1、江苏省南京市玄武区2020-2021学年八年级下期末数学试题一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）A. 经过路口，恰好遇到红灯B. 367人中至少有2人的生日相同C. 打开电视，正在播放动画片D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上3. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A. 对边相等B. 对角相等C. 对角线互相平分D. 对角线互相垂直4. 已知为整数，且满足，则的值为（
2、 ）A. 5B. 6C. 25D. 265. 若关于x的一元二次方程kx22x10有实数根，则k的取值范围是（）A k1且k0B. k1C. k1D. k1且k06. 如图，在中，将绕点逆时针旋转60，得到，连接，则的长是（ ）A. 2B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7. 使式子有意义的的取值范围是_8. 某校对1200名学生的身高进行了测量，身高在1.581.63（单位：）这一个小组的频率为0.25，则该组的人数是_.9. 已知反比例函数的图像经过点，则的值为_10. 计算的结果是_11. 某植物种子在
3、相同的条件下发芽试验的结果如下：每批粒数501003004005001000发芽的频数4596283380474948则该植物种子发芽的概率的估计值是_（结果精确到0.01）12. 用配方法将方程变形为，则的值是_13. 如图，在矩形中，角平分线交于点，连接，恰好平分，若，则的长为_14. 已知，则的值为_15. 如图，在中，是对角线上的两点，则的度数为_16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，顶点的横坐标为3，若反比例函数的图像经过，两点，则的值为_三、解答题（本大题共11小题，共88分请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 计算：（1）；（
4、2）18. 解一元二次方程（1）2x+x-3=0 （2）19. 先化简，再求值：，其中20. 为增强学生环保意识，科学实施垃圾分类管理，某中学举行了“垃圾分类知识竞赛”，第一轮每位学生答40道试题随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将样本数据分为A、B、C、D、E五个组别，并绘制了下列不完整的统计图表组别答题正确个数人数A10B15C25DE根据以上信息完成下列问题：（1）_，_；（2）请补全条形统计图；（3）已知该中学共有1500名学生，如果答题正确个数不少于24个学生进入第二轮的比赛，请你估计本次知识竞赛该中学进入第二轮的学生有多少21 （1）解分式方程：；（2）只改变分式方程方框中的一个数字，
5、使该分式方程无解请直接写出一个改编后的分式方程：_22. 一辆汽车从甲地匀速开往相距90 km的乙地，实际行驶的速度是原计划速度的1.5倍，并比原计划提前30分钟到达乙地，求该汽车实际行驶的速度23. 如图，在中，分别为，的中点，垂足分别为，连接，（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，当_时，是矩形24. 已知反比例函数（为常数，且）的图像与一次函数的图像的一个交点的横坐标是（1）求的值；（2）当时，则的取值范围是_；（3），是该反比例函数图像上的点，且，则的取值范围是_25. 已知正方形，是的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）（1）在图中，画，垂足为；（2）
6、在图中，画，垂足为26. 如图，菱形和菱形有公共顶点，点，分别落在边，上，连接，（1）求证：；（2）将菱形绕点按逆时针方向旋转设旋转角，且，如图，当时，则线段的长度为_ 连接，当为直角三角形时，则旋转角的度数为_27. 如图，在平面直角坐标系中，已知，为矩形内一点（不包括边界），过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线把矩形分为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的面积的值等于的长度，则称点为矩形的“常积点”（1）在点，中，是矩形 “常积点”的为_；（填写所有正确的字母代号）（2）若点是矩形的“常积点”，且对应的小矩形的一条边在轴上，求的值；（3）若点是矩形的“常积点”，且对应的小矩形的一条边
7、在轴上，一次函数（为常数，且）的图像上“常积点”的个数随着的值变化而变化，请直接写出该图像上“常积点”的个数及对应的的取值范围江苏省南京市玄武区2020-2021学年八年级下期末数学试题一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】最简二次根式须同时满足两个条件：一是被开方数中不含分母，二是被开方数中不含能开的尽方的因数或因式，据此逐项判断即得答案【详解】解：A、，故不是最简二次根式，本选项不符合题
8、意；B、中含有分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意；C、是最简二次根式，故本选项符合题意；D、，故不是最简二次根式，本选项不符合题意故选：C【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，属于基础题型，熟知概念是关键2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）A. 经过路口，恰好遇到红灯B. 367人中至少有2人的生日相同C. 打开电视，正在播放动画片D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上【答案】B【解析】【分析】必然发生的事件是必然事件，根据定义解答【详解】解：A. 经过路口，恰好遇到红灯是随机事件，故该项不符合题意； B. 367人中至少有2人的生日相同是必然事件，故该项符合题意； C. 打开电视，
9、正在播放动画片是随机事件，故该项不符合题意； D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件，故该项不符合题意； 故选：B【点睛】此题考查了必然事件的定义，熟记定义是解题的关键3. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A. 对边相等B. 对角相等C. 对角线互相平分D. 对角线互相垂直【答案】D【解析】【详解】试题分析：菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直故选D考点：菱形的性质；平行四边形的性质4. 已知为整数，且满足，则的值为（ ）A. 5B.
10、 6C. 25D. 26【答案】C【解析】【分析】由可得关于a的一元一次不等式组，得出2426，即可得出a的值【详解】解：， ，2426，为整数，a25故选：C【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，估算无理数的大小，得出a的取值范围是解题的关键5. 若关于x的一元二次方程kx22x10有实数根，则k的取值范围是（）A. k1且k0B. k1C. k1D. k1且k0【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程定义和判别式的意义得到k0且=22-4k（-1）0，然后求出两个不等式的公共部分即可【详解】根据题意得k0且=22-4k（-1）0，解得k-1且k0故选A【点睛】本题考查了一元二次方程ax2
11、+bx+c=0（a0）根的判别式=b2-4ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了一元二次方程的定义6. 如图，在中，将绕点逆时针旋转60，得到，连接，则的长是（ ）A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】连接CM，延长CN交AM于点O由题意可求出AC的长，并易证，即可利用“SSS”证明，从而可证明CO为的角平分线，进而可证明，即得出为等腰直角三角形，即可求出ON的长最后在中，利用勾股定理可求出CO的长，再利用，即可求出CN的长【详解】如图，连接CM，延长CN交AM于点O由题意可知由旋转可知，为等边三角形，在和中，即CO为的
12、角平分线，为等腰直角三角形，在中，故选B【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形三线合一的性质以及勾股定理正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解答本题的关键二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7. 使式子有意义的的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据分式有意义的条件可得，解不等式求解即可【详解】解：式子有意义解得故答案为：【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是理解分式有意义的条件为分母不为08. 某校对1200名学生的身高进行了测量，身高
13、在1.581.63（单位：）这一个小组的频率为0.25，则该组的人数是_.【答案】300【解析】【详解】试题解析：该组的人数是：1200025=300（人）考点：频数与频率9. 已知反比例函数的图像经过点，则的值为_【答案】-3【解析】【分析】把点代入解析式，即可求解【详解】解：反比例函数的图像经过点， ，解得： 故答案为：-3【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键10. 计算的结果是_【答案】【解析】【分析】先分母有理化，然后合并即可【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可在二次根
14、式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍11. 某植物种子在相同的条件下发芽试验的结果如下：每批粒数501003004005001000发芽的频数4596283380474948则该植物种子发芽的概率的估计值是_（结果精确到0.01）【答案】095【解析】【分析】根据题意及频率估计概率可直接进行求解【详解】解：由表格得：当每批粒数为50时，则种子发芽的频率为；当每批粒数为100时，则种子发芽的频率为；当每批粒数为300时，则种子发芽的频率为；当每批粒数为400时，则种子发芽的频率为；当每批粒数为500时，则种子发芽的频率为；当每批粒数为100
15、0时，则种子发芽的频率为；该植物种子发芽的概率的估计值是0.95；故答案为0.95【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题的关键12. 用配方法将方程变形为，则的值是_【答案】5【解析】【分析】将方程的常数项移到右边，两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果【详解】解：x2-4x-1=0，移项得：x2-4x=1，配方得：x2-4x+4=5，即（x-2）2=5，所以m=5故答案为：5【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的
16、平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可；（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方13. 如图，在矩形中，的角平分线交于点，连接，恰好平分，若，则的长为_【答案】【解析】【分析】根据矩形的性质得，根据BE是的角平分线，得，则，在中，根据勾股定理得，根据平行线的性质得，由因为EC平分则，等量代换得，所以，即可得【详解】解：四边形ABCD为矩形，BE是的角平分线，在中，根据勾股定理得，EC平分，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握这些知识点14. 已知，则的值为_【答案】
17、#【解析】【分析】先将原式展开计算，再代入即可求解【详解】解： 故答案为：【点睛】本题主要考查了整式的乘法运算，二次根式加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键15. 如图，在中，是对角线上的两点，则的度数为_【答案】23【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得DAC=ACB，再由，可得DAC=ADE，ACD=DEC，然后根据三角形外角的性质可得ACD=2DAC=2ACB，再根据，即可求解【详解】解：在中，ADBC， DAC=ACB， ，DAC=ADE， ，ACD=DEC，DEC=DAC+ADE，ACD=2DAC=2ACB，ACD+ACB=69，3DAC=69，DAC=23故答案为：23
18、【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质是解题的关键16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，顶点的横坐标为3，若反比例函数的图像经过，两点，则的值为_【答案】18【解析】【分析】过点B作BFx轴于F，过点C作CEBF于E，则AFB=CEB=90，证明ABFBCE，推出BE=AF=4，BF=CE，设EF=x，得到B、C的坐标，根据反比例函数的图像经过，两点，得到方程，求出x值即可求出k详解】解：过点B作BFx轴于F，过点C作CEBF于E，则AFB=C
19、EB=90，点A的坐标为，顶点的横坐标为3，OA=1，OF=3，四边形ABCD是正方形，ABC=90，BAF+ABF=ABF+CBE=90，BAF=CBE，ABFBCE，BE=AF=4，BF=CE，设EF=x，B（3，4+x），C（7+x，x），反比例函数的图像经过，两点，解得x=2或x=-6（舍去），B（3，6），故答案为：18【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，解一元二次方程，待定系数法求反比例函数解析式，熟记正方形的性质及全等三角形的判定是解题的关键三、解答题（本大题共11小题，共88分请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：
20、（1）；（2）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先化简，再合并同类二次根式；（2）先化简括号内二次根式再合并，再利用二次根式乘法计算即可【小问1详解】解： ；【小问2详解】解：【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质是解本题的关键18. 解一元二次方程（1）2x+x-3=0 （2）【答案】（1） （2）【解析】【分析】利用因式分解法求一元二次方程.【详解】解：（1）分解因式得： 解得 （2）移项得： 分解因式得： 解得： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据题选择合适的解法是解题的关键.19. 先化简，再求值：，其中【答案】，【解析】【分析】先根据分式的混合运算
21、顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可【详解】解：原式，当时，原式【点睛】本题考查了分式的化简求值,二次根式的混合运算掌握分式的混合运算顺序及运算法则是解题的关键20. 为增强学生环保意识，科学实施垃圾分类管理，某中学举行了“垃圾分类知识竞赛”，第一轮每位学生答40道试题随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将样本数据分为A、B、C、D、E五个组别，并绘制了下列不完整的统计图表组别答题正确个数人数A10B15C25DE根据以上信息完成下列问题：（1）_，_；（2）请补全条形统计图；（3）已知该中学共有1500名学生，如果答题正确个数不少于24个的学生进入第二轮的比赛，请你估计本次知识竞赛该中学
22、进入第二轮的学生有多少【答案】（1）30，20 （2）见解析 （3）750名【解析】【分析】（1）利用B组的人数及百分比求出总人数，由总人数分别乘以对应的百分比即可求出m、n的值；（2）利用（1）的结果补图即可；（3）用1500乘以D与E组的和与总体的比即可得到答案【小问1详解】解：总人数为（人）， D组的人数m=（人），E组的人数n=（人），故答案为：30，20；【小问2详解】解：如图，【小问3详解】解：（人），答：估计本次知识竞赛该中学进入第二轮的学生有750名【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图，样本估计总体，由部分的百分比及数量求出总数，计算部分的数量，根据部分的比例求出总体中该部
23、分的数量，能读懂统计图，并从统计图中得到相关信息是解题的关键21. （1）解分式方程：；（2）只改变分式方程方框中的一个数字，使该分式方程无解请直接写出一个改编后的分式方程：_【答案】（1）；（2）（或，或，或）【解析】【分析】（1）去分母，再解整式方程即可；（2）把要确定的数字设为a，化为整式方程后，把使分母为0的未知数的值代入即可求出改编的方程【详解】（1）解：方程两边同时乘以，得，解得检验：当时，所以是原方程的解（2）设改编后的方程为，去分母得，把代入得，解得，所以，改编后的方程为；故答案为：（或，或，或）【点睛】本题考查了解分式方程和方法方程的解，解题关键是熟练运用解方法方程的方法求解
24、，明确分式方程无解的条件22. 一辆汽车从甲地匀速开往相距90 km的乙地，实际行驶的速度是原计划速度的1.5倍，并比原计划提前30分钟到达乙地，求该汽车实际行驶的速度【答案】90km/h【解析】【分析】设原计划速度为，则汽车实际行驶的速度为，根据“比原计划提前30分钟到达乙地，”列出方程，即可求解【详解】解：设原计划速度为，则汽车实际行驶的速度为，由题意，得 ， 解这个方程，得 经检验，是所列方程的解，且符合题意 所以，答：该汽车实际行驶的速度是90km/h【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键23. 如图，在中，分别为，的中点，垂足分别为，连接，（1）
25、求证：四边形是平行四边形；（2）若，当_时，是矩形【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，求出，同理，利用平行四边形的性质得出，根据平行四边形的判定得出即可；（2）连接EF，证明AGDCHB（AAS)，得到DG=BH，进而得到BG=DH，设BG=DH=x，利用勾股定理求出x，即可得出BD【小问1详解】解：于，在中，为的中点，同理在中，在中，同理在中，在中，又，四边形是平行四边形【小问2详解】连接EF，则EF=AB=CD=2，若四边形GEHF矩形，则EF=GH=2，在RtAGD和RtCHB中， ，AGDCHB（AAS)，DG=BH；DG-GH=BH-GH，即B
26、G=DH，设BG=DH=x，在RtABG中，AG2=AB2-BG2=4-x2，在RtAGD中，AG2=AD2-DG2=9-DG2=9（2+x）2，4-x2=9-(2+x)2，解得x= ，BD=BG+GH+HD=+2+ 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键24. 已知反比例函数（为常数，且）的图像与一次函数的图像的一个交点的横坐标是（1）求的值；（2）当时，则的取值范围是_；（3），是该反比例函数图像上的点，且，则的取值范围是_【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）把交点的横坐标代入一次函数中求出交点
27、坐标，再代入反比例函数中求得k；（2）把代入反比例函数求解即可；（3）根据反比例函数的性质求解即可【小问1详解】解：当时，所以交点坐标为， 代入，得，解得的值为6；【小问2详解】的值为6， ，当时，即， ，当时，则的取值范围是；【小问3详解】比例函数，在每个象限内， 随x增大而减小， ， ，【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，解题关键是掌握反比例函数的性质，难度不大25. 已知正方形，是的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）（1）在图中，画，垂足为；（2）在图中，画，垂足为【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）连接点P与正方形的对角线的交
28、点，并延长交AB于一点，即为点Q；（2）连接BD，交AP于点F，连接CF并延长交AD于点E，连接BE交AP于一点即为点H【小问1详解】解：如图，即为所求【小问2详解】解：连接BD，交AP于点F，连接CF并延长交AD于点E，连接BE交AP于一点即为点H，四边形ABCD是正方形，BD为对角线，ADB=CDB，AD=CD，DF=DF，ADFCDF，DAF=DCF，ADP=CDE=90，ADPCDE，DE=DP，AE=DP，AB=AD，BAE=ADP=90，ABEDAP，ABE=DAP，BAH+DAP=90，ABE+BAH=90，AHB=90，即如图，即为所求【点睛】此题考查了利用正方形的性质作垂线，
29、全等三角形的判定及性质，熟记正方形的性质是解题的关键26. 如图，菱形和菱形有公共顶点，点，分别落在边，上，连接，（1）求证：；（2）将菱形绕点按逆时针方向旋转设旋转角，且，如图，当时，则线段的长度为_ 连接，当为直角三角形时，则旋转角的度数为_【答案】（1）见解析 （2）；30或90【解析】【分析】（1）连接，根据菱形的性质，可得到，从而得到，进而得到，即可求证；（2）连接AF，EG，BD，AC，BD与AC交于点O， AF交EG于点P，根据旋转的性质和菱形的性质可得AFOD，ABD和AEG是等边三角形，从而得到AF=OD，进而得到四边形AODF是平行四边形，即可求解；分两种情况讨论，即可求解
30、【小问1详解】证明：连接，四边形是菱形，在和中，四边形是菱形，在和中，；【小问2详解】解：如图，连接AF，EG，BD，AC，BD与AC交于点O， AF交EG于点P，由（1）得当菱形没有旋转时，AC平分BAD，AF平分EAG，此时点A、F、C三点共线，当菱形绕点按逆时针方向旋转时， ，当时，FAC=BAE=90，在菱形ABCD中，AB=AD， ，BDAC， ，AOD=90DOA+FAC=180，AFOD，在菱形AEFG中，EAF= ，AE=AG， ，ABD和AEG是等边三角形， ， ， ， AF=3，AF=OD，四边形AODF是平行四边形， ；由得四边形AODF是平行四边形，FAC=90，四边形
31、AODF是矩形，BDF=90，即为直角三角形，此时旋转角的度数为90；如图，当点F在AD上时，由得AF=3，AD=AB=6DF=AD-AF=3，AF=DF，ABD为等边三角形，BFAD，即BFD=90，此时DFB为直角三角形，EAF= ，BAE=BAD-EAF=30，即此时旋转角的度数为30；综上所述，当为直角三角形时，旋转角的度数为30或90【点睛】本题主要考查了菱形的性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，并利用分类讨论思想解答是解题的关键27. 如图，在平面直角坐标系中，已知，为矩形内一点（
32、不包括边界），过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线把矩形分为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的面积的值等于的长度，则称点为矩形的“常积点”（1）在点，中，是矩形 “常积点”的为_；（填写所有正确的字母代号）（2）若点是矩形的“常积点”，且对应的小矩形的一条边在轴上，求的值；（3）若点是矩形的“常积点”，且对应的小矩形的一条边在轴上，一次函数（为常数，且）的图像上“常积点”的个数随着的值变化而变化，请直接写出该图像上“常积点”的个数及对应的的取值范围【答案】（1）、 （2）或 （3）当，的个数为0；当或或，的个数为1；当且，的个数为2【解析】【分析】（1）设点P的坐标为(x，y)，用x，
33、y分别表示出四个小正方形的面积，再将各点坐标代入，与4作比较即可；（2）分类讨论：当是点对应的小矩形的顶点时和当A是点对应的小矩形的顶点时，根据“常积点”的定义列出方程，解出m的值，再检验即可；（3）结合（1）用x，y所表示的和，再根据题意可知，求M的个数即求出直线与和在区间0x4，0y3的交点个数即可画出图像求出四个临界值点的坐标，再根据坐标可求出该直线经过该临界点时的k的值，最后结合图象分类讨论交点个数即可；【小问1详解】设点P的坐标为(x，y)(0x4，0y3)如图，可知，对于点D有：，均不与OA=4相等，不是“常积点”；对于点E有：，其中和的值与OA的值相等，是“常积点”； 对于点F有
34、：，其中的值与OA的值相等，是“常积点”； 对于点G有：，其中的值与OA的值相等，是“常积点”； 综上，是“常积点”的点有E、F、G故答案为：E、F、G【小问2详解】分类讨论当是点对应的小矩形的顶点时，可得方程，解得或，经检验，当时，点不在矩形内，舍去； 当A是点对应的小矩形的顶点时，可得方程，解得或，经检验，都符合题意；综上，或【小问3详解】根据点M是矩形ABCO的“常积点”，且对应的小矩形的一条边在x轴上，对应或，其中(0x4，0y3)求M的个数即求出直线与和在区间0x4，0y3的交点个数即可如图，对于，当时，即I(0，1)，当时，即K(，3)；对于，当时，即L(，3)，联立，解得：，即J
35、(2，2)将I(0，1)代入直线解析式得：，解得：，即解析式为；将K(，3)代入直线解析式得：，解得：，即解析式为；将L(，3)代入直线解析式得：，解得：，即解析式为；将J(2，2)代入直线解析式得：，解得：，即解析式为；由图可知，当一次函数的图象在上方时，即时，与和的图象在区间0x4，0y3没有交点，即M=0；当一次函数的图象在和之间时，即时，与和的图象在区间0x4，0y3有一个交点，即M=1；当一次函数的图象在和之间时，即时，与和的图象在区间0x4，0y3有两个交点，即M=2；当一次函数的图象就是直线时，即时，与和的图象在区间0x4，0y3有1个交点，即M=1；当一次函数的图象在和之间时，即时，与和的图象在区间0x4，0y3有两个交点，即M=2；当一次函数的图象在下方时，即时，与和的图象在区间0x4，0y3有1个交点，即M=1；综上可知，当、和时，M的个数为1，当和时M的个数为2【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，解一元二次方程读懂题意，理解“常积点”的定义，并利用分类讨论和数形结合的思想是解答本题的关键