1、重难点01 菱形的性质与判定第1天“一带一路”证图形1.如图(1),为等腰三角形,是底边上的一个动点,(1)用表示四边形的周长为_;(2)点运动到什么位置时,四边形是菱形,请说明理由;(3)如果不是等腰三角形(如图(2),其他条件不变,点运动到什么位置时,四边形是菱形,请说明理由.解:【解法提示】四边形为平行四边形,四边形的周长为.(2)问你什么位置的时候,不妨先考虑特殊位置.当为中点时,四边形是菱形.理由:如解图(1),连接四边形为平行四边形,为的中点,四边形是菱形;(3)点运动到的平分线上时,四边形是菱形.理由:如解图(2),四边形是平行四边形,平分四边形是菱形.第2天等底合高求面积2.如
2、图,在菱形中,点是直线之间任意一点,连接,记,则是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.都这么问了,那就先肯定再论证.解:为定值,如解图,连接交于点,过点作于点,过点作的平行线,交的延长线于点,交延长线于点,四边形是菱形,第3天菱形对称构直角3.如图,在菱形中,点在对角线上(不与点重合)设,求之间满足的等量关系.有多少人总被数学题中的字母吓到,不要回避,说的恐怕就是你.解:如解图,连接PC,过点P作的延长线于点H,四边形是菱形且四边形是平行四边形.第4天千方百计找对称4.如图,菱形的边的垂直平分线交于点,交于点,连接.当时,求的度数.小鹿好认真啊!据说他有神奇的求角度三步法:先看
3、图,再思考,作辅助线证全等忘不了!解法一：解:如解图(1)，连接,四边形是菱形易证垂直平分解法二:如解图(2),过点作于点四边形是菱形,点为的中点,点为的中点,垂直平分第5天“架桥连通”有关系5.如图,在菱形中,为对角线上一点,将线段绕点逆时针旋转,点的对应点为,连接.(1)求证:三点共线;(2)若点为的中点,连接,求证:.证明:看到含角的菱形,小鹿的第一反应是有两个等边三角形四边形是菱形,是等边三角形,由旋转的性质得,手拉手全等模型最关键的一步,学好了!易证,三点共线;(2)如解图,过点作,交AG的延长线于点,则点为的中点,易证(AAS),，,由得,易证大多数人目前的状态是:学不进去,说不痛
4、快,睡不踏实,浑身不对劲,吃的还特别多.综合强化练11.问题:将菱形的面积五等分.小红发现只要将菱形周长五等分,再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题.如图,点是菱形的对角线交点,下面是小红将菱形面积五等分的操作与证明思路,请补充完整.(1)在边上取点,使,连接;(2)在边上取点,使_，连接;(3)在边上取点,使_，连接;(4)在边上取点,使_,连接由于+_=_+_=_+_=_.可证解:.很简单,就不用解释了.2.浙江杭州市区级期末改编)如图,四边形是菱形,点分别是边上的两个动点,若线段长的最大值为,最小值为8,求菱形的边长.解:如解图,过点作,交的延长线于点,四边形是菱形，,点分别是菱
5、形的边上的两个动点,当点与点重合,点与点重合时,有最大值,即,当时,有最小值,即直线与直线之间的距离为8,题目条件给得很晦涩,翻译过来原来是这!,.即菱形的边长为10.3.如图,在菱形中,在内作射线,点关于的对称点为,连接并延长,交于点若,求线段的长.看到对称点,小鹿第一反应就是要连接解:如解图,连接,过点作于点.点关于的对称点为,垂直平分,四边形为菱形，.,为等腰直角三角形,即,.4.如图,在菱形中,为线段上一点(不与重合),以为边在上方作等边,线段交于点,连接为线段的中点,连接,求证.证明:如解图,延长至点,使，连接,四边形是菱形,等边三角形.是等边三角形,我们好像在哪见过,你记得吗?易证,是的中点,是的中点,是的中位线,.如果学习了相似,本题还有一种解法,手拉手模型不仅有全等,还有相似哦!解法二:如解图(2),我们先连接交于点,再连接.四边形是菱形，.是的中点,是的中位线.5.如图,在四边形中,是四边形内一点,且.(1)求证:;(2)求证:四边形是菱形.证明:(1)如解图,延长AO到点,又,同理可得,即,又;(2)如解图,连接OC,又,又,四边形是菱形.听说还有更简单的方法哦!解法二:如解图,还是先连接OC,由得,四边形是平行四边形,四边形是菱形.用简单方法,它不香吗?