1、重难点重难点 0808 相似的性质与判断相似的性质与判断 2 2 第第 3 36 6 天天 一线平行两相似一线平行两相似 1.万维原创在 中,点是射线上一点,点是射线上一点, = 2, = 3. (1)如图,当点在边上,点在边上时,求的值; (2)如图,当点在的延长线上,点在的延长线上时,求的值. 怎么看都要先作平行线,不知道我能找到几种解法? 解:(1)解法一： 如解图(1),过点作/交于点,则 . = = 3,=23. = 2, = .=23. /, . =32; 解法二： 如解图（2),过点作交于点. = 2, = . = , = 2. , .= = 3,=2=4=14 =14. 设 =
2、 ,则 = 4. = = + = 5. = + = 6. =64=32. 不是说“一线平行两相似吗?为啥这个解法只有一个相似?别逗了,利用中位线也可以说是利 用相似,你看 和 相似不? 解法三: 如解图(3),过点作/,交的延长线于点,则 = , = . = 2, = . . 全等是特殊的相似,怎么特殊?你自己想吧！ = . /, .= = 3,=32=32. 自己总结一下收获吧！ (2)解法一： 经过(1)问多种解法和洗礼,本问还不在你面前瑟瑟发抖? 如解图(4),过点作/交于点,则 . = = 3, =43. = 2, = 3. =3=49. /, .=94. 如此甚好,把我的平行大法练习
3、的炉火纯青. 解法二: 如解图(5),过点作交于点,则 . = = 2,=23 =23. = 3, = 4 =83., . =38. 设 = 3,则 = 8, = = 5.=23, = 2 = 10. = + = 18.=188=94. 解法三: 如解图(6),过点作/,交于点,则 = = 2,=13 = 3 /, = = 3,=34 =43 =343=94 条条大路通罗马,线线平行得相似 第第 3 37 7 天天 一线垂直两相似一线垂直两相似 2.如图,在四边形中, = 90,对角线、交于点, = , ,若 = 6, = 10,求的长. 解法一: 辅助线有两大利器平行和垂直,昨天练习了平行,
4、今天教你作垂线. 如解图(1),过点作 于点,则 = = 90 又 = , . =. , = 90, /. = = =2= 5,是 的中位线. = 2 2= 8,6=58. 解得 =154. = 2 =152. 如果没有明白为啥是丙个相似三角形,看看昨天的题 解法二: 如解图(2),过点作 于点,则 = = 90, 又 = , . =. = 2 2= 8,810=6=8. 解得 =245, =325, = 90, = , = , = . 又 = = 90, .=即245=32510 =152. 解法三: 如解图(3),过点作 于点,则 = = 90, 又: = , = , (AAS), = =
5、 6, = 90, = 10, = 6, = 2 2= 8 = = 90 + = 90, + = 90, = , 又 = = 90, , =,即68=10, =152. 第第 3 38 8 天天 等角难找等比替等角难找等比替 3.如图,在 中, = ,点在边上移动(点不与点,重合),点、分别在边 ,上,且 = . (1) 求证: ; (2)当点移动到的中点时,求证:平分. 证明:(1) = , = , = 180 , = 180 , = , = , ; (2)由(1)得 ,=. 点是的中点, = ,=. 由(1)知 = = , , = . 平分. 想证相似找不到等角怎么办?试试等比吧!就像本题
6、-样,有没有种“山重水复疑无路,柳暗花明又一村的感觉呢? 第第 3 39 9 天天 巧用相似转比值巧用相似转比值 4.已知等 中, = ,/, ,连接交于点. (1)如图,若 = 5, = 6,求的值; (2)如图,过点作 于点,与交于点,试探究与的数量关系并说明理 由. 解：想到套路了吗?比值一般是不能直接求的,转化!转化!转化!重要的事情说三遍. (1)如解图(1),过点作 于点, = = 5, = 6, = = 3, = 2 2= 4, /, , + = 90, , = = 90, + = 90, = , ,=.即5=35. 解得 =253, /, ,=2518 (2) = . 理由:如
7、解图(2),过点作/交于点,则 , . =,= /, , = ,= = , = , = , , = = 90, ,=,=, = , = ,= 1 现在知道全等是怎样一种特殊的相似了吧? = . 辅助线的两大利器是不是都用上了呢? 第第 4 40 0 天天 直角顶点三垂现直角顶点三垂现 5.如图,在 中, = 90, 于点,是边上一点,连接交于点,作 交于点. (1) 求证: ; (2)若 = , = ,求的值. (1)证明: , = 90, + = 90, + = 90. = . , = = 90, + = 90, + = 90. = . ; (2) 解:“直角顶点斜靠线,一线三垂更易现 解法
8、一：如解图(1),分别过点,作 于点, 于点,过点作 于点,则四边妍是矩形, = . = , = , 设 = ,则 = , = + = ( + 1). =1 =( + 1). , = 90, /. .=( + 1)= + 1. =:1. /, = , 由(1)得 = , = . 又 = = 90, . =1. =1. = + 11=2 + 1.=2 + 1. = + 12. 由(1)得 , =( + 1) = + 1. 即+12=:1. =. = 90, = = 90, + = 90, + = 90. = , . =. 解法二: 如解图(2),过点作交于点 P. = , = ,设 = ,则 =
9、 , = + = ( + 1). =1 =(:1). 由(1)得 ,=(+1)=:1, =:1. , = = 90,由(1)得 = , .= = = 90, = , ,= .= . = , = , = 2 =12 ,=,= . = , =1 + 1, =121 + 1= + 12, =:12.:1 =:12.=. 综合强化练综合强化练 8 8 万维原创万维原创 1.如图,正方形的对角线相交于点,将 绕点逆时针旋转得到 （1）求的值 （2）若正方形的边长为 1,当点,和点在同一条直线上时,求的长. 解:(1)比值的套路,我就不想再说了! 设正方形的边长为, 则 = 2+ 2= 2, = = 45
10、, =12 =22. 由旋转的性质得= = , = =22, = .=22=22,=2=22, = . =, = . .=22; (2) 正方形的边长是 1, = 2+ 2= 2. = =12 =22. 由旋转的性质得 = =22,= =22, = = 90. 做到这里希望诸君三思而后行. 如解图,当点在线段上时, = 2 2=62. = =6 22. 由(1)得=22, =22 =3 12 如解图,当点在线段上时,同理(1)可得 =62 = + =6:22. 由(1)得=22, =22 =3 + 12 综上所述,的长为3;12或3:12. 2.已知四边形中,分别是,边上的点,与交于点. (1
11、)如图(1),若四边形是平行四边形.试探究:当与满足什么关系时,使得=成立?并证明你的结论; (2)如图 2,若 = = 4, = = 6, = 90, ,求的值. 解:(1)看结论就长个相似的模样,如果不能直接相似,那就间接相似. 当 + = 180时,=成立. 证明:四边形是平行四边形, = ,/, + = 180, + = 180, = = , 此为对角互补找等角的一种套路. = , ,=, = , + = 180, + = 180, = = , = , ,=,=,=. 即当 + = 180时,=成立; (2)又是比值,似曾相识燕归来. 如解图,过点作 于点, 交的延长线于点,连接,设 = , = 90,即 = = = 90, 四边形是矩形， = = , = , 易证 (SSS), = = 90, + = 180, + = 180, = , = = 90, , =,即=46,解得 =23, 在Rt 中, =23, = = 4, 由勾股定理得2+ 2= 2,即( 4)2+ (23)2= 42, 解得1= 0(舍去),2=7213, =7213, , = = 90, + = 180, + = 180, = , = = 90, ,=67213=1312 本周含金量很足,不着急翻页,停下来总结总结.