1、重难点重难点 0 02 2 矩形的性质与判定矩形的性质与判定 第第 6 6 天拨开迷雾现图形天拨开迷雾现图形 1.(2020 广西百色市期末改编)如图,在菱形ABCD中,点、EF分别在边,AB CD上,DFBE,连接,.AF CE点,H G分别是,AF CE上的点,连接,EH FG,若,90oAHCGAEHAFD,求证:四边形HEGF是矩形. 证明:Q四边形ABCD是菱形, ,DB ADBC 易证SAS ,VVADFCBE ,AFDCEB AFCE ,Q即AHCGAFAHCECGHFGE / /,Q ABCDDCECEB ,/ /,DFADCEAFCE 四边形HEGF是平行四边形 90 ,oQ
2、AEHAFDAFDCEB 90 ,oAEHCEB 18090 ,ooHEGAEHCEB 四边形HEGF是矩形. 让你同桌猜一下这是什么图形:四四方方口模样, 有口无心空荡荡,上下左右互垂直,俩长两短组成框 数学家简介 赵爽,东汉末至三国时代吴国人.他是我国历史上著名的数学家与天文学家.他的主要贡献是约在 222 年深人研究了 周髀 ,为该书写了序言,并作了详细注释.该书是我国最古老的天文学著作,唐初改名为 周髀算经 ,该书简明扼要地总结出中国古代勾股算术的深奥原理.其中一段 530 余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献.赵爽详细解释了周髀算经中的勾股定理,将勾股定理表述为:“勾股各
3、自乘,并之,为弦实.开方除之,即弦.并给出了新的证明. 第第 7 7 天转身与你等距离天转身与你等距离 2.如图,在矩形ABCD中,3,4ABBC,点,E F在对角线AC上,点,M N分别在边,AD BC上,连接,.EM MF FN EN若1,2AECFAMCN,当四边形EMFN为矩形时,求线段AM的长. 往 往那些不起眼的辅助线,才能让你柳暗花明又一村 解:如解图,连接MN,过点M作MHBC于点H,则四边形ABHM是矩形, 3,3,4,QMHABABBC 225,42设则ACABBCBHAMxHNBCBHCNx, 当四边形EMFN是矩形时, 4,MNEFACAECF在RtVMHN中，由勾股定
4、理得 2223(42 )4 ,x解得47,2x AM的长为472或472. 第第 8 8 天同高面积同底比天同高面积同底比 3.如图,在矩形ABCD中,4,6,3,2ABBEECEFAF,BF的延长线交AC于点P,连接PD,求VAPD的面积. 解:如解图,连接PE. Q在矩形ABCD中,4,6,3ABBEEC, 112,2VABESAB BE 16,2VAECSCE AB 2,Q EFAF 124,8,33VVVVABFABEBEFABESSSS ,2 ,28,VVV设则APFPEFPBESxSx Sx 2,Q BEEC 4,VPECSx VVVVQAECAPFPEFPECSSSS, 246,
5、 xxx 解得0.5x. 31.5144.53VVVVEAPDAPEPCDPCSSxAPSxPCS, 我走过最长的路就是命题人的夽路,没想到吧,这道题竟然是用面积比导出来的,小生学到了. 又118,2VVVVQDAPDPCACDABCSSSSABBEEC 11184.544VVAPDACDSS 第第 9 9 天补全缺角迎刃解天补全缺角迎刃解 4.如图,在矩形ABCD中,8,6ABAD,点,E F都在CD上,点P在AD上,连接,PE BP BF,若,2180oEFPEFBPABPAPBDPE,求线段AP的长. 解:如解图,分别延长PE、BF,交于点 G. Q四边形ABCD是矩形,8,6,90 ,
6、6,oABADACDBCAD 2180oQAPBDPE 180 ,oAPBGPBDPE APBGPB.易证ASAVVPABPGB, ,8,90oPGPA BGABAG, 易证(VVDPEGFEAAS),DEGE GFDP PEGEEFDE,即,PGDFPGDFPA 即88,6CFDFAPGFDPADAP AP,即8862, BFGFAPAP 22290 ,oQCBCCFBF,即2226(8)(2) ,APAP 24.5AP 世上无难事,只怕有心人 第第 1010 天平行构筑同位角天平行构筑同位角 5.如图,在矩形ABCD中,M为AB上一点,N为BC上一点,且,AMBC CNBM,连接,AN C
7、M交于点P,求APM的度数. 解:如解图,在AD上截取AECNBM,连接ME,CE 易证VVAEMBMC(SAS), EMMC,AMEBCM, 90oQBCMBMC, 90oQAMEBMC, 90oEMC VEMC为等腰三角形，45oECM 四边形ANCE为平行四边形,/ECAN, 45oAPMECM. 综合强化练综合强化练 2 2 1.如图,在矩形ABCD中,3,8ABBC,四边形ECGF为菱形,点G在AD上,点B在EF上,若菱形的一条对角线4 5CF,求菱形ECGF的另一条对角线EG的长. 解:如解图,延长EF交DA延长线于点H, Q四边形ABCD是矩形, / /,ADBCCBEGHF Q
8、四边形ECGF是菱形, ,/ /,CEGF CEGFCEBGFH AAS ,VVBCEHGF ,.VVBCEHCFBCHG SS /,Q又BCHG四边形BCGH是平行四边形 ,Y矩形菱形BCGHABCDGFBCSSS 13 812 5,2254 5CF GEAB BCGE 解法二:如解图,延长,DA CF交于点M,设CF与GE交于点O.四边形ABCD是矩形, / /,ADBC ,MFCB Q四边形BCGF是菱形 / /,VVEFCGCFBFCGFBCCGM ,FCCMBCGM 54 5,8,2QQCMCFBCGECFGM 90 ,oQ又MOGDOMGDMC ,3,VVQGMOGMGOMCDAB
9、CDCMDC 26 512 5,2.3555OGOGEGOG 2.如图,已知O是矩形ABCD内一点,且1,3,4OAOBOC,求OD的长. 解:如解图,过点O作EFAD于点E,交BC于点,F过点O作GHDC于点,G交AB于点.H 无从下手的时候先设末知数 设,CFx FBy AHS HBt,则 ,OGx DGs. 22222OFOBBFOCCF即222234yx 227(1)xy 同理有2222213,OHst 228(2)ts, 字母多没关系,找找它们之间的关系,一定可以很快求出答案的. 又222Q OHHBOB,即229yt, (1)-(2)得 22221 xsyt, 222222219
10、ODOGGDxsyt 3.(2020 湖北武汉市期中改编)如图(1),在矩形ABCD中,E是CB延长线上一点,、FG分别是,AE BC的中点,FG与ED交于点H. (1)求证:HEHG; (2)如图(2),当BEAB时,过点A作APDE于点P,连接PB,求证:2PEPAPB. (1)证明:如解图(1),延长BC至点M,且使CMBE,连接AM、DM,则BMCE, Q四边形ABCD是矩形, ,/ /,90ABDC ADBCBADABCDCB, 易证(SAS)VVABMDCE, AMBDEC, ,Q EBCM BGCGG为EM的中点, 又Q F为AE的中点, FG为VAEM的中位线, / /, FG
11、AMHGEAMBDEC, HEHG; (2)解:要证2倍关系,那我猜肯定与45有关系,不妨作个垂直试试! 如解图（2),过点B作BQBP交 DE 于点Q, 则90PBQ, 18090QABEABC EBQABP, / /, Q ADBCADPBEQ, ,90Q APDEBAD, 90 ,90BAPPADADPPAD BAPADP, BEQBAP, 易证(ASA)VVBEQBAP, 哈哈,这个模型义来了,这次我已经能搞定了! ,PAQE QBPB, VPBQ是等腰直角三角形,2PQPB, 2PEPAPEQEPQPB. 生活就像淋浴，方向转错，水深火热，大声地用方言说出来:尘埃尚未落定，一切皆有可能