1、2021年江苏省淮安市清江浦区九年级下质量调研（二模）数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项前的字母代号用2B铅笔填涂在答题卡相应位置上）1. 的相反数是（ ）A. B. 2C. D. 2. 将52000这个数用科学记数法表示正确是（ ）A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 某班6名同学在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为（单位：次）：38，45，41，37，40，38.这组数据的众数、中位数分别是（ ）A. 45，40B. 38，39C. 38，38D. 45
2、，385. 点关于轴的对称点是（ ）A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ）A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 只有一个实数根7. 如图，已知直线，把三角尺直角顶点放在直线上若1=36，则2的度数为（ ）A. 116B. 124C. 144D. 1268. 如图，AB为的直径，点C，D在圆上，若D=64，则BAC的度数为（ ）A. 64B. 34C. 26D. 24二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分不需要写出解答过程，请用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接写在答题卡相应位置上）9 分解因式：_10. 在中，则的度数为_11.
3、 已知正n边形的一个外角是45，则n_12. 方程的解为_13. 已知菱形ABCD的对角线AC=10，BD=6，则菱形ABCD的面积为_14. 要考察某运动员罚篮命中率，下表是在多次测试中的统计数据：罚球总数110182300100024003000罚进个数8014021674518002253罚篮命中率072707690.7200.7450.7500.751估计该运动员罚篮命中的概率是_（结果精确到0.01）15. 如图，P是反比例函数的图像第二象限上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，若矩形PEOF的面积为6，则k=_16. 如图，直线l的函数表达式为，过点作轴，与直线
4、l交于点，以原点O为圆心，长为半径画圆弧交轴于点；再作轴，交直线l于点，以原点O为圆心，长为半径画圆弧交轴于点；，按此作法进行下去，则点的坐标为_三、解答题（本大题共11小题，共102分请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡指定区域作答，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤）17. （1）计算：；（2）解不等式组：5-2x-353-x2x18. 先化简再求值：，其中19. 某公司组织“爱心义卖”活动，购进了黑白两种颜色的文化衫共100件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难儿童.每件文化衫的批发价和零售价如表：批发价（元）零售价（元）黑色文化衫1025白色文化衫820假设文化衫全部售出，
5、共获利1380元，求购进黑白两种文化衫各多少件？20. 如图，E、F分别为的边BC、AB的中点，延长EF至点D，使得，连接DA、DB、AE.求证：四边形ACED是平行四边形21. 某校开展以“我们都是追梦人”为主题的校园文化艺术节活动，活动分为球类、书画、乐器、诵读四项内容，要求每位学生参加其中的一项，校学生会为了了解各项报名情况，随机抽取了部分学生进行调查，并对调查结果进行了统计，绘制了如下统计图（均不完整）：请解答以下问题：（1）本次调查抽取学生的人数是_；（2）补全条形统计图，并求出“球类”这一项所对应的扇形的圆心角度数是_；（3）若该校共有2100名学生，请估计该校参加“乐器”这一项的
6、学生约有多少人？22. 有A、B两组卡片，卡片上除数字外完全相同，A组有三张，分别标有数字1、2、-3；B组有二张，分别标有数字-1、2小明闭眼从A组中随机抽出一张，记录其标有的数字为x，再从B组中随机抽出一张，记录其标有的数字为y，这样就确定点P的一个坐标为（1）点P的横坐标为数字1的概率为_；（2）用列表或画树状图的方法求出点P落在第一象限的概率23. 如图，小王在点A处测得山顶B的仰角A为37，点A与山脚D处的距离为200米，山坡BD的坡度为1：0.5，求山的高度BC（参考数据：，）24. 仔细读图，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为
7、（小时），两车间的距离为（千米），图中的折线表示与之间的函数关系根据图象【读图既知】（1）西宁到西安两地相距_千米，两车出发后_小时相遇（2）普通列车到达终点共需_小时，它的速度是_千米/时【解决问题】（3）求动车的速度（4）普通列车行驶小时后，动车到达西宁，求此时普通列车还需行驶多少千米到达西安25. 如图，在RtABC中，B=90，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使BCM=2A（1）判断直线MN与的位置关系，并说明理由；（2）若OA=6，BCM=60，求图中阴影部分的面积26. 如图1，平面内有一点P到ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC，若
8、有，则称点P为ABC关于点A的勾股点类似地，若，则称点P为ABC关于点B的勾股点（1）【知识感知】如图2，在45的网格中，每个小正方形的长均为1，点A、B、C、D、E、F、G均在小正方形的顶点上，则点D是关于点_的勾股点；在点E、F、G三点中只有点_是关于点A的勾股点（2）【知识应用】如图3，E是矩形ABCD内一点，且点C是ABE关于点A的勾股点，求证：CE=CD；（3）【知识拓展】矩形ABCD中，AB=5，BC=6，E是矩形ABCD内一点，且点C是ABE关于点A的勾股点，若ADE是等腰三角形，求AE的长27. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的
9、解析式；（2）求直线AC的解析式；（3）试探究：在抛物线上是否存在一点P，使是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）如图2，点Q是x轴上一动点，将ACQ沿CQ翻折，得DCQ，连接BD，请直接写出BD的最小值2021年江苏省淮安市清江浦区九年级下质量调研（二模）数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项前的字母代号用2B铅笔填涂在答题卡相应位置上）1. 的相反数是（ ）A B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据相反数的性质可得结果.【详解】因为-2+2
10、=0，所以2的相反数是2，故选B【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键 .2. 将52000这个数用科学记数法表示正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，看小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同小数点向左移动时，n是正整数；小数点向右移动时，n是负整数据此求解即可【详解】解：52000=5.2104，故选：B【点睛】本题主要考查科学记数法解题关键是正确确定a的值以及n的值3. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂除法
11、法则，同底数幂乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则依次判断即可.【详解】解：A. ，原计算错误，故不符合题意；B. ，原计算错误，故不符合题意；C. ，原计算错误，故不符合题意；D. ，原计算正确，故符合题意； .故选：D.【点睛】本题考查了同底数幂除法法则，同底数幂乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方法等知识，正确运用以上知识化简计算是解题的关键.4. 某班6名同学在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为（单位：次）：38，45，41，37，40，38.这组数据的众数、中位数分别是（ ）A. 45，40B. 38，39C. 38，38D. 45，38【答案】B【解析】【分析】找中位数要把数
12、据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据【详解】解：这组数据从小到大排列此数据为：37、38、38、40、41、45，数据38出现了两次最多为众数，38和40处在第三位和第四位，他们的平均数为39，所以39为中位数所以这组数据的众数是38，中位数是39故选：B【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，注意众数可以不止一个5. 点关于轴的对称点是（ ）A. B. C. D.
13、 【答案】A【解析】【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点，即可求得【详解】解：在平面直角坐标系中，点(3,-2)关于y轴的对称点的坐标是(3,-2) ，故选：A【点睛】本题考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数6. 一元二次方程的根的情况是（ ）A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 只有一个实数根【答案】C【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出结论.【详解】解：a=1，b=1，c=-6， 0，方程有两个不相等的实数根.故选：C.【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当0时，一元二
14、次方程有两个不相等的实数根”是解题的关键7. 如图，已知直线，把三角尺的直角顶点放在直线上若1=36，则2的度数为（ ）A. 116B. 124C. 144D. 126【答案】D【解析】【分析】由直角三角板的性质可知3=180-1-90，再根据平行线的性质即可得出结论【详解】解：1=36，3=180-1-90=180-36-90=54，ab，2=180-3=126故选：D【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是角题的关键8. 如图，AB为的直径，点C，D在圆上，若D=64，则BAC的度数为（ ）A. 64B. 34C. 26D. 24【答案】C【解析】【分析】连接B
15、C，利用圆周角定理得到ACB=90，B=D=64，然后利用互余计算出BAC的度数【详解】解：连接BC，D=64，B=D=64，AB是的直径，ACB=90，故选：C【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径添加辅助线是解题的关键二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分不需要写出解答过程，请用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接写在答题卡相应位置上）9. 分解因式：_【答案】(a+2)(a-2)【解析】【分析】原式利用平方差公式分解即可【详解】解：原式a222（a2）（
16、a2）故答案为：（a2）（a2）【点睛】此题考查了公式法分解因式的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键10. 在中，则的度数为_【答案】75【解析】【分析】根据等腰三角形的性质等到C=B，然后根据三角形内角和定理计算即可.【详解】解：AB=AC，C=B，又，.故答案为 75.【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，正确理解以上知识是解题的关键.11. 已知正n边形的一个外角是45，则n_【答案】8【解析】【详解】解：多边形的外角和为360，正多边形的一个外角45，多边形得到边数36045=8，所以是八边形故答案为812. 方程的解为_【答案】【解析】【分析】去分母，把
17、分式方程转化为整式方程，解整式方程，并检验即可得到答案【详解】解： 经检验：是原方程的根，所以原方程的根是： 故答案为：【点睛】本题考查的是分式方程的解法，掌握去分母解分式方程是解题的关键13. 已知菱形ABCD的对角线AC=10，BD=6，则菱形ABCD的面积为_【答案】30【解析】【分析】根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半列式计算即可【详解】菱形的面积【点睛】本题考查菱形的面积计算，熟练掌握菱形的面积等于对角线长乘积的一半是解题关键14. 要考察某运动员罚篮命中率，下表是在多次测试中的统计数据：罚球总数110182300100024003000罚进个数801402167451800225
18、3罚篮命中率0.7270.7690.7200.7450.7500.751估计该运动员罚篮命中的概率是_（结果精确到0.01）【答案】0.75【解析】【分析】用大量重复试验中频率逐渐稳定到的常数来表示概率即可；【详解】解：观察发现随着罚球次数的增多，罚篮命中率逐渐稳定到0.750附近，所以估计这次他能罚中概率是0.750，约为0.75故答案为：0.75【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验中，频率稳定到的常数可以估计概率，难度不大15. 如图，P是反比例函数的图像第二象限上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，若矩形PEOF的面积为6，则k=_【答案】-6【解析
19、】【分析】由矩形PEOF的面积为6，则，又因为点P是反比例函数y=的图像第二象限上的一点，所以k0，即可求出k值【详解】解：矩形PEOF的面积为6，又点P是反比例函数y=的图像第二象限上的一点，k0，k=-6，故答案为：-6【点睛】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义掌握反比例函数比例系数k的几何意义，即=S矩形PEOF是解题的关键.16. 如图，直线l的函数表达式为，过点作轴，与直线l交于点，以原点O为圆心，长为半径画圆弧交轴于点；再作轴，交直线l于点，以原点O为圆心，长为半径画圆弧交轴于点；，按此作法进行下去，则点的坐标为_【答案】【解析】【分析】根据题意，由A(1,0)和直线l关系式y
20、=2x，可以求出点B1的坐标，在RtOA1B1中，根据勾股定理，可以求出OB1的长；再根据OB1=OA2确定A2点坐标，同理可求出A3、A4、，然后找出规律，得出An的坐标，从而求得点A2021的坐标【详解】解：当x=1时，y=2，即A1B1=2，在RtOA1B1中，由勾股定理得，OB1=OA2，在RtOA2B2中，由勾股定理得，同理可求：，可得点的坐标为，点的坐标为，故答案为：【点睛】本题考查了一次函数图象上的点坐标特征，勾股定理，以及点的坐标的规律性在找规律时，A点的横坐标的指数与A所处的位数容易搞错，应注意三、解答题（本大题共11小题，共102分请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡指定区
21、域作答，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤）17. （1）计算：；（2）解不等式组：【答案】（1）1（2）x3【解析】【分析】对于（1），先根据，再计算即可；对于（2），分别求出和式的解集，再确定公共部分得出答案.【详解】（1）原式=1；（2），解不等式，得x3；解不等式，得x1.所以不等式组的解集式x3.【点睛】本题主要考查了实数的计算和解一元一次不等式组，掌握解题步骤是解题的关键.18. 先化简再求值：，其中【答案】；【解析】【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可【详解】原式=（）=当时，原式=【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键19.
22、某公司组织“爱心义卖”活动，购进了黑白两种颜色的文化衫共100件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难儿童.每件文化衫的批发价和零售价如表：批发价（元）零售价（元）黑色文化衫1025白色文化衫820假设文化衫全部售出，共获利1380元，求购进黑白两种文化衫各多少件？【答案】购进黑色文化衫60件，白色文化衫40件【解析】【分析】设购进黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依据黑白两种颜色的文化衫共100件，文化衫全部售出共获利1380元，列出二元一次方程组，求解即可求得【详解】解：设购进黑色文化衫x件，白色文化衫y件，根据题意得：解得答：购进黑色文化衫60件，白色文化衫40件【点睛】本题考查了
23、二元一次方程组的应用，当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程20. 如图，E、F分别为的边BC、AB的中点，延长EF至点D，使得，连接DA、DB、AE.求证：四边形ACED是平行四边形【答案】见解析【解析】【分析】由已知可得：EF是ABC的中位线，则可得EFAC，EF=AC，又由DF=EF，易得AC=DE，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形ACED是平行四边形；【详解】证明：E、F分别为ABC的边BC、BA的中点，EFAC，EF=AC，DF=EF，EF=DE，AC=DE，四边形ACED是平行四
24、边形；【点睛】此题考查了平行四边形的判定（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）、解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理21. 某校开展以“我们都是追梦人”为主题的校园文化艺术节活动，活动分为球类、书画、乐器、诵读四项内容，要求每位学生参加其中的一项，校学生会为了了解各项报名情况，随机抽取了部分学生进行调查，并对调查结果进行了统计，绘制了如下统计图（均不完整）：请解答以下问题：（1）本次调查抽取学生的人数是_；（2）补全条形统计图，并求出“球类”这一项所对应的扇形的圆心角度数是_；（3）若该校共有2100名学生，请估计该校参加“乐器”这一项的学生约有多少人？【答案】（1）150人 （2）
25、见解析，108 （3）210人【解析】【分析】(1)根据条形图得到参加“诵读”活动的人数，根据扇形图得到参加“诵读”活动的人数所占的百分比，求出抽取的学生数，得到答案；(2)根据扇形统计图得到参加“书画“这一项的人数，据此即可补全统计图；根据参加“球类”这一项所占的百分比，可求得“球类”这一项所对应的扇形的圆心角度数；(3)根据参加“乐器”这一项的人数所占百分比，估计总体，得到答案【小问1详解】解：由条形统计图可知，参加“诵读”活动的人数为60人，由扇形统计图可知，参加“诵读”活动的人数占40，抽取的学生数为：6040=150(人)；故答案为：150人；【小问2详解】解：参加“书画”这一项的人
26、数是：15020=30(人)，补全统计图如下：参加 “球类”这一项所对应的扇形的圆心角度数是：，故答案为：108；【小问3详解】解：该校参加“乐器”这一项的学生约有：(人)，答：该校参加“乐器”这一项的学生约有210人【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键22. 有A、B两组卡片，卡片上除数字外完全相同，A组有三张，分别标有数字1、2、-3；B组有二张，分别标有数字-1、2小明闭眼从A组中随机抽出一张，记录其标有的数字为x，再从B组中随机抽出一张，记录其标有的数字为y，这样就确定点P的一个坐标为（1）点P的横坐标为数字1的概
27、率为_；（2）用列表或画树状图的方法求出点P落在第一象限的概率【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）从A组中三张卡片中随机抽一张，有三种等可能的结果，利用概率公式求解即可；（2）画树状图，找出所有等可能的结果，从中选出符合条件的结果，利用概率公式求解即可【小问1详解】从A组中三张卡片中随机抽一张，有三种等可能的结果1、2、-3，故点P的横坐标为数字1的概率为【小问2详解】如图所示画树状图：共有6种等可能的结果，分别是（1，-1）、（1，2）、（2，-1）、（2，2）、（-3、-1）、（-3，2），其中（1，2）、（2，2）共2种结果落在第一象限，故点P落在第一象限的概率【点睛】本题考查概
28、率的计算方法，利用列表法或树状图法求出所有等可能的结果，再从中选出符合条件的结果，利用概率公式计算即可23. 如图，小王在点A处测得山顶B的仰角A为37，点A与山脚D处的距离为200米，山坡BD的坡度为1：0.5，求山的高度BC（参考数据：，）【答案】240米【解析】【分析】设BC=x，则DC=0.5x，在 中，根据 ，列出方程即可解决问题【详解】解：设BC=x，则DC=0.5x，在 中， ， ，x=240，答：山的高度BC为240米【点睛】本题考查解直角三角形仰角俯角问题、坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题24. 仔细读图，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安
29、，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为（小时），两车间的距离为（千米），图中的折线表示与之间的函数关系根据图象【读图既知】（1）西宁到西安两地相距_千米，两车出发后_小时相遇（2）普通列车到达终点共需_小时，它的速度是_千米/时【解决问题】（3）求动车的速度（4）普通列车行驶小时后，动车到达西宁，求此时普通列车还需行驶多少千米到达西安【答案】（1）1000，3；（2）12，；（3）250千米/小时；（4）千米【解析】【分析】（1）由x0时y1000及x3时y0的实际意义可得答案；（2）根据x12时的实际意义可得，由速度路程时间可得答案；（3）设动车的速度为x千米/小时，根据“动车3小时行驶的路
30、程普通列出3小时行驶的路程1000”列方程求解可得；（4）先求出t小时普通列车行驶的路程，继而可得答案【详解】解：（1）由x0时，y1000知，西宁到西安两地相距1000千米，由x3时，y0知，两车出发后3小时相遇，故答案为：1000，3；（2）由图象知xt时，动车到达西宁，x12时，普通列车到达西安，即普通列车到达终点共需12小时，普通列车的速度是 100012=千米/小时，故答案为：12，；（3）设动车的速度为x千米/小时，根据题意，得：3x31000，解得：x250，答：动车的速度为250千米/小时；（4）t4（小时），4（千米），1000（千米），此时普通列车还需行驶千米到达西安【点睛
31、】本题主要考查一次函数的应用，根据题意弄懂函数图象中各拐点坐标的实际意义及行程问题中蕴含的相等关系是解题的关键25. 如图，在RtABC中，B=90，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使BCM=2A（1）判断直线MN与的位置关系，并说明理由；（2）若OA=6，BCM=60，求图中阴影部分的面积【答案】（1）MN与O相切，理由见解析 （2）【解析】【分析】（1）MN是O切线，只要证明OCM=90即可（2）求出AOC以及BC，根据S阴=S扇形OAC-SOAC计算即可【小问1详解】解： MN是O切线理由：连接OCOA=OC，OAC=OCA，BOC=A+OCA=2
32、A，BCM=2A，BCM=BOC，B=90，BOC+BCO=90，BCM+BCO=90，OCMN，MN是O切线【小问2详解】解：由（1）可知BOC=BCM=60，AOC=120，在RtBCO中，OC=OA=6，BCO=30，BO=OC=3，BC=3，S阴=S扇形OAC-SOAC=【点睛】本题考查切线的判定、扇形面积、三角形面积等知识，解题的关键是记住切线的判定定理，扇形的面积公式26. 如图1，平面内有一点P到ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC，若有，则称点P为ABC关于点A的勾股点类似地，若，则称点P为ABC关于点B的勾股点（1）【知识感知】如图2，在45的网格中，每个小正方形的长
33、均为1，点A、B、C、D、E、F、G均在小正方形的顶点上，则点D是关于点_的勾股点；在点E、F、G三点中只有点_是关于点A的勾股点（2）【知识应用】如图3，E是矩形ABCD内一点，且点C是ABE关于点A勾股点，求证：CE=CD；（3）【知识拓展】矩形ABCD中，AB=5，BC=6，E是矩形ABCD内一点，且点C是ABE关于点A的勾股点，若ADE是等腰三角形，求AE的长【答案】（1）； （2）见解析 （3）或【解析】【分析】（1）求，得，即点的勾股点；求出，即点的勾股点（2）由矩形性质得，可得；根据勾股数得，又因为（3）由条件“点的勾股点”仍可得，作为条件使用 是等腰三角形需分3种情况讨论，把每
34、种情况画图再根据矩形性质和勾股定理计算，即能求AE的长【小问1详解】解： 点的勾股点 点的勾股点 点的勾股点 点的勾股点故答案为：【小问2详解】证明：如图3中，点的勾股点四边形是矩形 【小问3详解】解：矩形 点的勾股点 i）如图1，若 过点 四边形是矩形 设 解得： ii）如图2，若的垂直平分线上过点 四边形是矩形 中，iii）如图3，若 取 点 点内部，不符合题意综上所述，若是等腰三角形，长为或【点睛】本题属于四边形综合题，考查勾股定理、勾股定理逆定理的应用，矩形的性质，等腰三角形的性质，解一元一次方程和一元二次方程，圆的定义和圆周角定理等知识，解题关键是对新定义概念的性质运用，学会用分类讨
35、论的思想思考问题27. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AC的解析式；（3）试探究：在抛物线上是否存在一点P，使是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）如图2，点Q是x轴上一动点，将ACQ沿CQ翻折，得DCQ，连接BD，请直接写出BD的最小值【答案】（1）y=-x2+2x+3 （2）y=3x+3 （3）存在，或 （4）【解析】【分析】(1)设交点式y=a(x+1)(x3)，展开得到2a=2，可求得a，即可得到抛物线解析式；(2)根据二次函数的解析式可求得C(0,3)，再利
36、用待定系数法即可求得直线AC的解析式；(3)过点C、点A分别作AC的垂线交抛物线于另一点P，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数，设直线PC的解析式为，把C点、A点的坐标分别代入，求出b，即可分别求得直线PC的解析式，再分别与二次函数的解析联立成方程组，分别解方程组，即可分别求得；(4)根据题意可得CA=CD，可知点D的路径，再根据圆外一点与圆上任意一点的最短距离为该点与圆心的距离与半径的差，即可求得【小问1详解】解：设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3)，即y=ax2-2ax-3a，-2a=2，解得a=-1.抛物线解析式为y=-x2+2x+3；【小问2详解】解：当x=0时，y=-x2+2x
37、+3=3，则C(0,3)，设直线AC的解析式为y=px+q，把A(-1,0)，C(0,3)代入得 ，解得， 直线AC的解析式为y=3x+3；【小问3详解】解：存在；理由如下：过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图，直线AC的解析式为y=3x+3，直线PC的解析式可设为，把C(0,3)代入得b=3，直线PC的解析式为解方程组，解得或，则此时点P的坐标为；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P1，如图：直线P1C的解析式可设为，把A(-1,0)代入得，解得，直线P1C的解析式为，解方程组，解得或，则此时点P的坐标为；综上所述，符合条件的点P的坐标为或；【小问4详解】解：A(-1,0)，C(0,3)，将ACQ沿CQ翻折，得DCQ，点D在以点C为圆心，以CD为半径圆上，如图：B(3,0)，C(0,3)，点B在此圆外，当点B、D、C在一条直线上时，BD最短，此时，故BD的最小值为【点睛】本题考查了二次函数的综合，待定系数法求二次函数与一次函数的解析式，二次函数与一元二次方程，最短路线有关知识，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题