1、2021-2022 学年浙江省杭州市上城区九年级学年浙江省杭州市上城区九年级上期末数学试卷上期末数学试卷 一、选择题：本大题有一、选择题：本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。分。 1 （3 分）下列函数中，是二次函数的是（ ） Ay2x3 By= 12 Cy（x5）2x2 Dyx（1x） 2 （3 分）下列事件是必然事件的是（ ） A任意一个五边形的外角和等于 540 B投掷一个均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数是 50 次 C367 个同学参加一个聚会，他们中至少有两名同学的生日是同月同日 D正月十五雪打灯 3 （3 分）在平面直角坐标系中，将抛物线
2、 yx2先向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，得到的抛物线表达式为（ ） Ay（x+3）2+2 By（x+3）22 Cx（x3）2+2 Dy（x3）22 4 （3 分）两个相似三角形的最短边分别是 5cm 和 3cm，它们的周长之差为 12cm，那么小三角形的周长为（ ） A14cm B16cm C18cm D30cm 5 （3 分）如果规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，就称此图形为旋转对称图形，旋转的角度称为旋转角下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为 60的是（ ） A正三角形 B正方形 C正六边形 D正八边形 6 （3 分）如图，小
3、明在 A 时测得某树的影长为 8m，B 时又测得该树的影长为 2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）m A2 B4 C6 D8 7 （3 分）函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，则选项中函数 ya（xb）2+c 的图象正确的是（ ） A B C D 8 （3 分） “苏堤南起南屏山麓，北到栖霞岭下，全长 2.8 公里苏堤上有名的六吊桥由南到北分别是映波桥、锁澜桥、望山桥、压堤桥、东浦桥、跨虹桥压堤桥约居苏堤南北的黄金分割位，旧时又是湖船东来西去的水道通行 ”从地图上看，压堤桥位于苏堤北部，请结合上述描述，估计压堤桥到栖霞岭下的大致距离为（ ） A0.9 公里 B1.1 公里
4、C1.3 公里 D1.4 公里 9 （3 分）过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，点 A，B，C 为该抛物线上的三点，如图 y 表示运行的竖直高度（单位：m） ，x 表示水平距离（单位：m） 由此可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离 x 可能为（ ） A4 B5 C7 D9 10 （3 分）如图，半圆 O 的直径 AB2，若点 C，D 在半圆上运动，且保持弦 CD1，延长 AD、BC 相交于点 E记E 的度数为 x，EDC 的面积为 y则以下结论正确的是（ ） Ax 随 C，D 运动而变化，y 随 C，D 运动而变化 Bx 不随 C，D 运动而变化，y
5、不随 C，D 运动而变化 Cx 随 C，D 运动而变化，y 不随 C，D 运动而变化 Dx 不随 C，D 运动而变化，y 随 C，D 运动而变化 二、填空题：本大题有二、填空题：本大题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分。分。 11 （4 分）已知扇形的圆心角为 120，直径为 6cm，那么这个扇形的面积是 cm2 12 （4 分）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为 2cm 的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在
6、 0.6 左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 cm2 13 （4 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，ABC40，则D 14 （4 分）某个二次函数，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，请写出一个满足条件的函数表达式 15 （4 分）为了测量河宽 AB，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使 CDAB，并使点B，D，O 和点 A，C，O 分别在同一条直线上，量得 CD10 米，OC15 米，OA45 米，则河宽 AB 米 16 （4 分）如图，已知点 E 为矩形 ABCD 内一点，满足AEB90，延长 DE 交以 CD 为直径的半圆于点 F，当 AE20，BE15，DF24
7、 时，则矩形 AD 边的长为 三、解答题：本大题有三、解答题：本大题有 7 个小题，共个小题，共 66 分。分。 17 （6 分）已知二次函数 yx2，当1x2 时，求函数 y 的最小值和最大值小王的解答过程如下： 解：当 x1 时，y1； 当 x2 时，y4； 所以函数 y 的最小值为 1，最大值为 4 小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程 18 （8 分）如图是三个可以自由转动的转盘，甲乙两人中，甲转动转盘，乙记录转盘停下时指针所指的数字 （1）当转盘 A 和转盘 B 所指的数字之和为 4 时，就算甲赢，否则就算乙赢请直接写出甲赢的概率 （2）转动三个转盘得到三个数字，当这
8、三个数字中有相同数时，就算甲赢，否则就算乙赢请判断这个游戏是否公平，并说明理由 19 （8 分）已知，如图，作ABC 的外接圆，在 AB 上方作弦 AD 使 ADBC，连接 CD，并求证：CDAB （要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 20 （10 分）加速度表示的是物体运动速度变化的大小，一个物体沿直线运动，且在运动的过程中加速度保持不变，则称这一物体在做匀加速直线运动该物体初始速度为 v0，加速度为 a，加速时间 t 秒后速度为vt，由加速度定义可知：vtv0+at，整个加速期的平均速度为0+2若 v03 米/秒，a1 米/秒2 （1）求 5 秒加速期的平均速度？ （2）设匀加速直线运
9、动的路程为 s，求 s 关于 t 的函数表达式（匀加速直线运动的路程运动时间平均速度） 21 （10 分）将一副三角尺如图 1 放置，其中 AD 为 RtABC 中 BC 边上的高，DE，DF 分别交 AB，AC 于点 M 和 N （1）求证：AMDCND； （2）如图 2，将 RtDEF 绕点 D 旋转，此时 EFBC，且 E，A，F 共线，判断=是否成立，并给出证明 22 （12 分）二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，且 a0）的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如表： x 1 0 1 2 y 0 2 2 n （1）直接写出 n 的值，并求该二次函数的解析式； （2）点
10、 Q（m，4）能否在该函数图象上？若能，请求出 m 的值，若不能，请说明理由 23 （12 分）已知 RtABC，两直角边 AB 与 AC 之和为 4，作ABC 的外接圆，点 O 为圆心 （1）如图 1，连结 OA，当=90时，求 OA 的值 （2）如图 2，过点 A 作 ADBC 于点 D，点 E 为 AC 中点，连结 DE，求证：=2ADE （3） 如图 3， 作BAC 的平分线交 BC 于点 F， 线段 AF 是否存在最大值？若存在， 请求出 AF 的最大值；若不存在，请说明理由 参考答案解析参考答案解析 一、选择题：本大题有一、选择题：本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3
11、分，共分，共 30 分。分。 1 （3 分）下列函数中，是二次函数的是（ ） Ay2x3 By= 12 Cy（x5）2x2 Dyx（1x） 【分析】根据二次函数的定义判断即可 【解答】解：Ay2x3，不是二次函数，故 A 不符合题意； By= 12，不是二次函数，故 B 不符合题意； Cy（x5）2x2x210 x+25x210 x+25，不是二次函数，故 C 不符合题意； Dyx（1x）x2+x，是二次函数，故 D 符合题意； 故选：D 2 （3 分）下列事件是必然事件的是（ ） A任意一个五边形的外角和等于 540 B投掷一个均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数是 50 次 C367 个
12、同学参加一个聚会，他们中至少有两名同学的生日是同月同日 D正月十五雪打灯 【分析】直接利用随机事件以及不可能事件、必然事件的定义分析得出答案 【解答】解：A、任意一个五边形的外角和等于 540，是不可能事件，故此选项不合题意； B、投掷一个均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数是 50 次，是随机事件，故此选项不合题意； C、367 个同学参加一个聚会，他们中至少有两名同学的生日是同月同日，是必然事件，故此选项符合题意； D、正月十五雪打灯，是随机事件，故此选项不合题意 故选：C 3 （3 分）在平面直角坐标系中，将抛物线 yx2先向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，得到的抛物线表达
13、式为（ ） Ay（x+3）2+2 By（x+3）22 Cx（x3）2+2 Dy（x3）22 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可 【解答】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将抛物线 yx2先向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位后所得抛物线的解析式为 y（x+3）2+2 故选：A 4 （3 分）两个相似三角形的最短边分别是 5cm 和 3cm，它们的周长之差为 12cm，那么小三角形的周长为（ ） A14cm B16cm C18cm D30cm 【分析】利用相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比得到两三角形的周长的比为 5：3，于是可设两三角形的周长分别为 5xc
14、m，3xcm，所以 5x3x12，然后解方程求出 x 后就是 3x 即可 【解答】解：根据题意得两三角形的周长的比为 5：3， 设两三角形的周长分别为 5xcm，3xcm， 则 5x3x12，解得 x6， 所以 3x18， 即小三角形的周长为 18cm 故选：C 5 （3 分）如果规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，就称此图形为旋转对称图形，旋转的角度称为旋转角下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为 60的是（ ） A正三角形 B正方形 C正六边形 D正八边形 【分析】分别求出各旋转对称图形的最小旋转角，继而可作出判断 【解答】解：A正三角形的最小旋
15、转角是 120，故此选项不合题意； B正方形的旋转角度是 90，故此选项不合题意； C正六边形的最小旋转角是 60，故此选项符合题意； D正八边形的最小旋转角是 45，故此选项不合题意； 故选：C 6 （3 分）如图，小明在 A 时测得某树的影长为 8m，B 时又测得该树的影长为 2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）m A2 B4 C6 D8 【分析】根据题意，画出示意图，易得：EDCFDC，进而可得=，即 DC2EDFD，代入数据可得答案 【解答】解：根据题意，作EFC，树高为 CD，且ECF90，ED2m，FD8m； E+F90，E+ECD90， ECDF， EDCCDF，
16、=，即 DC2EDFD2816， 解得 CD4m 故选：B 7 （3 分）函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，则选项中函数 ya（xb）2+c 的图象正确的是（ ） A B C D 【分析】先根据 yax2+bx+c 的图象得到 a、b、c 的正负情况，然后即可得到函数 ya（xb）2+c 的图象的开口方向，顶点坐标解顶点坐标所在的位置，从而可以判断哪个选项中图象符合题意 【解答】解：由 yax2+bx+c 的图象可得， a0，b0，c0， 函数 ya（xb）2+c， 该函数的图象开口向下，顶点坐标为（b，c） ，且该函数图象的顶点在第一象限， 故选：B 8 （3 分） “苏堤南起南屏山
17、麓，北到栖霞岭下，全长 2.8 公里苏堤上有名的六吊桥由南到北分别是映波桥、锁澜桥、望山桥、压堤桥、东浦桥、跨虹桥压堤桥约居苏堤南北的黄金分割位，旧时又是湖船东来西去的水道通行 ”从地图上看，压堤桥位于苏堤北部，请结合上述描述，估计压堤桥到栖霞岭下的大致距离为（ ） A0.9 公里 B1.1 公里 C1.3 公里 D1.4 公里 【分析】设压堤桥到栖霞岭下的大致距离为 x 公里，由题意和黄金分割的定义列出方程，解方程即可 【解答】解：设压堤桥到栖霞岭下的大致距离为 x 公里， 由题意得：2.82.8=512， 解得：x1.1， 即压堤桥到栖霞岭下的大致距离为 1.1 公里， 故选：B 9 （3
18、 分）过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，点 A，B，C 为该抛物线上的三点，如图 y 表示运行的竖直高度（单位：m） ，x 表示水平距离（单位：m） 由此可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离 x 可能为（ ） A4 B5 C7 D9 【分析】根据函数图象，可以得到对称轴 x 的取值范围，从而可以得到哪个选项是正确的 【解答】解：设该抛物线的对称轴为 x， 由图象可得6+1220+122， 解得 6x9， 故选：C 10 （3 分）如图，半圆 O 的直径 AB2，若点 C，D 在半圆上运动，且保持弦 CD1，延长 AD、BC 相交于点 E记E 的度数为
19、x，EDC 的面积为 y则以下结论正确的是（ ） Ax 随 C，D 运动而变化，y 随 C，D 运动而变化 Bx 不随 C，D 运动而变化，y 不随 C，D 运动而变化 Cx 随 C，D 运动而变化，y 不随 C，D 运动而变化 Dx 不随 C，D 运动而变化，y 随 C，D 运动而变化 【分析】连接 OD，OC，可以证明OCD 是等边三角形，可得 x60，故 x 不随 C、D 运动而变化，根据 CD 为定长 1，DEC 为定角 60，作以 O为圆心，CD 为圆 O一条弦，使DOC120，此时 E 在圆 O上运动，由图可知：点 E 在圆 O上运动时，E 到弦 CD 结论变化，即DEC 中，以
20、CD为底时，高在变化，即 y 在变化进而可以解决问题 【解答】解：如图，连接 OD，OC， ODOC=12AB1， CD1， OCD 是等边三角形， OCD60， AOD+BOC120， ODOA，OBOC， EAB=12（180AOD） ，EBA=12（180BOC） ， E180EABEBA 18012（180AOD）12（180BOC） =12（AOD+BOC） =12120 60， x60， x60， 故 x 不随 C、D 运动而变化， CD 为定长 1，DEC 为定角 60， 作以 O为圆心，CD 为圆 O一条弦，使DOC120， 此时 E 在圆 O上运动，如图， 由图可知：点 E
21、在圆 O上运动时，E 到弦 CD 距离变化， 即DEC 中，以 CD 为底时，高在变化，即 y 在变化 故选：D 二、填空题：本大题有二、填空题：本大题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分。分。 11 （4 分）已知扇形的圆心角为 120，直径为 6cm，那么这个扇形的面积是 3 cm2 【分析】利用扇形的面积的公式可得 【解答】解：120(62)2360=3cm2 12 （4 分）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为 2cm 的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷
22、点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 0.6 左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 2.4 cm2 【分析】经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 0.6 左右，可得点落入黑色部分的概率为 0.6，根据边长为 2cm 的正方形的面积为 4cm2，进而可以估计黑色部分的总面积 【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 0.6 左右， 点落入黑色部分的概率为 0.6， 边长为 2cm 的正方形的面积为 4cm2， 设黑色部分的面积为 S， 则4=0.6， 解得 S2.4（cm2） 估计黑色部分的总面积约为 2.4cm2 故答案为：2.4 13 （4
23、分）如图，AB 是半圆 O 的直径，ABC40，则D 130 【分析】根据圆周角定理求出ACB90，根据直角三角形的两锐角互余得出CAB90ABC50，根据圆内接四边形的性质得出CAB+D180，再求出答案即可 【解答】解：AB 是半圆 O 的直径， ACB90， ABC40， CAB90ABC50， 四边形 ABDC 是O 的内接四边形， CAB+D180， D180CAB18050130， 故答案为：130 14 （4 分）某个二次函数，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，请写出一个满足条件的函数表达式 y（x1）2， （答案不唯一） 【分析】 根据当 x1 时， y 随 x 的增大而
24、增大， 可以得到该函数的图象开口方向和对称轴 x 的取值范围，然后即可写出一个符合要求的函数解析式 【解答】解：当 x1 时，y 随 x 的增大而增大， 该函数图象开口向上，对称轴直线 x1， 符合该条件的二次函数的表达式可以是 y（x1）2， 故答案为：y（x1）2， （答案不唯一） 15 （4 分）为了测量河宽 AB，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使 CDAB，并使点B，D，O 和点 A，C，O 分别在同一条直线上，量得 CD10 米，OC15 米，OA45 米，则河宽 AB 30 米 【分析】根据题意得到OCDOAB，由该相似三角形的对应边成比例求得答案 【解答】解：C
25、DAB， OCDOAB = CD10 米，OC15 米，OA45 米， 10=1545 AB30 故答案是：30 16 （4 分）如图，已知点 E 为矩形 ABCD 内一点，满足AEB90，延长 DE 交以 CD 为直径的半圆于点 F，当 AE20，BE15，DF24 时，则矩形 AD 边的长为 503 【分析】如图，过点 E 作 EHCD 于 H，交 AB 于点 T，连接 CF求出 ET，EH，可得结论 【解答】解：如图，过点 E 作 EHCD 于 H，交 AB 于点 T，连接 CF 四边形 ABCD 是矩形， ABCD，ABCD， AEB90，AE20，BE15， AB= 2+ 2= 20
26、2+ 152=25， ETAB， 12AEEB=12ABET， ET=201525=12， ATDH= 2 2= 202 122=16， CD 是直径， CFD90， CF= 2 2= 252 242=7， EDHCDF，EHDCFD90， DHEDFC， =， 1624=7， EH=143， BCHTET+EH12+143=503 故答案为：503 三、解答题：本大题有三、解答题：本大题有 7 个小题，共个小题，共 66 分。分。 17 （6 分）已知二次函数 yx2，当1x2 时，求函数 y 的最小值和最大值小王的解答过程如下： 解：当 x1 时，y1； 当 x2 时，y4； 所以函数 y
27、 的最小值为 1，最大值为 4 小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程 【分析】根据二次函数的性质和小王的做法，可以判断小王的做法是否正确，然后根据二次函数的性质即可解答本题 【解答】解：小王的做法是错误的， 正确的做法如下： 二次函数 yx2， 该函数图象开口向上，该函数的对称轴是 y 轴， 1x2， 当 x0 时取得最小值，最小值是 0， 当 x2 时取得最大值，此时 y4， 由上可得，当1x1 时，函数 y 的最小值是 0，最大值是 4 18 （8 分）如图是三个可以自由转动的转盘，甲乙两人中，甲转动转盘，乙记录转盘停下时指针所指的数字 （1）当转盘 A 和转盘 B 所指的
28、数字之和为 4 时，就算甲赢，否则就算乙赢请直接写出甲赢的概率 （2）转动三个转盘得到三个数字，当这三个数字中有相同数时，就算甲赢，否则就算乙赢请判断这个游戏是否公平，并说明理由 【分析】 （1）画出树状图，根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，计算出各种情况的概率，然后比较即可相等则公平，否则不公平 【解答】解： （1）画树状图， 共有 4 个可能的结果，转盘 A 和转盘 B 所指的数字之和为 4 的结果有 2 个， P（转盘 A 和转盘 B 所指的数字之和为 4）=24=12； （2）游戏不公平， 根据题意画树状图如下： 共有（1，2，1） 、 （1，2，3） 、 （1，3，1） 、
29、（1，3，3） 、 （2，2，1） 、 （2，2，3） 、 （2，3，1） 、 （2，3，3）8 种等可能结果， 其中 6 种结果含有相同数字，分别是（1，2，1） 、 （1，3，1） 、 （1，3，3） 、 （2，2，1） 、 （2，2，3） 、 （2，3，3） ， 因此 P（甲获胜）=68=34，P（乙获胜）134=14 故游戏不公平 19 （8 分）已知，如图，作ABC 的外接圆，在 AB 上方作弦 AD 使 ADBC，连接 CD，并求证：CDAB （要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【分析】作线段 AB，BC 的垂直平分线交于点 O，连接 OA，以 O 为圆心，OA 为半径作O，
30、以 A 为圆心，BC 为半径作弧，在 AB 的上方交O 于点 D，连接 CD 即可 【解答】解：如图，O，线段 CD 即为所求 理由：= ， ACDCAB， CDAB 20 （10 分）加速度表示的是物体运动速度变化的大小，一个物体沿直线运动，且在运动的过程中加速度保持不变，则称这一物体在做匀加速直线运动该物体初始速度为 v0，加速度为 a，加速时间 t 秒后速度为vt，由加速度定义可知：vtv0+at，整个加速期的平均速度为0+2若 v03 米/秒，a1 米/秒2 （1）求 5 秒加速期的平均速度？ （2）设匀加速直线运动的路程为 s，求 s 关于 t 的函数表达式（匀加速直线运动的路程运动
31、时间平均速度） 【分析】 （1）根据已知代入公式即可得答案； （2）先表达 vt3+t，再求出平均速度，即可根据路程运动时间平均速度得到答案 【解答】解： （1）vtv0+at，v03 米/秒，a1 米/秒2，t5 秒， 加速 5 秒后速度为 vt3+158（米/秒） ， 5 秒加速期的平均速度是3+82=112（米/秒） ； （2）v03 米/秒，a1 米/秒2， vt3+1t3+t， 加速期的平均速度为3+(3+)2=3+12t， s（3+12t） t3t+12t2， 答：s 关于 t 的函数表达式是 s3t+12t2 21 （10 分）将一副三角尺如图 1 放置，其中 AD 为 RtAB
32、C 中 BC 边上的高，DE，DF 分别交 AB，AC 于点 M 和 N （1）求证：AMDCND； （2）如图 2，将 RtDEF 绕点 D 旋转，此时 EFBC，且 E，A，F 共线，判断=是否成立，并给出证明 【分析】 （1）由直角三角形的性质证出CDNADM，MADACD，由相似三角形的判定可得出结论； （2）证明AEMADN，由相似三角形的性质可得出结论= 【解答】 （1）证明：AD 为 RtABC 中 BC 边上的高， ADBC， ADC90， ADN+CDN90， ADN+ADM90， CDNADM， 又BAC90， MAD+DAC90， DAC+ACD90， MADACD， A
33、MDCND； （2）解：成立 证明：EFBC， EADADC90， BAC90， EAMDAN， EDF 为等腰直角三角形， E45， ADEADF45， AEMADN， = 22 （12 分）二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，且 a0）的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如表： x 1 0 1 2 y 0 2 2 n （1）直接写出 n 的值，并求该二次函数的解析式； （2）点 Q（m，4）能否在该函数图象上？若能，请求出 m 的值，若不能，请说明理由 【分析】 （1）根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与 y 轴的交点，即可求得 c 的值，根据抛物线的对称性即可求得
34、n 的值，利用待定系数法求出二次函数解析式即可 （2）先根据二次函数的性质判断，然后把 y4 代入解析式，得到关于 x 的一元二次方程，解方程即可求得 m 的值 【解答】解： （1）根据图表可知： 二次函数 yax2+bx+c 的图象过点（0，2） ， （1，2） ， 对称轴为直线 x=0+12=12，c2， （1，0）的对称点为（2，0） ， n0， 设 yax2+bx2， 将（1，0）和（1，2）代入得 2 = 0 + 2 = 2， 解得 = 1 = 1， 这个二次函数的解析式为 yx2x2 （2）点 Q 能在该函数图象上， 把 y4 代入 yx2x2，得 x2x24 解得 x3 或 x2
35、 m 的值是 3 或2 23 （12 分）已知 RtABC，两直角边 AB 与 AC 之和为 4，作ABC 的外接圆，点 O 为圆心 （1）如图 1，连结 OA，当=90时，求 OA 的值 （2）如图 2，过点 A 作 ADBC 于点 D，点 E 为 AC 中点，连结 DE，求证：=2ADE （3） 如图 3， 作BAC 的平分线交 BC 于点 F， 线段 AF 是否存在最大值？若存在， 请求出 AF 的最大值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用圆周角定理的推论可得ABC45，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可； （2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和相似三角形的判定与性质可
36、得ADEB，再利用圆周角定理的推论可得结论； （3） 过点F作FDAB于点D， FEAC于点E， 利用角平分线的定义和正方形的判定定理可得矩形ADFE为正方形，设正方形 ADFE 的边长为 x，BDm，通过建立函数模型，用含 m 的式子表示出正方形的边长，利用配方法求得正方形边长的最大值，利用 AF= 2DF 即可求得结论= 【解答】 （1）解：BAC90， BC 是O 的直径 =90， ABC45 RtABC 为等腰直角三角形 BAAC 两直角边 AB 与 AC 之和为 4， BAAC2 BC= 2+ 2= 22 OA=12BC= 2 （2）证明：ADBC 于点 D，点 E 为 AC 中点，
37、 DE=12 =AEEC EDAEAD BAC90，ADBC， ABDCAD BDAC ADEB 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半， B=12 =2ADE （3）解：线段 AF 存在最大值，理由： 过点 F 作 FDAB 于点 D，FEAC 于点 E，如图， BAC90，FDAB，FEAC， 四边形 ADFE 为矩形 BAC90，AF 是BAC 的平分线， BAFCAF45 矩形 ADFE 为正方形 FDFEADAE，AF= 2 设正方形 ADFE 的边长为 x，BDm， DFADAEx，ABx+m AC+AB4， AC4xm DFAC， BDFBAC = +=4 x2+mx4mmxm2 x2+2mx+m24m 即： （x+m）24m x0，m0， x+m2 xm+2 = ( 1)2+1 10， 当 =1 即 m1 时，x 有最大值 1， 当 m1 时，DF 由最大值 1 AF= 2， AF 有最大值为2