1、方程 x24 的解是（ ） Ax2 Bx2 Cx0 Dx2 或 x2 2学校组织才艺表演比赛，前 5 名获奖有 11 位同学参加比赛且他们所得的分数互不相同某同学知道自已的比赛分数后， 要判断自己能否获奖， 在这 1 名同学成绩的统计量中只需知道一个量， 它是 （ ） A众数 B方差 C中位数 D平均数 3下列各组中的四条线段成比例的是（ ） Aa，b3，c2，d Ba4，b6，c5，d10 Ca2，b，c2，d Da2，b3，c4，d1 4当 x 取一切实数时，函数 yx2+2x+3 的最小值为（ ） A2 B2 C1 D1 5如图，下列条件中不能判定ACDABC 的是（ ） A BADCA
2、CB CACDB DAC2ADAB 6 如图， AB 是O 的直径， PA 切O 于点 A， PO 交O 于点 C， 连接 BC 若B20， 则P 等于 （ ） A20 B30 C40 D50 7如图，在ABC 中，两条中线 BE，CD 相交于点 O，则 SDOE：SCOB等于（ ） A1：2 B1：3 C1：4 D2：3 2 8对于二次函数 yx26x+10，下列说法不正确的是（ ） A其图象的对称轴为过（3，1）且平行于 y 轴的直线 B其最小值为 1 C其图象与 x 轴没有交点 D当 x3 时，y 随 x 的增大而增大 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每题
3、小题，每题 3 分，共分，共 24 分，将答案填在答题卡上）分，将答案填在答题卡上） 9若，则 10若关于 x 的方程 x25x+k0 的一个根是 3，则另一个根是 11将抛物线 yx23 向右平移 3 个单位后得到的抛物线为 12如图所示，一个宽为 2cm 的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10” （单位：cm） ，那么该光盘的直径是 cm 13如图，在正六边形 ABCDEF 中，连接 AE，DF 交于点 O，则AOD 14一台机器原价 50 万元，如果每年的折旧率是 x，两年后这台机器的价格为 y 万元，则 y 与 x 的
4、函数关系式为 15如图，OAB 与OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 3：4，OCD90，AOB60，若点 B 的坐标是（6，0） ，则点 C 的坐标是 16如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴是过点（1，0）且平行于 y 轴的直线，若点 P（4，0）在该抛物线上，则 4a2b+c 的值为 3 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 102 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ）分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ） 17 （6 分） （1）计算：； （2）解方程：x24x+20 18 （6 分）把函数 y3
5、4x2x2写成 ya（x+m）2+k 的形式，并写出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴 19 （8 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 E，CDB30，CD，求阴影部分的面积 20 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC1，BC，在 AC 边上截取 ADBC，连接 BD （1）通过计算，判断 AD2与 ACCD 的大小关系； （2）求ABD 的度数 21 （8 分）已知二次函数的图象的对称轴是直线 x1，它与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 A、C 的坐标分别是（1，0） 、 （0，） （1）请在平面直角坐标系内画出示意图； （2）求此图象所对应的函数关系式；
6、 （3）若点 P 是此二次函数图象上位于 x 轴上方的一个动点，求ABP 面积的最大值 4 22 （10 分）某中学开设的体育选修课有篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球，学生可以根据自己的爱好选修其中一门某班班主任对全班同学的选修情况进行了调查统计，制成了两幅不完整的统计图（图和图） （1）请你求出该班的总人数，并补全条形图； （2）在该班团支部 4 人中，有 1 人选修排球，2 人选修羽毛球，1 人选修乒乓球如果该班班主任要从他们 4 人中任选 2 人作为学生会候选人，那么选出的两人中恰好有 1 人选修排球、1 人选修羽毛球的概率是多少？ 23 （10 分）定义新运算：对于任意实数
7、 m，n 都有 mnm2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算例如：32（3）22+220根据以上知识解决问题： （1）若（x+1）315，求 x 的值 （2）若 2a 的值小于 0，请判断关于 x 的方程：2x2bx+a0 的根的情况 24 （10 分）已知：如图，AB 为O 的直径，ABAC，BC 交O 于 D，E 是 AC 的中点，ED 与 AB 的延长线相交于点 F （1）求证：DE 为O 的切线； （2）求证：ABDFACBF 5 25 （10 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 M 是 BC 边上的任一点，连接 AM 并将线段 AM 绕 M 顺时针旋转 9
8、0得到线段 MN，在 CD 边上取点 P 使 CPBM，连接 NP，BP （1）求证：四边形 BMNP 是平行四边形； （2）线段 MN 与 CD 交于点 Q，连接 AQ，若MCQAMQ，则 BM 与 MC 存在怎样的数量关系？请说明理由 26 （12 分）某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共 20 台，空调的采购单价 y1（元/台）与采购数量x1（台）满足 y120 x1+1500（0 x120，x1为整数） ；冰箱的采购单价 y2（元/台）与采购数量 x2（台）满足 y210 x2+1300（0 x220，x2为整数） （1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购
9、单价不低于 1200 元，问该商家共有几种进货方案？ （2） 该商家分别以 1760 元/台和 1700 元/台的销售单价售出空调和冰箱， 且全部售完 在 （1） 的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润 27 （14 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的顶点为 A（1，1） ，与 x 轴交点 M（1，0） C 为 x轴上一点，且CAO90，线段 AC 的延长线交抛物线于 B 点，另有点 F（1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）求直线 AC 的解析式及 B 点坐标； （3）过点 B 做 x 轴的垂线，交 x 轴于 Q 点，交过点 D（0，2）且垂直于 y 轴的直线于
10、 E 点，若 P 是BEF 的边 EF 上的任意一点，是否存在 BPEF？若存在，求出 P 点的坐标，若不存在，请说明理由 6 江苏省盐城市阜宁县江苏省盐城市阜宁县 2021-2022 学年九年级上期末数学试题学年九年级上期末数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 24 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）求） 1方程 x24 的解是（ ） Ax2 Bx2 Cx0 Dx2 或 x2 【分析】两边开方得到 x2 【解答】解：x24， x2， x12，x22 故选
11、：D 【点评】 本题考查了解一元二次方程直接开平方法： 形如 ax2+c0 （a0） 的方程可变形为 x2，当 a、c 异号时，可利用直接开平方法求解 2学校组织才艺表演比赛，前 5 名获奖有 11 位同学参加比赛且他们所得的分数互不相同某同学知道自已的比赛分数后， 要判断自己能否获奖， 在这 1 名同学成绩的统计量中只需知道一个量， 它是 （ ） A众数 B方差 C中位数 D平均数 【分析】由于比赛设置了 5 个获奖名额，共有 11 名选手参加，故应根据中位数的意义分析 【解答】解：因为 5 位获奖者的分数肯定是 11 名参赛选手中最高的， 而且 11 个不同的分数按从小到大排序后，中位数及
12、中位数之后的共有 5 个数， 故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了 故选：C 【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当 7 的运用 3下列各组中的四条线段成比例的是（ ） Aa，b3，c2，d Ba4，b6，c5，d10 Ca2，b，c2，d Da2，b3，c4，d1 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案 【解答】解：A.32，故本选项错误； B.41056，故本选项错误； C
13、.22，故本选项正确； D.4132，故本选项错误； 故选：C 【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念和变形是解题的关键，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断 4当 x 取一切实数时，函数 yx2+2x+3 的最小值为（ ） A2 B2 C1 D1 【分析】把二次函数转化为顶点式形式，然后根据二次函数的最值问题解答即可 【解答】解：yx2+2x+3， x2+2x+1+2， （x+1）2+2， a10， 二次函数有最小值，最小值为 2 故选：B 【点评】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键 5如图，
14、下列条件中不能判定ACDABC 的是（ ） A BADCACB CACDB DAC2ADAB 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可解决问题 【解答】解：若，不能判定ACD 与ABC 相似，当，结合AA 可判定ACD与ABC 相似，故 A 选项符合题意； 8 若ADCACB，结合AA 可得ACDABC，故 B 选项不符合题意； 若ACDB，结合AA 可得ACDABC；故 C 选项不符合题意； 若 AC2ADAB，即，结合AA 可得ACDABC；故 D 选项不符合题意； 故选：A 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定 6 如图， AB 是O 的直径
15、， PA 切O 于点 A， PO 交O 于点 C， 连接 BC 若B20， 则P 等于 （ ） A20 B30 C40 D50 【分析】先由 OBOC，B20，可求得POA 的度数，又由 AB 是O 的直径，PA 切O 于点 A，即可得出结论 【解答】解：OCOB， BCOB20 AOC40 AB 是O 的直径，PA 切O 于点 A， OAPA， 即PAO90， P90AOC50 故选：D 【点评】 本题考查了切线的性质、 等腰三角形的性质 注意掌握数形结合思想的应用是解答本题的关键 7如图，在ABC 中，两条中线 BE，CD 相交于点 O，则 SDOE：SCOB等于（ ） A1：2 B1：3
16、 C1：4 D2：3 【分析】根据三角形的中位线得出 DEBC，DEBC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可 【解答】解：BE 和 CD 是ABC 的中线， 9 DEBC，DEBC， ，DOECOB， （）2（）2， 故选：C 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 8对于二次函数 yx26x+10，下列说法不正确的是（ ） A其图象的对称轴为过（3，1）且平行于 y 轴的直线 B其最小值为 1 C其图象与 x 轴没有交点 D当 x3 时，y 随
17、x 的增大而增大 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确 【解答】解：二次函数 yx26x+10（x3）2+1， 对称轴为 x3，故选项 A 正确，不符合题意； 顶点坐标为（3，1） ，所以有最小值 1，故选项 B 正确，不符合题意； （6）241040，故选项 C 正确，不符合题意， 开口向上，当 x3 时 y 随着 x 的增大而减小， 故选：D 【点评】本题考查二次函数的性质、图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 24 分，将答案填在答题卡上）分，
18、将答案填在答题卡上） 9若，则 【分析】利用设 k 法进行计算即可解答 【解答】解：， 设 bk，a3k， ， 故答案为： 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设 k 法是解题的关键 10若关于 x 的方程 x25x+k0 的一个根是 3，则另一个根是 2 【分析】由于已知方程的二次项系数和一次项系数，所以要求方程的另一根，可利用一元二次方程的两 10 根之和与系数的关系 【解答】解：设 a 是方程 x25x+k0 的另一个根， 则 a+35， 即 a2 故答案为：2 【点评】此题考查了根与系数的关系，一元二次方程 ax2+bx+c0（a0） ，当方程有解，即 b24ac0时，设
19、方程的解分别为 x1，x2，则有 x1+x2，x1x2 11将抛物线 yx23 向右平移 3 个单位后得到的抛物线为 y（x3）23 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律写出平移抛物线解析式 【解答】解：将抛物线 yx23 向右平移 3 个单位后得到的抛物线为 y（x3）23 故答案是：y（x3）23 【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求函数解析式 12如图所示，一个宽为 2cm 的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10” （单位：cm） ，那么该光盘的直径是 10 cm
20、 【分析】本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形高，根据勾股定理求出半径，从而得解 【解答】解：如图，设圆心为 O，弦为 AB，切点为 C如图所示则 AB8cm，CD2cm 连接 OC，交 AB 于 D 点连接 OA 尺的对边平行，光盘与外边缘相切， OCAB AD4cm 设半径为 Rcm，则 R242+（R2）2， 解得 R5， 该光盘的直径是 10cm 故答案为：10 11 【点评】此题考查了切线的性质及垂径定理，建立数学模型是关键 13如图，在正六边形 ABCDEF 中，连接 AE，DF 交于点 O，则AOD 120 【分析】由正六边形的性质得出
21、AFEDEF120，AFEFDE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出FAEFEAEFD30，求出AFD90，由三角形的外角性质即可求出AOD 的度数 【解答】解：六边形 ABCDEF 是正六边形， AFEDEF120，AFEFDE， FAEFEAEFD（180120）230， AFD1203090， AODFAE+AFD30+90120 故答案为：120 【点评】本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质；熟练掌握正六边形的性质，求出FAE 和AFD 是解决问题的关键 14一台机器原价 50 万元，如果每年的折旧率是 x，两年后这台机器的价格为 y 万
22、元，则 y 与 x 的函数关系式为 y50（1x）2 【分析】根据两年后机器价值机器原价值（1折旧率）2可得函数解析式 【解答】解：根据题意，y 与 x 的函数关系式为 y50（1x）2， 故答案为：y50（1x）2 【点评】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定 15如图，OAB 与OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 3：4，OCD90，AOB60，若点 B 的坐标是（6，0） ，则点 C 的坐标是 （2，2） 【分析】根据题意得出 D 点
23、坐标，再解直角三角形进而得出答案 【解答】解：分别过 A、C 作 AEOB，CFOB， 12 OCD90，AOB60， ABOCDO30，OCF30， OAB 与OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 3：4，点 B 的坐标是（6，0） ， D（8，0） ，则 DO8， 故 OC4， 则 FO2，CFCOcos3042， 故点 C 的坐标是： （2，2） 故答案为： （2，2） 【点评】此题主要考查了位似变换，运用位似图形的性质正确解直角三角形是解题关键 16如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴是过点（1，0）且平行于 y 轴的直线，若点 P（4，0）在该抛
24、物线上，则 4a2b+c 的值为 0 【分析】依据抛物线的对称性求得与 x 轴的另一个交点，代入解析式即可 【解答】解：设抛物线与 x 轴的另一个交点是 Q， 抛物线的对称轴过点（1，0） ，与 x 轴的一个交点是 P（4，0） ， 与 x 轴的另一个交点 Q（2，0） ， 把（2，0）代入解析式得：04a2b+c， 4a2b+c0， 故答案为：0 【点评】本题考查了抛物线的对称性，知道与 x 轴的一个交点和对称轴，能够表示出与 x 轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是本题的关键 13 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 102 分。解答应写出文字说明
25、、证明过程或演算步骤。 ）分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ） 17 （6 分） （1）计算：； （2）解方程：x24x+20 【分析】 （1）先计算负整数指数幂、零指数幂和立方根，再计算加法即可； （2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得 【解答】解： （1）原式2+1+2 5； （2）x24x+20， x24x2， x24x+42+4，即（x2）22， x2， x12+，x22 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的
26、方法是解题的关键 18 （6 分）把函数 y34x2x2写成 ya（x+m）2+k 的形式，并写出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴 【分析】利用配方法将函数 y34x2x2写成 ya（x+m）2+k 的形式，根据 a 的符号判断函数图象的开口方向，顶点坐标是（m，k） ，对称轴是直线 xm 【解答】解：由 y34x2x2，得 y2（x+1）2+5 因为20，所以开口向下 （1 分） 顶点坐标为（1，5） （2 分） 对称轴方程为 x1 （2 分） 【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数的三种形式二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：yax2+bx+c（a0，a、b、c 为常数）
27、； （2）顶点式：ya（xh）2+k； （3）交点式（与 x 轴） ：ya（xx1） （xx2） 19 （8 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 E，CDB30，CD，求阴影部分的面积 14 【分析】连接 OD，则根据垂径定理可得出 CEDE，继而将阴影部分的面积转化为扇形 OBD 的面积，代入扇形的面积公式求解即可 【解答】解：连接 OD CDAB， CEDECD（垂径定理） ， 故 SOCESODE， S阴S扇形OBD， 又CDB30， COB60（圆周角定理） ， OC2， 故 S扇形OBD，即阴影部分的面积为 【点评】此题考查了扇形的面积计算、垂径定理及圆周角定
28、理，解答本题关键是根据图形得出阴影部分的面积等于扇形 OBD 的面积，另外要熟记扇形的面积公式 20 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC1，BC，在 AC 边上截取 ADBC，连接 BD （1）通过计算，判断 AD2与 ACCD 的大小关系； （2）求ABD 的度数 【分析】 （1）先求得 AD、CD 的长，然后再计算出 AD2与 ACCD 的值，从而可得到 AD2与 ACCD 的关系； （2）由（1）可得到 BD2ACCD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明BCDABC，依据相似三角形的性质可知DBCA，DBCB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得ABD 的
29、度数 【解答】解： （1）ADBC，BC， 15 AD，DC1 AD2，ACCD1 AD2ACCD （2）ADBC，AD2ACCD， BC2ACCD，即 又CC， BCDACB ，DBCA DBCBAD AABD，CBDC 设Ax，则ABDx，DBCx，C2x A+ABC+C180， x+2x+2x180 解得：x36 ABD36 【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得BCDABC 是解题的关键 21 （8 分）已知二次函数的图象的对称轴是直线 x1，它与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 A、C 的坐标分别
30、是（1，0） 、 （0，） （1）请在平面直角坐标系内画出示意图； （2）求此图象所对应的函数关系式； （3）若点 P 是此二次函数图象上位于 x 轴上方的一个动点，求ABP 面积的最大值 【分析】 （1）根据对称性可求得 B 点坐标为（3，0） ，再根据描点法，可画出图象； 16 （2）设抛物线的解析式为 yax2+bx+c，把 A、B、C 三点的坐标代入可求得解析式； （3）根据题意 AB 不变，则当点 P 离 x 轴远则ABP 的面积越大，可知点 P 为顶点，可求得顶点坐标，再计算出APB 的面积即可 【解答】解： （1）对称轴为 x1，A 为（1，0） ， B 为（3，0）
31、 ， 抛物线图象示意图如图所示： （2）设抛物线的解析式为 yax2+bx+c， 图象过 A、B、C 三点， 把三点的坐标代入可得，解得， 抛物线解析式为 yx2+x+； （3）根据题意可知当 P 为顶点时ABP 的面积最大，由（2）可求得其顶点坐标为（1，2） ，且 AB4， SABP424， 即ABP 面积的最大值为 4 【点评】本题主要考查待定每当法求函数解析式，掌握应用待定系数法的关键是点的坐标，在（3）中知道当 P 为顶点时ABP 的面积最大是关键 22 （10 分）某中学开设的体育选修课有篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球，学生可以根据自己的爱好选修其中一门某班班主任对全班同学的选修
32、情况进行了调查统计，制成了两幅不完整的统计图（图和图） （1）请你求出该班的总人数，并补全条形图； （2）在该班团支部 4 人中，有 1 人选修排球，2 人选修羽毛球，1 人选修乒乓球如果该班班主任要从他们 4 人中任选 2 人作为学生会候选人，那么选出的两人中恰好有 1 人选修排球、1 人选修羽毛球的概 17 率是多少？ 【分析】 （1）由篮球人数及其所占百分比可得总人数，再进一步求出足球和羽毛球人数即可补全图形； （2）先画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出选出的 2 人恰好有 1 人选修排球、1 人选修羽毛球所占结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解： （1）该班
33、的总人数为 1734%50（人） ， 足球科目的人数为 5014%7（人） ， 羽毛球科目人数为 50（17+7+12+5）9（人） ， 补全图形如下： （2）设排球为 A，羽毛球为 B，乒乓球为 C 画树状图为： 18 共有 12 种等可能的结果数，其中有 1 人选修排球、1 人选修羽毛球的占 4 种， 所以恰好有 1 人选修排球、1 人选修羽毛球的概率为 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率 23 （10 分）定义新运算：对于任意实数 m
34、，n 都有 mnm2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算例如：32（3）22+220根据以上知识解决问题： （1）若（x+1）315，求 x 的值 （2）若 2a 的值小于 0，请判断关于 x 的方程：2x2bx+a0 的根的情况 【分析】 （1）根据新运算得出 3（x+1）2+315，解之可得到答案； （2）由 2a 的值小于 0 知 22a+a5a0，解之求得 a0再在方程 2x2bx+a0 中由（b）28a8a0 可得答案 【解答】解： （1）（x+1）315， ， 3（x+1）2+315，即（x+1）24， 解得：x11，x23； （2）2a 的值小于 0， 22a+a5
35、a0， 解得：a0 在方程 2x2bx+a0 中， （b）28a8a0， 方程 2x2bx+a0 有两个不相等的实数根 【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的解法，实数的运算，解一元一次不等式，正确理解新运算是解决问题的关键 24 （10 分）已知：如图，AB 为O 的直径，ABAC，BC 交O 于 D，E 是 AC 的中点，ED 与 AB 的延长线相交于点 F （1）求证：DE 为O 的切线； （2）求证：ABDFACBF 19 【分析】 （1）连 AD，OD，根据直径所对的圆周角为直角知ADBADC90，再根据 E 是 AC 的中点，得 EAED，根据 ODOA，利用等
36、边对等角，可知ODE90，从而证明结论； （2）首先证明ABDCBA，得，再证明FDBFAD，得，等量代换即可 【解答】证明： （1）连 AD，OD， AB 为O 的直径， ADBADC90， E 是 AC 的中点， EAED， EDAEAD， ODOA， ODAOAD， EDOEAO， ABAC EAO90， EDO90， DE 为O 的切线； （2）BACADC90， CBAD， ABDCBA， ABDCBA， ， 20 FDB+BDOBDO+ADO90， FDBADOOAD， FF， FDBFAD， ， ， ABDFACBF 【点评】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质
37、，相似三角形的判定与性质，证明FDBFAD 是解题的关键 25 （10 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 M 是 BC 边上的任一点，连接 AM 并将线段 AM 绕 M 顺时针旋转 90得到线段 MN，在 CD 边上取点 P 使 CPBM，连接 NP，BP （1）求证：四边形 BMNP 是平行四边形； （2）线段 MN 与 CD 交于点 Q，连接 AQ，若MCQAMQ，则 BM 与 MC 存在怎样的数量关系？请说明理由 【分析】 （1）根据正方形的性质可得 ABBC，ABCC，然后利用“边角边”证明ABM 和BCP全等，根据全等三角形对应边相等可得 AMBP，BAMCBP，再求出 AMBP
38、，从而得到 MNBP，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据同角的余角相等求出BAMCMQ，然后求出ABM 和MCQ 相似，根据相似三角形对应边成比例可得，再求出AMQABM，根据相似三角形对应边成比例可得，从而得到，即可得解 【解答】 （1）证明：在正方形 ABCD 中，ABBC，ABCC， 在ABM 和BCP 中， ， ABMBCP（SAS） ， AMBP，BAMCBP， 21 BAM+AMB90， CBP+AMB90， AMBP， AM 并将线段 AM 绕 M 顺时针旋转 90得到线段 MN， AMMN，且 AMMN， MNBP， 四边形 BMN
39、P 是平行四边形； （2）解：BMMC 理由如下：BAM+AMB90，AMB+CMQ90， BAMCMQ， 又ABCC90， ABMMCQ， ， MCQAMQ， AMQABM， ， ， BMMC 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定， （1）求出两个三角形全等是解题的关键， （2）根据相似于同一个三角形的两个三角形相似求出AMQABM 是解题的关键 26 （12 分）某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共 20 台，空调的采购单价 y1（元/台）与采购数量x1（台）满足 y120 x1+1500（0 x120，x1为整数） ；冰箱的
40、采购单价 y2（元/台）与采购数量 x2（台）满足 y210 x2+1300（0 x220，x2为整数） （1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于 1200 元，问该商家共有几种进货方案？ 22 （2） 该商家分别以 1760 元/台和 1700 元/台的销售单价售出空调和冰箱， 且全部售完 在 （1） 的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润 【分析】 （1）设空调的采购数量为 x 台，则冰箱的采购数量为（20 x）台，然后根据数量和单价列出不等式组，求解得到 x 的取值范围，再根据空调台数是正整数确定进货方案； （2）设总利润为
41、W 元，根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到 W 与 x 的函数关系式并整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值即可 【解答】解： （1）设空调的采购数量为 x 台，则冰箱的采购数量为（20 x）台， 由题意得， 解不等式得，x11， 解不等式得，x15， 所以，不等式组的解集是 11x15， x 为正整数， x 可取的值为 11、12、13、14、15， 所以，该商家共有 5 种进货方案； （2）设总利润为 W 元，空调的采购数量为 x 台， y210 x2+130010（20 x）+130010 x+1100， 则 W（1760y1）x1+（1700y2）x2， 1760
42、 x（20 x+1500）x+（170010 x1100） （20 x） ， 1760 x+20 x21500 x+10 x2800 x+12000， 30 x2540 x+12000， 30（x9）2+9570， 当 x9 时，W 随 x 的增大而增大， 11x15， 当 x15 时，W最大值30（159）2+957010650（元） ， 答：采购空调 15 台时，获得总利润最大，最大利润值为 10650 元 【点评】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式组的应用， （1）关键在于确定出两个不等关系，（2）难点在于用空调的台数表示出冰箱的台数并列出利润的表达式 27 （14 分）如图，抛物
43、线 yax2+bx+c（a0）的顶点为 A（1，1） ，与 x 轴交点 M（1，0） C 为 x轴上一点，且CAO90，线段 AC 的延长线交抛物线于 B 点，另有点 F（1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）求直线 AC 的解析式及 B 点坐标； 23 （3）过点 B 做 x 轴的垂线，交 x 轴于 Q 点，交过点 D（0，2）且垂直于 y 轴的直线于 E 点，若 P 是BEF 的边 EF 上的任意一点，是否存在 BPEF？若存在，求出 P 点的坐标，若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用顶点式将（1，1）代入求出函数解析式即可； （2）首先根据题意得出 C 点坐标，进而
44、利用待定系数法求出直线 AC 的解析式，进而联立二次函数解析式，即可得出 B 点坐标； （3）首先求出直线 EF 的解析式，进而得出 BP 的解析式，进而将 y2x7 和 yx+联立求出 P点坐标即可 【解答】方法一： 解： （1）设抛物线解析式为：ya（x+1）21，将（1，0）代入得： 0a（1+1）21， 解得；a， 抛物线的解析式为：y（x+1）21； （2）A（1，1） ， COA45， CAO90， CAO 是等腰直角三角形， ACAO， C（2，0） ， 设直线 AC 的解析式为：ykx+b， 将 A，C 点代入得出：， 24 解得：， 直线 AC 的解析式为：yx2
45、， 将 y（x+1）21 和 yx2 联立得： ， 解得：， 直线 AC 的解析式为：yx2，B 点坐标为： （5，3） ； （3）过点 B 作 BPEF 于点 P， 由题意可得出：E（5，2） ，设直线 EF 的解析式为：ydx+c， 则， 解得：， 直线 EF 的解析式为：yx+， 直线 BPEF，设直线 BP 的解析式为：y2x+e， 将 B（5，3）代入得出：32（5）+e， 解得：e7， 直线 BP 的解析式为：y2x7， 将 y2x7 和 yx+联立得： ， 解得：， P（3，1） ， 故存在 P 点使得 BPEF，此时 P（3，1） 方法二： （1）略 （2）CAO90，KAOK
46、AC1， 25 A（1，1） ，O（0，0） ， KAO1，KAC1， lAC：yx2， ， x11（舍） ，x25， B（5，3） （3）BEDE 且 D（0，2） ， E（5，2） ， F（1，0） ， lEF：yx+， BPEF， KBPKEF1， KBP2， B（5，3） ， lBP：y2x7， ，P（3，1） 方法二追加第（4）问：在（3）的条件下，作 PHED，垂足为 H，线段 BF 向左平移 t 个单位，得 BF，求使得 BE+FH 最小时 t 的值 （4）线段 BF 向左平移 t 个单位， B（5t，3） ，F（1t，0） ， 由 F左移 HE 单位即 2 个单位得 F（3t，0） ， 显然 FHFE，BE+FH 最短，即 BE+FE 最短， F（3t，0）关于 y2 的对称点为 F（3t，4） ， B，E，F三点共线时 E，BE+FE 最短， KBEKFE， t， 26 线段 BF 向左平移个单位时 BE+FH 最短 【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及顶点式求二次函数解析式以及垂直的两函数系数关系等知识，求出 C 点坐标是解题关键