1、重难点重难点 0606 概率的计算概率的计算 第第 2 26 6 天天 图形面积定概率图形面积定概率 1.如图,小明在边长为 4 的正方形 ABCD 纸片中，画出正方形 EGFH,满足 E,F 是对角线 AC 上的点,且12AECFEF,点 G,H 分别是 AB,CD 边上的中点,现随机往正方形纸片上投一粒米,求米粒落在四边形EGFH 上的概率。 几何概型,说是求概率,其实质也就是面积计算. 解:如解图,连接BD交AC于点O,连接GH. 四边形ABCD是正方形, 2ABCD=4 =16,ABCDGAEHCF S正方形Q点,G H分别是,AB CD的中点, AGCH, AECFQ, AGECHF
2、VV GEHF, AEGCFH ,/ /GEFHFEGEFH 四边形EGFH是平行四边形, EF与GH互相平分, GH经过点,O OEOF, 11228AGOAOBABCDSSSVV正方形 1,1,442AEGECOECOECFHAECFEFAEOEOFCFSSSS VVVQ四边形 P(米粒落在四边形41164EGFH . 用公式A()( )()P A 构成事件 的区域长度 面积全部结果所构成的区域长度 面积让几何概型无处遁形. 第第 2 27 7 天天 离心环绕分别算离心环绕分别算 2.(2020重庆八中月考改编)如图,在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点,任意三
3、个格点组成的三角形面积如果不小于 1,则称为“离心三角形”,而如果面积恰好等于 1 则称为“环绕三角形”.A,B 是网格图形中已知的两个格点，点 C 是另外一格点,且满足ABC 是“离心三角形”,现从满足条件的格点中,随机挑选一个格点,求得到的ABC 是“环绕三角形”的概率. 什么“离心”,“环绕,别吓我,不就是面积嘛! 解:如解图,满足ABCV是“离心三角形”的点C共有 11 个,其中ABCV是“环绕三角形”的点C有4791011,CC C CC，,共 5 个,(PABCV是“环绕三角形5)11. 总结:不要被新定义吓跑! 第第 2 28 8 天天 田忌赛马出奇招田忌赛马出奇招 3.田忌和齐
4、王赛马是历史上著名的故事.设齐王的三匹马分别记为123,aa,田忌的三匹马分别记为123,b b b, 三 匹 马 各 比 赛 一 场 , 胜 两 场 者 获 胜 . 若 这 六 匹 马 比 赛 优 劣 程 度 可 用 不 等 式112233ababab表示. (1)如果双方均不知道比赛的对阵方式,求田忌获胜的概率; （2)田忌为了得到更大的获胜概率,预先派出探子到齐王处打探实情,得知齐王第一场必出上等马,那么,田忌应该怎样安排出马顺序,能使自己获胜的概率最大?最大概率是多少? 齐王又不傻,自已的出马顺序会告诉你?咱还是算概率吧! 解:(1)齐王与田忌赛马的对阵方式有如下 6 种情况; 112
5、233112332122133, a ba ba ba ba ba ba ba ba b、，、 122331132231132132,a ba ba ba ba ba ba ba ba b、，。 其中田忌获胜的对阵方式只有一种 132132,a ba ba b、 1( );6P田忌获胜 （2）知已知彼，百战不殆，探子得知齐王第一场必出上等马1a,若田忌第一场出上等马1b或中等马2b,则剩下两场中至少输掉一场,这时田忌必败.为了使自己获胜的概率最大,田忌第一场应出下等马3b,后两场有两种情形: (1)若齐王第二场派出中等马2a,可能的对阵方式有 2132,a ba b、或者 2231,a ba
6、b、,(P田忌获胜1)2; (2)若齐王第二场派出下等马3a,可能的对阵方式有 3122,a ba b、或者 3221,a ba b、, 1(),2P田忌获胜 田忌按312,b b b或者321,b b b的顺序出马,能使自己获胜的概率最大,最大概率是12. 似乎看了一场激烈的赛马. 第第 2 29 9 天天 跳棋游戏真好玩跳棋游戏真好玩 4.一个不透明的袋子内装有质地大小完全相同的四个小球,分别标记数字 1,2,3,4.如图是一个正六边形棋盘,现通过摸球的方式玩跳棋游戏,规则是:从袋子内随机取出一个小球,当计算完袋子内其余三个小球上的数字之和并记为n后将小球放回,然后从图中的A点开始将棋子沿
7、着逆时针方向连续跳动n个顶点,第二次从第一次的终点处开始,按第一次的方法跳动. (1)随机摸球一次,则棋子跳动到点E处的概率是_； （2)随机摸球两次,用画树状图或列表的方法,求棋子最终跳动到点D处的概率. 学习累了一天,小鹿带你玩会跳棋吧! 解1:(1);4【解法提示】 随机摸球一次,n的值可以为6,7,8,9,即共有 4 种等可能的结果,其中只有当8n时,棋子跳动到点E处,则(P棋子跳动到点E处1)4. (2)根据题意列表如下: 由表格可知，共有 16 种等可能的结果，能到达点 D 处的和为 15,有 4 种结果, P(棋子最终跳动到点 D 处)=41164 第第 3030 天天 应用概率
8、去平移应用概率去平移 5.(2019辽宁锦州市模拟)如图,在直角坐标系中的正方形 ABCD边长为 4,正方形 ABCD 的中心为原点O.现做如下实验:抛掷一枚均匀的正方体骰子(六个面分别标有 1 至 6 这六个点数中的一个)，每个面朝上的机会是相同的,连续拋抩两次,将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点P的坐标(第一次的点数作为横坐标,第二次的点数作为纵坐标). (1)求点P落在正方形 ABCD 平移整数个单位,则是否存在一种平移,使点P落在正方形AB CD 面上的概率为1?3若存在,请指出平移方式;若不存在,请说明理由. 昨天学累了玩跳棋，今天学累了掷骰子，每日一题，每日一技. 解：（1）根据题
9、意列表如下： 由表格可知,点P的坐标共有 36 种等可能的结果,其中点P的坐标为(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)时,落在正方形ABCD面上,共有 4 种结果. P点P落在正方形ABCD面上=41369; (2)存在,要使点P落在正方形ABCD面上的概率为1121,3369只能将正方形ABCD向上或向右平移整数个单位,经计算知,当点D的坐标为(3,4)或(4,3)时符合题意. 存在满足要求的平移方式,将正方形ABCD先向上平移 2 个单位,再向右平移 1 个单位(或先向右平移 1个单位,再向上平移 2 个单位),或者先向上平移 1 个单位,再向右平移 2 个单位(或先向右平移 2
10、个单位,再向上平移 1 个单位). 综合强化训练综合强化训练 6 6 1.从-2,0,1,2,3 中任取一个数作为a,既要使关于x的一元二次方程2(24)axaxa80 有两个不相等的实数根,又要使关于x的分式方程2311xaaxx有正数解,则符合条件的概率是_ 又是实数根,又是正数解,要难死我吗?要是记得努尔哈赤“凭你几路来,我只一路去”,集中兵各个击破的战术就不会觉得难了. 15【解析】Q关于x的一元二次方程2(2axa4)80 xa 有两个不相等的实数根,0a 且2(24)4 (8)0aa a, 解 得1a且a 0; 分 式 方 程2311xaaxx, 去 分 母 , 得2xaa3(1)
11、x,解得3,2axQ分式方程211xaaxx3有正数解,302a且312a,解得3a且1,aa 的范围为13a 且0,1aa,从2,0,1,2,3中任取一个数作为a,符合条件的a只有1个,为 2,故(P符合条件1)5. 2.(2020 浙江杭州市区级模拟)某大型旅游景区分为 4 个独立区域 A、B、C、D,小虎一家计 划用两天时间游览两个区域:第 1 天从 4 个独立区域中随机选择 1 个,第 2 天从余下的 3 个中再随机选择-一个，如果每个独立区域被选中的机会均等. (1)请用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果; (2)求小虎-家第一天游览 A 区域,第二天游览 B 区域的概率;
12、 (3)求 C 区域被选中的概率。 解： （1）这种试题也想难住我？画完树状图或列完 表答案不就出来了 画树状图如解图； (2)由(1)中的树状图可得,共有 12 种等可能的结果,其中小虎一家第一天游览A区域,第二天游览B区域的结果只有 1 种,P(小虎一家第一天游览A区域,第二天游览B区域1)12;(3)由(1)中的树状图可知,C区域被选中的结果有 6 种,P C区域被选中)12. 3.（万唯原创）小聪的笔袋中装有 6 只中性笔,除颜色外其余均相同,其中有 3 只黑色中性. 笔,2 只红色中性笔,1 只蓝色中性笔。 (1)随机从笔袋中拿出 2 只中性笔,请你计算恰好拿出一只黑色和一只红色中性
13、笔的概率; (2)若规定取出黑色中性笔得 1 分,取出红色中性笔得 2 分,取出蓝色中性笔得 3 分,每取出一次中性笔记分后放回,小聪共取了 6 次,总共得分是 10 分,请你列举出小聪取出的中性笔的颜色组合有几种情况(不考虑顺序). 解： （1）根据题意列表如下： 由列表可知,共有30种等可能的结果,其中恰好拿出一只黑色和一只红色中性笔的结果有12种,(P恰好拿出一只黑色和一只红色中性笔122)305; (2)题目看起来很难,别怕,只要记得次数不能为负就能逐一击破了. 设小聪取出黑色中性笔x次,取出红色中性笔y次,则取出蓝色中性笔(6)xy次, 由题得23(6)10 xyxy,即82yx, ,6x yxyQ均为自然数,668xyx 22 0,820,0 xxxx厖?,24x 剟,当2x时,4,60;yxy 当3x 时,2,61yxy; 当4x时,0,62yxy. 综上所述,小聪取出的中性笔颜色组合共有 3 种情况，分别是黑色 2 次，红色 4 次，蓝色 0 次；黑色 3 次，红色 2 次，蓝色 1 次；黑色 4 次，红色 0 次，蓝色 2 次