1、第第 8 8 章章 幂的运算幂的运算 一、单选题一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1将数 47300000 用科学记数法表示为（ ） A5473 10 B647.3 10 C74.73 10 D54.73 10 2计算：(2 ) ()aab=（ ） A2ab B22a b C3ab D23a b 3以下计算正确的是（ ） A323628aba b B325abbab C325228xxxx D222232326m mnmm nm 4若 2n+2n+2n+2n=2，则 n=（ ） A1 B2 C0 D14 5已知4ma，8nb，其中m，n为正整数，则262mn(
2、) A2ab B2ab C23a b D23ab 6下列运算正确的是 A333x5x2x B326x2x3x C23611xx39 D3 2x46x 12 7已知34m，2432mn若9nx，则x的值为（ ） A8 B4 C2 2 D2 8下列计算正确的是（ ） A66122aaa B25822232 C32233122aba ba b D271120()aaaa 9已知2ax ，3bx ，则32abx等于（ ） A89 B1 C17 D72 10若 x1，y0，且满足3,yyxxxyyx，则 x+y 的值为（ ） A1 B2 C92 D112 11若33333333333mk1 4 44 2
3、 4 4 43个（1k ，k，m都为正整数） ，则m的最小值为（ ） A3 B4 C6 D9 12已知23a，26b，212c，则a，b，c的关系为1ba；2ca；2acb ；23bca ，其中正确的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 13若2107777p，则p的值为_ 14若 2x=5，2y=3，则 22x+y=_ 15已知 x、y满足248xy，当 0 x1 时，y的取值范围是_ 16 数学讲究记忆方法 如计算25a时若忘记了法则， 可以借助25555 510aaaaa， 得到正确答案 你计算52
4、37aaa的结果是_ 17已知43211698a，则12a的值为_ 18已知999999a ，990119b ，则a与b的大小关系为_. 三、解答题三、解答题（本大题共 6 小题，共 60 分） 19 （10 分）计算 （1）102312322 （2） 354432321510205x yx yx yx y 20 （10 分）化简或计算： （1）3199902020112222； （2）324222aaa 21 （8 分）若n为正整数，且27nx，求2232313nnxx的值 22 （10 分） （1）已知 4 m=a，8n=b，用含 a、b 的式子表示下列代数式： 求：22 m+3n 的值；
5、 求：24 m6n的值； （2）已知 2 8x 16=226，求 x的值 23 （10 分）根据乘方的意义“mmaa a aag g g L g1 44 2 4 4 3个”可以推导出幂的相关运算法则 （1）下面是“积的乘方nab”法则的推导过程，在括号里写出每一步的依据 因为 nabnabababab6 4 44 7 4 4 4 8gg L g个 （_） nana aa b bbG55555 H G5555Hg g L gg g L g个个b （_） nna b （_） 所以nnnaba b （2）请你类比（1）的过程写出“幂的乘方nma”法则的推导过程（并写出每一步的依据） 24 （12 分
6、）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（JNapier，1550 年-1617 年） ，纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到 18 世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707 年-1783 年）才发现指数与对数之间的联系 对数的定义： 一般地， 若(0,1)xaN aa， 则x叫做以a为底N的对数， 记作logaxN 比如指数式4216可以转化为24log 16，对数式52log 25可以转化为2525我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：alog(? )logM NMlog(0,a1,0,N0)aN aM 理由如下： 设alog Mm，alog Nn，所以mMa，nNa，所以m
7、nm nMNa aa，由对数的定义得alog ()mnMN，又因为aloglogamnMN，所以log ()loglogaaaMNMN解决以下问题： （1）将指数35125转化为对数式： （2）仿照上面的材料，试证明：loglog-log(0,1,0,0)aaaMMN aaMNN （3）拓展运用：计算333log 2log 18-log 4 参考答案参考答案 1C 【分析】科学记数法的表示形式为 a 10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，
8、n 是负数 【详解】 解：将 47300000 用科学记数法表示为74.73 10， 故选 C 【点拨】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 2B 【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则计算得出答案. 【详解】 解： （2a）（ab）=2a2b 故选 B. 【点拨】此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键. 3D 【分析】利用幂的乘方与积的乘方，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则即可求解； 【详解】 32362ab8a b ，故 A 选项错误； 3ab2b不能合
9、并同类项，故 B 选项错误； 325x2x8x ，故 C 选项错误； 222232m mn3m2m n6m，故 D 选项正确. 故选 D 【点拨】本题考查整式的运算；熟练掌握幂的乘方与积的乘方，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则是解题的关键 4A 【详解】 【分析】利用乘法的意义得到 42n=2，则 22n=1，根据同底数幂的乘法得到 21+n=1，然后根据零指数幂的意义得到 1+n=0，从而解关于 n 的方程即可 【详解】2n+2n+2n+2n=2， 4 2n=2， 2 2n=1， 21+n=1， 1+n=0， n=1， 故选 A 【点睛】本题考查了乘法的意义以及同底数幂的乘法，熟知相关的
10、定义以及运算法则是解题的关键.同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 aman=a m+n（m，n 是正整数） 5A 【分析】先变形262mn成4m与8n的形式，再将已知等式代入可得 【详解】 解：4ma，8nb， 2626222mnmn22322mn248mn248mn2ab， 故选 A 【点拨】本题主要考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方与同底数幂的乘法运算法则 6C 【分析】根据合并同类项，单项式除法，积的乘方和幂的乘方，去括号运算法则逐一计算作出判断： 【详解】 解：A应为33333x5x3 5 x2x，选项错误； B应为323256x2x62 x3x ，选项错误； C2233 2
11、6111xxx339，选项正确； D应为3 2x46x 12，选项错误 故选 C 7C 【分析】逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则由224=339mnmn即可解答 【详解】 222-224-233= 3= 39=mnmnmnmn， 依题意得：242x，0 x 42x， =2 2x， 故选：C 【点拨】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变形 8D 【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别判断得出答案 【详解】 A、a6+a6=2a6，故此选项错误； B、2-2 25 28=2-2-5+8=2，故此选项错误； C
12、、 （-12ab2）（-2a2b）3=（-12ab2）（-8a6b3）=4a7b5，故此选项错误； D、a3（-a）5a12=-a20，正确 故选 D 【点拨】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 9A 【分析】直接逆用幂的乘方运算法则以及逆用同底数幂的除法运算法则将原式变形得出答案 【详解】 解：xa=2，xb=3， x3a-2b=（xa）3 （xb）2 =23 32 =89 故选：A 【点拨】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键 10C 【分析】首先将 xyxy变形，得 yxy1，然后将其代入3
13、yxxy，利用幂的性质，即可求得 y 的值，则可得x 的值，代入 x+y 求得答案 【详解】 yxyx yxy1， 3yxxy xyx3yx4y1， 4y11 故12y ， x1， x4 于是92xy 故选：C 【点拨】此题考查了同底数幂的性质：如果两个幂相等，则当底数相同时，指数也相同，掌握同底数幂的乘法、除法的运算法则是关键 11B 【分析】计算3333333333333mkk1 4 44 2 4 4 43个，再利用同底数幂的除法，结合1k ，k，m都为正整数求得m的最小值 【详解】 3333333333333mkk1 4 44 2 4 4 43个33mk1k ，k，m都为正整数， k的最
14、小值为 3，此时m取得的最小值为 4，故选 B 【点拨】本题考查同底数幂的除法关键在于找到 k 与 m 之间的关系 12D 【分析】利用同底数幂的乘除法运算法则得出 a，b，c 直接的关系即可 【详解】 解：2a=3，2b=6，2c=12， 2b 2a=2， b-a=1， b=a+1，故正确； 2c 2a=22， 则 c-a=2，故正确； 2a 2c=（2b）2， 则 a+c=2b，故正确； 2b 2c=（2a）2 23， b+c=2a+3，故正确 故选：D 【点拨】本题主要考查了幂的乘方与同底数幂的乘除运算法则，正确应用运算法则是解题关键 13-3 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则进而
15、得出答案 【详解】 72 71 70=7p，21+0=p，解得：p=3 故答案为3 【点拨】本题考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键 1475 【详解】 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案即可 【详解】2x=5，2y=3， 22x+y=（2x）2 2y=52 3=75， 故答案为 75 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键. 151y32 【详解】 试题分析：248xy，23222xy，即2322xy，x+2y=3，y=32x，0 x1，1y32 故答案为 1y32 考点：解一元一次不等式
16、组；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 160 【分析】根据幂的乘方运算法则和同底数幂的乘法运算法则进行计算即可得到结果 【详解】 5237aaa =2 53 7aa =1010aa =0 故答案为：0 【点拨】此题主要考查了幂的乘方运算和同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键 1781 【分析】将原式利用幂的乘方运算变形为126121292ag g，从而求出69a ，然后求解. 【详解】 解：43211698a， 43421263121122922aag g，即69a ， 21262981aa 【点拨】本题考查幂的乘方和积的乘方，灵活运用公式和计算法则是本题的解题关键. 18ab
17、【分析】由积的乘方，可得：999=99 119，由同底数幂的乘法，可得：999=990 99，然后约分，即可求得答案 【详解】 解：999999a =9990911999=990119=b， a、b 的大小关系是：a=b 故答案为 a=b 【点拨】此题考查了积的乘方与同底数幂的乘法注意掌握公式的逆用是关键 19 （1）354； （2）32324yxy 【分析】 （1）根据有理数的乘方，零次幂，负整指数幂，进行计算即可； （2）根据多项式除以单项式进行计算即可 【详解】 （1）102312322 18 124 354 （2） 354432321510205x yx yx yx y 3232325
18、(324)5x yyxyx y 32324yxy 【点拨】本题考查了有理数的乘方，零次幂，负整指数幂，多项式除以单项式，掌握以上运算法则是解题的关键 20(1)9212； （2）610a 【分析】 （1）根据零指数幂，负整数指数幂，逆用积的乘方计算； （2）根据同底数幂的乘法，幂的乘方法则计算即可 【详解】 （1）3199902020112222 =1+8-2119991999122( )2 =9-21199912(2)2 =9212； （2）324222aaa =662a8a =610a 【点拨】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握计算的法则是解题的关键 21
19、2450 【分析】用幂的乘方法则将原式变形为3222913nnxx，然后代入求值计算. 【详解】 解：原式326422913913nnnnxxxx 3229 713 779 7 1349 502450 【点拨】本题考查幂的乘方法则的灵活应用，熟练掌握公式及计算法则是本题的解题关键. 22 （1）ab，22ab； （2）7x 【分析】 （1）根据同底数幂的乘法运算的逆运算和幂的乘方运算的逆运算进行计算； 根据同底数幂的除法运算的逆运算和幂的乘方运算的逆运算进行计算； （2）将式子左边的数都写成以 2 为底的幂，再用同底数幂的乘法进行计算，和右边的数比较，列式求出 x的值 【详解】 解： （1）
20、2323232222248mnmnmnmnab； 2224646232222222248mnmnmnmnab； （2）3435262 8162 2222xxx， 得3526x ，解得7x 【点拨】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘除法的逆运算和幂的乘方运算的逆运算的运算法则 23 （1）乘方的意义，乘法交换律、乘法结合律，乘方的意义； （2）见解析 【分析】 （1）根据乘方的意义“mmaa a aag g g L g1 44 2 4 4 3个”和乘法交换律、乘法结合律可推得结果； （2）根据乘方的意义可得mnanmmmmaaaa6 44 7 4 4 8gg L g个，再根据同底数幂
21、的乘法法则可得 【详解】 解： （1）因为 nabnabababab6 4 44 7 4 4 4 8gg L g个 （_乘方的意义_） nana aa b bbG55555 H G5555Hg g L gg g L g个个b （_乘法交换律、乘法结合律_） nna b （_乘方的意义_） 所以nnnaba b （2）mnanmmmmaaaa6 44 7 4 4 8gg L g个（乘方的意义） nmm mmaL64 7 4 8个（同底数幂的乘法法则） mna（乘法的意义或合并同类项） 【点拨】考核知识点：乘方的意义理解乘方的意义，灵活运用乘方意义和同底数幂乘法法则是关键 24 （1）53log
22、125； （2）见解析； （3）2 【分析】 （1）根据题意可以把指数式 53=125 写成对数式； （2）先设 logaM=x，logaN=y，根据对数的定义可表示为指数式为：M=ax，N=ay，计算MN的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论； （3） 根据公式： loga（MN） =logaM+logaN 和loglog-logaaaMMNN的逆用， 将所求式子表示为： log3（2 18 4） ，计算可得结论 【详解】 （1）一般地，若 ax=N（a0，a1） ，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作：记作：x=logaN 3=log5125， 故答案为：3=log5125； （2）证明：设logaMx，logaNy xMa，yNa， xx yyMaaNa， 由对数的定义得logaMxyN 又loglogaaxyMN， logloglog(0,1,0,0)aaaMMN aaMNN （3）333log 2log 18-log 4 log3（2 18 4）= log39=2. 故答案为：2. 【点拨】 本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系， 解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系