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甘肃省陇南市康县2020-2021学年高一上期中数学试卷(含答案解析)

1、甘肃省陇南市康县甘肃省陇南市康县 2020-2021 学年高一学年高一上期中数学试卷上期中数学试卷 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的要求的. 1 (5 分)设集合 A1,2,4,B2,6,则 AB 等于( ) A2 B1,2,4,6 C1,2,4 D2,6 2 (5 分)设集合 U1,2,3,4,5,A1,2,3,B2,4,则图中阴影部分所表示的集合是( ) A4 B2,4 C4,5 D1,3,4 3 (5 分)若 f(x)2x,

2、则 f(2)( ) A4 B2 C D 4 (5 分)下列函数是偶函数的是( ) Ay2x23 Byx3 Cyx2,x0,1 Dyx 5 (5 分)函数的定义域是( ) AR Bx|x0 Cx|x0 Dx|x0 6 (5 分)下列四组函数中,表示同一个函数的是( ) A B C D 7 (5 分)函数 f(x)2x+x 的零点所在的区间为( ) A (2,1) B (1,0) C (0,1) D (1,2) 8 (5 分)设 a20.5,b0.52,c,则 a,b,c 的大小关系是( ) Aabc Bbca Ccba Dbac 9 (5 分)已知函数 f(x)对任意 x,yR 都有 f(x+y

3、)f(x)+f(y) ,且 f(2)4,则 f(1)( ) A2 B1 C0.5 D2 10 (5 分)已知函数 yf(x)是 R 上的减函数,若 f(a)f(2) ,则 a 的取值范围是( ) Aa2 Ba2 Ca2 Da2 11 (5 分)设函数 f(x),则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是( ) A1,2 B0,2 C1,+) D0,+) 12 (5 分)定义集合 A、B 的一种运算:A*Bx|xx1+x2,x1A,x2B,若 A1,2,3,B1,2,则 A*B 中的所有元素之和为( ) A21 B18 C14 D9 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,

4、每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分)函数 f(x)ax(a0 且 a1)的图象恒过点 14 (5 分)函数的定义域是 15 (5 分)如图,函数 f(x)的图象是曲线 OAB,其中点 O,A,B 的坐标分别为(0,0) , (1,2) , (3,1) ,则 f()的值等于 16 (5 分)若函数 f(x)同时满足:对于定义域上的任意 x,恒有 f(x)+f(x)0;对于定义域上的任意 x1,x2,当 x1x2时,恒有,则称函数 f(x)为“理想函数” 给出下列四个函数中: (1)f(x) (2)f(x)x2 (3)f(x) (4)f(x), 能被称为“理想函数”的有 (填相

5、应的序号) 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共计小题,共计 70 分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤程或演算步骤 17 (10 分)计算: (1)12022313(2)( 9.6)(3)(1.5)48 ; (2) (lg5)2+lg2lg50 18 (12 分)设全集为实数集 R,Ax|3x7,Bx|2x10,Cx|xa (1)求R(AB)及(RA)B; (2)如果 AC,求 a 的取值范围 19 (12 分)已知函数 f(x)|x1| (1)用分段函数的形式表示该函数; (2)在右边

6、所给的坐标第中画出该函数的图象; (3)写出该函数的定义域、值域、奇偶性、单调区间(不要求证明) 20 (12 分)动物园要建造一面靠墙的 2 间面积相同的长方形熊猫居室(如图所示) 如果可供建造围墙的材料长是 30 米, 那么宽 x 为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大?熊猫居室的最大面积是多少平方米? 21 (14 分)已知函数, (xR) ()求证:不论 a 为何实数 f(x)在(,+)上为增函数; ()若 f(x)为奇函数,求 a 的值; ()在()的条件下,求 f(x)在区间1,5)上的最小值 22 (10 分)当,时,求函数的值域 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择

7、题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的要求的. 1 【分析】直接利用集合的并集的运算法则求解即可 【解答】解:集合 A1,2,4,B2,6, AB1,2,42,61,2,4,6, 故选:B 【点评】本题是基础题,考查集合的基本运算,常考题型 2 【分析】由韦恩图可以看出,阴影部分是 B 中去掉 A 那部分所得,由韦恩图与集合之间的关系易得出阴影部分为 BUA,代入进行求解; 【解答】解:集合 U1,2,3,4,5,A1,2,3,B2,4,则图中

8、阴影部分所表示, 为 BUA,UA4,5 可得 BUA4, 故选:A 【点评】本题根据图形中阴影部分,让我们找出它所表示的集合,着重考查了 Venn 图表达集合的关系及运算,考查了数形结合的思想,属于基础题 3 【分析】直接把2 代入函数解析式即可得到结论 【解答】解:因为 f(x)2x, 所以 f(2)22 故选:D 【点评】本题主要考察求函数的值属于基础题目,计算时认真细致即可 4 【分析】根据偶函数的定义可得,只有当函数的定义域关于原点对称,且以x 代替 x 后,所得到的函数值不变,这个函数才是偶函数,检验各个选项中的函数是否满足这两个条件 【解答】解:根据偶函数的定义可得,只有当函数的

9、定义域关于原点对称,且以x 代替 x 后,所得到的函数值不变, 这个函数才是偶函数 经检验只有 A 中的函数满足条件, 故选:A 【点评】本题主要考查偶函数的定义以及判断方法,属于基础题 5 【分析】转化函数的不等式为分式形式,分母被开方数大于 0,求解即可得到函数的定义域 【解答】解:函数,要使函数有意义,必须 x0, 所以函数的定义域为:x|x0 故选:C 【点评】本题考查函数的定义域的求法,转化思想的应用,考查计算能力 6 【分析】表示同一个函数要从三方面来判断,一是定义域,二是对应法则,三是值域,B、C、D 的定义域都不同,得到只有 A 所给的两个函数是同一函数 【解答】解:A 是同一

10、函数, B 的定义域不同,f(x)定义域是 R,g(x)的定义域是x|x0, C 的定义域不同,g(x)定义域是 R,f(x)的定义域是x|x1, D 的定义域不同,g(x)定义域是 R,f(x)的定义域是x|x0, 故选:A 【点评】本题考查同一函数的概念,从三个方面考查函数,这是函数的三要素,是一个基础题,这种题目可以作为选择和填空出现 7 【分析】将选项中区间的两端点值分别代入 f(x)中验证,若函数的两个值异号,由零点存在定理即可判断零点必在此区间 【解答】解:当 x0 时,f(0)20+010, 当 x1 时,f(1)0, 由于 f(0) f(1)0,且 f(x)的图象在1,0上连续

11、, 根据零点存在性定理,f(x)在(1,0)上必有零点, 故选:B 【点评】本题主要考查了函数的零点及零点存在性定理,关键是将区间的端点值逐个代入函数的解析式中,看函数的两个值是否异号,若异号,则函数在此开区间内至少有一个零点 8 【分析】b0.521,a1,比较 a 与 c 时把 c 化为以 2 为底的指数式,然后根据指数函数的单调性即可比较 【解答】解:b0.520.25201, bac 故选:D 【点评】本题考查了有理指数幂的化简求值及不等关系与不等式,解答此题的关键往往是以 0、1 等特殊值为媒介,或是化为同底的指数式或对数式进行大小比较,是基础题 9 【分析】令 xy0,求出 f(0

12、)的值,令 xy1,据 f(2)4,求出 f(1) ,再由 01+(1) ,求f(1) 【解答】解:因为函数 f(x)对任意 x,yR 都有 f(x+y)f(x)+f(y) , 所以 f(0+0)f(0)+f(0) ,即 f(0)0 又 f(1)+f(1)f(1+1)f(2)4f(1)2 f(1)+f(1)f(1+1)f(0)0 f(1)2; 故选:A 【点评】依据函数特征,给自变量取特殊值,体现特殊值的解题思想 10 【分析】利用函数的单调性,将不等式转化为具体不等式,即可确定 a 的取值范围 【解答】解:函数 yf(x)是 R 上的减函数,f(a)f(2) , a2 a 的取值范围是 a2

13、 故选:D 【点评】本题考查函数的单调性,考查解不等式,属于基础题 11 【分析】分类讨论:当 x1 时;当 x1 时,再按照指数不等式和对数不等式求解,最后求出它们的并集即可 【解答】解:当 x1 时,21x2 的可变形为 1x1,x0, 0 x1 当 x1 时,1log2x2 的可变形为 x, x1, 故答案为0,+) 故选:D 【点评】本题主要考查不等式的转化与求解,应该转化特定的不等式类型求解 12 【分析】根据新定义 A*Bx|xx1+x2,x1A,x2B,把集合 A 与集合 B 中的元素分别代入再求和即可求出答案 【解答】解:A*Bx|xx1+x2,x1A,x2B,A1,2,3,B

14、1,2, A*B2,3,4,5, A*B 中的所有元素之和为:2+3+4+514, 故选:C 【点评】本题考查了元素与集合关系的判断,属于基础题,关键是根据新定义求解 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 【分析】根据指数函数的单调性和特殊点,函数 f(x)ax(a0 且 a1)的图象恒过点(0,1) 【解答】解:由指数函数的定义和性质可得,函数 f(x)ax(a0 且 a1)的图象恒过点(0,1) , 故答案为 (0,1) 【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,属于基础题 14 【分析】根据对数及根式有意义的条件

15、可得 4x30,log5(4x3)0,解不等式可得 【解答】解:由已知, 根据对数及根式有意义的条件可得: , 即 解得x|x1 函数的定义域是1,+) 故答案为:1,+) 【点评】本题是函数定义域最基本的考查,建立使函数有意义的不等式之后,关键是要准确解不等式,属于基础试题 15 【分析】首先根据图形求出 f(3)的值,由图形可知 f(3)1,然后根据图形判断出 f(1)的值 【解答】解:f(3)1, 1, f()f(1)2 故答案为 2 【点评】本题主要考查函数的值的知识点和函数的图象与图象变化的知识点,解答本题的关键是熟练运用数形结合进行解题,本题难度不大 16 【分析】先理解已知两条性

16、质反映的函数性质,f(x)为奇函数,f(x)为定义域上的单调减函数,由此意义判断题干所给四个函数是否同时具备两个性质即可 【解答】解:依题意,性质反映函数 f(x)为定义域上的奇函数,性质反映函数 f(x)为定义域上的单调减函数, (1)f(x) 为定义域上的奇函数,但不是定义域上的单调减函数,其单调区间为(,0) , (0,+) ,故排除(1) ; (2)f(x)x2 为定义域上的偶函数,排除(2) ; (3)f(x)1,定义域为 R,由于 y2x+1 在 R 上为增函数,故函数 f(x)为 R 上的增函数,排除(3) ; (4)f(x)的图象如图:显然此函数为奇函数,且在定义域上为减函数,

17、故(4)为理想函数 故答案为 (4) 【点评】本题主要考查了抽象表达式反映的函数性质,对新定义函数的理解能力,奇函数的定义,函数单调性的定义,基本初等函数的单调性和奇偶性及其判断方法,复合函数及分段函数的单调性和奇偶性的判断方法 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共计小题,共计 74 分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤程或演算步骤 17 【分析】 (1)直接利用有理指数幂的运算性质求解即可 (2)利用对数的运算性质展开 lg50,化为平方和公式,即可求解 【解答】解: (1) (2) (

18、lg5)2+lg2lg50 (lg5)2+lg2lg(252) (lg5)2+lg2(2lg5+lg2) (lg5)2+2lg2lg5+(lg2)2 (lg2+lg5)2 1 【点评】本题考查指数与对数的运算性质,考查计算能力 18 【分析】 (1)由全集为实数集 R,Ax|3x7,Bx|2x10,知 ABx|2x10,RAx|x3,或 x7,由此能求出R(AB)及(RA)B (2)由 Ax|3x7,Cx|xa,利用 AC,能求出 a 的取值范围 【解答】解: (1)全集为实数集 R,Ax|3x7,Bx|2x10, ABx|2x10, RAx|x3,或 x7 R(AB)x|x2 或 x10;

19、(RA)Bx|2x3 或 7x10; (2)Ax|3x7,Cx|xaAC, a3 【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算,是基础题解题时要认真审题,仔细解答 19 【分析】 (1)根据绝对值的意义,分当 x1 时,当 x1 时两种情况求解,最后再写成分段函数的形式, (2)每一段都是一次函数,图象是一条直线,在定义域内任取两点作图即可 (3)根据图象,定义域即看横轴覆盖部分,值域即看纵轴覆盖部分,奇偶性,看是否关于原点对称或关于纵轴对称单调增区间看上升趋势,单调减区间看下降趋势 【解答】解: (1) (2) (3)定义域为 R,值域为y|y0,图象即不关于原点对称也不关于 y 轴对称,所

20、以 f(x)是非奇非偶函数, 单调增区间1,+) ,单调减区间(,1) 【点评】本题主要考查绝对值函数转化为分段函数,研究其图象和性质还考查了数形结合的思想与方法 20 【分析】设熊猫居室的总面积为 y 平方米,x 和(303x)就是养鸡场的长或宽然后用面积做等量关系可列方程求解 解法 1:配方后得 y3(x5)2+75,利用二次函数的性质求得 y 取得最大值; 解法 2:将原函数式化成:,再结合基本不等式求出 y 取得最大值 【解答】解:设熊猫居室的总面积为 y 平方米,由题意得:yx(303x) (0 x10) (6 分) 解法 1:y3(x5)2+75,因为 5(0,10) ,而当 x5

21、 时,y 取得最大值 75 (10 分) 所以当熊猫居室的宽为 5 米时,它的面积最大,最大值为 75 平方米 (12 分) 解法 2:75, 当且仅当 3x303x,即 x5 时,y 取得最大值 75 (10 分) 所以当熊猫居室的宽为 5 米时,它的面积最大,最大值为 75 平方米 (12 分) 【点评】点评:考查了函数模型的选择与应用、基本不等式等知识,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系列出方程,再求解 21 【分析】 (I)根据函数的单调性的定义进行判定,任取 x1x2,然后判定 f(x1)f(x2)的符号,从而得到结论; (II)根据奇函数的定义建立等

22、式关系,解之即可求出 a 的值; (III)根据函数在 R 上单调递增,求出函数 f(x)在区间1,5)上的最小值即可 【解答】解: ()f(x)的定义域为 R,任取 x1x2, 则 x1x2, f(x1)f(x2)0,即 f(x1)f(x2) 所以不论 a 为何实数 f(x)总为增函数 (4 分) ()f(x)在 xR 上为奇函数, f(0)0,即 解得 (8 分) ()由()知, 由() 知,f(x)为增函数, f(x)在区间1,5)上的最小值为 f(1) , f(x)在区间1,5)上的最小值为 (12 分) 【点评】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性,以及函数的最值,属于中档题 22 【分析】由条件可得 log2x2,令 tlog2x2,则函数 y(t3) (t1)在2,+)上是增函数,再利用函数的单调性求出函数的值域 【解答】解:由可得 1,故有 x4,log2x2 函数(log2x3) (log2x1) 令 tlog2x2,则函数 y(t3) (t1)在2,+)上是增函数, 故当 t2 时,函数 y(t3) (t1)取得最小值为1, 故函数的值域为1,+) 【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,二次函数的性质的应用,属于中档题