 时,也不成立不存在实数 使得 成立【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质及实数的最值范围的求法、满足条件的实数是否存在的判断与证明,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查运算求解能力、推理论证能力,考查创新意识,属于难题。