1、广州市南沙区广州市南沙区 2020-2021 学年八年级学生学业水平测试期末数学试卷学年八年级学生学业水平测试期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30分分.在每小题给出的四个选项中只有一在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）项是符合题目要求的） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，人字梯中间一般会设计一 “拉杆”，以增加使用梯子时安全性这样做的道理是（ ） A. 两点之间的所有连线中线段最短 B. 三角形具有稳定性
2、 C. 经过两点有一条直线，并且只有一条直线拉杆 D. 在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 3. 下列运算中正确的是（ ） A b2b3b6 B. （2x+y）24x2+y2 C. （3x2y）327x6y3 D. x+xx2 4. 如图，已知直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线，APC50，则B（ ） A. 40 B. 50 C. 55 D. 60 5. 纳米（nm）是非常小的长度单位，1 纳米109米中国首款云端智能芯片采用了 16 纳米工艺技术，用科学记数法可将 16 纳米表示为（ ） A. 16109米 B. 1.6108米 C. 1.6109米 D. 1.61010米
3、 6. 一个多边形的内角和是 900 ，则这个多边形的边数为 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 一个三角形的两边长分别为 5 和 2， 若该三角形的第三边的长为偶数， 则该三角形的第三边的长为 （ ） A. 6 B. 8 C. 6 或 8 D. 4 或 6 8. 小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，2ab4a2b+2ab3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（ ） A. （2a+b2） B. （a+2b） C. （3ab+2b2） D. （2ab+b2） 9 如图，AOB50，OC平分AOB，如果射线 OA 上的点 E 满足OCE是等腰三角形，
4、那么OCE的度数不可能为（ ） A. 130 B. 77.5 C. 65 D. 25 10. 如图， 点 D是FAB 内的定点且 AD=2， 若点 C、 E 分别是射线 AF、 AB 上异于点 A的动点， 且CDE周长的最小值是 2时，FAB 的度数是（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 11. 若分式12x有意义，则x的取值范围是_ 12. 因式分解：241x _ 13. 已知点 A（a1，5）与点 B（3，b）关于 x 轴对称，则点 C（a，b）关于 y轴对称的点
5、在第 _象限 14. 已知 a2mn2，am3，则 an的值是 _ 15. 如图，ABC 中，ABACDC，D在 BC上，且 ADDB，则BAC_ 16 如图，ABBE，DBC12ABE，BDAC，则下列结论正确的是：_ （填序号） BC平分DCE；ABE+ECD180；AC2BE+CE；AC2CDCE 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 72 分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤）分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤） 17. 计算 4xy2（2x2y）2 18. 已知：如图，ABAC，BDCE求证：ADAE 19. 如图，在平面直角坐标系中，
6、A（1，4） 、B（2，1） 、C（3，2） （1）作ABC关于 x轴对称图形ABC； （2）求CAA的面积 20. 若 A（112x）22212xxxx，先化简 A，然后从2x2中，选择一个合适的整数作为 x 的值代入 A，求出 A的值 21. 如图，在ABC中，ADBC，垂足为 D （1）尺规作图：作线段 AC的垂直平分线 EF，分别交 BC、AC 于点 E、F （保留作图痕迹，不写作法） （2）若 ABEC，AC6，CD5，求ABC的周长 22. 2020年初， 为应对突如其来的“新冠肺炎”， 某药店用 3000 元购进了第一批口罩， 上市后很快售完，接着又用 9000 元购进第二批口罩
7、，已知第二批所购口罩的进价比第一批每盒多 20 元，且数量是第一批的 1.5 倍问第二批口罩每盒的进价是多少元？ 23 数学活动课上，老师用图中的 1张边长为 a 的正方形 A、1张边长为 b的正方形 B 和 2 张宽和长分别为 a 与 b的长方形 C纸片，排成了如图中的大正方形观察图形并解答下列问题 （1）由图和图可以得到的等式为 （用含 a，b的代数式表示） ； （2）小芳想用图的三种纸片拼出一个面积为（a+b） （a+2b）的大长方形，则需要 A 纸片 张，B 纸片 张， C 纸片 张 （空格处填写数字） ， 并尝试在框线中参考图画出相关的设计图； （3）如图，已知点 C为线段 AB上的
8、动点，分别以 AC、BC为边在 AB的两侧作正方形 ACED 和正方形 BCFG，面积分别记作 S1、S2，若 AB6，图中阴影部分ACF的面积为 4，利用（1）中得到的结论求 S1+S2的值 24. 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形” （1）如图中，若ABC和ADE互为“兄弟三角形”，ABAC，ADAE写出BAD，BAC和BAE 之间的数量关系，并证明 （2）如图，ABC和ADE 互为“兄弟三角形”，ABAC，ADAE，点 D、点 E 均在ABC 外，连接 BD、CE 交于点 M，连接 AM，求证：AM 平分BME （3）如图，若 ABAC，BACADC60，试
9、探究B和C的数量关系，并说明理由 25. 在边长为 10 厘米的等边三角形ABC 中，如果点 M，N都以 3厘米/秒的速度匀速同时出发 （1）若点 M 在线段 AC上由 A 向 C运动，点 N在线段 BC上由 C向 B 运动 如图，当 BD6，且点 M，N 在线段上移动了 2s，此时AMD和BND 是否全等，请说明理由 求两点从开始运动经过几秒后，CMN是直角三角形 （2）若点 M 在线段 AC上由 A 向点 C 方向运动，点 N在线段 CB上由 C 向点 B 方向运动，运动的过程中，连接直线 AN，BM，交点为 E，探究所成夹角BEN的变化情况，结合计算加以说明 广州市南沙区广州市南沙区 2
10、020-2021 学年八年级学生学业水平测试期末数学试卷学年八年级学生学业水平测试期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30分分.在每小题给出的四个选项中只有一在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）项是符合题目要求的） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C
11、、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确 故选 B 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合 2. 如图，人字梯中间一般会设计一 “拉杆”，以增加使用梯子时的安全性这样做的道理是（ ） A. 两点之间的所有连线中线段最短 B. 三角形具有稳定性 C. 经过两点有一条直线，并且只有一条直线拉杆 D. 在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性解答即可 【详解】 人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故选：B 【点睛】本
12、题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答 3. 下列运算中正确的是（ ） A. b2b3b6 B. （2x+y）24x2+y2 C. （3x2y）327x6y3 D. x+xx2 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项进行解答 【详解】解：A、b2b3b5，不符合题意； B、 （2x+y）24x2+4xy+y2，不符合题意； C、 （3x2y）327x6y3，符合题意； D、x+x2x，不符合题意 故选：C 【点睛】 本题主要考查了同底数幂的乘法， 完全平方公式， 幂的乘方与积的乘方以及合并同类项等知识点 4. 如图，已知直线
13、 PC 是线段 AB 的垂直平分线，APC50，则B（ ） A. 40 B. 50 C. 55 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出 PAPB，根据等腰三角形的性质求出AB，再根据直角三角形的两锐角互余求出即可 【详解】解：直线 PC是线段 AB的垂直平分线， PCAB，PAPB， BA，PCA90 ， APC50 ， BA90 APC40 ， 故选：A 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；等腰三角形两个底角相等，简称等边对等角 5. 纳米（nm）是非常小的长度单位
14、，1 纳米109米中国首款云端智能芯片采用了 16 纳米工艺技术，用科学记数法可将 16 纳米表示为（ ） A. 16109米 B. 1.6108米 C. 1.6109米 D. 1.61010米 【答案】B 【解析】 【分析】由科学记数法的定义表示即可 【详解】1纳米109米， 16纳米16109米1.6108米 故选：B 【点睛】绝对值小于 1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a 10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0的个数所决定 6. 一个多边形的内角和是 900 ，则这个多边形的边数为 （ ） A. 6 B.
15、7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于 900 ，列出方程，解出即可 【详解】解：设这个多边形的边数为 n， 则有（n-2）180 =900 ， 解得：n=7， 这个多边形的边数为 7 故选 B 【点睛】本题考查了多边形内角和，熟练掌握内角和公式是解题的关键. 7. 一个三角形的两边长分别为 5 和 2， 若该三角形的第三边的长为偶数， 则该三角形的第三边的长为 （ ） A. 6 B. 8 C. 6 或 8 D. 4 或 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形两边之和大于第三边确定第三边的范围，根据题意计算即可 【详解】解：设
16、三角形的第三边长为 x， 则 52x5+2，即 3x7， 三角形的第三边是偶数， x4 或 6， 故选：D 【点睛】本题考查了三角形三边关系，一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 8. 小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，2ab4a2b+2ab3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（ ） A. （2a+b2） B. （a+2b） C. （3ab+2b2） D. （2ab+b2） 【答案】A 【解析】 【分析】根据多项式除单项式的运算法则计算即可 【详解】（4a2b+2ab3）2ab2a+b2， 被墨汁遮住的一项是 2a+b2 故选：A 【点
17、睛】本题考查了多项式除以单项式，一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加 9. 如图，AOB50，OC平分AOB，如果射线 OA 上的点 E 满足OCE是等腰三角形，那么OCE的度数不可能为（ ） A. 130 B. 77.5 C. 65 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】求出AOC，根据等腰得出三种情况，OECE，OCOE，OCCE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出OEC的度数即可 【详解】解：如图所示： AOB50 ，OC平分AOB， AOC25 ， 当 E在 E1时，OECE， AOCOCE25 ， OEC180 25 25 130 ；
18、 当 E在 E2点时，OCOE， 则OCEOEC12（180 25 ）77.5 ； 当 E在 E3时，OCCE， 则OECAOC25 ； 综上，OEC的度数不可能为 65 ， 故选：C 【点睛】本题主要是考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等腰三角形的腰相等，分成三类情况分别讨论，再利用内角和定理以及底角相等，求解角的度数，这是解题的主要思路 10. 如图， 点 D是FAB 内的定点且 AD=2， 若点 C、 E 分别是射线 AF、 AB 上异于点 A的动点， 且CDE周长的最小值是 2时，FAB 的度数是（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 【答案】A 【解析】
19、 【分析】作 D点分别关于 AF、AB的对称点 G、H，连接 GH分别交 AF、AB于 C、E，利用轴对称的性质得 AG=AD=AH=2，利用两点之间线段最短判断此时CDE 周长最小为 DC+DE+CE=GH=2，可得AGH是等边三角形，进而可得FAB 的度数 【详解】解：如图，作 D 点分别关于 AF、AB 的对称点 G、H，连接 GH 分别交 AF、AB 于 C、E，连接DC，DE， 此时CDE 周长最小为 DC+DE+CE=GH=2， 根据轴对称性质，得 AG=AD=AH=2，DAF=GAF，DAB=HAB， AG=AH=GH=2， AGH是等边三角形， GAH=60 ， FAB=12G
20、AH=30 ， 故选：A 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 11. 若分式12x有意义，则x的取值范围是_ 【答案】x2 【解析】 【详解】试题分析：由题意，得 x20解得 x2 考点：分式有意义条件 12. 因式分解：241x _ 【答案】(21)(21)xx 【解析】 【分析】利用平方差公式进行因式分解即可得 【详解】解：原式21(2 )x， (21)(21)xx， 故答案为：(21)(21)xx 【点睛】本题考查
21、了利用平方差公式进行因式分解，熟记平方差公式是解题关键 13. 已知点 A（a1，5）与点 B（3，b）关于 x 轴对称，则点 C（a，b）关于 y轴对称的点在第 _象限 【答案】四 【解析】 【分析】直接利用关于 x，y 轴对称点的性质得出 a，b 的值，进而得出答案 【详解】解：点 A（a1，5）与点 B（3，b）关于 x 轴对称， a13，b5， 解得：a2，b5， 点 C（a，b）为 C（2，5） ， 点 C（a，b）关于 y轴对称的点的坐标为（2，5） ， 即点 C（a，b）关于 y轴对称的点在第四象限 故答案为：四 【点睛】本题考查了求关于坐标轴对称的点的坐标，判断点所在的象限，求
22、得, a b的值是解题的关键 14. 已知 a2mn2，am3，则 an的值是 _ 【答案】92 【解析】 【分析】根据同底数幂的运算法则及幂的乘方即可求出答案 【详解】解：22m na，3ma， 229mmaa， 22nmm naaa， 92 ， 92， 故答案为：92 【点睛】题目主要考查同底数幂的除法及幂的乘方，熟练掌握运算法则，学会变形是解题关键 15. 如图，ABC 中，ABACDC，D在 BC上，且 ADDB，则BAC_ 【答案】108#108 度 【解析】 【分析】先设Bx，由 ABAC 可知，Cx，由 ADDB 可知BDABx，由三角形外角的性质可知ADCB+DAB2x，根据
23、DCCA 可知ADCCAD2x，再在ABC 中，由三角形内角和定理即可得出关于 x 的一元一次方程，求出 x 的值，从而求解 【详解】设Bx， ABAC， CBx， ADDB， BDABx， ADCB+DAB2x， DCCA， ADCCAD2x， 在ABC中，x+x+2x+x180， 解得：x36 BAC108 故答案为：108 【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练进行逻辑推理 16. 如图，ABBE，DBC12ABE，BDAC，则下列结论正确的是：_ （填序号） BC平分DCE；ABE+ECD180；AC2BE+CE；AC2CDCE 【答案】 【解
24、析】 【分析】根据已知DBC12ABE，BDAC，想到构造一个等腰三角形，所以延长 CD，以 B 为圆心，BC长为半径画弧， 交CD的延长线于点F， 则BFBC， 就得到FBC2DBC， 然后再证明FABCBE，就可以判断出 BC平分DCE，再由角平分线的性质想到过点 B 作 BGCE，交 CE的延长线于点 G，从而证明ABDEBG，即可判断 【详解】解：延长 CD，以 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交 CD 的延长线于点 F，则 BFBC，过点 B 作BGCE，交 CE 的延长线于点 G， FBBC，BDAC， DFDC，DBCDBF12FBC， DBC12ABE， FBCABE， FBA
25、CBE， ABAE， FABCBE（SAS） ， FBCE， BFBC， FBCD， BCDBCE， BC平分DCE， 故正确； FBC+F+BCD180 ， ABE+BCE+BCD180 ， ABE+DCE180 ， 故正确； BDCBGC90 ，BCBC， BDCBGC（AAS）， ADGE，CDCG， ACAD+DC， ACAD+CG AD+GE+CE 2GE+CE， GEBE， AC2BE+CE， 故错误； ACCFAF， AC2CDCE， 故正确； 故答案为： 【点睛】本题主要是考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，综合运用全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，是求解该类
26、问题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 72 分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤）分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤） 17. 计算 4xy2（2x2y）2 【答案】4316yx 【解析】 【分析】先计算积的乘方，然后根据单项式乘单项式的运算法则计算，最后计算负整数指数幂即可求解 【详解】解：2224? 2xyx y 2424? 4xyx y， 3416x y， 4316yx 【点睛】题目主要考查单项式乘以单项式、积的乘方、负整数指数幂的运算，熟练掌握各运算法则是解题关键 18. 已知：如图，ABAC，BDCE求证：ADAE 【答案】
27、见解析 【解析】 【分析】根据等边对等角，先证角相等，利用边角边证明ADBAEC，即可证明结论。 【详解】证明：ABAC， ABCACB ABDACE 在ADB和AEC中， ABACABDACEBDCE ADBAEC（SAS） ADAE 【点睛】 本题主要是考查了等边对等角以及全等三角形的判定和性质，熟练利用等边对等角， 证明角相等，并根据已知条件，证明三角形全等，是解决该问题的关键。 19. 如图，在平面直角坐标系中，A（1，4） 、B（2，1） 、C（3，2） （1）作ABC关于 x轴对称图形ABC； （2）求CAA的面积 【答案】 （1）见解析； （2）16 【解析】 【分析】 （1）分
28、别作出三个顶点关于 x轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）直接根据三角形的面积公式求解即可 【详解】解： （1）如图所示，ABC即为所求 （2）CAA的面积为128416 【点睛】本题主要考查作图轴对称变换，解题关键是掌握轴对称变换的定义和性质 20. 若 A（112x）22212xxxx，先化简 A，然后从2x2中，选择一个合适的整数作为 x 的值代入 A，求出 A的值 【答案】1xx ， 当 x1 时，A12；当 x2 时，A23 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，确定出范围中的整数 x的值，代入计算即可求出值
29、【详解】221(1)()22(2)xxAxxx x， 21(2)2 (1)xx xxx， 1xx， 2xx ， 整数 x2，1，0，1，2， 当 x2，1，0 时，原式没有意义； 当 x1 时，A12；当 x2时，A23 【点睛】本题考查了分式化简求值，解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简 21. 如图，在ABC中，ADBC，垂足为 D （1）尺规作图：作线段 AC的垂直平分线 EF，分别交 BC、AC 于点 E、F （保留作图痕迹，不写作法） （2）若 ABEC，AC6，CD5，求ABC的周长 【答案】 （1）见
30、解析； （2）16； 【解析】 【分析】 （1）利用基本作图，作 AC的垂直平分线即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到 EAEC，则 ABAE，根据等腰三角形的性质得到 BDED，然后利用等线段代换得到ABC的周长2CD+AC 【详解】解： （1）如图，EF 为所作； （2）连接 AE，如图， EF 垂直平分 AC， EAEC， ABCE， ABAE， ADBC， BDED， ABC的周长AB+BD+CD+ACCE+DE+CD+AC2CD+AC25+616 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握 5 种基本作图是解决此类问题的关键也考查了线段垂直平分线的性质 22. 2020年初，
31、为应对突如其来的“新冠肺炎”， 某药店用 3000 元购进了第一批口罩， 上市后很快售完，接着又用 9000 元购进第二批口罩，已知第二批所购口罩的进价比第一批每盒多 20 元，且数量是第一批的 1.5 倍问第二批口罩每盒的进价是多少元？ 【答案】第二批口罩每盒的进价是 40元 【解析】 【分析】设第一批口罩每盒的进价是 x元，则第二批口罩每盒的进价是（x+20）元，根据数量总价单价结合第二批所购口罩的数量是第一批所购口罩数的 1.5倍，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论 【详解】解：设第一批口罩每盒的进价是 x元，则第二批口罩每盒的进价是（x+20）元， 依题意，得：90
32、0030001.520 xx， 解得：x20， 经检验，x20 是原方程的解，且符合题意 所以 x+2040 答：第二批口罩每盒的进价是 40元 【点睛】本题主要是考查了分式方程的实际应用，根据题意，找到等量关系，列出分式方程，并求解方程，这是求解分式方程的应用题的基本思路 23. 数学活动课上，老师用图中的 1张边长为 a 的正方形 A、 1 张边长为 b 的正方形 B 和 2 张宽和长分别为 a 与 b的长方形 C纸片，排成了如图中的大正方形观察图形并解答下列问题 （1）由图和图可以得到的等式为 （用含 a，b的代数式表示） ； （2）小芳想用图的三种纸片拼出一个面积为（a+b） （a+2
33、b）的大长方形，则需要 A 纸片 张，B 纸片 张， C 纸片 张 （空格处填写数字） ， 并尝试在框线中参考图画出相关的设计图； （3）如图，已知点 C为线段 AB上的动点，分别以 AC、BC为边在 AB的两侧作正方形 ACED 和正方形 BCFG，面积分别记作 S1、S2，若 AB6，图中阴影部分ACF的面积为 4，利用（1）中得到的结论求 S1+S2的值 【答案】 （1） （a+b）2a2+2ab+b2； （2）1，2，3； （3）20 【解析】 分析】 （1）根据大正方形的面积等于各部分图形的面积和即可解决； （2）根据多项式乘以多项式的乘法法则，把（a+b） （a+2b）的结果计算出
34、来即可判断； （3）根据题意可知 AC+BC6，ACBC8，然后利用（1）的结论即可解决 【详解】解： （1）由题意得： （a+b）2a2+2ab+b2， 故答案为： （a+b）2a2+2ab+b2； （2） （a+b） （a+2b） a2+3ab+2b2， 故答案为：1，2，3； （3）设 ACm，BCn， 由题意得：m+n6，12mn4， S1+S2 m2+n2 （m+n）22mn 6228 20 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，灵活运用完全平方公式是解题的关键 24. 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形” （1）如图中，若ABC和ADE互为“兄弟三角形”，
35、ABAC，ADAE写出BAD，BAC和BAE 之间的数量关系，并证明 （2）如图，ABC和ADE 互为“兄弟三角形”，ABAC，ADAE，点 D、点 E 均在ABC 外，连接 BD、CE 交于点 M，连接 AM，求证：AM 平分BME （3）如图，若 ABAC，BACADC60，试探究B和C的数量关系，并说明理由 【答案】 （1）BAD+BACBAE，理由见解析； （2）见解析； （3）B+C180，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）根据“兄弟三角形”的定义得到BACDAE，进而得到CAEBAD，得到答案； （2）过点 A作 AGDM于 G， AHEM于 H， 证明BADCAE， 根据全等
36、三角形的对应高相等得到 AGAH，根据角平分线的判定定理证明结论； （3） 延长 DC至点 P， 使 DPAD， 证明BADCAP， 得到BACP， 根据邻补角的定义证明即可 【详解】 （1）解：BAD+BACBAE， 理由如下：ABC 和ADE互为“兄弟三角形”， BACDAE， BACDACDAEDAC，即CAEBAD， BAD+BACCAE+BACBAE； （2）证明：如图，过点 A 作 AGDM于 G，AHEM于 H， ABC和ADE互为“兄弟三角形”， BACDAE， BAC+DACDAE+DAC，即CAEBAD， 在BAD和CAE中， ABACBADCAEADAE BADCAE（S
37、AS） ， AGDM，AHEM， AGAH， AGDM，AHEM， AM 平分BME （3）B+C180， 理由如下：如图，延长 DC 至点 P，使 DPAD， ADP60， ADP为等边三角形， ADAP，DAP60， BAC60， BADCAP， 在BAD和CAP中， ABACBADCAPADAP ， BADCAP（SAS） ， BACP， ACD+ACP180， B+ACD180 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，以及角平分线的判定，以及等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线并证明是本题关键 25. 在边长为 10 厘米的等边三角形ABC 中，如果点 M，N都以 3厘米/秒的速
38、度匀速同时出发 （1）若点 M 在线段 AC上由 A 向 C运动，点 N在线段 BC上由 C向 B 运动 如图，当 BD6，且点 M，N 在线段上移动了 2s，此时AMD和BND 是否全等，请说明理由 求两点从开始运动经过几秒后，CMN是直角三角形 （2）若点 M 在线段 AC上由 A 向点 C 方向运动，点 N在线段 CB上由 C 向点 B 方向运动，运动的过程中，连接直线 AN，BM，交点为 E，探究所成夹角BEN的变化情况，结合计算加以说明 【答案】 （1）证明见解析；经过109或209秒后，CMN 是直角三角形； （2）BEN60，证明见解析 【解析】 【分析】 （1）根据题意得出 A
39、MBD，ADBN，根据等边三角形的性质得到ABC60，利用 SAS定理证明AMDBDN； 分CNM90、CMN90两种情况，根据直角三角形的性质列式计算即可； （2）证明ABMCAN，根据全等三角形的性质得到ABMCAN，根据三角形的外角性质计算，得到答案 【详解】 （1）ABC为等边三角形， ABC60， 当点 M，N 在线段上移动了 2s时，AM6厘米，CN6 厘米， BNBCCN4厘米， AB10厘米，BD6厘米， AD4厘米， AMBD，ADBN， 在AMD 和BDN中， AMBDABADBN ， AMDBDN（SAS） ； 设经过 t秒后，CMN是直角三角形， 由题意得：CM（103
40、t）厘米，CN3t厘米， 当CNM90时， C60， CMN30， CM2CN，即 103t23t， 解得：t109， 当CMN90时，CN2CM，即 2（103t）3t， 解得：t209， 综上所述：经过109或209秒后，CMN是直角三角形； （2）如图所示，由题意得：AMCN， 在ABM 和CAN 中， AMCNBAMACNABCA ， ABMCAN（SAS） ， ABMCAN， BENABE+BAECAN+BAE60 【点睛】本题考查了全等三角形的判断以及列一元一次方程动点相关问题，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；一元一次方程与几何图形的相结合的题，多数会涉及到动点的问题，需要对动点的位置进行讨论，讨论时要注意讨论全面，做到不重不漏，通常会按照从左到右或从上到下的方位进行考虑