1、黄山市2021届高中毕业班第二次质量检测数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卷的相应区域答题.）1. 已知集合，则ABCD2. 复数的实部为A B C D3. 若则A B C D 4. 古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美如清代诗人黄柏权的茶壶回文诗（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（202
2、00202)被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）数学上把20200202这样的对称数叫回文数，如两位数的回文数共有9个，则在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为 AB CD5. 设函数若函数在区间上单调递减，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 6. 已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,是直线与抛物线 的一个交点,若,则A. 3 B. 4或 C. D. 或7. 下列命题: 在线性回归模型中,相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率,越接近于0,表示回归效果越好; 两个变量相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于; 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越
3、好; 对分类变量与,它们的随机变量的观测值来说,越大,“与有关系”的把握程度越大. 其中正确命题的个数是A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个8. 已知各项均为正数的等比数列的前三项和为14，且，则A. B. C. D. 9. 设，则 A. B. C. D. 10.在中，角所对的边分别为，若的面积为，则角 A. B. C. 或 D. 或11.棱长为的正方体密闭容器内有一个半径为的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其能到达的空间的体积为A B CD12.已知，且，如果是的两个零点，则的范围A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请在答题卷的相应区域答题
4、.）13.已知函数，若,则 14.若,则的值为 15.已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则 的最小值是 yMF1F22xO16.已知分别为双曲线的左右焦点, 过点作圆 的切线交双曲线左支于点,且，则该双曲线的渐近线方程为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请在答题卷的相应区域答题.）17.（本小题满分10分）已知、为的三个内角，且其对边分别为、，若.（1）求；（2）若，求的面积的最大值18.（本小题满分12分）四棱锥中，底面为等腰梯形，侧面为正三角形，且平面平面. 已知.（1）试画出平面与平面的交线,并证明：；（2）记棱中点为，中点为, 若点为
5、线段上动点，当满足最小时，求与平面所成角的正弦值. 19.（本小题满分12分）设是给定的正整数（), 现有个外表相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第（)个袋中有个红球，个白球. 现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回）.（1）若, 假设已知选中的恰为第2个袋子，求第三次取出为白球的概率；（2）若，求第三次取出为白球的概率；（3）对于任意的正整数（)，求第三次取出为白球的概率. 20.（本小题满分12分）已知椭圆,其短轴长为,离心率为,双曲线的渐近线为,离心率为,且. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的右焦点为,动直线（不垂直于坐标轴）交椭
6、圆于不同两点,设直线和的斜率为 , 若,试判断该动直线是否过定点,若是，求出该定点;若不是,请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数函数,（1）记, 试讨论函数的单调性，并求出函数的极值点；（2）若已知曲线和曲线在处的切线都过点.求证：当 时，.考生注意：请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时， 请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线（）与曲线，分别交于点，（均异于原点）.（1）求曲线，的极坐
7、标方程；（2）当时，求的最小值.23.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案及评分标准一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.）题号123456789101112答案ACDCADCBBCAB二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 14. 15. 16. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（本小题满分12分）解：（1）,，由正弦定理得：，（2分）即，即，即，（4分），又，（6分）（2）由余弦定理得，即， （8分），当且仅当取等号，
8、（10分）故的面积为，面积最大值为.（12分）18（本小题满分12分）解：（1）延长交于点,连.则即为平面与平面的交线m. 证明：,.同理, ,即.（5分）（2） 等腰梯形中，关于直线对称，所以，.此时.如图建立平面直角坐标系,设平面法向量为 记与面所成的角为，则（12分）19（本小题满分12分）解：（1）时，选中的恰为第2个袋子，袋中2红球，2白球.记“第三次取出为白球”为事件，则；（4分）(2) 时,记“从第个袋中第三次取出为白球”为事件;而每一个袋子被选中概率均为所以第三次取出为白球的概率；（8分）(3)个袋子时,记“从第个袋中第三次取出为白球”为事件.,;而每一个袋子被选中概率均为,所
9、以第三次取出为白球的概率（12分）20（本小题满分12分）(1)由题意知, （5分） (2)根据椭圆对称性，该直线过定点且在轴上，设直线的方程，联立 消去整理得 ，设则 （7分） 即，所以，即直线过定点（12分）21（本小题满分12分）解：(1) ， 记， 单调递减；,单调递减.（5分）(2) ,过点得，,过点得，要证：，即证：,即证：.构造函数,则.所以原不等式成立.（12分）22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（1）的普通方程为，代入得的极坐标方程为，（3分）的极坐标方程为 （5分）（2）联立与的极坐标方程得（6分）联立与的极坐标方程得（7分）则.（10分）23.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲（1）当时，函数， （2分）当时，由，可得，解得；当时，由，可得，解得；当时，由，可得，此时解集为空集，综上所述：不等式的解集为. （5分）（2）若，函数 由一次函数性质可知在为减函数，在为增函数，所以，（8分）因为不等式恒成立，即，即，解得又因为，所以实数a的取值范围.（10分）