1、甘肃省陇南市康县甘肃省陇南市康县 2020-2021 学年高一学年高一上期中数学试卷上期中数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的要求的. 1 （5 分）设集合 A1，2，4，B2，6，则 AB 等于（ ） A2 B1，2，4，6 C1，2，4 D2，6 2 （5 分）设集合 U1，2，3，4，5，A1，2，3，B2，4，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A4 B2，4 C4，5 D1，3，4 3 （5 分）若 f（x）2x，
2、则 f（2）（ ） A4 B2 C D 4 （5 分）下列函数是偶函数的是（ ） Ay2x23 Byx3 Cyx2，x0，1 Dyx 5 （5 分）函数的定义域是（ ） AR Bx|x0 Cx|x0 Dx|x0 6 （5 分）下列四组函数中，表示同一个函数的是（ ） A B C D 7 （5 分）函数 f（x）2x+x 的零点所在的区间为（ ） A （2，1） B （1，0） C （0，1） D （1，2） 8 （5 分）设 a20.5，b0.52，c，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bbca Ccba Dbac 9 （5 分）已知函数 f（x）对任意 x，yR 都有 f（x+y
3、）f（x）+f（y） ，且 f（2）4，则 f（1）（ ） A2 B1 C0.5 D2 10 （5 分）已知函数 yf（x）是 R 上的减函数，若 f（a）f（2） ，则 a 的取值范围是（ ） Aa2 Ba2 Ca2 Da2 11 （5 分）设函数 f（x），则满足 f（x）2 的 x 的取值范围是（ ） A1，2 B0，2 C1，+） D0，+） 12 （5 分）定义集合 A、B 的一种运算：A*Bx|xx1+x2，x1A，x2B，若 A1，2，3，B1，2，则 A*B 中的所有元素之和为（ ） A21 B18 C14 D9 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，
4、每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）函数 f（x）ax（a0 且 a1）的图象恒过点 14 （5 分）函数的定义域是 15 （5 分）如图，函数 f（x）的图象是曲线 OAB，其中点 O，A，B 的坐标分别为（0，0） ， （1，2） ， （3，1） ，则 f（）的值等于 16 （5 分）若函数 f（x）同时满足：对于定义域上的任意 x，恒有 f（x）+f（x）0；对于定义域上的任意 x1，x2，当 x1x2时，恒有，则称函数 f（x）为“理想函数” 给出下列四个函数中： （1）f（x） （2）f（x）x2 （3）f（x） （4）f（x）， 能被称为“理想函数”的有 （填相
5、应的序号） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤程或演算步骤 17 （10 分）计算： （1）12022313(2)( 9.6)(3)(1.5)48 ； （2） （lg5）2+lg2lg50 18 （12 分）设全集为实数集 R，Ax|3x7，Bx|2x10，Cx|xa （1）求R（AB）及（RA）B； （2）如果 AC，求 a 的取值范围 19 （12 分）已知函数 f（x）|x1| （1）用分段函数的形式表示该函数； （2）在右边
6、所给的坐标第中画出该函数的图象； （3）写出该函数的定义域、值域、奇偶性、单调区间（不要求证明） 20 （12 分）动物园要建造一面靠墙的 2 间面积相同的长方形熊猫居室（如图所示） 如果可供建造围墙的材料长是 30 米， 那么宽 x 为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？ 21 （14 分）已知函数， （xR） （）求证：不论 a 为何实数 f（x）在（，+）上为增函数； （）若 f（x）为奇函数，求 a 的值； （）在（）的条件下，求 f（x）在区间1，5）上的最小值 22 （10 分）当，时，求函数的值域 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择
7、题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的要求的. 1 【分析】直接利用集合的并集的运算法则求解即可 【解答】解：集合 A1，2，4，B2，6， AB1，2，42，61，2，4，6， 故选：B 【点评】本题是基础题，考查集合的基本运算，常考题型 2 【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分是 B 中去掉 A 那部分所得，由韦恩图与集合之间的关系易得出阴影部分为 BUA，代入进行求解； 【解答】解：集合 U1，2，3，4，5，A1，2，3，B2，4，则图中
8、阴影部分所表示， 为 BUA，UA4，5 可得 BUA4， 故选：A 【点评】本题根据图形中阴影部分，让我们找出它所表示的集合，着重考查了 Venn 图表达集合的关系及运算，考查了数形结合的思想，属于基础题 3 【分析】直接把2 代入函数解析式即可得到结论 【解答】解：因为 f（x）2x， 所以 f（2）22 故选：D 【点评】本题主要考察求函数的值属于基础题目，计算时认真细致即可 4 【分析】根据偶函数的定义可得，只有当函数的定义域关于原点对称，且以x 代替 x 后，所得到的函数值不变，这个函数才是偶函数，检验各个选项中的函数是否满足这两个条件 【解答】解：根据偶函数的定义可得，只有当函数的
9、定义域关于原点对称，且以x 代替 x 后，所得到的函数值不变， 这个函数才是偶函数 经检验只有 A 中的函数满足条件， 故选：A 【点评】本题主要考查偶函数的定义以及判断方法，属于基础题 5 【分析】转化函数的不等式为分式形式，分母被开方数大于 0，求解即可得到函数的定义域 【解答】解：函数，要使函数有意义，必须 x0， 所以函数的定义域为：x|x0 故选：C 【点评】本题考查函数的定义域的求法，转化思想的应用，考查计算能力 6 【分析】表示同一个函数要从三方面来判断，一是定义域，二是对应法则，三是值域，B、C、D 的定义域都不同，得到只有 A 所给的两个函数是同一函数 【解答】解：A 是同一
10、函数， B 的定义域不同，f（x）定义域是 R，g（x）的定义域是x|x0， C 的定义域不同，g（x）定义域是 R，f（x）的定义域是x|x1， D 的定义域不同，g（x）定义域是 R，f（x）的定义域是x|x0， 故选：A 【点评】本题考查同一函数的概念，从三个方面考查函数，这是函数的三要素，是一个基础题，这种题目可以作为选择和填空出现 7 【分析】将选项中区间的两端点值分别代入 f（x）中验证，若函数的两个值异号，由零点存在定理即可判断零点必在此区间 【解答】解：当 x0 时，f（0）20+010， 当 x1 时，f（1）0， 由于 f（0） f（1）0，且 f（x）的图象在1，0上连续
11、， 根据零点存在性定理，f（x）在（1，0）上必有零点， 故选：B 【点评】本题主要考查了函数的零点及零点存在性定理，关键是将区间的端点值逐个代入函数的解析式中，看函数的两个值是否异号，若异号，则函数在此开区间内至少有一个零点 8 【分析】b0.521，a1，比较 a 与 c 时把 c 化为以 2 为底的指数式，然后根据指数函数的单调性即可比较 【解答】解：b0.520.25201， bac 故选：D 【点评】本题考查了有理指数幂的化简求值及不等关系与不等式，解答此题的关键往往是以 0、1 等特殊值为媒介，或是化为同底的指数式或对数式进行大小比较，是基础题 9 【分析】令 xy0，求出 f（0
12、）的值，令 xy1，据 f（2）4，求出 f（1） ，再由 01+（1） ，求f（1） 【解答】解：因为函数 f（x）对任意 x，yR 都有 f（x+y）f（x）+f（y） ， 所以 f（0+0）f（0）+f（0） ，即 f（0）0 又 f（1）+f（1）f（1+1）f（2）4f（1）2 f（1）+f（1）f（1+1）f（0）0 f（1）2； 故选：A 【点评】依据函数特征，给自变量取特殊值，体现特殊值的解题思想 10 【分析】利用函数的单调性，将不等式转化为具体不等式，即可确定 a 的取值范围 【解答】解：函数 yf（x）是 R 上的减函数，f（a）f（2） ， a2 a 的取值范围是 a2
13、 故选：D 【点评】本题考查函数的单调性，考查解不等式，属于基础题 11 【分析】分类讨论：当 x1 时；当 x1 时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可 【解答】解：当 x1 时，21x2 的可变形为 1x1，x0， 0 x1 当 x1 时，1log2x2 的可变形为 x， x1， 故答案为0，+） 故选：D 【点评】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解 12 【分析】根据新定义 A*Bx|xx1+x2，x1A，x2B，把集合 A 与集合 B 中的元素分别代入再求和即可求出答案 【解答】解：A*Bx|xx1+x2，x1A，x2B，A1，2，3，B
14、1，2， A*B2，3，4，5， A*B 中的所有元素之和为：2+3+4+514， 故选：C 【点评】本题考查了元素与集合关系的判断，属于基础题，关键是根据新定义求解 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 【分析】根据指数函数的单调性和特殊点，函数 f（x）ax（a0 且 a1）的图象恒过点（0，1） 【解答】解：由指数函数的定义和性质可得，函数 f（x）ax（a0 且 a1）的图象恒过点（0，1） ， 故答案为 （0，1） 【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题 14 【分析】根据对数及根式有意义的条件
15、可得 4x30，log5（4x3）0，解不等式可得 【解答】解：由已知， 根据对数及根式有意义的条件可得： ， 即 解得x|x1 函数的定义域是1，+） 故答案为：1，+） 【点评】本题是函数定义域最基本的考查，建立使函数有意义的不等式之后，关键是要准确解不等式，属于基础试题 15 【分析】首先根据图形求出 f（3）的值，由图形可知 f（3）1，然后根据图形判断出 f（1）的值 【解答】解：f（3）1， 1， f（）f（1）2 故答案为 2 【点评】本题主要考查函数的值的知识点和函数的图象与图象变化的知识点，解答本题的关键是熟练运用数形结合进行解题，本题难度不大 16 【分析】先理解已知两条性
16、质反映的函数性质，f（x）为奇函数，f（x）为定义域上的单调减函数，由此意义判断题干所给四个函数是否同时具备两个性质即可 【解答】解：依题意，性质反映函数 f（x）为定义域上的奇函数，性质反映函数 f（x）为定义域上的单调减函数， （1）f（x） 为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，其单调区间为（，0） ， （0，+） ，故排除（1） ； （2）f（x）x2 为定义域上的偶函数，排除（2） ； （3）f（x）1，定义域为 R，由于 y2x+1 在 R 上为增函数，故函数 f（x）为 R 上的增函数，排除（3） ； （4）f（x）的图象如图：显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，
17、故（4）为理想函数 故答案为 （4） 【点评】本题主要考查了抽象表达式反映的函数性质，对新定义函数的理解能力，奇函数的定义，函数单调性的定义，基本初等函数的单调性和奇偶性及其判断方法，复合函数及分段函数的单调性和奇偶性的判断方法 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 74 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤程或演算步骤 17 【分析】 （1）直接利用有理指数幂的运算性质求解即可 （2）利用对数的运算性质展开 lg50，化为平方和公式，即可求解 【解答】解： （1） （2） （
18、lg5）2+lg2lg50 （lg5）2+lg2lg（252） （lg5）2+lg2（2lg5+lg2） （lg5）2+2lg2lg5+（lg2）2 （lg2+lg5）2 1 【点评】本题考查指数与对数的运算性质，考查计算能力 18 【分析】 （1）由全集为实数集 R，Ax|3x7，Bx|2x10，知 ABx|2x10，RAx|x3，或 x7，由此能求出R（AB）及（RA）B （2）由 Ax|3x7，Cx|xa，利用 AC，能求出 a 的取值范围 【解答】解： （1）全集为实数集 R，Ax|3x7，Bx|2x10， ABx|2x10， RAx|x3，或 x7 R（AB）x|x2 或 x10；
19、（RA）Bx|2x3 或 7x10； （2）Ax|3x7，Cx|xaAC， a3 【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答 19 【分析】 （1）根据绝对值的意义，分当 x1 时，当 x1 时两种情况求解，最后再写成分段函数的形式， （2）每一段都是一次函数，图象是一条直线，在定义域内任取两点作图即可 （3）根据图象，定义域即看横轴覆盖部分，值域即看纵轴覆盖部分，奇偶性，看是否关于原点对称或关于纵轴对称单调增区间看上升趋势，单调减区间看下降趋势 【解答】解： （1） （2） （3）定义域为 R，值域为y|y0，图象即不关于原点对称也不关于 y 轴对称，所
20、以 f（x）是非奇非偶函数， 单调增区间1，+） ，单调减区间（，1） 【点评】本题主要考查绝对值函数转化为分段函数，研究其图象和性质还考查了数形结合的思想与方法 20 【分析】设熊猫居室的总面积为 y 平方米，x 和（303x）就是养鸡场的长或宽然后用面积做等量关系可列方程求解 解法 1：配方后得 y3（x5）2+75，利用二次函数的性质求得 y 取得最大值； 解法 2：将原函数式化成：，再结合基本不等式求出 y 取得最大值 【解答】解：设熊猫居室的总面积为 y 平方米，由题意得：yx（303x） （0 x10） （6 分） 解法 1：y3（x5）2+75，因为 5（0，10） ，而当 x5
21、 时，y 取得最大值 75 （10 分） 所以当熊猫居室的宽为 5 米时，它的面积最大，最大值为 75 平方米 （12 分） 解法 2：75， 当且仅当 3x303x，即 x5 时，y 取得最大值 75 （10 分） 所以当熊猫居室的宽为 5 米时，它的面积最大，最大值为 75 平方米 （12 分） 【点评】点评：考查了函数模型的选择与应用、基本不等式等知识，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解 21 【分析】 （I）根据函数的单调性的定义进行判定，任取 x1x2，然后判定 f（x1）f（x2）的符号，从而得到结论； （II）根据奇函数的定义建立等
22、式关系，解之即可求出 a 的值； （III）根据函数在 R 上单调递增，求出函数 f（x）在区间1，5）上的最小值即可 【解答】解： （）f（x）的定义域为 R，任取 x1x2， 则 x1x2， f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2） 所以不论 a 为何实数 f（x）总为增函数 （4 分） （）f（x）在 xR 上为奇函数， f（0）0，即 解得 （8 分） （）由（）知， 由（） 知，f（x）为增函数， f（x）在区间1，5）上的最小值为 f（1） ， f（x）在区间1，5）上的最小值为 （12 分） 【点评】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性，以及函数的最值，属于中档题 22 【分析】由条件可得 log2x2，令 tlog2x2，则函数 y（t3） （t1）在2，+）上是增函数，再利用函数的单调性求出函数的值域 【解答】解：由可得 1，故有 x4，log2x2 函数（log2x3） （log2x1） 令 tlog2x2，则函数 y（t3） （t1）在2，+）上是增函数， 故当 t2 时，函数 y（t3） （t1）取得最小值为1， 故函数的值域为1，+） 【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，二次函数的性质的应用，属于中档题