1、20212022 学年江苏省无锡市经开区八年级上期末数学试卷学年江苏省无锡市经开区八年级上期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题所给出的四个选项中，只有在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用一项是正确的，请用 2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列实数中，无理数是（ ） A. 0 B. 5 C. 227 D. 3.1415926 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A.
2、 1，2，3 B. 1，3，5 C. 3，2，5 D. 5，6，7 4. 在平面直角坐标系中，3, 4所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 下列各式中，正确的是（ ） A. 164 B. 93 C. 3273 D. 244 6. 关于函数24yx图像，下列结论正确的是（ ） A. 必经过点(1，2) B. 与 x轴交点的坐标为(0，-4) C. 过第一、三、四象限 D. 可由函数2yx 的图像平移得到 7. 如图， 在RtABC中， ACB=90 ，D为AB的中点， 点E在BC上， 且 CE=AC， BAE=15 ， 则CDE的大小为（ ）
3、A. 70 B. 75 C. 80 D. 85 8. 如图， 在ABC中， BAC=80 ， D， E为 BC上的两个点， 且 AB=BE， AC=CD， 则DAE 的度数为 （ ） A. 40 B. 45 C. 50 D. 60 9. 若一次函数ykxb的图像如图所示，则关于x的不等式20kx b 的解集为（ ） A. 32x B. 32x C. 3x D. 3x 10. 平面直角坐标系xOy中，点P坐标为3 , 44mm，一次函数4123yx的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，若点P在AOBV的内部，则m的取值范围为（ ） A. 1m 或0m B. 31m C. 10m D. 11m 二
4、、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 27 分分.不需写出解答过程，只需把答案直接填不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）写在答题卡上相应的位置） 11. 9 的算术平方根是 12. 若代数式5x有意义，则x的取值范围为_ 13. 已知a，b为两个连续整数，且5ab，则ab_ 14. 点( 1,2)A 关于 x轴对称点坐标是 _ 15. 若点( , )m n若在直线32yx上，则代数式261nm的值是_. 16. 如图，OC平分AOB，D、E、F分别是OC、OA、OB上的点，要使ODEODF，可以添加的条件是_ （只要写出一
5、个符合要求的条件） 17. 如图，在长方形ABCD中，20AB ，12BC ，E、F分别在边AB、CD上，且5CF 现将四边形BCFE沿EF折叠，点B，C的对应点分别为点B，C，当点B恰好落在边CD上时，则EF的长为_ 18. 如图， 在ACB中，90ACB，CP平分ACB， 过P作PQCP交CB于Q 若3AP，4BP ，则CQ _，APCPQBSS _ 三、 解答题 （本大题共三、 解答题 （本大题共 9 小题， 共小题， 共 73 分分.请在答题卡指定区域内作答， 解答时应写出文字说明、请在答题卡指定区域内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）证明过程或演算步骤） 19. 计算
6、： （1）024212； （2）202231318 20. 解方程： （1）2132x ； （2）381270 x 21. 已知22xy与23xy互为相反数，求2xy的平方根 22. 如图，在四边形 ABCD中，已知 ABCD，AB=CD，连接 AC，求证：ADBC 23. 如图，在RtABC中，90ACB，2ACBC （1）请用无刻度直尺和圆规，在边AC上求作一点D，使得点D到A、B的距离相等； （不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若4BC ，求CD的长 24. 如图是7 5的正方形网格，每个小正方形的边长为 1，每个小正方形的顶点称为格点，ABCV的顶点均在格点上，回答
7、下列问题 （要求：作图只用无刻度的直尺，经过的格点请描深一点 ） （1）边AC的长度为_； （2）作ABC的角平分线AD； （3）已知点P在线段AB上，点Q在（2）中作出的线段AD上，当 PQ+BQ的长度最小时，在网格图中作出PBQ 25. 经开区某中学计划举行一次知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励现要购买甲、乙两种奖品，已知 1件甲种奖品和 2件乙种奖品共需 40元，2 件甲种奖品和 3件乙种奖品共需 70 元 （1）求甲、乙两种奖品单价； （2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共 60件，且甲种奖品不少于乙种奖品的一半，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用 26. 一列快车和一列慢
8、车同时从甲地出发， 分别以速度1v、2v（单位：km/h， 且122vv） 匀速驶向乙地 快车到达乙地后停留了2h，沿原路仍以速度1v匀速返回甲地，设慢车行驶的时间为 hx，两车之间的距离为kmy，图中的折线表示从慢车出发至慢车到达乙地的过程中，y与x之间的函数关系 （1）甲乙两地相距_km；点A实际意义：_； （2）求a，b的值； （3）慢车出发多长时间后，两车相距480km？ 27. 如图 1，点A的坐标为4,0，点B为y轴正半轴上一个动点，将点A绕着点B顺时针旋转 90 到C的位置 （1）若点C横坐标为：-2，求直线AB的函数表达式； （2）如图 2，若x轴恰好平分BAC，BC与x轴相交
9、于点E，过点C作CDAE于点D，试探究AE与CD的数量关系； （3）如图 3，将点O绕着点B逆时针旋转 90 到点D，连接DC，在点B的运动过程中，CD与y轴相交于点F，则线段BF的长度是否改变？若不变，求出BF的长度，若改变，请说明理由 20212022 学年江苏省无锡市经开区八年级上期末数学试卷学年江苏省无锡市经开区八年级上期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题所给出的四个选项中，只有在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用一项是正确的，请用 2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）铅笔把答题
10、卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 一个图形的一部分， 沿着一条直线对折后两部分能够完全重合， 那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 【详解】解：A、B、C不符合轴对称图形的定义，D符合轴对称图形的定义， 故选 D 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键 2. 下列实数中，无理数是（ ） A. 0 B. 5 C. 227 D. 3.1415926 【答案】B 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分
11、数的统称 【详解】解：A.0 是有理数中的整数，故不符合题意； B.5是无理数，符合题意； C.227是有理数中的分数，故不符合题意； D.3.1415926是有理数中的小数，故不符合题意； 故选 B 【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类： 类，如 2，3等；开方开不尽的数，如2，35等；具有特殊结构的数，如 0.1010010001（两个 1 之间依次增加 1个 0） ，0.2121121112（两个 2之间依次增加 1个 1） 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，3，5 C. 3，2，5 D. 5
12、，6，7 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，判断较小两边的平方和是否等于第三边的平方，则可以判断各个选项的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决 【详解】解：A、1+2=3，不能组成三角形，故该选项不符合题意； B、12+(3)2(5)2，不能组成直角三角形，故该选项不符合题意； C、(2)2+(3)2=(5)2，能组成直角三角形，故该选项符合题意； D、52+6272，不能组成直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答 4. 在平面直角坐标系中，3, 4所在的象限是（ ） A. 第一象
13、限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限 【详解】解：点的横坐标 30，纵坐标-40， 点 P（3，-4）在第四象限 故选：D 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+） ；第二象限（-，+） ；第三象限（-，-） ；第四象限（+，-） 5. 下列各式中，正确的是（ ） A. 164 B. 93 C. 3273 D. 244 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项分析即可 【详解】解：A.164 ，正确； B.
14、93，故不正确； C.3273 ，故不正确； D.244，故不正确； 故选 A 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键 6. 关于函数24yx的图像，下列结论正确的是（ ） A. 必经过点(1，2) B. 与 x轴交点的坐标为(0，-4) C. 过第一、三、四象限 D. 可由函数2yx 的图像平移得到 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可 【详解】解：A、当 x=1 时，y=2-4=-22，图象不经过点（1，2） ，故本选项错误； B、点（0，-4）是 y轴上的点，故本选项错误； C、k=20，b=-40， 图象经过
15、第一、三、四象限，故本选项正确； D、函数 y=-2x 的图象平移得到的函数系数不变，故本选项错误 故选：C 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数 y=kx+b（k0） ，当 k0，b0 时函数图象经过一、三、四象限是解答此题的关键 7. 如图， 在RtABC中， ACB=90 ，D为AB的中点， 点E在BC上， 且 CE=AC， BAE=15 ， 则CDE的大小为（ ） A. 70 B. 75 C. 80 D. 85 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到CAE=AEC=45 ，求得CAB=60 ，得到B=30 ，根据直角三角形的性质得到 CD=BD=AD=1
16、2AB，得到ADC是等边三角形，DCB=B=30 ，于是得到结论 【详解】解：ACB=90 ，CE=AC， CAE=AEC=45 ， BAE=15 ， CAB=60 ， B=30 ， ACB=90 ，D 为 AB 的中点， CD=BD=AD=12AB， ADC是等边三角形，DCB=B=30 ， AC=DC=CE， CDE=CED=12 （180 -30 ）=75 ， 故选：B 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键 8. 如图， 在ABC中， BAC=80 ， D， E为 BC上的两个点， 且 AB=BE， AC=CD，
17、则DAE 的度数为 （ ） A. 40 B. 45 C. 50 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质得出BAE=BEA，CAD=CDA，根据三角形内角和定理即可得到结论 【详解】解：BE=BA， BAE=BEA， B=180 -2BAE， CD=CA， CAD=CDA， C=180 -2CAD， +得：B+C=360 -2（BAE+CAD） ， 180 -BAC=360 -2（BAD+DAE）+（DAE+CAE）， -BAC=180 -2（BAD+DAE+CAE）+DAE， -BAC=180 -2（BAC+DAE） ， 2DAE=180 -BAC BAC=80 ， 2D
18、AE=180 -80 =100 ， DAE=50 故选：C 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，关键是推出 2DAE=180 -BAC 9. 若一次函数ykxb的图像如图所示，则关于x的不等式20kx b 的解集为（ ） A. 32x B. 32x C. 3x D. 3x 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征得到 b=-3k，k0，解不等式得到答案 【详解】解：由题意得，一次函数 y=kx+b 的图象经过（3，0） ，k0， 3k+b=0， b=-3k， 不等式可化为：2kx+3k0， 解得，x32， 故选：B 【点睛】本题考查了一次函数与不等式
19、，掌握一次函数图象上点的坐标特征、一元一次不等式的解法是解题的关键 10. 平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为3 , 44mm，一次函数4123yx的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，若点P在AOBV的内部，则m的取值范围为（ ） A. 1m 或0m B. 31m C. 10m D. 11m 【答案】C 【解析】 【分析】由4123yx求出 A，B 的坐标，根据点P的坐标得到点P在直线443yx 上，求出直线与y 轴交点 C的坐标，解方程组求出交点 E的坐标，即可得到关于 m的不等式组，解之求出答案 【详解】解：当4123yx中 y=0 时，得 x=-9；x=0时，得 y=12， A（-9
20、，0） ，B（0，12） ， 点P的坐标为3 , 44mm， 当 m=1 时，P（3，0） ；当 m=2时，P（6，-4） ， 设点 P所在直线解析式为 y=kx+b，将（3，0） ， （6，-4）代入， 4,43kb ， 点P在直线443yx 上， 当 x=0时，y=4，C（0，4） ， 4123443yxyx ，解得38xy ，E（-3，8） ， 点P在AOBV的内部， 3304448mm ， -1m0， 故选：C 【点睛】此题考查了一次函数与坐标轴的交点，两个一次函数图象的交点，解一元一次不等式组，确定点P在直线443yx 上是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小
21、题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 27 分分.不需写出解答过程，只需把答案直接填不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）写在答题卡上相应的位置） 11. 9 的算术平方根是 【答案】3 【解析】 【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出. 【详解】239， 9算术平方根为 3 故答案为 3 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键. 12. 若代数式5x有意义，则x的取值范围为_ 【答案】x-5 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于 0列式计算即可得解 【详解】解：由题意得，x+50， 解得 x-5 故答案为：x-5 【点睛
22、】本题考查了二次根式有意义的条件，解决本题的关键是掌握二次根式有意义的条件 13. 已知a，b为两个连续整数，且5ab，则ab_ 【答案】5 【解析】 【分析】根据5的大小求出 a、b，代入计算即可 【详解】解：459， 253， a、b 为两个连续整数，且5ab， a=2，b=3， ab2+3=5， 故答案为：5 【点睛】 此题考查了实数的估值， 已知字母的值求代数式的值， 正确掌握无理数的估值方法是解题的关键 14. 点( 1,2)A 关于 x轴对称点的坐标是 _ 【答案】( 1, 2) 【解析】 【分析】利用平面直角坐标系点对称的性质求解 【详解】解：关于x轴对称点坐标是横坐标不变纵坐标
23、变为原来的相反数可知， ( 1,2)A 关于x轴对称点的坐标是( 1, 2) 故答案是：( 1, 2) 【点睛】本题考查点对称的性质，解题的关键是掌握坐标关于 x轴对称的变化规律，即关于x轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数 15. 若点( , )m n若在直线32yx上，则代数式261nm的值是_. 【答案】-3 【解析】 【分析】先把点（m，n）代入函数 y=3x-2，求出 n=3m-2，再代入所求代数式进行计算即可 【详解】点（m，n）在函数 y=3x-2 的图象上， n=3m-2， 2n-6m+1=2（3m-2）-6m+1=-3， 故答案为-3 【点睛】本题考查了一次函数图
24、象上点的坐标特点，解题的关键是要明确一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式 16. 如图，OC平分AOB，D、E、F分别是OC、OA、OB上的点，要使ODEODF，可以添加的条件是_ （只要写出一个符合要求的条件） 【答案】OE=OF 【解析】 【分析】添加条件 OE=OF，根据 SAS 证明ODEODF 【详解】解：添加条件 OE=OF， OC平分AOB， EOD=FOD， OD=OD，OE=OF， ODEODF（SAS） ， 故答案为：OE=OF 【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理：SAS、SSS、AAS、ASA、HL，熟记全等三角形的判定定理并应用是解题的关键 17. 如图，
25、在长方形ABCD中，20AB ，12BC ，E、F分别在边AB、CD上，且5CF 现将四边形BCFE沿EF折叠，点B，C的对应点分别为点B，C，当点B恰好落在边CD上时，则EF的长为_ 【答案】413 【解析】 【分析】 由勾股定理求出BF， 得到 DB， 过点B作BHAB于 H， 连接 BF， 则四边形ADB H是矩形，求出 HE，过点 F作 FGAB 于 G，则四边形 BCFG 是矩形，利用勾股定理求出EF的长 【详解】解：在长方形ABCD中，90 ,20,12BCCDABADBC ，ABCD， 由折叠得90 ,90 ,12,BBCCB CBCC FCF 5， 2213BFBCCF ， 2
26、0 5DBCD CFBF 13=2， 过点B作BHAB于 H，连接 BF，则四边形ADB H是矩形， AH=DB=2， BEF=BEF，BFE=BEF， BEF=BFE， BE=BF=13， 22HEB EB H=5， 过点 F作 FGAB于 G，则四边形 BCFG是矩形， BG=FC=5， EG=13-5=8， 2222812EFEGFG=413 故答案为 413 【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，正确引出辅助线利用推理论证进行求解是解题的关键 18. 如图， 在ACB中，90ACB，CP平分ACB， 过P作PQCP交CB于Q 若3AP，4BP ，则CQ _，APCPQBS
27、S _ 【答案】 . 245 . 6 【解析】 【分析】 过点 P 作 PDBC于 D， PEAC 于 E， 则 PE=PD， 过点 C 作 CFAB 于 F， 由面积法求出34APBP，设 AC=3x，则 BC=4x，勾股定理求出 AB，得到 5x=7，求出 AC、BC的长，利用面积公式求出 PE，由CPQ是等腰直角三角形，求出 CQ，根据公式计算APCPQBSS 【详解】解：90ACB，CP平分ACB， ACP=BCP=45 ， 过点 P作 PDBC于 D，PEAC于 E，则 PE=PD，过点 C 作 CFAB 于 F， 由等面积法得1132211422APCBPCAC PEAP CFSA
28、PSBPBC PDBP CFVV 设 AC=3x，则 BC=4x， 225ABACBCx， AB=AP+BP=3+4=7， 5x=7， 解得75x ， 2128,55ACBC， 37APCABCSSVV 121312128257255PE 解得 PE=125 BCP=45 ，QCP=90 ， CPQ 是等腰直角三角形， CQ 2PD=2x=245， 45BQBCCQ， APCPQBSS=1122AC PEBQ PD=112221 1241265555 故答案为245，6 【点睛】此题考查了等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理，面积法求直角三角形的边长，熟练掌握各知识点并综合应用解决问题是解题的
29、关键 三、 解答题 （本大题共三、 解答题 （本大题共 9 小题， 共小题， 共 73 分分.请在答题卡指定区域内作答， 解答时应写出文字说明、请在答题卡指定区域内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）024212； （2）202231318 【答案】 （1）114； （2）3 【解析】 【分析】 （1）利用平方根，零指数幂，负整数指数幂对式子进行运算即可； （2）利用绝对值，乘方，立方根对式子进行运算即可 【小问 1 详解】 解：024212 =2-1+14 =114； 【小问 2 详解】 解：202231318 3 1 1 2 =3
30、【点睛】本题主要考查实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，解答的关键是熟记非 0 实数的 0次幂的值为1 20. 解方程： （1）2132x ； （2）381270 x 【答案】 （1）x=6或 x=6； （2）x=12 【解析】 【分析】 （1）利用平方根的概念解方程； （2）利用立方根的概念解方程 【小问 1 详解】 解：2132x ， 整理得：x2=6， 解得：x=6或 x=6； 【小问 2 详解】 解：381270 x， 整理得：(x+1)3=278， x+1=32， x=12 【点睛】本题考查了利用平方根和立方根的概念解方程，掌握相关概念正确计算是解题关键 21. 已知22xy与23x
31、y互为相反数，求2xy的平方根 【答案】53 【解析】 【分析】根据相反数定义得到 2x+y=2，x-y=-3，解方程组得到 x、y 的值，根据平方根的定义求出结果 【详解】解：22xy与23xy互为相反数， 22xy+23xy=0， 2x+y=2，x-y=-3， 解方程组223xyxy ，得1383xy ， 221825339xy ， 2xy的平方根是53 【点睛】此题考查了相反数的应用，解二元一次方程组，求一个数的平方根，综合掌握各知识点是解题的关键 22. 如图，在四边形 ABCD中，已知 ABCD，AB=CD，连接 AC，求证：ADBC 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据全等三角形
32、的性质得到ACB=CAD，根据平行线的判定定理即可得到 ADBC 【详解】证明：ABCD， BAC=DCA， 在CBA与ADC中， ABCDBACDCAACCA ， CBAADC(SAS)， ACB=CAD， ADBC 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，关键是根据 SAS得出CBAADC解答 23. 如图，在RtABC中，90ACB，2ACBC （1）请用无刻度直尺和圆规，在边AC上求作一点D，使得点D到A、B的距离相等； （不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若4BC ，求CD的长 【答案】 （1）见解析 （2）3. 【解析】 【分析】 （1）作 AB的垂直平分线交 BC
33、 于 D，则点 D满足条件； （2）设 CDx，利用勾股定理得到 x242（8-x）2，然后解方程即可 【小问 1 详解】 解：如图，点 D为所作； 【小问 2 详解】 解：设 CDx，则 BD=AD8-x， 在 RtACD 中，CD2AC2AD2， x242（8-x）2，解得 x3， 即 CD的长为 3 【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线） 也考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理. 24. 如图是7 5的正方形网格，每个小正方形的边长为 1，每个小正方形的顶点称为格点，A
34、BCV的顶点均在格点上，回答下列问题 （要求：作图只用无刻度的直尺，经过的格点请描深一点 ） （1）边AC的长度为_； （2）作ABC的角平分线AD； （3）已知点P在线段AB上，点Q在（2）中作出的线段AD上，当 PQ+BQ的长度最小时，在网格图中作出PBQ 【答案】 （1）5 2 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据勾股定理即可求出 AC的长； （2）利用等腰三角形的性质，连接 AD 即可； （3）取格点 P，连接 CP交 AD 于点 Q，PBQ即为所求 【小问 1 详解】 解：根据勾股定理，得 AC=22175 2， 故答案为：5 2； 【小问 2 详解】 解：如图
35、，AD即为所求； AB=22555 2= AC， ABC为等腰三角形， DBC中点， AD为ABC的角平分线； 【小问 3 详解】 解：如图，PBQ即为所求； AC2=50，AP2=42+42=32，CP2=32+32=18， AC2= AP2+CP2， APC=90 ，即 CPAB， AD为等腰ABC的角平分线， QB=QC， QB+ QP的最小值为 CP 【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图、等腰三角形的性质、勾股定理及其逆定理，解决本题的关键是综合掌握以上知识 25. 经开区某中学计划举行一次知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励现要购买甲、乙两种奖品，已知 1件甲种奖品和 2件乙种奖品共需
36、 40元，2 件甲种奖品和 3件乙种奖品共需 70 元 （1）求甲、乙两种奖品的单价； （2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共 60件，且甲种奖品不少于乙种奖品的一半，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用 【答案】 （1）甲种奖品的单价为 20 元/件，乙种奖品的单价为 10 元/件； （2）当学习购买 20 件甲种奖品、40 件乙种奖品时，总费用最少，最少费用是 800 元 【解析】 【分析】 （1）设甲种奖品的单价为 x 元/件，乙种奖品的单价为 y元/件，根据“购买 1 件甲种奖品和 2 件乙种奖品共需 40元，购买 2 件甲种奖品和 3件乙种奖品共需 70元”，即可得出关于
37、 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种奖品 m件，则购买乙种奖品（60-m）件，设购买两种奖品的总费用为 w，由甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的一半，可得出关于 m 的一元一次不等式，解之可得出 m 的取值范围，再由总价=单价 数量，可得出 w 关于 m 的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题 【小问 1 详解】 设甲种奖品的单价为 x元/件，乙种奖品的单价为 y元/件， 依题意，得：2402370 xyxy， 解得2010 xy， 答：甲种奖品的单价为 20元/件，乙种奖品的单价为 10 元/件 【小问 2 详解】 设购买甲种奖品 m 件，则购买乙种奖品
38、（60-m）件，设购买两种奖品的总费用为 w元， 甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的一半， m12（60-m） ， m20 依题意，得：w=20m+10（60-m）=10m+600， 100， w 随 m值的增大而增大， 当学校购买 20件甲种奖品、40 件乙种奖品时，总费用最少，最少费用是 800 元 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）根据各数量之间的关系，找出 w关于 m的一次函数关系式 26. 一列快车和一列慢车同时从甲地出发， 分别以速度1v、2v（单位：km/h， 且122
39、vv） 匀速驶向乙地 快车到达乙地后停留了2h，沿原路仍以速度1v匀速返回甲地，设慢车行驶的时间为 hx，两车之间的距离为kmy，图中的折线表示从慢车出发至慢车到达乙地的过程中，y与x之间的函数关系 （1）甲乙两地相距_km；点A实际意义：_； （2）求a，b的值； （3）慢车出发多长时间后，两车相距480km？ 【答案】 （1）900km；快车到达乙地 （2）a=8，b=14； （3）163h、7h、867h 【解析】 【分析】 （1）由图象即可得到结论； （2）根据图象，得到慢车的速度为90015=60（km/h） ，快车的速度为：90090054060=150（km/h） ，于是得到结论
40、； （3）根据每段的函数解析式即可得到结论 【小问 1 详解】 由图象知，甲、乙两地之间的距离为 900km；点A实际意义：快车到达乙地； 【小问 2 详解】 根据图象，得慢车的速度为90015=60（km/h） ， 快车的速度为：90090054060=150（km/h） ， a=9002150=8， b=9009002150=14； 【小问 3 详解】 由题意得 A(90054060=6，540)， B(8，540-60 2=420)， C(900 260 2+260+150 =10， 0)，D(14，14 60=840)，分别代入 y=kx+b， 可得线段 OA 所表示的 y与 x之间的
41、函数表达式为 y3=90 x（0 x6） ； 线段 AB 所表示的 y与 x之间的函数表达式为 y1=-60 x+900（6x8） 线段 CD 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式为 y2=210 x-2100（10 x14） ， 线段 OA所表示的 y与 x之间的函数表达式为 y3=90 x（0 x6） ， 令 y3=480，得 x=163， 线段 AB所表示的 y 与 x之间的函数表达式为 y1=-60 x+900（6x8） ， 令 y1=480，得 x=7， 线段 CD所表示的 y与 x之间的函数表达式为 y2=210 x-2100（10 x14） ， 令 y2=480，得 x=867
42、 答：慢车出发163h、7h、867h 后，两车相距 480km 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，利用图表中数据得出慢车速度是解题关键 27. 如图 1，点A的坐标为4,0，点B为y轴正半轴上一个动点，将点A绕着点B顺时针旋转 90 到C的位置 （1）若点C的横坐标为：-2，求直线AB的函数表达式； （2）如图 2，若x轴恰好平分BAC，BC与x轴相交于点E，过点C作CDAE于点D，试探究AE与CD的数量关系； （3）如图 3，将点O绕着点B逆时针旋转 90 到点D，连接DC，在点B的运动过程中，CD与y轴相交于点F，则线段BF的长度是否改变？若不变，求出BF的长度，若改变，请说明理由
43、【答案】 （1）直线 AB 表达式为：y=12kx+2； （2）AE2CD，理由见解析. （3）线段 BF 的长度不变，为 2 【解析】 【分析】 （1）作 CHBO，易证ABOBCH，根据全等三角形对应边相等的性质得到 BOCH=2，用待定系数法求直线表达式即可； （2）延长 AB，CD交于点 N，由“ASA”可证ADNADC，可得 CDND，由“ASA”可证ABECBN，可得 AECN，可得结论； （3） 作 CGBO于 G， 由 AAS 证得ABOBCG， 由全等三角形对应边相等， 得到 OA = BG =4， BO=CG，由旋转性质得到 BO=BD，OBD=90 ，从而 BD=CG，再
44、由 AAS证DBFCGF，从而 BF =GF，因此BF =12BG=2. 【小问 1 详解】 解：如图 1， 作 CHBO于 H，则 CH=2， CBHABO90 ，ABOBAO90 ， CBHBAO， 在ABO和BCH中， 90BOABHCCBHBAOABBC ， ABOBCH（AAS） ， BOCH2， B点坐标（0，2） ， 设直线 AB表达式为：y=kx+b， 把 A（4，0） ，B（0，2）代入，得402kbb， 解得：122kb ， 故直线 AB表达式为：y=12kx+2； 【小问 2 详解】 解：AE2CD， 如图， 延长 AB，CD交于点 N， CDAE， ADNADC90 ，
45、 AD平分BAC， BADCAD， 在ADN 和ADC中，90BADCADADADADNADC， ADNADC（ASA） ， CDND， CN2CD， NBAD90 ，NBCN90 ， BADBCN， 在ABE和CBN 中， = = = ， ABECBN（ASA） ， AECN， AE2CD； 【小问 3 详解】 解：故线段 BF长度不变，为 2，理由如下： 点 A的坐标为4 0， OA=4， 如图 3，作 CGBO于 G， CBGABO90 ，ABOBAO90 ， CBGBAO， 在ABO和BCG中， 90BOABGCCBGBAOABBC ， ABOBCG（AAS） ， OA = BG =4，BO=CG， 由旋转可知：BO=BD，OBD=90 ， BD=CG， 在DBF和CGF中， = = = 90 = ， DBFCGF（AAS） ， BF =GF， BF =12BG=2. 故线段 BF的长度不变，为 2 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键，也考查了待定系数法求一次函数的解析式.