1、第第 9 9 章章 整式乘法与因式分解整式乘法与因式分解 一、单选题一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1下列各式中不能用平方差公式进行计算的是（ ） A()()mn mn B()()xy xy C(2)(2 )xy yx D()()abc abc 2如果2225425ab Qab，那么25abQ的结果是（ ） A22425ab B22425ab C2242025aabb D2242025aabb 3下列计算正确的是（ ） A3332aa=36a B32( 4)a b=628a b C2()ab=22ab D2223aa=2a 4小颖用 4 张长为 a、宽为 b（
2、ab）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为 S1，阴影部分的面积为 S2若 a2b，则 S1、S2之间的数量关系为（ ） A1232SS B122SS C1252SS D123SS 5某厂原来生产一种边长为 a厘米的正方形地砖，现将地砖的一边扩大 3 厘米，另一边缩短 3 厘米，改成生产长方形地砖若材料的成本价为每平方厘米 b元，则这种长方形地砖每块的材料成本价与正方形地砖相比（ ） A增加了 9b 元 B增加了 3ab 元 C减少了 9b 元 D减少了 3ab元 6数学兴趣小组开展活动：把多项式2114xx分解因式，组长小明发现小组里有以下四种结果
3、与白己的结果2112x不同，他认真思考后，发现其中还有一种结果是正确的，你认为正确的是（ ） A21(1)2x B21(1)4x C21(2)2x D21(2)4x 7计算(-2)1999+(-2)2000等于( ) A-23999 B-2 C-21999 D21999 8因式分解 x2+mx12（x+p） （x+q） ，其中 m、p、q都为整数，则这样的 m的最大值是（ ） A1 B4 C11 D12 9多项式 x24xy2y+x+4y2分解因式后有一个因式是 x2y，另一个因式是（ ） Ax+2y+1 Bx+2y1 Cx2y+1 Dx2y1 10已知2210 xx ，则4252xxx的值为
4、（ ） A0 B1 C2 D1 11248162 (3 1)(31)(31)(31)(31)的计算结果的个位数字是（ ） A8 B6 C2 D0 12在矩形 ABCD内，将两张边长分别为 a和 b（ab）的正方形纸片按图 1，图 2 两种方式放置（图 1，图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠） ，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图 1 中阴影部分的面积为1S，图 2 中阴影部分的面积为2S当3ADAB时，21SS的值是（ ） A3a B3b C33ab D3a 二、填空题二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 13已知212()02ab，则201920
5、20ab_ 14工人师傅按照“最优化处理”打包多个同一款式长方体纸盒，其“最优化处理”是指：每相邻的两个纸盒必须以完全一样的面对接，最后打包成一个表面积最小的长方体，已知长方体纸盒的长 xcm、宽 ycm、高 zcm都为整数， 且 xyz1， x+z2y， x+y+z+xy+xz+yz+xyz439， 若将六个此款式纸盒按“最优化处理”打包，其表面积为_cm2 15己知(2018)(2021)5a a ，求22(2018)(2021)aa_ 16计算1111 11111111111111(1)()(1)()2345 23456234562345的结果是_ 17计算4444444444(34)(
6、74)(114)(154).(394)(54)(94)(134)(174).(414) =_ 18已知n为正整数且3100n 能被10n整除，则n的最大值为_ 三、解答题三、解答题（本大题共 6 小题，共 60 分） 19 （12 分）计算： （1）22234xyx yxy （2）22224abaabb （3）43211mmmmm （4） 22abababab 20 （6 分）已知22273xxyymxy能分解成两个一次因式的乘积，求m的值. 21 （10 分）利用完全平方公式进行因式分解，解答下列问题: 1因式分解:244xx 2填空: 当2x 时，代数式244xx_ 当x_ 时，代数式26
7、90 xx 代数式2820 xx的最小值是_ 3拓展与应用:求代数式226828abab的最小值 22 （10 分）已知：1ab ，1ab.设2233123,nnnSab SabSabSab. （1）计算1S _，2S _，3S _，4S _； （2）试写出2nS、1nS、nS三者之间的关系_； （3）根据以上得出的结论，求77ab. 23 （10 分）做这样一道题目：“若 x满足(80 x)(x60)30，求(80 x)2(x60)2的值”时，我们采用如下方法：设 80 xa，x60b，则 ab(80 x)(x60)20，ab(80 x)(x60)30，(80 x)2(x60)2a2b2(a
8、b)22ab2022 30340. 请你根据上述材料，解决以下问题： 若 x满足(30 x)(x20)10，求(30 x)2(x20)2的值 24 （12 分）阅读材料：若 m22mn2n28n160，求 m，n 的值 解：m22mn2n28n160， (m22mnn2)(n28n16)0， (mn)2(n4)20， (mn)20，(n4)20， n4，m4. 根据你的观察，探究下面的问题： (1)若 a2b24a40，则 a_，b_； (2)已知 x22y22xy6y90，求 xy的值； (3)已知 ABC 的三边长 a，b，c 都是正整数，且满足 2a2b24a6b110，求 ABC 的周
9、长 参考答案参考答案 1B 【解析】 【分析】根据平方差公式逐项判断即可得 解：A、22()()mn mnmn，能用平方差公式，此项不符题意； B、222()()()2xy xyxyxxyy ，能用完全平方公式，此项符合题意； C、2222(2)(2 )(2 )4xy yxyxyx，能用平方差公式，此项不符题意； D、 ()()()()abc abcabcabc ，能用平方差公式，此项不符题意； 故选：B 【点拨】本题考查了平方差公式，熟记并灵活运用公式是解题关键 2D 【解析】 【分析】先根据平方差公式得出 Q，再根据完全平方公式得出答案 解：2225425ab Qab Q=2a-5b 22
10、2252525 )25 )42(02(5ababaabab Qabb 故选：D 【点拨】此题主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握公式的特点是解题的关键 3D 【解析】 【分析】根据单项式乘以单项式法则，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，合并同类项法则求出每个式子的值，再判断即可 解：A3332aa=66a，故本选项错误； B32( 4)a b=6216a b，故本选项错误； C2()ab=222aabb，故本选项错误； D2223aa=2a，故本选项符合题意 故选：D 【点拨】本题主要考查整式的运算法则，熟练掌握幂的乘方和积的乘方、完全平方公式、合并同类项法是解题关键 4B 【解析】
11、【分析】先用 a、b 的代数式分别表示 S1=a2+2b2，S2=2ab-b2，再根据 a2b， ，得21222 )26( bSbb和2222 23Sb bbbgg，进而得到答案 解：根据题意，空白部分的面积为： 22211()2()12222ab babaabSb ， 又正方形面积为： 22()()2ab abaabb， 阴影部分面积为：2222222(2)2Saabbababb， 又a2b， 21222 )26( bSbb， 2222 23Sb bbbgg 122SS， 故选 B 【点拨】本题考查了整式的混合运算、三角形的面积公式，熟练运用完全平方公式是解题的关键 5C 【解析】 【分析】
12、根据题意列出关系式，去括号合并得到结果，即可做出判断 解：根据题意得：a2b-（a+3） （a-3）b=a2b-a2b +9b=9b， 则减少了 9b元 故选：C 【点拨】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 6D 【解析】 【分析】首先提出二次项系数14，再利用完全平方公式进行分解即可 解：2114xx 21=444xx 21=(2)4x 故选：D 【点拨】此题主要考查了分解因式，关键是掌握分解因式首先提公因式，再利用公式法进行分解 7D 【解析】 解： 【分析】把(-2)2000分解成(-2)1999 (-2)1，然后再提取公因式(-2)1999，然后得出答案. 【详解
13、】(-2)1999+(-2)2000 =(-2)1999+(-2)1999 (-2)1 =(-2)1999 (1-2) =(-2)1999 (-1) =21999 故选：D 【点睛】 此题考核知识点： 同底数幂乘法公式 aman=am+n的运用. 解题的关键： 借助公式， 灵活将式子变形，运用提公因式，便可以得出结果 8C 【解析】 解：分析：根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据 p、q 的关系判断即可. 详解：(xp)(xq)= x2（p+q）x+pq= x2mx12 p+q=m，pq=-12. pq=1 （-12）=（-1） 12=（-2） 6=
14、2 （-6）=（-3） 4=3 （-4）=-12 m=-11 或 11 或 4 或-4 或 1 或-1. m 的最大值为 11. 故选 C. 点睛：此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用. 9C 【解析】 【分析】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案 解：x24xy2y+x+4y2 （x24xy+4y2）+（x2y） （x2y）2+（x2y） （x2y） （x2y+1） 故选：C 【点拨】此题考察多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y） ，将其当成整
15、体提出，进而得到答案. 10A 【解析】 【分析】先利用已知条件得到 x212x，利用整体代入得到原式2(12 )5(12 )+2xxx，利用多项式乘多项式得到原式21445 102xxxx，再将 x212x 代入进而可求得答案 解：2210 xx ， 212xx ， 42252(1 2 )5(1 2 )+2xxxxxx 21445102xxxx 844(12 )xx 844 8xx 0， 故选：A 【点拨】本题考查了整体代入的方法，整式乘法的运算法则，灵活运用整体思想及熟练掌握整式乘法的运算法则是解决本题的关键 11D 【解析】 【分析】先将 2 变形为3 1，再根据平方差公式求出结果，根据
16、规律得出答案即可 解：2416(3 1)(3 1)(31)(31)(31) 22416(31)(31)(31)(31) 4416(31)(31)(31) 3231 133Q，239，3327，4381，53243，63729，732187，836561， 3n的个位是以指数 1 到 4 为一个周期，幂的个位数字重复出现， Q3248，故323与43的个位数字相同即为 1， 3231的个位数字为 0， 248162 (3 1)(31)(31)(31)(31)的个位数字是 0 故选：D 【点拨】本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键 12B 【解析】 【分析】利用割补法表示出
17、1S和2S，然后作差，利用整式的混合运算法则进行化简即可得出结果 解：1SABaaCDbADaABaaABbADa ， 2SAB ADaabABa， 21SSAB ADaabABaABaaAB bADa ADaABABbABaaba b AD ab b ABab b ADAB 3b 故选：B 【点拨】本题考查列代数式和整式的混合运算，解题的关键是掌握利用割补法表示阴影部分面积的方法，以及整式的运算法则 1312 【解析】 【分析】先利用绝对值和平方的非负性求得a、b 的值，然后将20192020ab转化为20192019()abb的形式可求得. 解：212()02ab a2=0，12b=0 解
18、得：a=2，12b 20192020ab=20192019()abb=2019112 =1 2 故答案为：12 【点拨】本题考查绝对值和平方的非负性，解题关键是利用非负性，先得出a、b 的值. 14956 【解析】 【分析】根据 x+y+z+xy+xz+yz+xyz439 可得（x+1） （y+1） （z+1）440，再根据题意可得（x+1）+（z+1）2（y+1） ，进一步得到 x+111，y+18，z+15，解方程求得 x，y，z，再根据最优化处理时，最大的表面被重叠，依此可求表面积 解： x+y+z+xy+xz+yz+xyz439， x+y+z+xy+xz+yz+xyz+1440， （x
19、+1） （y+1） （z+1）440， x+z2y， （x+1）+（z+1）2（y+1） ， z+13，y+14，x+15， 其中 5+112 8， x+111，y+18，z+15， 解得 x10，y7，z4， 最优化处理时，最大的表面被重叠， 表面积为（7 10 2+4 7 12+4 10 12956（cm2） 故答案为：956 【点拨】本题考查因式分解的应用，解答的关键是认真分析已知，利用因式分解对方程变形，根据已知要求解决实际问题 1519 【解析】 【分析】设2021am，则20183am；根据题意，得235mm；再将235mm代入到代数式中计算，即可得到答案 解：(2018)(202
20、1)5a a (2018)(2021)5aa 设2021am，则20183am 35m m，即235mm 22(2018)(2021)aa 223mm 2269mm 2239mm 259 19 故答案为：19 【点拨】本题考查了整式运算和代数式的知识；解题的关键是熟练掌握整式乘法、完全平方公式的性质，从而完成求解 1616 【解析】 解： 设111112345a，11112345b， 则原式=11()()66a bab=1166abaabb=1()6ab=16 故答案为16 点睛：本题考查了有理数的混合运算解题的关键是巧设未知数，利用换元法求解 171353 【解析】 【分析】利用完全平方公式
21、和平方差公式把式子中的数据变形，再约分计算. 解：x4+4=(x2+2)2(2x)2=(x2+2x+2)(x22x+2)=(x+1)2+1(x1)2+1， 原式=22222222222221416181381401416181101401421 （）（）（）（）（）（）=2221421（）=1353 故答案为1353 【点拨】本题考查了乘法公式，熟练掌握（1）完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,移项变形可得，2a+2b=(a+b)2-2ab， （2）平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)是解答本题的关键 18890. 【解析】 【分析】根据题意列出算式，变形后得到 900 能
22、整除10n，即可确定最大整数 n 的值. 解：由题意得310010nn为整数， 且2310101009001001010nnnnnn 29001010010nnn， 900能被10n整除，n的最大值为 890. 故答案为 890 【点拨】此题考查了数的整除性，将算式变形是解题关键，难度较大 19 （1）322368x yx y;（2）338ab;（3）51m ;（4）2ab. 【解析】 【分析】运用单项式乘多项式和多项式乘多项式运算法则，进行运算即可； 解： （1）22234xyx yxy=322368x yx y （2）22224abaabb =32222324248baaababbab =
23、338ab （3）43211mmmmm =52424331mmmmmmmmm =51m （4） 22abababab =222222(22)aababbaababb =22222222aababbaababb =2ab 【点拨】本题考查了单项式乘多项式和多项式乘多项式运算法则，解题关键是灵活应用运算规律和细心的计算. 201112m ，22m 【解析】 【分析】先将式子因式分解,再设出两个因式令其相等解出未知部分,代入即可解出. 解：22273xxyymxy273xyxymxy, 令2xyaxyb 22xyxyab xab yab, abm; 27ab; 3ab; 由可得：73mb,27723
24、mab; 将ab代入可得：72739mm ,即21120mm, 解得：1112m ,22m 【点拨】本题考查了因式分解,关键设出 a,b来表示未知部分,用 m 来表示出 a,b. 21(1)22x；(2) 0，3，4；(3)3 【解析】 【分析】 （1）符合完全平方公式，用公式进行因式分解即可； （2）先将代数式进行因式分解，再代入求值； 将代数式因式分解成完全平方的形式，观察得出结果； 先将代数式因式分解为完全平方公式，根据一个数的平方为非负来求解最小值； （3）先将代数式因式分解为关于 a、b 的 2 个完全平方公式，再求最小值 解： （1）根据完全平方公式：2244(2)xxx； （2）
25、2244(2)xxx，将2x 代入得，结果为：0； 2690 xx，化简得：2(3)0 x，故 x=3； 2228208164(4)4xxxxx 2(4)x为非负，当2(4) =0 x，即 x=4 时，有最小值 最小值为：4 （3）2222226828=(6 +9)+(8 +16)+3(3)(4)3ababaabbab 根据上一问结论可知，当 a=3，b=4 时有最小值，最小值为：3 【点拨】在求解最小值和最大值的问题中，我们通常会将式子变形成完全平方的形式，另平方部分为 0 即可 22 （1）1 ， 3， 4 ，7； （2）21nnnSSS； （3）29. 【解析】 【分析】 （1）根据完全
26、平方公式与立方和公式，即可求解； （2）根据数列nS 的规律：前两项的和等于后一项的值，即可得到2nS、1nS、nS三者之间的关系； （3）根据2nS、1nS、nS三者之间的关系及1S的值，即可求解 解： （1）1ab ，1ab， 1Sab=1， 222Sab=2()2abab=212 ( 1)3 ， 33223()()Sabab aabb=13-(-1)4， 4S 4422 22222 22()2()2()ababa babab=2232(-1) =7； （2）由数列nS 的规律：前两项的和等于后一项的值，可得：21nnnSSS； （3）1=S1 ， 2=S3， 3=S 4 ，4=S7，51
27、1S ，618S ， 77729Sab. 【点拨】本题主要考查完全平方公式与立方和公式的应用，通过归纳猜想，得到数列的规律，是解题的关键. 23120 【解析】 【分析】本题是一道有关求解代数式值的题目，结合已知，考虑利用换元法进行求解，设 30-x=a，x-20=b，分别求出 ab 以及 a+b 的值，进而求出 a2+b2即可. 解：令 30 xa，x20b， ab(30 x)(x20)10， ab(30 x)(x20)10， (30 x)2(x20)2a2b2(ab)22ab1022 (10)120. 【点拨】本题考查用换元法解一元二次方程，完全平方公式，列代数式，解题关键是换元. 24
28、（1）a=2，b=0； （2）xy=127； （3） ABC 的周长为 7 【解析】 解：分析： （1）利用配方法将三项配方成完全平方式的形式，利用非负数的性质求得 a、b 的值即可； （2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可； （3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可； 本题解析：a2+b24a+4=0，a24a+4+b2=0，(a2) 2+b2=0，a2=0，b=0， 解得 a=2，b=0； （2）x2+2y22xy+6y+9=0，x2+y22xy+y2+6y+9=0 即： （xy）2+（y+3）2=0 则：xy=0，y+3=0， 解得：x=y=3，xy=3( 3)=127 ； （3）2a2+b24a6b+11=0，2a24a+2+b26b+9=0， 2（a1）2+（b3）2=0，则 a1=0，b3=0，解得，a=1，b=3， 由三角形三边关系可知，三角形三边分别为 1、3、3， ABC 的周长为 1+3+3=7； 故答案为: （1）a=2，b=0； （2）xy=127； （3）ABC 的周长为 7