1、重难点03 正方形的性质与判定第11天层层惊醒见真形1.如图,在矩形中,分别是的中点,分别是的中点.问:当矩形的边长与满足什么数量关系时四边形为正方形,并说明理由.探究数量关系,不是相等就是倍数关系,据我观察,它可能是倍数关系,我们一起去看一下.解:当时,四边形是正方形.理由:四边形是矩形,分别为的中点,四边形是平行四边形,分别为的中点,四边形是平行四边形.如解图,连接分别为AD,BC的中点,四边形DMNC是矩形,是DN中点,四边形是菱形.要使四边形是正方形,则为ND的中点,为AD的中点,当时,四边形是正方形.听说你看见辅助线就头疼,小鹿带你去看一下不一样的作法.解法二：四边形是矩形,.分别是
2、的中点,四边形是平行四边形.,分别为的中点,.四边形是平行四边形.“一组邻边相等,且有一个角是的平行四边形是正方形,这下知道怎么往下写了吧!要使四边形是正方形,则.当时,四边形是正方形.数学家简介宋理宗淳祐四年(1244年),十一月,秦九韶解官建康通判,回湖州丁母忧,一边为母亲守灵,一边把自己几十年勤奋学习苦心钻研性的81个问题,分为9类,每类9题,成18卷,淳祐七年,世界最高水平的数学名著数书九章成书.秦九韶在数学上的主要成就是系统地总结和发展了高次方程数值解法和一次同余组解法,提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术,达到了当时世界数学的最高水平.第12天兄弟并肩心连心2.在正方形和正
3、方形中,顶点在同一条直线上,是的中点.(1)如图(1),若,求的长;(2)如图(2),连接.小宇观察后提出猜想:,请你帮助小宇证明此猜想.(1)解:;(2)证明:如解图(1),延长交于点,连接.四边形和四边形是正方形,且、共线,.又,.,.又,.为等腰直角三角形.做得有点累,喝口肥宅快乐水休息一下再继续吧!解法二:如解图(2),连接分别交于点四边形和四边形是正方形,且共线,是的中点,.有同学给小鹿说,他数学就两种题不会,这也不会,那也不会思想方法简介数学猜想:是推动数学理论发展的强大动力.数学猜想是数学发展中最活、最主动、最积极的因素之一,是人类理性中最富有创造性的部分.数学猜想能哆强烈地吸引
4、数学家全身心投人,积极开展相关研究,从而强力推动数学发展.数学猜想一旦被证实,就将转化为定理,汇人数学理论体系之中,从而丰富了数学理论.第13天数形结合立奇功3.(2021浙江温州市校级月考改编)如图,正方形和正方形的重叠部分是矩形.四边形和都是正方形,设它们的边长分别为若矩形的面积是,求正方形的边长.解:正方形EFGH的边长为,我知道了,下要用等式转换了，小鹿快夸我!,即正方形EFGH的边长为.第14天万变不离底乘高4.（2020浙江温州市校级期末)已知中,以三边为边长分别向外作三个正方形,连接,得到六边形,求六边形DEFGHI的面积.解:如解图,过点作交EA的延长线于点,过点作于点.,同理
5、可证,设,则,在中,由勾股定理得,解得,三个臭皮匠,顶个诸葛亮,此等庞然大物也经不住我把它大卸八块.第15天十字模型转换器5.如图,在正方形中,为边上一点不与点重合,垂直于的一条直线分别交于点(1)如图,线段之间有怎样的数量关系?请加以证明;(2)如图,若点恰好为的中点,连接,交于点,连接并延长交边于点.求的度数.解:(1)线段之间的数量关系为:;证明:四边形是正方形,我知道,我知道,这是“十字模型”,作平行可以构造一线三垂直,跟小鹿看看!如解图(1),过点作分别交于点,则四边形为平行四边形，,解法二:如解图,过作于点,交于点,则四边形为矩形,四边形为正方形,(2)如解图(3),连接,过点作,
6、分别交于点,四边形是正方形,四边形ABIH为矩形,是正方形ABCD的对角线,既有垂直,又有,那应该是要用等腰直角三角形的性质来求解了.是等腰直角三角形,是AE的垂直平分线,在和中,是等腰直角三角形,即.综合强化练31.(2020湖南师大附中模拟改编)如图,边长一定的正方形为上的一个动点,交于点,过作交于点,过点作于点,连接.(1)求证:;(2)求证:;(3)求证:;(4)判断是否为定值,若是,请证明;若不是,请说明理由.(1)证明:如解图(1),过点作于点.长交于点,则,四边形是正方形，.;办法总比困难多,等学了四点共圆的知伬以后会觉得用四点共圆更简单.解法二:如解图(1),连接,四点共圆(2
7、)证明:如解图(2),连接,交于点,由同角的余角相等知,;(3)证明:如解图(3),将绕点顺时针)至,使和重合,连接,则,在同一条直线上.别想当然地以为三点就在同一条直线要证明哦！这个方法很常用.,小鹿提示:这是半角模型,学习一下.,(4)解:是定值,证明:如解图(4),过点作于点于点点是对角线上的点,四边形是正方形,易证功夫不负有心人,小鹿终于解决了这个疑难杂症!2.（2020四川成都市区级模拟)如图,点是正方形的边上一点,连接,点是线段上一点,的平分线交射线于点,连接.(1)如图(1),连接,若点为线段的中点,求的长;(2)如图(2),若,求证:.(1)解:设,则,.在中,为斜边的中点,由勾股定理可得,即,解得或(舍去).;(2)杨你三种解法,千万别跖我哦.证明:如解图(1),过点作,交的延长线于点,过点作于点.平分.又.是等腰直角三角形,我觉得作平行线也可以求得结果,解法二:如解图(2),过点作于点,过点作交的延长线于点,则,又,.同理可得，.,解法三:如解图（3),分别过点作的垂线,垂足为,同理可得,为等腰直角三角形，,四边形为正方形,点共圆，,为等腰直角三角形,易证,.